非线性期望下随机到期的最优停止

任何n，k∈N、 [0，T]×上的Yn，kis一致连续Ohm 关于连续模ρn，k（x）：=6ρ（2x）+21+kM（1+κn）x≤ Cn，kxp∧1.∨xp∨1., 十、∈[0, ∞), 式中，cn，k:=6·2pC+21+kM（1+κn）和{κn}n∈Nis命题5.1中正n数的递增序列。应用命题5.1（2）和t=t表明是Lipschitz连续停车时间吗Ohm 有足够的κn，它也是n、 k:=(n+21-（k）∧T比（2.5）。然后我们定义nebYn，kt:=Yn，kn、 k∧t=Yn，k(n+21-（k）∧t=1{t≤n+2-k} Lt+1{n+2-k<t<n+21-k} n1.-2k（t）-N-2.-（k）Lt+2k（t）-N-2.-k） Uto+1{t≥n+21-k} U(n+21-（k）∧TT∈[0，T]，（5.3）和itsE-Snell e-nvelope:Zn，kt（ω）：=sup（P，γ）∈Pt×TtEPh拜恩，kt、 ωi，（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.当L和U以M为界时，Yn、kand、Zn、kby（4.1）也是如此。在引理5.1中，我们可以将第4节的结果应用于每一个Zn，k，n，k∈N.给定∈[0，T]，（5.1）表明limk→∞↑ Yn，kt=1{t≤n} Lt+1{t>n} Ut。辛塞尔→∞拜恩，kt- 伊恩，kt= 林克→∞{t≥n+21-k} （U）(n+21-（k）∧T- Ut）=1{t>n} （U）N- 通过U的连续性，我们可以看到Ynt:=limk→∞bYn，kt=1{t≤n} Lt+1{t>n} UNT∈[0，T]，这是一个F-所有c`agl`ad路径的适配流程。对于任意（t，ω）∈[0，T]×Ohm, 命题2.1（3）表明（Yn）t，ω是Ft-采用所有c`agl`ad路径的自适应流程，从而实现Ft-逐步可测量的过程。然后我们可以考虑以下内容-Yn:Znt（ω）：=sup（P，γ）∈Pt×TtEP（Yn）t，ωγ, （t，ω）∈ [0，T]×Ohm.同样，Yn和znb是由M建立的。接下来的两个不等式是关于Zn，kc如何在21的条件下收敛到znb-而锌与锌+1的区别，也取决于过程U的历史路径。提议5.2。假设（3.1），（A1），（A2），（P2）并设n，k∈ N.它适用于任何（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 那个- 2bρ1.-K≤ Zn，kt（ω）- Znt（ω）- U(n（ω）+21-（k）∧ t、 ω+ U(n（ω）∧t、 ω）≤ bρ1.-K（5.4）和- 2bρ2Tn+3≤ Zn+1t（ω）-Znt（ω）-Un+1（ω）∧t、 ω+Un（ω）∧t、 ω≤ bρ2Tn+3.

（5.5）当bρ满足（2.4）时，某些bc>0和1<bp≤bpby（P2），我们从（5.5）中看到每个（t，ω）∈[0，T]×Ohm,{Znt（ω）}n∈Nis是柯西序列，因此dmits是极限Zt（ω）。下面的结果表明Z是anF-在停止的支付过程Yτ的斯奈尔包络线以上的自适应连续过程，且第一时间z满足Y正是定理3.1中预期的最佳停止时间。提议5.3。假设（3.1）、（A1）、（A2）和（P2）-（P4）。（1） 对任何人来说∈N、 这是一个F-以Mthat为界的自适应过程具有所有连续路径。（2） 对于任意（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 极限Zt（ω）：=limn→∞Znt（ω）存在并满足- 2εn≤ Zt（ω）-Znt（ω）-Uτ(ω)∧t、 ω+Un（ω）∧t、 ω≤ εn，N∈ N、 （5.6）式中εN:=P∞i=nbρ2Ti+3随着n的增加减少到0→ ∞.6.证明11（3）Z是F-以Mthat为界的自适应过程具有所有连续路径。SetcYt:=Yτ∧t、 t∈[0，T]。它适用于任何ω∈Ohm thatcYt（ω）≤ sup（P，γ）∈Pt×TtEPhcYt，ωγi≤Zt（ω），T∈[0，T]和Zt、 ω=Uτ(ω), ω, T∈[τ（ω），T]。(5.7)(4) γ*:=infT∈[0，T]：Zt=cYt=inf{t∈[0，τ）：Zt=Lt}∧τ是F-停车时间。6.校对。1备注3.1第3节中的结果证明：2）Let（Y，)∈S、 eP∈Psandγ∈t.给定eω∈Ohmt、 引理A.2表明比，ωteωγ-比，ωteω′γ我≤ bρY（1+κ)kωteω-ωteω′k0，s+φωteωsκkωteω- ωteω′k0，s≤ bρY（1+κ)keω-eω′kt，T+φωteωsκkeω-eω′kt，T, eω′∈Ohmt、 因此，映射eω→ EePhbYs，ωteωγiis在范数kkT下连续，因此为FtT-可测量的3） 与[6]中备注3.3（2）的证明类似，一项证据表明，（3.7）中定义的概率bP满足（P4）（i）和（P4）（ii）的第一部分：即bP（A∩A） =P（A）∩A） ,，A.∈FtT和BP（A∩Aj）=P（A）∩Aj），j=1，··，λ，A.∈Fts。看到BP满意（3.6）的一些（Y，)∈S、 we fix j=1，··，λ，A∈Fts和γ∈t.引理2.1，（A∩Aj）s，eω=Ohms（分别=), 当eω∈ A.∩ Aj（分别为/∈ A.∩ Aj）。

然后我们就可以推断出这一点∩AjbYt，ωγ（πts）i=λXj′=1EP{eω∈Aj′}EPj′A.∩AjbYt，ωγ（πts）s、 eω=λXj′=1EP{eω∈A.∩Aj}{eω∈Aj′}EPj′bYt，ωγ（πts）s、 eω= EP{eω∈A.∩Aj}EPjhbYs，ωteωγi,我们使用了一个事实，对于任何bω∈OhmsbYt，ωγ（πts）s、 eω（bω）=bYt，ωγ（πts）（eω）sbω）=bYγπts（eω）sbω）, ω t（eω）sbω）=通过γ（bω），（ω）teω）sbω=比，ωteωγ（bω）。例3.3的证明：设ρ∈部分C>0和0<p的满意度（2.4）≤p、 修正t∈[0，T）和δ∈(0, ∞). 我们考虑一个扩大的正则空间Ohmt:=Ohmt×Ohmt×Ohm两个标准过程sbt（ω）=Xt（ω），At（ω），Mt（ω）=x（t），a（t），m（t）, ω=（x，a，m）∈ OhmTT∈ [0，T]。给定P∈Plt、 上存在一个P的扩展Ohmtsuch那（i）Pω ∈Ohmt:X（ω）∈A.=P（A）表示任何A∈FtT；（ii）X=K+M，P-a、 其中K是一个绝对连续过程，具有dKtdt≤l,P-a、 M是P-带迹鞅德米特特≤2.l,P-a、 让ζ∈t和设置η：=supr∈[ζ（X），（ζ（X）+δ）∧[T]先生-Mζ（X）= 苏普∈[t，t]M（ζ（X）+δ）∧R-Mζ（X）∧R. 假设p>0，因为1.∧ NP-1.nXi=1api≤nXi=1aiP≤1.∨ NP-1.nXi=1api，N∈ N{ai}ni=1 [0, ∞), （6.1）我们可以从伯克霍尔德-戴维斯-甘迪不等式中推断出ηp≤1.∨数据处理-1.dXi=1EP苏普∈[t，t]Mi（ζ（X）+δ）∧R-Miζ（X）∧RP≤内容提供商1.∨数据处理-1.dXi=1EPZTt{ζ（X）≤R≤ζ（X）+δ}dhMi，MiirP≤cp1∨数据处理-11∧数据处理-1EPZTt{ζ（X）≤R≤ζ（X）+δ}迹线dhMirdr博士P≤ cp1∨数据处理-11∧数据处理-1(2lδ） p，非线性期望下随机到期的最优停止12，其中cpi是一个常数，取决于p。然后我们从（i）、（ii）和（6.1）中看到ρδ+supr∈[ζ,(ζ+δ)∧[T]Btr- Btζ= EPρδ+supr∈[ζ（X），（ζ（X）+δ）∧[T]Xr- Xζ（X）≤ CXi=1EPh(1+l)δ + ηpii≤ CXi=1（1∨2pi-1)(1+l)piδpi+EP[ηpi]≤C（1）∨2p-1） Xi=1(1+l)πδπ+δπ/2+δ-1/2EP{η≥√δ} η1+pi≤bCXi=1（δpi+δpi/2）≤公元前δp/2∨δp对于一些依赖于C，d的常数，l, p、 因此，对于bρ（δ）：=bC，（3.5）成立δp/2∨ δp. 6.2命题4.1第4节：修正（Y，) ∈ S和（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. 让ω′∈ Ohm.

我们认为：(ω) ∧(ω′) ∧t、 t:=((ω)∨(ω′))∧t、 给定（P，γ）∈Pt×Tt，我们从引理A.2中看到bYt，ωγ-Zt（ω′）≤EPbYt，ωγ-bYt，ω′γ≤bρY（1+κ)kω-ω′k0，t+supr∈[t，t]ω（r）-ω（t）,还有EPbYt，ω′γ-Zt（ω）≤EPbYt，ω′γ-bYt，ωγ≤bρY（1+κ)kω-ω′k0，t+supr∈[t，t]ω（r）-ω（t）.取上确界（P，γ）∈两个不等式左侧的Pt×t导致（4.2）。对于任何ε>0，存在λ>0，使得bρY（x）<ε，十、∈ [0，λ）。也可以发现aeλ（t，ω）>0，使得φωt（y）<λ/2，Y∈0，eλ（t，ω）. 现在，取δ（t，ω）：=λ2（1+κ）)∧eλ（t，ω）κ, 我们将获得（4.3）。命题4.2的证明：Fix（Y，)∈S.1）我们首先展示了（4.4）中包含很多值的填充时间。Fix（t，ω）∈[0，T]×Ohm 让我们∈t在[t，t]的某些有限子集{t<·t<tm}中取值。我们简单地表示yr:=bYt，ωrand Zr:=Zt，ωr，R∈ [t，t]。（6.2）命题2.1（3）和（3.4）表明Y是Ft-具有所有连续路径的自适应有界过程。1a）在第一步中，我们展示zt（ω）≤ sup（P，γ）∈Pt×TtEP{γ<ν}Yγ+1{γ≥ν} Zν（6.3）英国《金融时报》-停止时间ν取很多值。Let（P，γ）∈Pt×t，设i=1，··，m。根据（2.7），存在一个P-空集Nisuch thatEPγ∨钛Ftti（eω）=EPti，eωh（Yγ）∨ti）ti，eωi=EPti，eωhbYti，ωteω（γ）∨ti）ti，eωi，eω∈ Nci，（6.4）在这里我们得到了一个事实，对于任何eω∈ Ohmtand bω∈ Ohmti（Yγ）∨ti）ti，eω（bω）=Yγ∨ti（eω）tibω）=bY(γ∨ti）（eωtibω），ωt（eω）tibω）=通过(γ∨ti）ti，eω（bω），（ωteω）tibω=拜蒂，ωteω（γ）∨ti）ti，eω（bω）。通过（P3），存在一个扩展(Ohmt、 F（i），P（i））的(Ohmt、 FtT，P）和Ohm（一）∈F（i）与P（i）(Ohm（i） ）=1，这样对于任何eω∈Ohm（i） ，Pti，eω∈Pti。给定eω∈Ohm（一）∩Nci，自（γ）∨ ti）ti，eω∈根据建议2.1（2），我们从（6.4）中看到γ∨钛Ftti（eω）=EPti，eωhbYti，ωteω（γ）∨ti）ti，eωi≤ Z（ti，ω）teω）=Zti（eω）。所以Ohm（一）∩Nci Ai:={EPγ∨钛Ftti≤Zti}。

F-Pro位置4.1和命题2.1（3）对Z的适应性意味着Ztiis Ftti-可测量的人工智能∈Ftti。因此P（Ai）=P（i）（Ai）≥P（一）Ohm（一）∩Nci=1.即EPγ∨钛Ftti≤ Zti，P-a、 s.（6.5）6.2第4节中结果的证明13设定Ai:={ν=ti}∈ Ftti，as{γ<ti}Yγ=1{γ<ti}Yγ∧钛∈ Ftγ∧钛 Ftti，（6.6）我们可以从（6.5）中推断出EP[1AiYγ]=EPEP[1Ai{γ<ti}Yγ+1Ai{γ≥ti}Yγ∨ti | Ftti]=EPAi{γ<ti}Yγ+1Ai{γ≥ti}EP[Yγ∨ti | Ftti]≤ EPAi{γ<ti}Yγ+1Ai{γ≥ti}Zti= EPAi{γ<ν}Yγ+1Ai{γ≥ν} Zν,同样，EP[1AiYγ]=EPAi{γ≤ti}Yγ+1Ai{γ>ti}EP[Yγ∨ti | Ftti]≤EPAi{γ≤ν} Yγ+1Ai{γ>ν}Zν. 总结一下我∈ {1，··，m}产生的是Ep[Yγ]≤EP{γ<ν}Yγ+1{γ≥ν} Zν和EP[Yγ]≤EP{γ≤ν} Yγ+1{γ>ν}Zν. （6.7）取前者的上确界（P，γ）∈为了证明（6.3）的逆不等式，我们将粘贴局部逼近P-根据（P4）求Zt，ωti’s的最大化子，然后进行一些估计。Fix（P，γ）∈Pt×Tt，ε>0，letδ∈Q+满足ρY（δ）<ε/4。对于任意的eω∈Ohmt、 设δ（eω）∈(0, δ]∩Q∪{δ} 这是bρY（1+κ)δ（eω）+φωteωTκδ（eω）< ε/4. （6.8）由于正则空间Ohm它是可分离的，因此林德尔¨of，存在一个序列{eωj}j∈诺夫Ohm查克∪J∈NOδj（eωj）=Ohmtwithδj:=δ（eωj）。设i=1，m和j∈ N.By（2.1），Aij:={ν=ti}∩Otiδj（eωj）∪j′<jOtiδj′eωj′∈ Ftti。我们可以找到一对（Pij，γij）∈Pti×tti，使zti（ω）teωj）≤ EPijhbYti，ωteωjγiji+ε/4。

（6.9）给定eω∈ Otiδj（eωj），应用lemma A.2和（t，ω，ω′，P，γ）=ti，ωteωj，ωteω，Pij，γij, 我们从（6.8）中看到Epijhbyti，ωteωjγij-拜蒂，ω特伊吉≤ bρY（1+κ)kωteωj-ωteωk0，ti+φωteωjtiκkωteωj-ωteωk0，ti= bρY（1+κ)keωj-eωkt，ti+φωteωjtiκkeωj-eωkt，ti≤bρY（1+κ)δj+φωteωjTκδj<ε/4.然后用（t，ω，ω′）应用（4.2）=ti，ωteωj，ωteω, 我们可以从（6.9）和（6.8）中再次推断出Zti（eω）=Zti（ω）teω）≤ Ztiωteωj+ bρY（1+κ)kωteωj-ωteωk0，ti+φωteωjtiκkωteωj-ωteωk0，ti= Zti（ω）teωj）+bρY（1+κ)keωj-eωkt，ti+φωteωjtiκkeωj-eωkt，ti≤Zti（ω）teωj）+bρY（1+κ)δj+φωteωjTκδj< EPijhbYti，ωteωjγiji+ε/2<EPijhbYti，ωteωγiji+ε。（6.10）现在，fixλ∈ N.设置Pλm+1:=P，我们递归地从ptp中提取Pλi，i=m，·1，这样（P4）保持s、 英国石油公司，（Aj，δj，eωj，Pj）λj=1=ti，Pλi，Pλi+1，（Aij，δj，eωj，Pij）λj=1A=Ai：=λ∪j=1AijC∈ Ftti。然后EPλi[ξ]=EPλi+1[ξ]，ξ ∈L（Ftti，Pλi）∩LFtti，Pλi+1和EPλi[1Aiξ]=EPλi+1[1Aiξ]，ξ ∈L（FtT，Pλi）∩LFtT，Pλi+1. （6.11）对于任何i=1，··，m，如[6]中的引理A.1所示，γij（πtti）∈ Ttti，将γ与γij（tti）缝合形成一个新的ft-停止时间bγλ：=1{γ<ν}γ+1{γ≥ν}M∩i=1Aiγ+mXi=1λXj=1Aijγij（πtti）. （6.12*）非线性期望下随机到期的最优停止14我们从（6.11）中可以看到epλhm∩i=1AiYbγλi=EPλhm∩i=1AiYbγλi=···=EPλmhm∩i=1AiYbγλi=EPλm+1hm∩i=1AiYbγλi=EPhm∩i=1AiYγi。

（6.13）另一方面，对于任何（i，j）∈ {1，···，m}×{1，···，λ}，作为AijAi\'代表我\'∈ {1，··，m}{i}，我们可以从（6.6），（6.11），（3.6）和（6.10）推导出AijYbγλ=EPλhAijYbγλi=····=EPλi-1.AijYbγλ= EPλiAijYbγλ=EPλih{γ<ν}∩AijYγ+1{γ≥ν}∩AijYγij（tti）i=EPλih{γ<ti}∩AijYγ+1{γ≥ti}∩AijYγij（πtti）i≥EPλi+1{γ<ti}∩AijYγ+1{γ（eω）≥ti}∩{eω∈哎呀}EPijhbYti，ω特伊吉-ρY（δ）≥EPλi+1{γ<ti}∩AijYγ+1{γ≥ti}∩Aij（Zti- ε)= ··· = EPλm+1{γ<ν}∩AijYγ+1{γ≥ν}∩哎呀Zν- ε= EP{γ<ν}∩AijYγ+1{γ≥ν}∩哎呀Zν- ε.求和（i，j）∈ {1，···，m}×{1，···，λ}，然后与（6.13）结合，得到zt（ω）≥ EPλYbγλ≥ EP{γ<ν}Yγ+1{γ≥ν} Zν+ EPh{γ≥ν} m∩i=1Ai（Yγ）- Zν）i- ε≥ EPh{γ<ν}Yγ+1{γ≥ν} Zνi-2MYPM∩i=1Ai-ε、 （6.14）其中∩i=1Ai=M∪i=1λ∪j=1Aijc、 自从∪J∈NOtiδj（eωj） ∪J∈NOδj（eωj）=Ohmt每一个我∈{1，··，m}，我们看到了∪i=1∪J∈NAij=m∪i=1{ν=ti}∩∪J∈NOtiδj（eωj）=M∪i=1{ν=ti}=Ohmt、 让λ→∞ 然后让ε→0英寸（6.14）的产量（ω）≥EPh{γ<ν}Yγ+1{γ≥ν} Zνi（6.15）取上确界（P，γ）∈Pt×t并结合（6.3）证明（4.4）停止时间ν取很多值。2） 接下来，让我们展示（4.5）以及过程Z.Fixω的连续性∈Ohm 和0≤T≤s≤T如果t=s，则（4.5）基本成立。所以我们假设t<s.2a）让我们从证明一个辅助不等式开始：EPhZt，ωs-Zs（ω）我≤ 2C我的（s）-t） q∨（s）-t） q-Q+ bρYδt，s（ω）∨bbρYδt，s（ω）:=bφt，s（ω）。（6.16）对于任何eω∈ Ohmt、 用（t，ω，ω′）=（s，ω）应用（4.2）teω，ω）得出Z（s，ω）teω）-Zs（ω）≤bρY（1+κ)kωteω-ωk0，s+supr∈[s（eω），s（eω）](ωteω（r）-(ωteω）（s（eω））, （6.17）式中s（eω）：=(ωteω）∧(ω)∧s和s（eω）：=(ωteω）∨(ω)∧s、 让P∈ P和设置A:=nsupr∈[t，s]| Btr|≤（s）- t） qo。当Btt=0时，可以从（4.1）和（3.5）中推断出Ac | Zt，ωs-Zs（ω）|≤2MYP（交流）≤2MY（s）-（t）-量化宽松政策苏普∈[t，s]| Btr-Btt|≤2MY（s）-（t）-qEPh（s）-t） +supr∈[t，s]| Btr-Btt|我≤2MY（s）-（t）-qb（s）-（t）≤2 C我的（s）-t） q∨（s）-t） q-Q.

（6.18）关于EPA | Zt，ωs-Zs（ω）|, 我们将通过两个例子来估计（ω） ：（一）什么时候(ω) ≤ t、 设eω∈ A.应用引理A.1，其中（t，s，τ）=（0，t，) 结果就是(ω teω=（ω） ，thuss（eω）=s（eω）=(ω)∧s=(ω). 自切克ωteω-ωk0，s=supr∈[t，s]eω（r）+ω（t）-ω（r）≤ 苏普∈[t，s]eω（r）+ 苏普∈[t，s]ω（r）-ω（t）≤（s）-t） q+supr∈[t，s]ω（r）-ω（t）, （6.19）6.2第4节中结果的证明15我们可以从（6.17）tha tEPhA推断Zt，ωs-Zs（ω）我≤ bρYδt，s（ω）. （6.20）（ii）何时（ω） >t，再次应用引理A.1表明(ωTOhm（t）（t，t]和ζ：=t、 ω∧(ω)∧s∈Tt。删除ω∈A.自ζ（eω）=(ωteω）∧(ω)∧s=s（eω）>t，我们有supr∈[s（eω），s（eω）](ω teω（r）-(ω teω）（s（eω））= 苏普∈[s（eω），s（eω）]eω（r）-eω（s（eω））= 苏普∈[ζ（eω），s（eω）]Btr（eω）-Btζ（eω）.通过（2.5）和（6.19），s（eω）-ζ（eω）=s（eω）-s（eω）≤(ω teω）∨(ω)-(ω teω）∧(ω) = |(ω teω）-(ω)|≤κkωteω-ωk0，s<δt，s（ω）。太好了∈[s（eω），s（eω）](ωteω（r）-(ω teω）（s（eω））≤ 苏普∈[ζ（eω），（ζ（eω）+δt，s（ω））∧[T]Btr（eω）-Btζ（eω）. 然后（6.17），（6.19）和（3.5）暗示EPhAZt，ωs-Zs（ω）我≤ EPAbρYδt，s（ω）+supr∈[ζ，（ζ+δt，s（ω））∧[T]Btr-Btζ≤bbρYδt，s（ω）,这与（6.18）和（6.20）一起导致（6.16）。2b）现在，我们将使用（6.15），（6.16），（6.7）以及（3.5）来推导（4.5）。任何P∈Pt，应用（6.15）和ν=s和γ=s，我们从（6.16）中看到zt（ω）-Zs（ω）≥EPZt，ωs-Zs（ω）≥ -bφt，s（ω）。（6.21）至于逆不等式，让我们Fixε>0。存在一对（P，γ）∈ Pt×ttzt（ω）≤ EPbYt，ωγ+ε.应用（6.7）的第一个不等式，用ν=s得到thatZt（ω）≤EPbYt，ωγ+ε ≤ EP{γ<s}bYt，ωγ+1{γ≥s} Zt，ωs+ε. （6.22）对于任何eω∈ Ohmt、 bYt，ωγ（eω）-bYt，ωs（eω）=bYγ（eω），ωteω-通过s、 ωteω= Ys（eω），ωteω-Ys（eω），ωteω, 式中（eω）：=γ（eω）∧(ωteω）和s（eω）：=s∧(ωteω）。让我们用两个例子来说明eph{γ<s}bYt，ωγ（eω）-bYt，ωs（eω）我≤bρY（s）-t） 。

（6.23）如果(ω)≤t、 对于任意的eω∈Ohmt、 因为引理A.1表明(ωTOhm（t）=（ω） 我们认为s（eω）=s（eω）=（ω） 然后呢bYt，ωγ（eω）-bYt，ωs（eω）= 0.否则，如果（ω） t，再次应用引理A.1得到bγ：=γ∧t、 ω∈Tt。对于anyeω∈{γ<s}，因为bγ（eω）=γ（eω）∧(ωteω）=s（eω）≥t和自s（eω）-s（eω）≤s-t、 （2.2）意味着bYt，ωγ（eω）-bYt，ωs（eω）≤ρYs（eω）-s（eω）+ 苏普∈[0，T](ωteω）R∧s（eω）-(ωteω）R∧s（eω）≤ρY（s）-t） +supr∈[bγ（eω），s（eω）]eω（r）-eωbγ（eω）≤ρY（s）-t） +supr∈[bγ（eω），[bγ（eω）+s-（t）∧[T]Btr（eω）-Btbγ（eω）.然后（6.23）从（3.5）开始。将（6.23）代入（6.22），我们可以从（4.1）和（6.16）推导出zt（ω）-Zs（ω）≤EP{γ<s}bYt，ωs+1{γ≥s} Zt，ωs-Zs（ω）+ bρY（s）-t） +ε≤EPZt，ωs-Zs（ω）+ bρY（s）-t） +ε≤bφt，s（ω）+bρY（s-t） +ε。让ε→ 0并与（6.21）结合得到Zt（ω）-Zs（ω）≤bφt，s（ω）+bρY（s-t） ，即（4.5）。作为limts↓ δt，s（ω）=limst↓ δt，s（ω）=0，我们看到limts↓bφt，s（ω）=limst↓bφt，s（ω）=0，与（4.1）和（4.3）一起表明Z是F-以MYand为界且具有所有连续路径的自适应过程。3） 最后，我们给出了一般停止时间的（4.4）。Fix（t，ω）∈[0，T]×Ohm, ν ∈ t和（P，γ）∈Pt×Tt。我们仍然使用简单的符号（6.2）。对于任何k∈N、 让我们来看看settki:=t∨（i2）-kT），i=0，···，2k和定义νk:=1{ν=t}t+kXi=1{tki-1<ν≤tki}tki∈ Tt。（6.24）应用（6.7）的第二个不等式，其中ν=νkyields表示EP[Yγ]≤ EP{γ≤νk}Yγ+1{γ>νk}Zνk. 辛塞尔→∞↓ νk=ν和函数x的正弦→ 1{x≥a} 对任何a都是连续的∈ R、 （6.25）非线性期望下随机到期的最优停止→ ∞ 我们可以从Z的连续性（第2部分）、有界收敛定理和（4.1）thatEP[Yγ]≤EP{γ≤ν} Yγ+1{γ>ν}Zν≤ EP{γ<ν}Yγ+1{γ≥ν} Zν. （6.26）接下来，让n，k∈N<k。我们定义γN:=1{γ=t}t+Pni=1{tni-1<γ≤tni}tni∈t仍然考虑（6.24）中定义的νkde。

将（6.15）与（P，γ，ν）=（P，γn，νk）一起应用，得到zt（ω）≥EP{γn<νk}Yγn+1{γn≥νk}Zνk. （6.27）显然，{γn<ν} {γn<νk}。为了看到反向包含，我们让ω∈ {γn<νk}。确实存在∈ {0，··，2n}和j∈ {1，···，2k}使得tni=γn（ω）<νk（ω）=tkj。自{tnl}Nl=0 {tkl}Kl=0，一个有γn（ω）=tni≤ tkj-1< ν(ω).因此，{γn<ν}={γn<νk}和（6.27）变成Zt（ω）≥EP{γn<ν}Yγn+1{γn≥ν} Zνk. 作为k→ ∞, 第2部分（4.1）中Z的连续性和有界收敛定理表明{γn<ν}Yγn+1{γn≥ν} Zν= 林克→∞EP{γn<ν}Yγn+1{γn≥ν} Zνk≤ Zt（ω）。自从limn→∞↓ γn=γ，让n→ ∞, 我们可以从（6.25），Y的连续性，（4.1），有界收敛定理，以及（6.26）thatEP[Yγ]≤EP{γ<ν}Yγ+1{γ≥ν} Zν= 画→∞EP{γn<ν}Yγn+1{γn≥ν} Zν≤ Zt（ω）。取上确界（P，γ）∈Pt×t（4.4）。命题4.3的证明：Fix（Y，) ∈ S和n∈ 因为两个都是F-命题4.2中具有连续路径的自适应过程，自zt（ω）=supP∈PTEPhbYT，ωTi=bYT（ω），ω ∈ Ohm, （6.28）我们看到νn:=infT∈[0，T]：Zt-比亚特≤1/n（6.29）是F-停车时间。让我们也来计算一下（t，ω）∈[0，T]×Ohm.1） 给定ζ∈T，让我们首先展示zζ∧t（ω）≥Et[Zζ]（ω）。（6.30）Ifbt:=ζ（ω）≤ t、 应用引理A.1（t，s，τ）=（0，t，ζ）表明ζ（ωTOhm（t）≡自Zbt以来∈ Fbt Ftby命题4.2，使用（2.6）和（t，s，η）=0，t，Zbt表明（Zζ）t，ω（eω）=Zζ（ωteω）=Zbt，ωteω= Zbt，ω= Zζ(ω) ∧ t、 ω, eω∈Ohmt、 （6.31）由此得出Et[Zζ]（ω）=supP∈PtEP（Zζ）t，ω= Zζ∧t（ω）。另一方面，如果ζ（ω）>t，作为ζt，ω∈t根据引理A.1，用γ=ν=ζt应用ing（4.4），ω产生zζ∧t（ω）=Zt（ω）=sup（P，γ）∈Pt×TtEPh{γ<ζt，ω}bYt，ωγ+1{γ≥ζt，ω}Zt，ωζt，ωi≥ 晚餐∈PtEP（Zζ）t，ω=Et[Zζ]（ω）.2）Letζ∈T