参数期权定价的切比雪夫插值

这里，我们改变一个模型参数，并将切比雪夫结果与蒙特卡罗结果进行比较。这两种方法都有可比的精确度。随着计算价格数量的增加，切比雪夫算法越来越适合于初始投资阶段。变εL∞MC价格MC形态约束CI价格σ，ρ5.260·10-25.239 1.428 · 10-25.292表5.10：基于丰富的蒙特卡罗设置，每年5·10个样本路径、对偶变量和400个时间步，使用切比雪夫插值对N=6的多元回望选项进行插值。除了L∞测试网格上的错误我们还报告了蒙特卡罗（MC）价格、蒙特卡罗置信区间和切比雪夫插值（CI）价格，在这些参数下∞实现了错误。我们观察到，切比雪文插值N=6的精度与基准蒙特卡洛设定的精度大致相同（最坏情况置信区间为6.783·10）-2最坏情况误差为2.791·10-2).在表5.10中，我们给出了基于丰富的蒙特卡罗设置的切比雪夫插值的精度结果，其中nhestoncheby=6。比较基准蒙特卡罗设置和该测试网格上的丰富蒙特卡罗设置，我们观察到最大绝对误差为2.791·10-2基准蒙特卡罗设置的置信范围不超过6.783·10-2.为了进行运行时比较，我们为M的不同值显示了计算MPareter Tupel价格所需的运行时。再次，对M=1的运行时间进行测量，并对M的其他值进行外推。表5.11给出了结果。在图5.8中，每M=1，100.与蒙特卡罗方法相比，本文给出了切比雪文内极化法（包括oêine相）的运行时间。

我们观察到，当M=15时，两条线相交且形式>15，切比雪夫方法的性能优于其基准。与只改变一个参数的情况相反，两条直线的交点出现在显著较低的M值处，这是因为对于每M，对M参数tupels进行定价。此外，表5.11突出显示，对于总共50个参数组，切比雪夫方法显示其（总）定价运行时间显著减少。对于我们研究的100个参数元组的最大数量，两种模型中的定价都在我们的实现中节省了97%以上的时间。虽然通过蒙特卡罗方法计算100赫斯顿价格的时间长达39天，但切比雪夫方法仅在23小时内计算相同的价格。请注意，在在线阶段，实际定价只消耗了这段时间的7秒。Heston 110100TchebyOnline（s）7.1·10-47.1·10-21.8 7.1切比奥松露+在线8.2·108.2·108.2·10t蒙特卡罗3.4·103.4·108.4·103.4·10TChebyo松露+在线Monte-Carlo24313。9%243.1%9.7%2.4%表5.11：基于5个基础的Heston模型中多变量回溯选项的效率研究。在这里，我们改变两个模型参数，并将切比雪夫结果与蒙特卡罗结果进行比较。这两种方法都有可比的精确度。随着计算价格数量的增加，切比雪夫算法越来越适合于初始投资阶段。5 15 25 35 45 55 65 75 85 95M（不同参数对的评估）-0.50.51.52.53.5×10Heston回溯选项：O*ine+在线时间Monte CarloChebyshevFigure 5.8：基于5个参考，改变两个模型参数σ和ρ的Heston模型中多变量回溯选项的有效性研究。比较MonteCarlo定价和切比雪夫定价的运行时间，包括oêine阶段。

这两种方法都是为了提供可比的精确度。我们观察到蒙特卡罗和切比雪夫曲线在M=15.6时大致相交。结论与展望本文重点介绍了切比雪夫方法在欧洲期权定价中的应用。在此范围内，第2-4节建立了理论收敛性结果，第5节中的数值案例研究证实了这些发现。此外，在傅里叶定价的实验中，精度为10-5在每个参数中观察到的切比雪夫节点少于10个，见图5.3。使用如此少量的插值节点实现高精度的财务影响是双重的。首先，它展示了我们在机器精度范围内提供精度服务的有趣案例。在这种没有方法学风险的舒适情况下，我们可以忽略以下事实：ap近似法已经实施。第二，与其他风险源相比，精确度低得多的错误已经可以忽略。如果我们同意精度为10-4是ATI的工厂，已经有36–49个插值节点。如图5.3所示，用于逼近看涨期权价格的插值节点是有效的。此外，对于美国、屏障和回望选项的数值实验也显示了令人满意的结果。非线性Pricing问题的理论误差分析超出了本文的范围，而我们相信在这方面的进一步研究是有价值的。例如，我们基于Fou-rier表示检验的分析方法可用于阻碍L’evy模型中的选项，从而导致Wiener-Hopf因子分解的参与，见Eberlein等人（2011）。总的来说，我们预计在非线性存在的情况下，规律性分析将变得更具挑战性。

对于美式期权，Teichman（2015）目前的研究可能会导致从相应的欧洲同行那里继承的美式期权的规律性主张。我们的案例研究的理论和实验结果表明，当参数变化不大时，该方法可以相当好地执行。因此，我们建议在这种情况下使用插值方法，也可以在普通选项的打击不同且快速傅里叶方法可用时使用插值方法。例如，出于校准目的，罢工不是以离散对数标度给出的，这使得应用FFT需要额外的插值。在这里，切比雪夫多项式提供了一个有吸引力的选择。特别是，到期日可以用作补充自由变量。此外，对于参数数量较少的模型，另一种方法可能是有益的：直接插值参数的目标函数。然后，优化将归结为一个张量化多项式的最小化，可以在进一步的研究中加以利用。正如Armenti等人（2015年）首次应用本文所述，这一优势也可用于其他金融优化程序，例如风险分配。插值的多元结构和理论误差分析表明，只要提供分析性，经验观测到的误差行为也会扩展到三个或更多变化的参数。更准确地说，在分析性的情况下，速率为ρ级-D√对于某些常数ρ，取决于解析性域和N插值节点的总数。对于多元多项式插值，稀疏性技术的引入可以带来更高的效率，例如Kolda和Bader（2009）评论的张量压缩技术。

我们在Gass、Glau和Mair（2015）中进一步讨论了维度诅咒的问题，在那里，我们采取了不同的路线，用傅里叶定价方法的经验插值代替切比雪夫插值。定理2.2的证明。在Sau-ter和Schwab（2004，引理7.3.3的证明）中，给出了以下误差界的证明：maxp∈PF- 在（f）中≤√D2D+1V-Nmin（1--2分钟）-D、 其中N是每个D维中的插值点的数量，min:=minDi=1iand V f在B（P，) P=[-1,1]D.在这里，我们通过加入不同的Ni值，i=1，…，来扩展这个范围，D、 以及表达与差异有关的错误i、 i=1，D.一般来说，我们处理的是一个高阶矩形结构的参数空间P，P=[P，P]×。×[pD，pD]。第二节介绍了线性变换。1我们有一个转换τP：[-1,1]D→ 带τP（P）的P=pi+pi- pi（1-p）Di=1。让我们看第7页→ Pricep是P上的一个函数。我们设置\\Pricep=Pricepo τP（P）。此外，letbIN（\\Price（·））（p）是\\Pricepon的切比雪夫插值[-1,1]D.然后它保持sin（Price（·））（p）=^IN（\\Price（·））（·）oτ-1P（p）。因此，它直接跟随价格- IN（价格（·））（p）=\\价格-仓位（\\Price（·））（·）o τ-1P（p）。应用Sauter和Schwab（2004，Lemma 7.3.3）结果的误差估计价格- 在（价格（·））（·）C（P）=价格- 在（价格（·））（·）C([-1,1]D）≤√D2D+1V-Nmin（1--2分钟）-D=√D2D+1V-Nmin（1--2分钟）-D、 其中bv=supp∈B([-1,1]D，)\\价格，V=supp∈B（P，)普莱斯。总之，转换τP：[- 1,1]D→ P仅通过应用第2.1节B（P，) := B（[p，p]，) ×. . . ×B（[pD，pD]，D） ，（A.1）与B（[p，p]，) := τ[p，p]o B([-1, 1], ). 注意iis不是椭圆的半径（[pi，pi]，i） 但是关于赋范椭圆B([-1, 1], i） 。

因此，在下面的例子中，证明P=[-1,1]D.在Sauter和Schwab（2004，Lemm a 7.3.3的证明）中，我们介绍了scalarproducthf，gi:=ZB（P，)f（z）g（z）QDi=1q | 1-zi | dz与Hilbert空间，)) := {f:f在B（P，) 和| | f||:= hf，fi< ∞}.继Sauter和Schwab（2004，引理证明7.3.3）之后，我们定义了一个完整的正交正规系统f或L（B（P，)) w、 r.t.标量乘积h·，·i通过缩放切比雪夫多项式Tu（z）：=cuTu（z）与cu：=πDDYi=1(2uii+-2uii）-, 无论如何∈ ND。然后，f或L（B（P）上的任意有界泛函E，)) 我们有| E（f）|≤ ||E||||f||,（A.2）其中| | E||表示运算符范数。由于~Tuu∈n遵循| | E||= supf∈L（B（P，))\\{0}|E（f）|kfk=sXu∈ND | E（~Tu）|。在下文中，E是切比雪夫多项式插值在a fix p处的误差∈ P、 E（f）：=|f（P）- 在（f（·））（p）|中。从（A.2）开始，我们首先关注| | E||,桶=Xu∈ND | E（~Tu）|=Xu∈NDcuE（Tu）。在这一步中，我们应用引理A.1并获得xu∈NDcuE（Tu）|=Xu∈ND，i:ui>NicuE（Tu）|≤Xu∈ND，i:ui>Ni4cu。总的来说，使用QDj=12ujj+x-1.≤QDj=12ujj-1=QDj=1-x>0时为2ujj，uj∈Nand j=1，这就引出了托克≤ 4Xu∈ND，i:ui>Nicu≤ 4.πDDXi=1Xu∈ND，ui>NiDYj=1-2ujj≤ 4.πDDXi=1-2NiiXu∈ND，ui>Ni-2（ui）-Ni）y=1，j6=i-2ujj≤ 4.πDDXi=1-2NiiXu∈NDDYj=1-2ujj.从这一点开始，我们使用几何级数的收敛性|-2j |<1，j=1，D、 桶≤ 4.πDDXi=1-2Nii∞Xu=0。∞XuD=0DYj=1-2ujj= 4.πDDXi=1-2Nii∞Xu=0。∞XuD-1=0D-1Yj=1-2ujj∞XuD=0-2uDD= 4.πDDXi=1-2Nii∞Xu=0。∞XuD-1=0D-1Yj=1-2ujj1--二维= . . .

= 4πDDXi=1-2NiiDYj=11--2j。回顾（A.2），我们必须估算kfk,肯德基=ZB（P，)f（z）f（z）QDi=1q | 1-zi|dz≤苏普兹∈B（P，)|f（z）|！k1k.从πDT=1可以直接得出k1k=πDk~Tk= π和kfk≤ πD·V.结合结果得出| E（f）|=|f（p）- IN（f（·））（p）≤πD·V·4πDDXi=1-2NiiDYj=11- -2j= 2D+1VDXi=1-2NiiDYj=11--2j.下面的引理表明，一个多项式的切比雪夫插值的阶数与插值切比雪夫多项式的阶数一样高，它是精确的，并且进一步确定了一个高阶切比雪夫多项式插值的上界。引理A.1。为了x∈ [-1,1]Dit持有| Tu（x）- IN（Tu（·））（x）|=0u ∈ ND:ui≤ Ni，i=1，D、 （A.3）| Tu（x）- IN（Tu（·））（x）|≤ 2.u ∈ ND:我∈ {1，…，D}：ui>Ni。（A.4）证据。切比雪夫插值的唯一性直接暗示了（A.3）。（A.4）的证明类似于Sauter和Schwab（2004，Hilfssatz 7.3.1的证明）。他们使用切比雪夫多项式的零点作为插值点，而我们使用极值点，因此，我们在这个证明中使用了不同的正交性。我们首先关注一维情况。回顾（2.2），Tu，u>N的切比雪文相互作用被给出为in（Tu）（x）=NXj=0cjTj（x），cj=0<j<NNNXk=0′Tu（xk）Tj（xk），j≤ N、 其中xkdenotes是TN的第k个极值。

在这里，我们可以应用以下正交性（Rivlin（1990，p.54）），NXk=0′Tu（xk）Tj（xk）=0，u+j 6=0模（2N）和|u-j | 6=0模（2N），N，u+j=0模（2N）和|u- j |=0模（2N），N，u+j=0模（2N）和|u-j | 6=0模（2N），N，u+j 6=0模（2N）和|u-j |=0模（2N）。（A.5）对于j≤ N和u>N这就产生了γ的存在≤ N使得in（Tu）=Tγ。（A.6）（A.6）基本上遵循以下情况，即对于任何u>N，只有一个0≤ J≤ n正交性可能导致系数cj>0。为了证明这一说法，我们区分了几个案例。在所有这些情况下，我们假设存在0≤ J≤ N使得pnk=0′Tu（xk）Tj（xk）6=0。然后我们将展示所有其他0≤ 我≤ N、 i 6=j它跟随sPNk=0′\'Tu（xk）Tj（xk）=0。首先，假设存在j，使得u+j=0 mod（2N）和u- j=0模（2N）。然后它会直接跟随所有0≤ 我≤ N，i6=j，即u+i6=0模（2N）和u- I6=0模（2N）。其次，假设存在j，使得u+j=0 mod（2N）和u- J6=0模（2N）。类似地，对于所有0≤ 我≤ N，i6=j我们有u+i6=0模（2N），另外从u+j=0模（2N）可以得出u+j-2N=0模（2N），且所有0≤ 我≤ N、 i 6=j我们有- i>u+j- 2N等于u- I6=0模（2N）。类似的论证适用于第三种情况u+j 6=0 mod（2N）和|u-j |=0模（2N）。因此，（A.6）成立，并直接遵循| Tu- IN（Tu）|≤ |Tu|+| IN（Tu）|≤ 1 + 1 = 2. 因此（A.4）适用于一维情况。通过应用三角形不等式，并将一维结果插入每个张量分量，对多元情况进行类似的扩展。参考Armenti，Y.，S.Cr\'epey，S.Drapeau和A.Papapantoleon（2015年）。多变量风险分配。可于http://arxiv.org/abs/1507.05351.BarndorFFF-尼尔森、O.E.和N.谢泼德（2001年）。

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