参数期权定价的切比雪夫插值

对于Black&Scholes、Merton、CGMY和Heston的考虑模型示例，我们观察到∞-订单10的错误级别-10当D=2参数变化时，使用n个以上的n=（25+1）切比雪夫插值节点。数值计算结果表明，节点数较少，精度较高。这促使我们进一步探索切比雪夫方法在多变量选择中的潜力。在这里，我们故意超出了理论结果的范围，考虑了路径依赖等附加特性对于Black&Scholes、Heston和Merton模型中的多变量篮子和路径依赖期权，我们使用蒙特卡罗作为参考方法。在第5.2节的所有设置中，切比雪夫插值实现了与蒙特卡罗模拟本身的精度相似的精度（10）-3） 福特=2。此外，我们还提供了实证结果，证明了切比雪夫方法的有效性第5.3.1节首次对欧洲类型的双变量选项验证了与傅里叶技术相比的效率增益第二，第5.3.2节以Hestonmodel中的多变量回溯选项为例，显示了与蒙特卡罗方法相比效率的明显提高。本文的其余部分组织如下。在第二节中，我们详细介绍了切比雪夫插值，并给出了一般的收敛结果。第3节建立了POP切比雪夫插值的收敛性分析。我们为支付函数和模型制定分析性条件，以保证方法（次）指数收敛。对于不同的期权类型、模型和自由参数，第4节验证了这些条件。第5节中的数值实验使用傅里叶技术证实了这些发现。在Pricingbasket选项中，对效率的提高进行了数值研究。

此外，基于蒙特卡罗和有限差分的实验表明，在前面章节的理论研究范围之外，可以进一步探索该方法的潜力。得出的结论和展望见第6节。最后，附录给出了多元收敛结果的证明。2切比雪夫多项式插值在本节中，我们介绍切比雪夫插值的符号。继Trefethen（2013）之后，显示了一维版本。然后我们给出了多元扩展和收敛结果。考虑一个带有单变量perpricep，p的期权价格∈ [-1, 1].（2.1）带有N次切比雪夫多项式的价格插值的形式为（价格（·））（p）：=NXj=0cjTj（p），（2.2）系数为：=0<j<NNNXk=0′PricepkcosjπkN, J≤ N、 （2.3）和基函数stj（p）：=cosj arccos（p）为了p∈ [- 1,1]和j≤ N（2.4），其中p′表示第一个和最后一个总和减半。切比雪夫诺兹pk=cosπkN可方便地显示在图表中，见图2.1。对于任意紧凑的参数区间[p，p]，插值（2.2）需要通过适当的线性变换进行调整-1-0.5 0.5 10.20.40.60.8 D=1的切比雪夫节点图2.1：一组切比雪夫点pk∈ [-1,1]（蓝色）表示阶数N=20，等号为半圆上的间隔辅助构造点（红色）。2.1多元切比雪夫插值切比雪夫多项式插值（2.2）-（2.4）对多元情况有一个基于张量的扩展，参见Sauter和Schwab（2004）。为了获得一个精确的符号，考虑价格（2.5）Pricep，p的插值∈ [-对于更一般的超矩形参数空间P=[P，P]×。×[pD，pD]，需要执行适当的线性变换。LetN:=（N，…，ND）带Ni∈ n=1，D

qdi=1（Ni+1）和的插值由（价格（·））（p）：=Xj中的（2.6）给出∈JcjTj（p），其中求和指数j是范围在j上的多指数：={（j，…，jD）∈ ND:ji≤ 如果i=1，D} ，即（2.7）IN（价格（·））（p）=NXj=0。NDXjD=0c（j，…，jD）T（j，…，jD）（p）。j=（j，…，jD）的基函数tjf∈ J由（2.8）Tj（p，…，pD）=DYi=1Tji（pi）定义。Cj=（j，…，jD）的系数∈ J由（2.9）cj给出=DYi=1{0<ji<Ni}NiNXk=0′\'。NDXkD=0′Pricep（k，…，kD）DYi=1cos季π基尼,其中p′表示第一次和最后一次求和减半，多指数k的切比雪夫节点pk=（k，…，kD）∈ J由（2.10）pk=（pk，…，pkD）和单变量切比雪夫节点pki=cos给出π基尼对于ki=0，Niand i=1，D.图2.2描绘了一组D=2和N=N=20的D变量切比雪夫节点p（k，…，kD）。图2.2：一组D变量切比雪夫点pk∈ [-1，1]D对于D=2和N=N=20.2.2多元切比雪夫插值的收敛性在单变量情况下，众所周知，切比雪夫多项式的逼近误差对可微函数呈多项式衰减，对解析函数呈指数衰减。让f以解析形式表示[-1，1]然后它对一些Bernstein椭圆B进行了分析扩展([-1, 1], ) 带参数 > 1，定义为复杂平面中的开放区域，以f oci±1的椭圆为边界，半短轴和半长轴长度总和为. 这和下面的结果可以追溯到伯恩斯坦（1912）的开创性工作。定理2.1。Trefethen（2013，定理8.2）让函数f在开放的Bernstein椭圆B中解析([-1, 1], ), 具有 > 1.满足| f |≤ V表示某个常数V>0。

然后每N≥ 0，kf- 吉隆坡（f）∞([-1,1])≤ 4V-N -1.在多元情况下，我们将推广Sauter和Schwab（2004）的一个收敛结果。我们考虑的参数选项价格为∈ P（2.11）与P 超矩形结构的RDF，即P=[P，P]×。带realpi的×[pD，pD]≤ 对于所有i=1，D.我们定义了D变量，并用P参数向量变换了Bernstein椭圆围绕海角P的类比 ∈ (1, ∞)DasB（P，) := B（[p，p]，) ×. . . ×B（[pD，pD]，D） （2.12）带B（[p，p]，) := τ[p，p]o B([-1, 1], ), p在哪里∈ 我们有变换τ[p，p]R（p）:=p+p-P1.- R（p）和τ[p，p]I（p）:=P-PI（p） 。我们称之为B（P，)广义Bernstein椭圆([-1, 1], i） 伯恩斯坦椭圆代表i=1，D.定理2.2。让P 第7页→ PricepB是一个实值函数，它对某些广义Bernstein椭圆B（P，) 对于某些参数向量 ∈ (1, ∞)Dand supp∈B（P，)|价格|≤ 五、然后∈P价格- IN（价格（·））（p）≤ 2D+1·V·DXi=1-2NiiDYj=11--2j.该定理的证明见附录A推论2.3。在定理2.2的假设下，存在一个常数C>0，使得maxp∈P价格- IN（价格（·））（p）≤ C-N、 （2.13）在哪里= min1≤我≤D土地N=min1≤我≤DNi。备注2.4。特别是，在定理2.2要求的假设下，n=QDi=1（Ni+1）表示节点总数，推论2.3表明误差衰减为（次）指数级O-D√N对一些人来说 > 1.在定理2.2的设置中，另外，通过切比雪夫插值的相应导数来近似Pricepare的导数。Tadmor（1986）给出了一维结果，Incauto和Quarteroni（1982）给出了Sobolev空间中函数的多元结果。

这些结果可以在不增加额外费用的情况下获得导数的切比雪夫近似。为了说明相应的收敛结果，我们遵循C anuto和Quarteroni（1982），并引入σ的加权Sobolev空间∈ N乘以（2.14）Wσ，ω（P）=Nφ∈ L（P）：kφkWσ，ω（P）<∞o、 范数为（2.15）kφkWσ，ω（P）=X |α|≤σZP|αφ（p）|ω（p）dp，其中α=（α，…，αD）∈ NDI是一个多索引和α= α···α和P上的权函数ω由ω（x）：=DYj=1ω（τ）给出-1[pj，pj]（xj）），ω（τ）-1[pj，pj]（xj））：=（1）- τ-1[pj，pj]（xj））-τ[pj，pj]（p）=pj+pj-P1.-P. 然后我们将Canuto和Quarteroni（1982，定理3.1）的结果应用于以下推论。推论2.5。在定理2.2关于anyD<σ的假设下∈ N和任意σ≥ u ∈ 存在一个常数C>0，使得kPrice（·）-IN（价格（·））（·）千瓦u，ω（P）≤ CN2u-σkPrice（·）kWσ，ω（P），证明。在我们的环境中，我们有P 超矩形结构。根据定理2.2的推论，P7→ 价格∈ Wσ（P）和p7→ 价格∈ Wσ，ω（P）。在我们应用Canuto和Quarteroni（1982，Theorem3.1）之前，假设P=[-1，1]D，我们研究定理2.2证明中引入的线性变换τP如何影响导数。让我们看第7页→ Pricep是P上的一个函数。我们设定h（P）=Pricepo τP（P）。此外，设bin（bh）（p）为上的bh（p）的切比雪夫插值[-1,1]D.然后，它直接跟随价格- IN（价格（·））（p）=bh（·）-宾（bh）（·）o τ-1P（p）。首先，假设D=1，也就是P=[P，P]，让α∈ N.对于偏导数，它成立α价格- αIN（价格（·））（p）=α价格- IN（价格（·））（p）= αbh（·）-宾（bh）（·）oτ-1P（p）= α-1.bh（τ）-1P（p））-bIN（bh（·））（τ）-1P（p））= α-1p-PHbhi（τ）-1P（p））-HbIN（bh（·））i（τ）-1P（p））.反复重复这个步骤会产生α价格- αIN（价格（·））（p）=α（p-p） αHαbhi（τ）-1P（p））-HαbIN（bh（·））i（τ）-1P（p））.于是，错误就出现了[-1，1]用因子α（p-p） α。

将其推广到D变量的情况，类似地，结果是wα=（α，…，αD）∈ NDis阿穆蒂指数和α= α···αDα价格- αIN（Price（·））（p）=DYi=1 |αi |（pi）- pi）|αi|Hαbhi（τ）-1P（p））-HαbIN（bh（·））i（τ）-1P（p））.根据Canuto和Quarteroni（1982）的定理3.1，断言直接遵循P=[-1,1]D，即对于任何小于σ的∈ N和任意σ≥ u ∈ n存在常数C>0，以至于kbh（·）-bIN（bh）（·）kWu，ω（P）≤CN2u-σkbh（·）kWσ，ω（P），（2.16）对于任意P，2.16中的常数必须乘以线性变换τP得出的相应系数。推论2.5中的结果以加权Sobolev范数给出。在下面的注释中，我们将加权Sobolev范数中的近似误差连接到Cl（P）范数，其中Cl（P）是P中所有函数u的Banach空间，例如u和αu与|α|≤ l在P中是一致连续的，且normkukl（P）=max |α|≤lmaxp∈P|αu（p）|是有限的。推论2.6。在定理2.2关于anyD<σ的假设下∈ N和任意σ≥ u ∈ 南德l∈ Nwithu-l>D，存在一个常数C（σ）>0，依赖于σ，因此kPrice（·）- 在（价格（·））（·）kCl（P）≤\'C（σ）N2u-σmax |α|≤σsupp∈P|αPricep |。证据

在推论2.5的设置中，我们从加权Sobolev范数的近似误差的估计开始，kPrice（·）- IN（价格（·））（·）千瓦u，ω（P）≤ CN2u-σkPrice（·）kWσ，ω（P）。（2.17）关于P，它认为w（P）≥ 由此我们可以推导出Sobolev范数的恒定权重为1 kPrice（·）- IN（价格（·））（·）千瓦u，ω（P）≥ kPrice（·）- 在（价格（·））（·）千瓦u，1（P）。用Wu（P）表示通常的Sobolev空间，Wu（P）=nφ∈ L（P）：kφkWu（P）<∞o、 kφkWu（P）=X |α|≤uZP|αφ（p）| dp，Wloka（1987）的推论6.2直接得出任何带u的l- 存在一个常数C，使得kPrice（·）- 在（价格（·））（·）kCl（P）≤~CkPrice（·）- 单位为（价格（·））（·）千瓦u（P）。（2.18）在公式（2.18）中，我们导出了表达式（2.17）左侧的下界。接下来，我们将为（2.17）的右侧找到一个上界。根据加权Sobolev范数s ee（2.15）的定义，它遵循kPrice（·）kWσ，ω（P）=VuTx |α|≤σZP|αPricep |ω（p）dp≤VuTx |α|≤σsupp∈P|αPricep | ZPω（p）dp。这里，我们应用yrpω（p）dp=π，并且存在一个常数α（σ）依赖于角σ，使得kpricepkwσ，ω（p）≤rα（σ）max |α|≤σsupp∈P|αPricep |πD=α（σ）max |α|≤σsupp∈P|最后，使用（2.17）中的（2.18）和（2.19）得到Cl（P）范数中近似误差的估计值| CkPrice（·）- 在（价格（·））（·）kCl（P）≤ CN2u-σα（σ）max |α|≤σsupp∈P|αPricep |πD.收集‘C（σ）中的所有常数，我们得到了价格（·）- 在（价格（·））（·）kCl（P）≤\'C（σ）N2u-σmax |α|≤σsupp∈P|αPricep |.3 PO-PIn切比雪夫插值的指数收敛本节我们将多元切比雪夫插值嵌入期权定价框架。我们给出了期权价格依赖于参数的充分条件。期权价格的分析性质可以方便地用傅立叶变换来研究。

首先，期权价格的傅里叶表示法对于一大类期权类型和资产模型都是明确可用的。其次，Fourier变换以一种优美的方式揭示了支付结构和潜在随机量分布的分析性质。相比之下，如果期权价格被表示为预期，那么它们在参数中的分析性就被忽略了。例如函数k7→ （圣-K） +甚至是不可微分的，因为阻尼看涨期权支付函数的傅里叶变换在strike中显然是解析的，比较第19.3.1页的表4.1指数收敛的条件让我们首先介绍一个通用的期权定价框架。我们考虑价格p=（p，p）=E形式的期权价格fp（Xp）（3.1）其中fp是一个p参数化的可测量支付函数族fp:Rd→ 带支付参数p的R+∈ Pand xp是一系列具有模型参数p的Rd值ran dom变量∈ P.参数setp=（P，P）∈ P=P×P RD（3.2）也是超矩形结构，即P=[P，P]×。×[pm，pm]和P=[pm+1，pm+1]×。×[pD，pD]大约1≤ M≤ D和真π≤ 对于所有i=1，D.通常我们会得到一个参数化的Rd值驱动随机过程Hp\'，Sp\'是资产价格过程的向量，建模为Hp′的指数，即Sp′，it=Sp′，iexp（Hp′，it），0≤ T≤ T、 一,≤ 我≤ d、 （3.3）和xp是一个FT可测量的Rd值随机变量，可能取决于d驱动过程的历史，即p=（T，p′）和xp:=ψHp′t，0≤ T≤ T,其中，ψ是一个Rd值的可测泛函。我们现在关注的是价格（3.1）是用傅里叶变换给出的情况。这使我们能够提供充分的条件，在这些条件下，参数D具有适当的广义Bernstein椭圆的解析扩展。

对于大多数相关选项，支付函数FP是不可积的，其在实轴上的傅里叶变换也没有很好的定义。相反，存在一个指数衰减因子η∈ rdehη，·ifp∈ 左（右）。因此，我们在条件集合中引入了指数权重，并表示G的四个ier变换∈ L（Rd）by^g（z）：=ZRdeihz，xig（x）dx，表示ehη的傅里叶变换，如果∈ ^f的L（Rd）(·-iη）。支付的指数权重将通过对Xp的分布进行指数加权来补偿，该权重将重新出现在Xp的特征函数φp的参数中。条件3.1。设参数集P=P×P 如（3.2）所示的超矩形结构。允许 ∈ (1, ∞)D表示:= (, . . . , m） 及:=(m+1，D） 让重量η∈ Rd.（A1）每p∈ p地图g x 7→ ehη，xifp（x）在L（Rd）中。（A2）对于每个z∈ RDP7的映射→cfp（z）- iη）是广义Bernstein椭圆B（P，) 还有常数c，c>0，所以∈B（P，)|cfp(-Z- iη）|≤ cec | z |代表所有人∈ Rd.（A3）每p∈ p指数矩条件EE-hη，Xpi< ∞持有。（A4）对于每个z∈ RDM ap ping p7→ ηp（z+iη）在广义伯恩斯坦椭圆B（p，) 还有常数α∈ （1,2]和c，c>0，以便∈B（P，)||p（z+iη）|≤ 总工程师-所有z的c | z |α∈ Rd.对于一大类支付功能和资产模型，满足条件（A1）-（A4），见第4.1节和第4.2节。定理3.2。允许 ∈ (1, ∞)d重量η∈ 路。

在条件（A1）-（A4）下，我们有maxp∈P价格- IN（价格（·））（p）≤ 2D+1·V·DXi=1-2NiiDYj=11--2j.定理的p屋顶建立在以下命题的基础上，该命题可以从Eberlein、Glau和Papapantoleon（2010年，定理3.2）中推导出来，观察到屋顶仅使用z 7→cfp(-Z- iη）ηp（z+iη）属于L（Rd），而不是稍微强一点的假设，即z 7→ ηp（z+iη）属于我在那里引入的L（Rd）。提议3.3。假设条件（A1）、（A3）和映射z 7→cfp(-Z-对于每一个p=（p，p），iη）φp（z+iη）属于L（Rd）∈ P、 然后期权价格（3.1）对于每一个P=（P，P）∈ P基于傅里叶变换的表示法P=（2π）dZRd+iηcfp(-z） ~np（z）dz。（3.4）我们现在可以证明定理3.2。定理3.2的证明。根据定理2.2，必须证明映射P 7→ Pricephas是广义Bernstein椭圆B（P，).多亏了命题3.3，我们得到了期权价格的以下傅里叶表示，Pricep=（2π）dZRd+iηcfp(-z） ~np（z）dz。由于（A2）和（A4）的假设，mappin gp=（p，p）7→cfp(-z） ψp（z）对B（p）进行了分析扩展，). 设γ是B（[pi，pi]）内部的紧三角形的轮廓，i） 对于任意i=1，D.然后由于假设（A2）和（A4），我们可以应用富比尼定理，得到zγ价格（p，…，pD）（z）dpi=（2π）dZγZRd+iηcfp(-z） ηp（z）dz-dpi=（2π）dZRd+iηzγcfp(-z） νp（z）dpidz=0。此外，由于假设（A2）和（A4），优势收敛显示了P7的连续性→ 价格B（P，) 这就得到了P7的解析性→ 价格B（P，) 多亏了J¨anich（2004，Satz8）中提供的Morera定理的一个版本。与定理3.2中的推论2.5类似，此外，相应的导数也通过切比雪夫插值近似。