参数期权定价的切比雪夫插值

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英文标题：
《Chebyshev Interpolation for Parametric Option Pricing》
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作者：
Maximilian Ga{\\ss}, Kathrin Glau, Mirco Mahlstedt, Maximilian Mair
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Recurrent tasks such as pricing, calibration and risk assessment need to be executed accurately and in real-time. Simultaneously we observe an increase in model sophistication on the one hand and growing demands on the quality of risk management on the other. To address the resulting computational challenges, it is natural to exploit the recurrent nature of these tasks. We concentrate on Parametric Option Pricing (POP) and show that polynomial interpolation in the parameter space promises to reduce run-times while maintaining accuracy. The attractive properties of Chebyshev interpolation and its tensorized extension enable us to identify criteria for (sub)exponential convergence and explicit error bounds. We show that these results apply to a variety of European (basket) options and affine asset models. Numerical experiments confirm our findings. Exploring the potential of the method further, we empirically investigate the efficiency of the Chebyshev method for multivariate and path-dependent options.
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中文摘要：
定价、校准和风险评估等经常性任务需要准确、实时地执行。同时，我们观察到，一方面，模型复杂度有所提高，另一方面，对风险管理质量的要求也越来越高。为了解决由此带来的计算挑战，自然要利用这些任务的重复性。我们专注于参数期权定价（POP），并证明参数空间中的多项式插值可以在保持精度的同时减少运行时间。切比雪夫插值及其张量化扩展的吸引人的性质使我们能够确定（次）指数收敛的标准和显式误差界。我们证明了这些结果适用于各种欧洲（篮子）期权和仿射资产模型。数值实验证实了我们的发现。为了进一步探索该方法的潜力，我们实证研究了切比雪夫方法对多变量和路径依赖期权的有效性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Chebyshev_Interpolation_for_Parametric_Option_Pricing.pdf (735.46 KB)

2022-5-8 05:40:56 上传

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关键词：期权定价 切比雪夫 Quantitative SIMULTANEOUS Applications

参数期权定价的切比雪夫插值法*Maximilian Gass1，+，Kathrin Glau，Mirco Mahlstedt1，+，德国慕尼黑Maximilian MairTechnical University of Munich，Germany 2016年7月11日。定价、校准和风险评估等重复性任务需要准确实时地执行。同时，我们观察到，一方面，模型复杂度有所提高，另一方面，风险管理的质量也在不断提高。为了解决由此产生的计算挑战，利用这些任务的重复性是很自然的。我们专注于参数选项定价（POP），并表明参数spa c e中的多项式插值有望在保持准确性的同时减少运行时间。切比雪夫插值及其张量化扩展的吸引人的性质使我们能够确定（次）指数协收敛的标准和显式误差界。我们表明，这些结果适用于各种欧洲（篮子）期权和有效资产模型。数值实验证实了我们的发现。为了进一步探索该方法的潜力，我们实证研究了切比雪夫方法对多元和路径依赖期权的有效性。多变量期权定价，复杂性降低，（张量化）切比雪夫多项式，多项式插值，傅里叶变换方法，蒙特卡罗，有效过程2000 MSC 91G60，41A10*我们要感谢乔纳斯·巴拉尼、贝纳姆·哈希米、丹尼尔·克雷斯纳和尼克·特雷费森就切比雪夫插值进行了富有成效的讨论。此外，我们感谢克里斯蒂安·拜耳、恩斯特·埃伯林、迪利普·马丹、克里斯蒂安·波茨、彼得·坦科夫和拉尔夫·沃纳的宝贵反馈。我们还要感谢保罗·哈伦斯坦和皮特·福斯特。此外，我们感谢参加数学金融高级建模会议的与会者，这是一个纪念基尔恩斯特伯林的会议。

2015年5月20日至22日，物理学和金融中的随机方法，2015年，莫雷帕斯赫拉克利翁：参数化系统的模型简化III，在的里雅斯特举行，2016年第12届德国概率与统计日在波鸿举行。此外，我们还感谢柏林理工大学研究研讨会、随机分析和金融市场随机性的与会者。2015年5月28日和巴黎迪德罗大学金融数学研究小组：金融数学、概率和过程统计。2015年6月11日+我们感谢毕马威风险管理卓越中心的支持。1简介参数模型快速准确计算方法的开发是计算金融的核心问题之一。致力于金融衍生品交易或评估的金融机构必须处理计算大量特征金融量的日常任务。感兴趣的例子包括不同模型和不同参数星座产品的价格、敏感性和风险度量。对于不断增长的市场活动，越来越多的评估需要实时交付。此外，自Black and Scholes（1973）和Merton（1973）的原创作品以来，我们面临着不断上升的模型复杂度。从20世纪90年代初开始，随机波动率和L’evy模型以及基于进一步分类的随机过程的模型得到了发展，它们以更合适的方式反映了观察到的市场数据。资产模型见Heston（1993）、Eberlein、Keller和Prause（1998）、Duffee、Filipovi’c和Schachermayer（2003）、Cuchiero、Keller-Restel和Teichmann（2015）。关于固定收益模型，参见Eberlein and–Ozkan（2005）、Keller Ressel、Papapantoleon和Teichm an n（2013）、Filipovi’c、Larsson和Trolle（2014）。

此外，2007-2009年金融危机的余波催生了新一代更为复杂的模型，例如通过纳入更多风险因素。定价模型的有用性关键取决于它在数字实现中捕捉市场现实相关方面的能力。因此，探索应对不断增长的计算复杂性的新方法支持了定价模型的发展，并触及了当前数学金融的核心关注点。金融领域的大量计算任务需要在实时或一组变化的参数中反复执行。突出的例子是期权价格和不同期权敏感性的对冲，例如delta和vega，也需要实时计算。特别是对于模型校准中出现的优化例程，大参数集发挥了作用。在风险控制和评估的背景下，出现了更多的例子，例如风险度量的量化和监控。以下问题是我们研究的出发点：如何系统地利用参数计算问题的重复性，以达到提高效率的目标？为了回答这个问题，我们将在续集中重点介绍参数期权定价（POP）。在当前关于金融计算方法的文献中，参数问题的复杂性降低主要是通过应用傅立叶技术来解决的，这是继卡尔和马丹（1999）和雷布尔（2000）的开创性著作之后的。另见专著Boyarchenko和Levendorskii（2002）。该领域的研究集中于采用快速傅立叶变换（FFT）方法和方差进行期权定价。Lee（2004）用FFT准确地描述了欧洲期权的定价。

例如，Lord、Fang、Bervoets和Oosterlee（2008）提供了早期锻炼选项，Feng和Linetsky（2008）提供了障碍选项，Kudryavtsev和Levendorski（2009）提供了进一步的开发。另一种有效处理大型参数集的途径是简化基本方法，这是金融领域一直追求的目标。这些是解决参数化偏微分方程的技术。Sachs和Schu（2010年）、Cont、Lantos和Pironeau（2011年）、Pironeau（2011年）和Haasdonk、Salomon和Wohlmuth（2012年）以及Burkovska、Haasdonk、Salomon和Wohlmuth（2015年）将这种方法应用于欧洲、美国平原Vanilla期权和欧洲篮子。一方面，当需要大量傅里叶变量的价格时，FFT方法可能非常有用，例如，对于一大组欧洲普通香草。另一方面，数值实验表明，当一个精确的PDE解算器随时可用时，缩减基方法的效率有很大提高。从本质上讲，所有这些方法都显示了通过针对参数依赖性来降低复杂性的巨大潜力。在此，他们针对不同的参数开发了更广泛的定价技术的功能架构。金融机构必须同时处理各种各样的模型、各种各样的期权，结果就是各种各样的基础定价技术。因此，有必要探索一种独立于特定定价技术的通用复杂性降低方法的可能性。为此，我们将重点放在期权价格集和相关参数集上，故意忽略定价技术，并将期权价格视为参数的函数。

现在的核心思想是在参数空间引入期权价格插值，作为一种降低POP复杂性的技术。由此产生的过程自然分为两个阶段：预计算和实时评估。第一个阶段也称为在线阶段，第二个阶段也称为在线阶段。在预计算阶段，计算一些固定参数配置的价格，即插值节点。在这里，可以选择任何合适的定价方法，例如基于傅立叶、偏微分方程甚至蒙特卡罗技术的定价方法。实时评估阶段包括插值评估。如果插值的评估速度比基准工具快，该方案允许在所有情况下提高效率，从而保持精度。然后，我们区分了两个用例：o与基准定价程序相比，如果定价是一项重复使用的任务，那么对插入的快速评估最终将超过昂贵的预计算阶段。优化程序是一个显而易见的例子，在这里，这一功能变得更加有利即使价格计算的数量有限，我们仍然可以受益于将过程分为两个阶段。

通过这种方式，例如，金融行业的空闲时间可以通过为商业活动期间需要的任何实时定价准备插值来利用。现阶段出现的问题是：在什么情况下，我们可以希望找到一种既能提供可靠结果又能获得相当高效率的插值方法？人们现在可能会尝试以一种天真的方式进行，首先定义一个等距网格，然后在参数空间中分段线性插值。例如，Black&Scholes看涨期权价格作为波动率函数的数值实验将提供令人信服的证据，证明给定精度所需的节点数相当高。增加多项式阶数会得到更好的结果。然而，趋同可能无法保证。龙格（1901）指出，等间距网格上的多项式插值可能会发散，甚至用于分析。其次，多项式插值的计算可能在数值上存在问题，如Runge（1901）所示，“等距网格上多项式插值的插值问题是指数病态的”，我们借用了Trefethen（2011）的公式。由于这些原因，我们使用等距网格进行多项式插值。相反，我们退一步问：在收敛性、稳定性和易实施性方面，哪些作为模型和支付参数函数的价格插值方法在数值上是有前途的？关于这个研究问题，我们需要同时考虑插值方法集和函数的特殊特性。众所周知，插值方法的效率主要取决于逼近函数的正则度。

对于我们研究的核心问题——欧洲（篮子）期权，我们研究了期权价格随参数变化的规律性。我们发现，这些函数对大量期权类型、模型和参数进行了独立分析。从近似理论的角度来看，这激发了寻找合适插值方法的希望。根据经验，我们观察到感兴趣的参数通常在有界区间内。对于有界区间上的解析函数，一种非常有效的插值方法是切比雪夫插值。与等距节点上的多项式插值相比，这种深入研究的方法具有优异的数值性能。层间节点是预先知道的，实现简单，方法数值稳定。对于几次可微的一元函数，该方法收敛于多项式，对于一元解析函数，收敛是指数的。在一本著名的专著中，Trefethen（2013）全面回顾了切比雪夫插值。正如软件工具ChebFund所展示的那样，它吸引人的理论特性确实具有实际用途。在这个实现中，Platte和Trefethen（2008）的目标是“将符号的感觉与数字的速度结合起来”。

因此，切比雪文干涉法是我们选择的方法。为了探索多个自由参数插值方法的潜力，我们选择了Cheby-shev插值的张量化版本：for parametersp∈ D，D在哪里∈ N表示参数空间的维数，由张量化切比雪夫多项式Tjj和预先计算的系数cj，j逼近的价格∈ J、 如下所示，Pricep≈Xj∈JcjTj（p）。切比雪夫插值是一种标准的数值方法，已被证明在物理、工程、统计学和经济学等不同领域的应用非常有用。尽管如此，对于数学金融领域的定价任务，似乎很少使用till，其潜力尚未展现。Pistorius和Stolte（2012）使用Black&Scholesprices在波动性中的切比雪夫插值作为中间步骤，推导出ChebFun是一个开源软件系统的定价方法，请参见http://www.chebfun.orgChebyshev插值与for in STANTE Legendre变换具有相同的良好性质，我们期望得到类似的积极结果。我们参考了Trefethen（2013），他说：“正是区间末端附近的聚类造成了差异，以及其他具有相似聚类的点集，如勒让德点[…]有同样良好的行为。”一个改变了时间的模型。

与我们无关，Pachon（2016）最近提出切比雪夫插值作为一种求积规则，用于计算具有傅里叶类型表示的运算价格，这与余弦方法相当。我们的主要结果如下：oTh eorem 3.2为期权和模型提供了可访问的有效条件，保证了O阶的渐近误差衰减-D√N在插值节点总数N中 > 1由分析性域给出，D是变化参数的数量推论3.6提供了L’evy模型中参数欧式期权的更具体条件，而推论3.9提供了有效模型中p参数篮子期权的框架。这些结果建立了一个误差分析，该分析基于价格作为参数函数的分析域。观察到典型的Payoff函数是不光滑的，我们不能期望所有到期日的插值都会出现指数误差衰减。因此，小型到期日是需要仔细研究分析性领域的一个例子第3.2–4.2节中的调查表明，对于大量相关（篮子）选项、模型和自由参数，确实可以确定分析性领域。这给出了相关金融应用的例子，其中（次）指数误差衰减是有保证的。为了从数值上验证理论结果，我们将切比雪夫插值得到的价格与傅里叶技术得到的基准价格进行了比较有效模型中的数值实验证实了欧洲看涨期权（图5.3）和数字向下和向外期权（图5.4）的理论误差衰减。