参数期权定价的切比雪夫插值

继Eberlein，Glau，Papapantoleon（2010）之后，该框架中HTC的特征函数为：φp=（T，v，κ，θ，σ，σ，σ，ρ，ρ，ρ）（z）=exp不是吗rr, Z经验vσ（a）-c） （1）- 经验(-cT）1- g经验(- cT）+κθσ（a）-c） T- 2原木1.-g经验(-cT）1- G,（4.16）具有辅助功能，ζ=ζ（z）=-ZσρσσρσσσZ+σσ, 伊兹-σz+σz+2ρσz+iσz+iσz,a=a（z）=κ- 我是σz- iρσz，c=c（z）=qa（z）- σζ（z），g=g（z）=a（z）- c（z）a（z）+c（z），（4.17）和正参数v，κ，θ和σ填充Feller条件（4.18）σ≤ 2κθ，确保几乎肯定的非负波动过程（vt）t≥0.显然，foreach z∈ （4.16）的特征函数φp=（T，v，κ，θ，σ，σ，σ，ρ，ρ，ρ）（z）在vandθ中是解析的。让我们另外提到，Levendorskii（2012年，第2.3节，引理2.1）已经对单变量Heston模型进行了分析。5.数值实验我们将切比雪夫插值方法应用于参数期权定价，考虑到不同知名期权定价模型中的各种期权类型。此外，我们还进行了err或分析以及收敛性研究。第一个重点是通过合理数量的切比雪夫插值点可以实现的精度。当切比雪夫点的数量增加时，后者证实了第3节推导的理论收敛顺序。最后，我们研究了所选多变量选项的效率增益。我们通过比较衍生价格和参考方法得出的价格来衡量切比雪夫方法的数值精度。我们使用参考方法不仅计算参考价格，还计算价格（k，…，kD）和（k，…，kD）∈ J在切比雪夫系数cj的预计算阶段，J∈ J、 在（2.9）中。

因此，切比雪夫价格和参考价格之间保持了可比性。我们对具有两个参数的应用实现了切比雪夫方法。在这个程度上，我们从（3.2）中选取两个自由参数pi，piout，1≤ 我<我≤ D、 在每个模型设置中，将所有其他参数固定为合理的常量值。然后，我们在离散参数gridP上评估不同产品的定价 [pi，pi]×由p=n定义的[pi，pi]pkii，pkii, 基，基∈ {0，…，100}o，pkijij=pij+kij皮杰- 皮杰, 基吉∈ {0，…，100}，j∈ {1, 2}.（5.1）一旦价格从p上导出，我们计算离散L∞（P） d L（P）误差测量值εL∞（N） =maxp∈P价格- IN（价格（·））（p）,εL（N）=vUtPXp∈P价格- IN（价格（·））（p）,（5.2）在哪里P=（π）-圆周率-pi），以解释我们的实施和切比雪夫方法的准确性。5.1欧式期权我们首先考虑一项资产的普通欧式看涨期权以及欧式数字向下和向外期权。表4.1中介绍了这两种衍生物。对于这些产品，我们研究了Heston模型和Black&Scholes、Merton和theCGMY模型的切比雪夫插值方法的性能。我们保持str-ike参数不变，对于k=1，p=k=log（k）。正如前面在备注3.8中所讨论的，这不是一般性的限制。我们还将利率设定为r=0。对于三种L’evy模型，我们改变了到期日T（以年为单位）以及eyness S/K上的选项m。所有三种模型都属于推论3.8的范围，其中明确分析了误差。

因此，我们期望无固定参数参数的模型参数ppppbs K=1σ=0.2 S/K∈ [0.8,1.2]T∈ [0.5,2]默顿K=1σ=0.15，S/K∈ [0.8,1.2]T∈ [0.5, 2]α = -0.04，β=0.02，λ=3CGMY K=1 C=0.6，S/K∈ [0.8,1.2]T∈ [0.5,2]G=10，M=28，Y=1.1Heston K=1 T=2，S/K∈ [0.8,1.2]v∈ [0.1,0.4]κ=1.5，θ=0.2，σ=0.25，ρ=0.1表5.1：模型参数化和欧式看涨期权。三个L’evy模型的（次）指数收敛性。对于赫斯顿模型，我们改变S/K，并让vas作为模型参数之一。由于S/K中支付函数的傅里叶变换和v中过程的特征函数的分析性，比较第4.2.4节，我们预计Heston模型也会有这种收敛性。表5.1给出了实际选择的参数化的详细概述。对于傅里叶定价中的数值积分，我们在区间[0，∞) 绝对精度范围ε<10-14.我们要解决的第一个问题是切比雪夫多项式的精确性。我们设定N=N=10，并使用表5.1中模型的参数化预计算（2.9）中定义的切比雪夫系数，D=2。我们在D=2的参数网格上计算得到的多项式，并计算每个节点的近似欧式期权价格。作为比较，我们还通过（3.4）中相应参数化被积函数的数值积分来计算相应的傅里叶价格。图5.1显示了欧洲看涨期权的结果。N=N=N=10所获得的精度表明，在四种不同的模型中存在显著的差异，但从10到10达到了非常令人满意的误差水平-7点到10点-10.增加切比雪夫点数可以进一步提高精度。

由于切比雪夫方法的核心是由求和矩阵组成，因此这种方法几乎不需要额外的成本。在相同的参数化设置下，我们为一个欧洲数字向下和向外选项定价。尽管电话支付不是可区分的，但至少是连续的，数字支付甚至不是连续的，对比表4.1。Payoff函数平滑度的降低降低了插值P7的精度→ 价格（p）也是如此。我们再次将切比雪夫插值与1进行比较。5切比雪夫价格错误，BST0。50.8S/K×10-8-51.21.5切比雪夫价格误差，默顿0。50.8S/K×10-7-21.21.5Chebyshev价格误差，CGMYT0。50.8S/K×10-8-51.21.2切比雪夫价格误差，赫斯顿/K0。80.05v0。1×10-90.15-2图5.1：在各种模型中，行使K=1的欧洲看涨期权的绝对定价误差。我们将N=N=N=10的切比雪夫插值与经典的数值积分傅里叶定价进行了比较。已根据表5.1选择模型参数化和选项。我们观察到，在不同的模型中，所获得的精度差异很大。Black&Scholes价格的准确度顺序与CGMY案例的准确度相同。梅顿模型落后一个数量级，而赫斯顿模型显示价格与其切比雪夫方法的近似值之间存在非常强的拟合。N=N=10，通过数值积分进行经典傅里叶定价。根据表5.1再次选择了模型和选项的参数化，其中K=1表示数字选项的参数。图5.2显示了结果。将图5.1中的看涨期权定价结果与图5.2中的数字期权定价结果进行比较，我们发现，N=N=10的准确度降低了10到10倍。

这表明，在这些情况下，支付效果平滑度的降低对切比雪夫方法的准确性影响甚微。此外，我们还对同样的期权设置和模型参数化进行了经验收敛性研究。对于不稳定度N=N=N，建立切比雪夫多项式，并计算结构参数网格（5.19）上的价格。同样，傅立叶定价是一种比较。每N∈ {1，…，30}，误差度量εL∞对（5.19）中定义的离散参数gridP的（5.2）定义的εL进行了评估。我们观察到所有四个模型的指数收敛。图5.3显示了欧洲看涨期权的Decay，而图5.4显示了欧洲数字道琼斯指数n&out期权的Decay。定义ζ=T+TT-看台设置 = ζ+pζ- 1，理论收敛性分析预测了at1的图5.3和图5.4中的误差衰减斜率。5切比雪夫价格错误，BST0。50.8S/K×10-7-51.21.5切比雪夫价格误差，默顿0。50.8S/K×10-6-51.21.5Chebyshev价格误差，CGMYT0。50.8S/K×10-7-51.21.2切比雪夫价格误差，赫斯顿/K0。80.05v0。1×10-80.15-1图5.2：各种模型中K=1的欧洲数字向下和向外期权的绝对定价误差。图中的曲线图与图5.1中的曲线图相对应，图中的欧罗巴看涨期权被定价。我们再次比较了切比雪夫方法在N=N=10时的性能。所有四个价格面与相应的看涨期权价格面相比，其精度损失在一到两个数量级之间。切比雪夫N0 5 10 15 20 25 30误差-20-18-16-14-12-10-8-6-4-2切比雪夫误差衰减εL∞（bs）εL2（bs）εL∞（默顿）εL2（默顿）εL∞（cgmy）εL2（cgmy）εL∞（heston）εL2（heston）图5.3:Black&Scholes、Merton、CGMY和heston模型的收敛性研究，用于表5.1中所述的参数化欧洲看涨期权p的价格。

参考价格由傅里叶定价和数值积分得出，绝对精度为10-14，对于N=N=N，所有模型都能达到≈ 25最新的。Black&Scholes、Merton和CGMY三种L’evy模型的误差衰减大致一致，扩展了图5中的发现。1.切比雪夫N0 5 10 15 20 25 30误差-20-18-16-14-12-10-8-6-4-2切比雪夫误差衰减εL∞（bs）εL2（bs）εL∞（默顿）εL2（默顿）εL∞（cgmy）εL2（cgmy）εL∞（heston）εL2（heston）图5.4：Black&Scholes、Merton、CGMY和heston模型中欧洲数字下行和下行期权价格的收敛性研究，参数化如表5.1所示。该图的结果与图5.3所示的结果一致，图5.3分析了同一模型设置下欧洲看涨期权价格的误差衰减。N现在需要更高的N，因此需要更多的切比雪夫节点来达到与以前相同的精度水平。leastS=原木() ≈ -0.48或更陡。注意ζ=SK+SKSK-这将导致一个更高的目标 对于这个分析，我们将斜率与最小值进行比较与推论2.3中的值相同。根据经验，我们观察到Black&Scholes模型的斜率约为SBS=-0.64，对于斯默顿的默顿模型=-0.61，对于SCGMY的CGMY模型=-0.61. 因此，每个L’evy模型中的误差在经验上证实了备注3.8.5.2篮子和路径相关期权的理论主张。在本节中，我们使用切比雪夫方法对篮子和路径相关期权进行定价。首先，我们应用该方法插值金融产品价格的蒙特卡罗估计，并检查结果的准确性。为了实现这一目标，我们在5维Black&Scholes、Heston和Merton模型中选择了篮子、屏障和回望选项。

其次，我们将切比雪夫方法与aCrank-Nicolson有限差分解算器与Brennan-Schwartz近似（见Brennan and Schwartz（1977））相结合，对eBlack&Scholes模型中的一元美式看跌期权进行定价。在我们的蒙特卡罗模拟中，我们使用了10个样本路径、对偶变量作为方差缩减技术和每年400个时间步。蒙特卡罗方法的误差不能直接计算。因此，我们转向统计误差分析，并使用众所周知的95%置信区间来确定准确度。假设一个范数分布的蒙特卡罗估计量的均值等于估计量的值，方差等于蒙特卡罗样本上支付的emp IRIC方差，由此导出这些界。然后，置信区间会产生一个围绕平均值的范围，其中包括95%概率的真实价格。我们从（3.2）中选取两个自由参数pi，piout，1≤ 我<我≤ D、 在每个模型设置中，以合理的常量值固定所有其他参数。在本节中，我们定义了离散参数gridP [pi，pi]×[pi，pi]byP=npkii，pkii, 基，基∈ {0，…，40}o，pkijij=pij+kij皮杰- 皮杰, 基吉∈ {0，…，40}，j∈ {1,2}，（5.3）和callP测试网格。在该测试网格中，最大置信区间为0.025，非平均水平低于0.013。对于有限差分法，我们发现，在所有计算参数元组inP中，数值近似和期权价格之间的绝对误差低于0.005。通过将每个近似值与有限差近似值序列的极限值（随着网格大小的增加）进行比较，计算出该误差范围。在我们的计算中，我们使用了50·max{1，T}的时间和空间网格大小（对数货币），并将结果与使用1000·m ax{1，T}的网格大小得出的价格进行了比较。

由于与500·max{1，T}的网格大小相比几乎没有任何变化，因此该网格大小已被确定为有效的f或限制。在这里，我们主要关心的是切比雪夫插值的准确性，当我们改变每个选项的参数走向和成熟度时，类似于上一节。为了N∈ {5,10,30}我们将切比雪夫系数预先计算为D=2的内丹（2.9），其中总是N=N=N。表5.2给出了模型选择中固定参数和自由参数的概述。为了计算的简单性，在蒙特卡罗模拟中，我们假设了不相关的底层。让我们简单地定义多元篮子和路径依赖的回报。d标的物的一揽子期权的支付价格为asfK圣，SdT=ddXj=1SjT- K+.我们表示St=（St，…，Sdt），SjT:=min0≤T≤TSjtandSjT:=max0≤T≤TSjt。d底层的Alookback选项定义为FK圣，SdT=ddXj=1SjT- K+.作为d基础上的多变量障碍选项，我们定义了支付fK{S（t）}0≤T≤T=ddXj=1SjT- K+·{SjT≥80，j=1，。。。，d} 。对于美式看跌期权，支付与欧洲看跌期权fK相同圣= （K）- St）+，模型固定参数自由参数参数ppppbs Sj=100，σj=0.2 K∈ [83.33125]T∈ [0.5,2]r=0.005Heston Sj=100，κj=2，K∈ [83.33125]T∈ [0.5，2]r=0.005θj=0.2，σj=0.3，ρj=-0.5，vj，0=0.2Merton Sj=100，σj=0.2，K∈ [83.33125]T∈ [0.5,2]r=0.005αj=-表5.2：模型参数化、篮子和路径相关选项。模型参数为j=1，d用自由参数K和T反映多元设置。

请注意，与第4.2.4节中描述的二维Heston模型相比，我们在数值实验中使用了一个多元Heston模型，其中每个标的资产的波动性由其自身的波动过程驱动。但期权持有人有权在到期日之前的任何时间行使期权。模型选项εL∞MC价格MC形态绑定CI价格篮子1.338·10-18.6073 1.171 · 10-28.4735Heston篮筐9.238·10-20.0009 1.036 · 10-40.0933默顿篮9.815·10-28.8491 1.552 · 10-28.7510BS回顾2.409·10-19.4623 9.861 · 10-39.2213赫斯顿回顾5.134·10-10.0314 6.472 · 10-4-0.4820Merton Lookb ack 2.074·10-11.0919 9.568 · 10-30.8844BS屏障1.299·10-11.0587 5.092 · 10-31.1887赫斯顿屏障1.073·10-12.7670 9.137 · 10-32.6597默顿屏障9.916·10-21.3810 1.102 · 10-21.4802表5.3：采用切比雪夫插值法对奇异期权进行插值。在所有情况下，N=5，d=5。除了L∞错误该表显示了蒙特卡罗（MC）价格、蒙特卡罗置信区间和切比雪夫插值（CI）价格，其中∞实现了错误。现在我们来看看数值实验的结果。为了评估切比雪夫插值的精度，我们寻找最坏情况下的误差εL∞.切比雪夫插值法的绝对误差可通过将插值期权价格与参考数值算法（即蒙特卡罗法或有限差分法）获得的价格进行比较直接计算。模型选项εL∞价格。

绑定CI priceBS篮子2.368·10-32.4543 7.493 · 10-32.4566赫斯顿篮2.134·10-33.1946 1.073 · 10-23.1925梅顿篮筐3.521·10-36.1929 2.231 · 10-26.1894BS回顾2.861·10-20.9827 4.197·10-30.9541Heston回顾1.098·10-12.0559 4.826 · 10-32.1656Merton Lookb ack 3.221·10-24.7072 1.264 · 10-24.7394BS屏障4.414·10-35.3173 1.725 · 10-25.3129赫斯顿屏障5.393·10-30.7158 5.879 · 10-30.7212默顿屏障3.376·10-39.2688 2.302 · 10-29.2722表5.4：具有切比雪夫插值的奇异期权插值。在所有情况下，N=10，d=5。除了L∞错误该表显示了蒙特卡罗（MC）价格、蒙特卡罗置信区间和切比雪夫插值（CI）价格，其中∞实现了错误。模型选项εL∞MC价格MC形态绑定CI价格篮子1.452·10-35.1149 1.200 · 10-25.1163休斯顿篮1.047·10-37.6555 1.371 · 10-27.6545默顿篮3.765·10-37.2449 2.359 · 10-27.2412BS回望3.766·10-325.9007 1.032 ·10-225.9045赫斯顿回顾1.914·10-316.4972 9.754 ·10-316.4991默顿路克3.646·10-327.1018 1.623 ·10-227.1054BS屏障5.331·10-35.6029 1.730 · 10-25.6082赫斯顿屏障2.486·10-33.6997 1.353 · 10-23.6972默顿屏障4.298·10-36.6358 2.309 · 10-26.6315表5.5：具有切比雪夫插值的奇异期权插值。在所有情况下，N=30，d=5。除了L∞错误该表显示了蒙特卡罗（MC）价格、蒙特卡罗置信区间和切比雪夫插值（CI）价格，其中∞实现了错误。由于切比雪夫插值与切比雪夫节点上的参考方法相匹配，我们将使用样本外测试网格，如（5.3）所示。表5.3显示了N=5时篮子和路径依赖选项的数值结果，表5.4显示了N=10时的数值结果，表5.5显示了N=30时的数值结果。