参数期权定价的切比雪夫插值

这一结果在金融中的一个非常有趣的应用是，出于风险评估目的，计算期权价格的LTA或vega等敏感性。定理3.2与推论2.5一起得出以下推论。推论3.4。在定理3.2的假设下∈ N、 σ>D的u和σ，0≤ u ≤ σ和u- 这里有一个常数C，这样K就是-IN（价格（·））（p）kCl（p）≤ CN2u-σkPricepkWσ（P），其中空间和规范在第2.2节中定义。备注3.5。条件（A2）中的上限是针对具有不同选项参数的支付功能的应用而定制的，比较第4.1节和下面的表4.1。满足P=[T，T]的上界in（A4）的（时间非齐次）L′evy过程的例子 (0, ∞) Glau（2016）中提供了这些数据，并对其与过程的科尔莫戈罗夫方程的抛物线性的关系进行了研究。在Fix参数设置中，α的条件（A3）∈ Glau（2016）中的（1,2）转化为（A4）中的上限。这一条件适用于各种型号。3.2选定期权价格的收敛结果在上一小节中，条件3.1和第3.2条引入了一个框架，其中切比雪夫近似实现（次）指数误差衰减。现在，我们将这个抽象框架与两种特定设置联系起来。3.2.1单变量L’evy模型中的欧式期权应为确定性和恒定利率。我们考虑资产价格的参数族，Sπt:=SeLπt（3.5）和t≥ 0.对于固定π=（σ，b），设Lπ为特征为（σ，b，F）和r|x|>1|x|F（dx）<∞. 根据L’evy-Khintchine定理，我们对参数化过程的特征函数有如下表示：eizLπt= etψπ（z），ψπ（z）=-σz+ibz+ZReizx-1.-伊兹F（dx）。（3.6）我们假设ELπ是在风险中性度量下定义的。

因此，对于每个π∈ 我们假设E（eLπt）<∞ 对于部分和等效所有t>0且漂移条件b=b（r，σ）=r-σ-锆前任-1.-十、F（dx），（3.7），以确保贴现资产价格过程是一个鞅。表示ψ（z）：=ZReizx-1.-伊兹F（dx），（3.8）特征函数指数的纯跳跃部分，读数为asb=b（r，σ）=r-σ-eψ(-i） 。（3.9）具有支付功能的欧式期权t=0时的公允价值∈ P:=[K，K] 成熟的R∈ [T，T] (0, ∞) 由价格（r，K，S，T，π）=e给出-rTEfK（SeLπT）.（3.10）为了保证切比雪夫插值的（次）指数收敛性，在下面的推论中，我们将指数矩条件（A3）、分析性条件和（A4）中的上界转化为累积生成函数ψπ的条件。推论3.6。让条件（A1）和（A2）满足重量η∈ R和> 1和se t P=[K，K]。此外，设P=[S，S]×[T，T] RwithS，T>0。假设| x |>1（e）-ηx∨ex）F（dx）<∞（3.11）存在常数C，C>0和β<2，因此Ieψ（z+iη）≤ C+C | z |β代表所有z∈ R.（3.12）如果另外满足以下条件之一，（i）σ>0，（ii）存在α∈ （1,2]具有β<α和常数C，C>0Reψ（z+iη）≤ C- 所有z的C | z |α∈ R、 然后存在常数C>0和> 1.maxp∈P×P价格- IN（价格（·））（p）≤ C-N、 （3.13）式中N=min1≤我≤3N。证据鉴于定理3.2和推论2.3，在该推论的假设下，必须验证条件（A3）和（A4）下的C。由于指数矩条件（3.11），Sato（1999，定理25.17）暗示了L’evy-Khintchine公式（3.6）的有效性扩展到了复数条U:=R+i[0, 1] ∪sgn（η）[0，|η|], 即

每π∈ π和每t>0，EeizLπt= 每z的etψπ（z）∈ U.（3.14）尤其是E（E）-ηLπt）=etψπ（iη）<∞ 每π∈ π，得到（A3）。表示：=对数。每个z的推论产量的假设∈ U（s，t）7的分析性→ ηp=（es，t）（z）=广义Bernstein椭圆B（p，) 对于某些参数∈ (1, ∞), i、 e.分析性条件在（A4）中的有效性。接下来我们考虑ηp（z+iη）≤eis（z+iη）etψπ（z+iη）≤ 经验-sη- I（s） z+R（t）Rψπ（z+iη）- I（t）Iψπ（z+iη）.一个基本的操作是每个z如何操作∈ RRψπ（z+iη）= ψπ（iη）-σz+ZRcos（zx）-1.E-ηxF（dx）与|ψ的虚部假设结合，在假设（ii）下得到条件（A4）的上界。鉴于ZRcos（zx）-1.E-ηxF（dx）≤ 0，条件（A4）也遵循假设（i）。我们注意到，对于默顿模型，每个η都满足条件（3.11）∈ R和条件（3.12）满足β=1。例如，满足推论3.6中条件（i）的例子有Black&Scholes和Merton模型。Glau（2016）中提供了满足推论3.6条件（ii）的纯跳跃L’evy模型示例，比较了alsoRemark 3.5和下表4.2。为简单起见，根据数值实验，我们确定了模型参数π。这种分析可以推广到不同的模型参数π。备注3.7。假设（3.11），我们观察到映射（r，σ）7→ b（r，σ）=r-σ-锆前任-1.-十、F（dx）（3.15）和（r，σ）7→ ψπ=（b（r，σ），σ）（z）对于每个z∈ 你是全纯的。此外，（r，σ）7→b（r，σ）在每个广义Bernstein椭圆b（[r，r]×σ，σ]）上有界，) 具有 ∈ (1, ∞).备注3.8。推论3.6允许我们确定L\'evy模型中调用选项的显式错误界限。

行权为K，到期日为t，利率为r的看涨期权在t=0时的公平价格≥ 0 isCallS，KT=e-rTE塞尔特-K+（3.16）在风险中性概率测度下。注意这一点，KT=e-rTKE（S/K）英语教学-1.+,（3.17）需要对函数（T，S）7进行插值→ 在[T，T]×[S/K，S/K]上调用1T（3.18）以近似价格调用KT以获取值（T，S，K）∈ [T，T]×[S，S]×[K，K] (0, ∞). 这有效地将插值问题的维数D降低了1。让我们来计算一下η<-设P=[T，T]×[S/K，S/K]，ζ=SK+SKSK-sk和ζ=T+TT-T、 然后是伊芙·瑞伊J∈ （1，ζj+p（ζj）- 1） f或j=1，2，让 = (, ) andV:=sup（T，S）∈B（P，)电话，1T,thenmax（T，S）∈P电话，1T- IN，N（调用（·），1（·））（T，S）≤ 4V-2N+-2N（1）--2) ·(1 --2)!.特别是，存在一个常数C>0，使得max（T，S）∈P电话，1T- IN，N（调用（·），1（·））（T，S）≤ C-N、 （3.19）在哪里= 闵{, } N=min{N，N}。此外，当确定到期日T时，让ζ=SK+SKSK-我们得到了指数误差decaymax/K≤s≤S/K电话，1T-IN（Call（·），1T）（S）≤ 4V-N -1，（3.20）对于一些 ∈ （1，ζ+pζ）- 1） V=supS∈B（[S/K，S/K]，)电话，1T.3.2.2 A ffine models中的篮子选项let Xπ′是具有状态空间D的A ffine过程的参数族 π′的rdf∈ π′使得对于每一个π′∈ π′存在复值函数νπ′和aCd值函数φπ′，使得ρp=（t，x，π′）（z）=Eeihz，Xπ′tiXπ′=X= eνπ′（t，iz）+hφπ′（t，iz），xi，（3.21）对于每个t≥ 0，z∈ RDX和∈ D.在温和的正则性条件下，函数νπ′和φπ′被确定为广义Riccati方程的解。我们参考杜菲、菲利波维奇和沙切迈耶（2003）的详细论述。richclass of a ffine过程包括L’evy过程类，对于该类过程，νπ′（t，iz）=tψπ′（z），其中ψπ′作为L’evy-Khintch-ine公式（3.6）和φπ′（t，iz）中的某个指数给出≡ 0

此外，许多典型的随机波动率模型，如Heston模型以及带有跳跃的随机波动率模型，如mo-delof Barndor ff-Nielsen和Shephard（2001）和时变L\'evy模型，见Carr、Geman、Madan和Yor（2003）和Kallsen（2006），都是由一个有效的过程驱动的。考虑公式price（K，T，x，π′）=E的运算价格fK（Xπ′T）|Xπ′=X（3.22）其中fK是可测量支付函数的参数化族fK:Rd→ R+代表K∈ P.推论3.9。在weig htη的条件（A1）-（A3）下∈ 路， ∈ (1, ∞)d P=P×P RDof超矩形结构假设（i）每个参数p=（t，x，π′）∈ P 研发部-m有效性（3.21）的有效性延伸至z=R+iη，即每z∈ R+iη，νp=（t，x，π′）（z）=Eeihz，Xπ′tiXπ′=X= eνπ′（t，iz）+hφπ′（t，iz），xi，（ii）对于e very z∈ Rd表示映射（t，π′）7→ νπ′（t，iz）- η） 和（t，π′）7→φπ′（t，iz）- η） 对Bernstein椭圆B（π′）进行解析延拓，′) 对于某些参数′∈ (1, ∞)D-M-1，（iii）存在α∈ （1，2]和常数C，C>0，使得在参数p=（t，x，π′）中一致∈ B（P，e) 对于一些广义的Bernstein-ellipsewith e∈ (1, ∞)D-MRνπ′（t，iz）- η） +hφπ′（t，iz）- η） ，xi≤ C- 所有z的C | z |α∈ 然后存在常数C>0，> 1.maxp∈P×P价格- IN（价格（·））（p）≤ C-N.证据。根据定理3.2和推论2.3，并考虑到条件（A1）-（A3）的假设有效性，有必要验证条件（A4）。虽然假设（i）和（ii）共同产生（A4）中的分析性条件，但第（iii）部分提供了（A4）中的上限。Keller-Ressel和Mayerhofer（2015）研究了有效过程指数矩的存在性，其中还提供了一些标准，根据这些标准，公式（3.21）和相关的广义Riccati系统可以扩展到复杂指数矩z∈ 光盘

这个问题已经针对重要的特殊情况进行了处理，这些情况允许更明确的条件。Filipovi\'c和Mayerhofer（2009）考虑了一个有效的差异，Cheridito和Wugalter（2012）研究了跳跃测度具有指数异序矩时的一个有效杀戮过程。4分析性P r操作4。1.表4.1中列出了所选付款人的分析性质。1.期权参数Kas函数的付款人选择。正如我们在命题3.3中所看到的，我们可以通过傅里叶变换来表示特定条件下的期权价格。因此，该表还提供了相应期权支付的傅里叶变换。表4.1中的所有例子都是k:=log（k）的特例，下面的引理有一个str-aight正向证明。类型付息权傅里叶变换Cfkholomorf（x）ηcfK（z- iη）日志中的phic（K）调用（ex-K） +<-1Kiz+1+η（iz+η）（iz+1+η）XPut（K-ex）+>0Kiz+1+η（iz+η）（iz+1+η）XDigital 1x>log（K）<0-Kiz+ηiz+ηXdown&outAsset或nothing exx>log（K）<-1.-Kiz+1+ηiz+1+ηXdown&outTable 4.1：单个未发行债券的支付利润示例。提议4.1。让R×Rd （k，x）7→ fk（x）的形式为fk（x）=h（k）fτk（x）通过变换τk（x）j=xj+αjk和αj∈ R每j=1，d与无旋函数h.Letη∈ rdx7→ 对于每k，xifk（x）属于L（Rd）∈ 然后（i）映射k7→cfk（z）- iη）有一个全纯延拓和（ii）|cfk（z）- iη）|≤ |h（k）| e |η| | k | e|I（k） | | z |每k∈ C.证据。这两种断言都是\\f（τk）（z）的直接结果- iη=exp- kdXj=1αj（izj- η)^f（z）- iη）为所有z∈ RDK∈ C.示例4.2（至少调用几项资产）。赎回期权对最低d资产的支付额定义为（4.1）fK（x）=（ex∧ 前任∧ ··· ∧ exd- K） +，对于x=（x，…，xd）∈ RDK和strike K∈ R+。

阻尼常数η∈(-∞, -1） 我们有x7→ ehη，xifK（x）∈ 左（右）。命题4.1表明K 7→cfK（z）- iη）有一个全纯扩展。对于某些支付函数，不可能通过与指数阻尼因子相乘将其转换为可积函数。所以我们把它们分成两部分，可以适当地加以抑制。因此，我们将单位分解为1=Pdj=1Oj（x）a.e.，具有不同的Ojrd正切值。更准确地说，对于j=1，2设ζj:=（ζj，…，ζjd）和ζji∈ {-1,1}对于2种不同的可能配置和let（4.2）Oj：=（x，…，xd）∈ 研发部ζ鸡西≥ 0表示所有i=1，D.对于每个j=1，2我们分别为通话选择文件（4.3）ηj:=-（1+ε）ζj，分别ηj:=εζj对于某些ε>0的j=1，2d。下面的命题使我们能够证明期权价格和看涨期权价格对履约的分析依赖性。提案4.3。每j=1，2第（4.2）和（4.3）条中定义了Ojlet和ηjas。然后每k∈ R一个篮子在一次看涨期权中的支付，分别采用fk（x）的形式=ex+…+exd-埃克+, 分别为fk（x）=埃克-前任-. . . -exd+, andfk（x）=dXj=1fkj（x）（4.4）和fkj（x）：=fk（x）1Oj（x）表示a.e.x=（x，…，xd）∈ Rd.此外，对于每个j=1，2DK和每k∈ 我们有x7→ ehηj，xifkj（x）∈ L（Rd）和forevery z∈ Rdpingk 7→cfkj（z）- iηj）（4.5）具有全纯扩展。证据我们展示了看涨期权的索赔。看跌期权的情况也得到了类似的证明。每j=1，在命题的假设下，证明x7是基本的→ ehηj，xifkj（x）∈ 左（右）。而且，让u:=z- iηjz∈ Rdwe havecfkj（u）=ZOjeihu，xifk（x）dx=ekeihu，~ kiZA（k）eihu，xiex+…+exd-1.dx。dxd（4.6）与~k=（k，…，k）∈ Rda（k）：=（Oj-~（k）∩ {x∈ Rd:f（x）>0}。

从A（k）的几何结构和（4.6）中被积函数的全纯性，我们可以推导出（4.6）中的积分在k中是全纯的，从而得到命题的断言。4.2资产模型的分析性质在本节中，我们简要介绍了一系列资产模型，并展示了它们的四个ier变换的分析性质。对于某些模型和某些参数，解析性领域是可以立即观察到的。对于一些非平凡的情况，我们陈述了该领域。在整个章节中，T>0表示期权到期时间，而r>0表示恒定的无风险利率。4.2.1多元Black&Scholes模型在多元Black&Scholes模型中，LπT的特征函数，即（3.5）的多变量类比，π=（b，σ）由（4.7）φp=（T，b，σ）（z）=expTihb，zi-hz，σzi,协方差矩阵σ∈ Rd×d使det（σ）>0，漂移b∈ Rd符合漂移条件（4.8）bi=r-σii，i=1，d、 在Black&Scholes模型中，参数的分析性立即得到确认，即p7→ 在（4.7）中给出的φp（z）对于每个z都是全纯的∈ 然而，容许参数域仅限于参数星座，例如σ是协方差矩阵。备注4.4。让η∈ Rd是条件3.1中选择的权重，并让开放集U由（4.9）U给出 (0, ∞) ×R×n~σ∈ 研发（d+1）/2σ（~σ）正定义，其中σ：Rd（d+1）/2→ 由σ（~σ）ij=σ（max{i，j}-1） max{i，j}/2+min{i，j}，i，j∈ {1，…，d}，表示~σ∈ Rd（d+1）/2。通过构造，σ（~σ）对于任何~σ都是对称的∈ Rd（d+1）/2。然后每一个z∈ Rd，（T，b，~σ）7→ 由（4.7）给出的φp=（T，b，σ（~σ））（z+iη）是对U的分析。

注意，U不依赖于η.4.2.2单变量默顿跳跃扩散模型。作为第二个L’evy模型，我们陈述了默顿（1976）的默顿跳跃扩散模型。资产价格过程的对数遵循跳跃式差异，波动率σ由跳跃式增加，跳跃率λ>0，跳跃大小为正态N（α，β）分布。这里，π=（b，σ，α，β，λ）的LπTin（3.5）的特征函数由（4.10）φp=（T，b，σ，α，β，λ）（z）=expTibz-σz+λeizα-βz- 1.漂移条件（3.7）变为（4.11）b=r-σ- λeα+β- 1.,其中σ>0，α∈ R和β≥ 0.S由于Merton跳跃扩散模型中的特征函数由解析函数组成，因此它本身在整个参数域上是解析的。4.2.3单变量CGMY模型我们考虑Carr、Geman、Madan和Yor（2002）的CGMY模型，它是Boyarchenko和Levendorskii（2000）的扩展Koponen家族的特例，具有LπTin（3.5）的特征函数（3.6），π=（b，C，G，M，Y）p=（T，b，C，G，M，Y）（z）=expTibz+CΓ(-Y）（M）- iz）Y- 我的+（G+iz）Y- GY,（4.12）其中C>0，G>0，M>0，0<Y<2和Γ（·）表示伽马函数。Th edrift b∈ R等于（4.13）b=R- CΓ(-Y）（M）- 1） Y- 我的+（G+1）Y- GY遵守鞅定价的漂移条件（3.7）。备注4.5。

重量η∈ 从条件3.1中，选择一个开集U（η）和U（η） (0, ∞) ×R×（0，∞)×（G，M）∈ (0, ∞)G- η>0，M+η>0× (0, 2).（4.14）然后每z∈ R、 （T，b，C，G，M，Y）7→ ηp=（T，b，C，G，M，Y）（z+iη）对于特征函数ρpof，CGMY模型（4.12）是对U（η）的分析。表4.2显示了所选L'evy模型的重量η条件∈ R和指数α∈ （1,2]保证（A3）和（A4）中对已执行模型参数星座的上限。类（A3）和（A4）中的上界适用于ηthan和αthat布朗运动α=2与漂移默顿跳差α=2L’evy与r | x |>1e |η| x | F（dx）<∞ α=2特征（b，σ，F）含η的单变量CGMY∈ (-min{G，M}，max{G，M}）α=Y>1的Y参数（C，G，M，Y）。表4.2：关于（A3）的η和α条件，以及（A4）中的上限，对于固定的模型参数星座保持不变。第4.2.1–4.2.3节详细描述了所选的电动汽车模型。对于p参数C、G、M>0且Y<2的CGMY模型，很明显（3.11）是针对每个η统计的∈ G>η和M>-η. 此外，Glau（2015）中的方程式（4.12）表明≤ 1、（3.12）满足β=1.4.2.4 Heston双资产模型。在这里，我们陈述了多元Heston模型的双资产版本，特别是具有单一、单变量驱动波动过程{vt}t≥0.对于t，这两个资产定价过程建模为（4.15）St=SeHt和St=SeHt≥ 0，其中H=（H，H）求解以下SDE系统，dHt=R-σdt+σ√vtdWt，dHt=R-σdt+σ√vtdWt，dvt=κ（θ- vt）dt+σ√vtdWt，其中布朗运动Wi，i=1，2，3，根据hW，Wi=ρ，hW，Wi=ρ，hW，Wi=ρ进行关联。