参数期权定价的切比雪夫插值

除了L∞误差表显示了蒙特卡罗（MC）价格、蒙特卡罗置信区间和切比雪夫插值（CI）价格，其中∞错误被确认。结果表明，对于N=30，所有选定选项的精度均为10级-3.我们发现，切比雪夫插值误差主要由蒙特卡罗置信区间控制，在一定程度上，这使得它在两者之间的比较中可以忽略不计。对于篮筐和障碍物选项∞错误已达到10阶的满意水平-3已经是N=10了。同样，切比雪娃近似值在蒙特卡罗近似值的置信范围内。因此，只有121=（10+1）个节点的切比雪夫插值可以模拟蒙特卡罗定价结果。此语句不适用于回望选项，其中∞当比较N=10和N=30时，误差仍然显著不同。从表5.3可以看出，N=5的切比雪夫插值可能会产生不可靠的定价结果。对于赫斯顿模型中的回望期权，我们甚至在个别情况下观察到了负价格。εL中美式期权的切比雪夫定价∞FD价格CI价格5 3.731·10-31.9261 1.922410 1.636 · 10-312.0730 12.074630 3.075 · 10-36.3317 6.3286表5.6:Black&Scholes模型中具有切比雪夫插值的一维美式看跌期权的插值。除了L∞误差该表显示了这些参数的有限差（FD）价格和切比雪夫插值（CI）价格∞错误被确认。Black&Scholes模型更加精确，如表5.6所示。在这里，对于N=5，已经达到了参考方法的精度。我们的结论是，切比雪夫插值在评估多元基础和路径依赖选项方面非常有前景。

然而，插值的精度在很大程度上取决于节点处参考方法的精度，这促使我们在后续小节中进行进一步分析。5.2.1节点近似误差和插值误差的相互作用切比雪夫方法最适用于需要计算密集型定价方法的用例。然后，为了计算切比雪夫节点的价格以建立插值，切比雪夫节点的扭曲价格及其后果的问题自然会增加。切比雪夫节点上观测到的噪声价格是Pricep（k，…，kD）ε=Pricep（k，…，kD）+εp（k，…，kD），其中εp（k，…，kD）是切比雪夫节点上基础数值技术引入的近似误差。由于线性关系，重新插值的形式为（5.4）IN（Price（·）ε）（p）=IN（Price（·））（p）+IN（ε（·））（p），误差函数为（5.5）ε（p）=NDXjD=0。NXj=0cεj，。。。，jDTj，。。。，jD（p），系数cεjj表示j=（j，…，jD）∈ J由（5.6）cεJ给出=DYi=1{0<ji<Ni}NiNXk=0′\'。NDXkD=0′εp（k，…，kD）DYi=1cos季π基尼.如果εp（k，…，kD）≤对于所有切比雪夫节点p（k，…，kD），我们得到（5.7）|ε（p）|≤ 2DεDYi=1（Ni+1），因为切比雪夫多项式的边界为1。这就产生了下面的评论。备注5.1。让P 第7页→ 定理2.2给出了价格，并假设εp（k，…，kD）≤ε对于所有切比雪夫节点p（k，…，kD）。然后∈P价格- IN（价格（·）ε）（p）≤ 2D+1·V·DXi=1-2NiiDYj=11- -2j+ 2DεDYi=1（Ni+1）。（5.8）以下示例应说明备注5.1的实际后果。在推论3.8的设置中，我们设置[S/K，S/K]=[0.8,1.2]，[T，T]=[0.5,2]。这导致ζ=2.51.5=和ζ=0.4=5。

因此= 2.9∈ （1,3）和= 9.8∈ (1, 5 +√24），注释5.1 N=N=6的收益率，最大值∈P价格- IN（价格（·））（p）≤ 0.0072 + 196 · .在本例中，参考方法的精度必须达到10级-5保证订单10的整体误差-3.这表明，与参考方法的准确性相比，增加与否之间存在权衡。上面的错误界限相当保守。我们在上一节中的实验表明，这个界限高度高估了经验观察到的误差。然而，注释5.1中给出的误差范围可以通过确定足够数量的切比雪夫节点和切比雪夫节点处使用的参考方法的相应精度来保证期望的精度。对于实际实施，我们建议以下程序。对于规定的精度，Ni，i=1，D、 根据（5.8）中的第一项，通过选择Ni，i=1，D、 尽可能达到规定的精度。因此，参考方法需要达到的精度受第二项的限制。一种非常精确的参考方法，结合小Ni，i=1，D、 承诺最好的结果。考虑到这一经验法则，已经进行了下面第5.3.2节的实验。5.3效率增益的研究在上一节中，我们使用傅里叶、蒙特卡罗和有限差分作为参考定价方法，研究了切比雪夫多项式插值法的准确性。最后，我们研究了该方法与傅立叶定价以及蒙特卡罗定价相比所获得的效率增益。在第5.3.1节中，我们在配备英特尔i5处理器（2.50 GHz，缓存大小为3 MB）的标准PC上计算结果。在第5.3.2节中，我们使用了一台配备3.10 GHz Intel Xeon CPU和20 MB智能缓存的PC。

所有co-des都是用Matlab R2014a编写的。5.3.1与Fourier pricingHere的比较，我们将该方法与Fourier定价进行比较。我们选择两种资产最小的看涨期权的定价问题作为例子。基础两项资产的当前价值固定为（5.9）s=1，s=1.2。模拟下垫层（Sjt）的未来发展≥0，j∈ {1，2}，我们分别考虑两个二元模型。首先，这两项资产将由第4.2.1节的二元Black&Scholes模型驱动。二元Black&S-choles模型由协方差矩阵σ参数化∈ R2×2我们选择由（5.10）σ=0.2，σ=0.01，σ=0.25给出。在第二项效率研究中，资产变动遵循上文第4.2.4节版本中更复杂的二元赫斯顿模型，我们选择参数化（5.11）v=0.05，σ=0.15，ρ=0.01，κ=0.4963，σ=0.2，ρ=0，θ=0.2286，σ=0.1，ρ=0.02。在这两种情况下，我们都忽略了利率，因此将r=0。基准方法，即傅立叶定价，使用Matlab的quad2d例程进行评估。我们规定绝对和相对准确度至少为10-8.根据积分结果，在域上积分傅里叶被积函数Ohm = [-50,50]×[0,50]，最多可进行4000次功能评估。

我们使用傅里叶积分和切比雪夫节点上的相同精度规格，建立了基于罢工K和到期T的切比雪夫定价方法，这两个自由参数取区间（5.12）K中的值∈ [Kmin，Kmax]，Kmin=0.8，Kmax=1.2，T∈ [Tmin，Tmax]，Tmin=0.5，Tmax=2。为了进行公平比较，选择切比雪夫多项式的数量，以便切比雪夫插值价格产生的精度与基准方法的精度相匹配，从而分别为二元Black&Scholes模型和二元Heston模型得出（5.13）NBSCheby=11和NHestonCheby=23。图5.5显示了两种模型的四个ier定价和切比雪夫方法之间在整个K×T兴趣域上的绝对误差，切比雪夫插值器基于Black&Scholesmodel情况下的NBSCheby+1多项式，以及Heston模型情况下的Nbstoncheby+1多项式。为了建立效率研究，我们将计算参数元组数量增加的价格集。为此，当切比雪夫方法的o-frege阶段完成后，我们计算了98个定价曲面，即1。5切比雪夫精度，BST0。50.8K×10-8-21.21.5切比雪夫精度，赫斯顿0。50.8K×10-8-51.2图5.5：左图：在整个感兴趣的参数域上，二元Black&Scholes模型中傅里叶方法和切比雪夫插值的价格差异。模型参数化如（5.10）所示。切比雪夫插值基于NBSCheby+1=12切比雪夫多项式。右图：赫斯顿模型参数化后的相应绘图，如（5.11）所示。这里，切比雪夫插值基于NHestonCheby+1=24切比雪夫多项式。我们达到了10阶的绝对精度-8在这两种情况下，都符合基准方法傅里叶定价达到的精度。每个M∈ {3, . . .

，100}我们从ΘMdeΘnedbyΘM计算所有参数元组的价格=（KMi，TMj）KMi=Kmin+i-1米- 1（Kmax）- Kmin），TMj=Tmin+j- 1米- 1（Tmax- Tmin），1分钟≤ i、 j≤ M.（5.14）存储切比雪夫-奥菲林相位消耗的计算时间。而且，对于每一个M∈ {3，…，100}，对于两个例程、傅里叶定价方法和切比雪夫插值算法，测量并存储推导所有| M |=M价格的运行时间。图5.6描述了这些运行时测量，表5.7提供了第二个视角。在Black&Scholes模型的情况下，o-Friene阶段需要TBSo-Friene=8秒来推导所有（NBSCheby+1）=144个切比雪夫节点的期权价格。Hestonmodel要求（NHestonCheby+1）=576支持价格的stono-fregine=101秒。考虑到这一初始投资，当oêine阶段完成后仅得出很少的期权价格时，Chebyshevm方法的定价成本相当高。然而，如图5.6所示，一旦建立了C hebyshev算法，定价速度的提高最终超过了Fourier定价。根据我们的实验，我们得出结论，当要计算的价格数量分别超过（NBSCheby+1）或（NHestonCheby+1）时，切比雪夫方法已经按照总运行时间运行基准傅里叶定价。此外，表5.7突出显示，在两种模型中，对于总共50个参数元组，切比雪夫方法在（总）定价运行时间上表现出显著的减少。对于所研究的最大数量，即100个参数元组，Black&Scholes模型中的定价在我们的实现中可节省95%的RUN时间，在Heston模型中可节省90%的运行时。

事实上，切比什ev方法的在线阶段包括计算成本低廉的多项式评估和基本组装。M（Mdi不同参数对的评估）5155557595Black&Scholes看涨期权：O*ine+在线Timeourierchebyshevm（Mdi不同参数对的评估）515255555758595Heston看涨期权：O*ine+在线TimeourierchebyshevFigure 5.6：Fourier定价和acall期权的切比雪夫方法之间的定价时间比较（至少两个月）Black&Scholes模型（左）和Heston模型（右）中的资产。每M∈ {3，…，100}，描述了（5.14）定义的所有mParameterTupel的d eriv in g期权价格的运行时间。在这两种模型情况下，切比雪夫方法的计算时间都包含了一开始必须执行一次的o形阶段的持续时间。对于Black&Scholes模型，当M=NBSCheby+1=12时，以及对于Heston模型，当M=Nhstoncheby+1=24时，傅里叶曲线和切比雪夫曲线分别大致相交。BS Heston 105075100507100Tchebyonline（s）0.184.5410.2018.110.7017.5839.6669.82TChebyo fregue+online（s）8.0612.4218.0725.98101.96118.85140.92171.08t游客（s）5.34131.96301.82528.7417.60442.62991.331788.08TChebyo-orine+onlineFourier 151%9.41%5.99%4.91%579.27%26.22%14.5：双变量和黑双变量模型研究的有效性赫斯顿模型：图5.6中完整描述的结果选择。随着计算价格数量的增加，切比雪夫算法越来越适合于oêine阶段的初始投资。5.3.2与Monte Carlo Pricing的比较在本节中，我们在Heston模型中选择了一个基于5个基础的多变量回溯选项，作为示例。

对于效率研究，我们首先改变一个参数，然后改变两个参数。Heston模型中多变量回望操作的一个模型参数的变化以下参数为j=1，5 as（5.15）Sj=100，r=0.005，K=100，T=1，κj=2，θj=0.2，ρj=-0.5，vj，0=0.2。作为切比雪夫插值中的自由参数，我们选取波动系数σ=σj，j=1，5,(5.16) σ ∈ [σmin，σmax]，σmin=0.1，σmax=0.5。基准方法是蒙特卡罗定价法，同样有10个样本路径，反向变量作为方差缩减技术，每年有400个时间步。我们将此设置作为基准设置。根据第5.2.1节的讨论，为了评估节点处的价格，我们通过蒙特卡罗方法保证一个小的ε，我们将蒙特卡罗设置充实为5·10样本路径、对偶变量和每年400个时间步。在表5.8中，我们给出了基于丰富的蒙特卡罗设置的、NHestonCheby=6B的切比雪文极化的精度结果。为此，我们比较了测试网格上切比雪夫价格和恩里切德蒙特卡洛价格的绝对差异 [p，p]，p=nσk, K∈ {0，…，20}o，σk=σmin+k（σmax-σmin），k∈ {0, . . . , 20}.（5.17）测试网格上的最大观测误差为10级-2.

在同一测试网格上，基准蒙特卡罗设置的最坏情况置信限为1。644 · 10-2通过将基准蒙特卡罗价格与该测试网格上的enrichedMonte Carlo价格进行比较，最大绝对误差为7.361·10-3.因此，我们得出结论，蒙特卡罗基准设置和所提出的切比雪夫插值方法具有大致相当的精度，根据这项精度研究，我们现在来比较运行时间。我们将切比雪夫插值和NHestonCheby=6的运行时间与上述蒙特卡罗基准设置的运行时间进行比较，其中o菲林阶段基于丰富的蒙特卡罗设置。表5.9给出了相应的结果。M=1的结果已经过螺旋测量，所有其他结果都是从中推断出来的，因为对于每个参数集，必须投入相同的计算时间。该表表明，从M=50开始，切比雪夫插值速度更快。在图5.7中，我们为每个M=1，100切比雪夫插值法的运行时间，包括o菲林相位，与蒙特卡罗法进行比较。在这里，我们观察到，对于M=35，两条线相交，且εL变化∞MC价格MC形态约束CI价格σ9.970·10-318.6607 4.592 · 10-318.6707表5.8:N=6的切比雪夫插值多变量回望选项的插值基于丰富的蒙特卡罗设置，每年有5·10个样本路径、对偶变量和400个时间步。除了L∞测试网格上的错误我们还报告了蒙特卡罗（MC）价格、蒙特卡罗置信区间和切比雪夫插值（CI）价格，在这些参数下∞实现了错误。

我们观察到，N=6的切比雪文插值的精度与基准蒙特卡罗拟合的精度大致相同（最坏情况置信区间为1.644·10）-2最坏情况下的误差为7.361·10-3).M>35切比雪夫插值法速度更快。与第5.3.1节相反，两条线在M=NHestonCheby+1处不相交。这反映了在切比雪夫插值的o菲林阶段，使用了具有更多样本路径的蒙特卡罗方法。5 15 25 35 45 55 65 75 85 95M×10Heston回溯选项：O frege ine+在线时间Monte CarloChebyshevFigure 5.7：在Heston模型中进行多维回溯操作的有效性研究，5个参考变量改变一个模型参数σ。蒙特卡罗定价与切比雪夫定价（包括oêine阶段）运行时间的比较。这两种方法都是为了提供相对准确度。我们观察到两条曲线在M=35时大致相交。两个模型参数的变化我们改变两个参数，我们选择ρj=ρ，j=1，5，并改变（5.18）ρ∈ [ρmin，ρmax]，ρmin=-1，ρmax=1，σ∈ [σmin，σmax]，σmin=0.1，σmax=0.5，将所有其他参数设置为设定值（5.15）。为了保证切比雪夫插值法和基准蒙特卡罗定价法之间的高可比精度，我们使用以下测试网格 [σmin，σmax]×[ρmin，ρmax]，P=nσk，ρk, k、 k∈ {0，…，20}o，σk=σmin+k（σmax- σmin），k∈ {0，…，20}，ρk=ρmin+k（ρmax- ρmin），k∈ {0, . . . , 20}.(5.19)m1 10 50 100TChebyonline(s)2.7·10-52.7·10-41.4·10-32.7·10-3切比奥松露+在线1.2·101.2·101.2·10t蒙特卡罗3.4·103.4·101.7·103.4·10t切比奥松露+在线蒙特卡罗3473。4%347.3%69.5%34.73%表5.9：基于5个基础的Heston模型中多变量回溯选项的效率研究。