非线性期望下随机到期的最优停止

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英文标题：
《Optimal Stopping with Random Maturity under Nonlinear Expectations》
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作者：
Erhan Bayraktar and Song Yao
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We analyze an optimal stopping problem with random maturity under a nonlinear expectation with respect to a weakly compact set of mutually singular probabilities $\\mathcal{P}$. The maturity is specified as the hitting time to level $0$ of some continuous index process at which the payoff process is even allowed to have a positive jump. When $\\mathcal{P}$ is a collection of semimartingale measures, the optimal stopping problem can be viewed as a {\\it discretionary} stopping problem for a player who can influence both drift and volatility of the dynamic of underlying stochastic flow.
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中文摘要：
我们分析了一个非线性期望下的随机成熟度最优停止问题，该问题是关于相互奇异概率$\\mathcal{P}的弱紧集。到期日被指定为某个连续指数过程达到$0$水平的命中时间，在该过程中，收益过程甚至可以有一个正跳跃。当$\\mathcal{P}$是一组半鞅测度时，对于一个既能影响潜在随机流动态的漂移又能影响其波动性的游戏者，最优停止问题可以看作是一个{it determinated}停止问题。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_Stopping_with_Random_Maturity_under_Nonlinear_Expectations.pdf (647.89 KB)

2022-5-8 06:25:51 上传

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关键词：非线性 Mathematical Optimization Quantitative Differential

非线性ar期望下随机到期的最优停止*+, 宋尧——我们分析了一个最优停车问题supγ∈TEγ∧τ非线性期望下的随机成熟度τ[·]：=supP∈PEP[·]，其中P是相互奇异概率的弱紧集。到期日τissp被定义为某个连续指数过程X达到0级的命中时间，在该时间点，支付过程Y甚至可以有正跳变。当P收集各种半鞅测度时，最优停止问题可以被视为一个任意停止问题，对于一个能够影响潜在随机流动态的漂移和波动的玩家来说。我们利用鞅方法构造一个最优对（P*, γ*) 对于sup（P，γ）∈P×TEPγ∧τ, 其中γ*是Y第一次满足其近似值E的极限Z-斯奈尔信封。为了克服P中概率的相互奇异性和Payoff过程的不连续性所引起的技术问题，我们通过增加Lipschitz连续停止时间序列来近似τ，通过一致连续过程序列来近似Y。关键词：任意停止，随机成熟度，弱公式中的控制，最优停止，非线性期望，粘贴下的弱稳定性，Lipschitz连续停止时间，动态规划原理，鞅方法。1.引言我们在非线性期望E[·]：=supP.下，解决了随机成熟度τ的连续时间最优停止问题∈PEP[·]，其中P是正则空间上相互奇异概率的弱紧集Ohm 连续的路径。更确切地说，让T收集关于标准过程B的自然过滤F的所有停止时间Ohm, 我们在定理3.1中构造了一个最优对（P*, γ*)∈P×T使得sup（P，γ）∈P×TEP[Yγ∧τ] =支持∈PEP[Yγ*∧τ] =EP*γ*∧τ.

（1.1）在这里，支付过程的形式为Yt:=1{t<τ}Lt+1{t≥τ} Ut，t∈[0，T]对于两个有界过程L≤U在（2.2）的se中是一致连续的，而随机成熟度τ是某个连续索引进程X达到0级的命中时间，该进程X适用于F.书写（1.1）或assupγ∈TE[Yγ∧τ] =E[Yγ*∧τ] （1.2）我们看到γ*是非线性期望下具有随机成熟度τ的最优停止的最优停止时间。当P c集合测度，其中B是具有一致有界漂移和扩散系数的半鞅（在这种情况下，非线性期望是Peng意义上的G-期望[39]），则*密歇根大学数学系，密歇根州安娜堡，48109；电子邮件：erhan@umich.edu.+E.Bayraktar部分由美国国家科学基金会资助，部分由苏珊·M·史密斯教授资助。本材料中表达的任何观点、发现、结论或建议均为作者的观点、发现、结论或建议，不一定反映国家科学基金会的观点宾夕法尼亚州匹兹堡匹兹堡大学数学系，邮编15260；电子邮件：songyao@pitt.edu.Optimal非线性期望下随机成熟度的停止2最优停止问题可以看作是一个对B动态的漂移和波动都能控制的游戏者的任意停止问题。Ekren、Touzi和Zhang[19]首次研究了非线性期望下随机成熟度的最优停止问题，他们也认为随机成熟度是B从凸开域O的第一个退出时间H，并认为奖励过程具有正跳跃，但不允许跳跃，这是我们感兴趣的情况。此外，O的凸性是应用的一个限制性假设，我们特别想在[7]中找到鲁棒Dynkin对策的最佳三元组。

我们通过以下两种方式扩展了[19]：首先，τ比H更一般，因此我们的结果至少可以用于识别鲁棒Dynkin对策的最佳三元组。参见例3.1中的τ，τ是某些非凸域中B的第一个e xit时间。其次，与[19]中使用的有限粘贴下的稳定性相比，我们对概率类施加了较弱的粘贴下的稳定性。自开创性工作[41]以来，鞅方法成为最优停止理论的主要工具（参见[35]，[22]，附录D，共[26]）。像[19]一样，我们将采用鞅方法，特别是非线性期望E。由于P中的概率是相互奇异的，我们无法确定E的条件期望，因此无法确定支付过程Y的斯奈尔包络，这是本质上的上确界意义。相反，我们使用移位过程和正则条件概率分布（详细信息见第2.1小节）来构造关于路径定义的非线性期望集[ξ]（ω）：=supP∈PtEP[ξt，ω]，（t，ω）∈[0，T]×Ohm. 这里是移位正则空间上的一组概率Ohmt其中包括所有源自P的正则条件概率分布，参见（P3）。在证明Ξ关于非线性期望的鞅性质时，se={Et}t∈[0，T]中，我们遇到了两个主要的技术难题：首先，P均值中没有支配概率，非线性期望E没有有界收敛定理，然后不能遵循El Karoui[22]中最优停止的经典方法来获得E-Ξ的鞅性质。

其次，支付过程的跳跃是随机到期时间τ和每个到期时间的不连续性Ohm （由于τ的不连续性）在推导Ξ的动态编程原理时带来了技术问题，这是E-Ξ的鞅性质。为了解决优化问题（1.1），我们首先考虑Y=L=U的情况，但是，具有连续停止时间 随着随机成熟。对于修改后的支付流程：∧t、 t∈ [0，T]，我们在orem 4.1中构造一个最优对（bP，bν）∈相应优化问题SUP（P，γ）的P×T∈P×TEPhbYγi=EbPhbYbνi（1.3），因此bν是第一次满足其要求-Snell包络Z.使用Y的一致连续性和, 我们首先得出每个Zton的连续性估计（4.2）Ohm, 这与Z的动态编程原理（4.4）有关，因此也与过程Z的路径连续性估计（4.5）有关。根据（4.4），我们在命题4中给出。3.Z是anE-supe rmartingale和Z都是E-子鞅直到每个近似停止时间νnof bν，后者o f表明对于某些Pn∈PZ=E[Zνn]≤ EPn[Zνn]+2-n、 （1.4）直到一个子序列，{Pn}n∈Nhas是弱紧概率集P中的一个极限BP，然后作为n→∞ 在（1.4）中，我们可以通过利用Z的连续性估计（4.2），（4.5）以及[19，定理m 3.3]证明中使用的类似参数来推导出Z=EbP[Zbν]，从而推导出（1.3），该证明使用了一系列准连续随机变量，将序列减少到bν。为了近似问题（1.1）中的一般支付过程Y，我们在命题5.1中构造了一个递增序列{n} n∈收敛于τ和满足的Nof-Lipschitz连续停止时间n+1-N≤2Tn+3，n∈N.（1.5）这个结果及其前提引理A.5和引理A.6是本文的主要贡献之一。

考虑到n，k∈ N、 在附近连接L和Un斜率为2k的直线产生一个均匀连续的过程，kt:=Lt+1.∧（2k（t）-n）-1)+（犹他州）-Lt），t∈[0，T]，见引理5.1。然后我们可以将定理4.1应用到Yn，作者要感谢张剑锋的有益讨论。1.简介3Lipschitz连续停车时间n、 k:=(n+21-（k）∧T查找Pn，k∈P使得-斯奈尔包络Zn，Koffrocesbyn，kt:=Yn，kn、 k∧t、 t∈[0，T]satieszn，k=EPn，khZn，kνn，k∧ζi，ζ ∈ T，（1.6）式中，νn，kis为第一次Byn，kmeets Zn，k.自Cebyn起，kdi来自过程Ynt:=limk→∞bYn，kt=1{t≤n} Lt+1{t>n} UNT∈ [0，T]仅在随机区间内[[Nn+21-k] [（两个进程都在n+21-k） ，L和U的一致连续性给出了一个不等式（5.4），关于BZn，k如何与E收敛-Snell包络Znof Ynin项为21-k、 类似地，我们可以从（1.5）和L，U的一致连续性推导出Zn和Zn+1之间距离的估计值（5.5），这进一步意味着对于每个（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, {Znt（ω）}n∈Nis是柯西序列，因此允许limitZt（ω），见（5.6）。然后我们在命题5.3中证明Z是F-适应了在你之上的连续过程-停止支付过程的斯奈尔包络Yτ，在到期τ后保持在Uτ，因此第一次γ*当Y在τ之前时。为了证明我们的主要结果，定理3.1，我们让n<i<l< 所以s打顶时间ζi，l:= infT∈[0，T]：Zl,lT≤Lt+1/i满足ζi，l∧N≤νm，m∧n、 用（n，k，ζ）涂抹（5.4）、（5.5）和（1.6）=m、 m，ζi，l∧ NyieldsZ≤Zm，m+εm≤EPm，mhZm，mζi，l∧ni+εm≤EPm，兆赫l,lζi，l∧ni+εm+εl. （1.7）让P*是{Pm，m}m的极限∈弱紧概率集P中的N（直到一个子序列）。

作为m→∞ 在（1.7）中，我们可以推导出Z≤EP*赫兹l,lζi，l∧ni+εl≤ EP*Zζi，l∧N+εl从（5.4），（5.5），Z的连续性估计（4.2），（4.5）l,l以及类似于[19，定理3.3]证明中使用的近似ζi的公式，l通过准连续随机变量的递减序列。然后发送l, i、 n to∞ lea ds toZ≤EP*Zγ*=EP*γ*∧τ≤晚餐∈PEP[Yγ*∧τ]≤ sup（P，γ）∈P×TEP[Yγ∧τ]≤Z、 （1.8）因此（1.1）成立。在我们关于概率类{Pt}t的假设中∈[0，T]，（P2）是移位正则过程bt的一个连续性条件，它在e ach Ft处是一致的-停止时间（FTP表示Bt的自然过滤）和每个P∈Pt。这个条件加上L，U的一致连续性意味着E的路径连续性（4.5）-任何一致连续过程的包络以及上述关于近似Snellenvelopes Zn和Zn的估计（5.4），（5.5），都是定理3.1证明的关键。我们对概率类{Pt}t施加的另一个重要假设∈[0，T]是“帕斯亭下的弱稳定性”（P4），这是动态规划原理（4.4）中的上解部分的关键-任何均匀连续过程的包络。更准确地说，（P4）允许我们组装lo calε-电子的最优控制-包络形成近似的氧化策略。在例3.3中，我们表明，这两个假设以及（P3）在弱公式化的控制下得到了满足。e、 P包含所有的半鞅测度s，其中B具有一致有界的漂移和扩散系数。相关文献。作者在[3,4]中分析了非线性期望下的最优停止问题∈过滤概率空间上的IEi[·]EOhm,英孚，英孚，英孚=eFtT∈[0，T], 其中{Ei[·Ft]}t∈[0，T]是aeF-每个指数i在EP下的一致（非线性）表达式∈ 我

一个值得注意的例子是ofeF-共同预期是[37]引入的“g-exp-ctations”，它代表了一个相当大的凸风险度量类别，这要归功于[14,38]。如果Ei是带控制的条件期望值，则supi下的最优停止问题∈IEi[·]正是具有任意停止的经典控制问题，其一般存在性/特征化结果可在[17,31,22,8,24,32,33,10,15,29]中找到。（对于此类控制问题应用的明确解决方案，可酌情停止，例如目标t跟踪模型和约束条件下美国包含索赔的上限套期保值价格的计算，请参考[29]中的文献。）另见[9,25,13]，了解椎间盘视网膜停止的相关最佳消耗量选择问题。当非线性的期望值变为零时∈IEi[·]，在[3,4]中考虑的最优停车问题转化为Knightian不确定性下的ro-bus t最优停车或密切相关的控制器-stopper-g ame，在过去的几十年中，也对其进行了广泛的研究[28、30、23、12、15、40、2、3、4、5、11、34]等。非线性期望下随机成熟度的最优停止4最后一段图中引用的所有工作都假设概率集P由单一概率控制，或者控制器只允许影响漂移。当P包含相互奇异的概率，或者控制器不仅可以影响漂移，还可以影响波动性时，由于P的相互奇异性所导致的技术微妙性，研究取得了一些进展，例如有界/支配收敛理论在这个框架中通常失败。

Krylov[31]解决了具有一致非退化扩散的一维马尔可夫模型中任意停止的控制问题，然而，他的方法严重依赖（确定性）值函数的光滑性，在一般情况下不起作用。为了将粘性解的概念推广到完全非线性的路径依赖型偏微分方程，E kren、Touzi和Zhang[19]研究了非线性期望下随机成熟度H的最优停止问题。然而，我们的论文分析了一个类似的pr问题，考虑到τ的更一般形式，如上所述。尽管遵循了它的技术设置，我们还是采用了一种与[19]截然不同的方法：估计t-沿两条路径ω，ω′的时间斯奈尔包络值∈ Ohm 满足t<H（ω）∧H（ω′），即。t（ω，ω′）=sup（P，γ）∈Pt×TtEPhYt，ωγi- sup（P，γ）∈Pt×TtEPhYt，ω′γiwithYs:=YH∧s、 s∈[0，T]，[19]关注在短时间[T，T+δ]内沿直线l从ω′（T）到ω（T）移动的所有轨迹。在概率类{Ps}上使用“有限粘贴的稳定性”假设∈[0，T]这意味着（P4），见备注3.1（3）假设Pt |[t，t-δ] Pt+δ，[19]沿着这些轨迹将分布P从时间t移动到时间t+δ。当l仍然在凸开域内时，停止时间H可以沿这些轨迹以δ的延迟传递。然后用Y的统一连续性来估计t（ω，ω′）.

另一方面，如上所述，我们首先解决具有连续随机成熟度的最优停止问题 然后通过Lipschitz连续停止时间来近似命中时间τ。对于鲁棒最优停止问题，或相关的控制器-停止博弈，关于相互奇异概率集P，Nutz和Zhang[36]以及Bayraktar和Yao[6]使用不同的方法来获得非线性期望Et[ξ]（ω）：=infP下博弈值的存在性及其鞅性质∈PtEP[ξt，ω]，（t，ω）∈ [0，T]×Ohm （与[36]的比较见[6]的引言。）。例如[27]和[1]在某些特定情况下也考虑了这种最佳停止问题（参见[6]的摘要）。此外，Bayraktar和Yao[7]分析了一个关于相互奇异概率的鲁棒Dynkin对策，他们证明了Dynkin对策有一个值，并刻画了它的E-鞅性质。应用本文的主要结果，定理3.1，[7]也得到了鲁棒Dynkin对策的最优三元组。最近，Ekren和Zhang[21]发现，我们的结果有助于定义fullynon线性简并路径依赖型偏微分方程的粘度解。本文的其余部分组织如下：第2节介绍了一些符号和初步结果，如正则条件概率分布。在第三节中，我们在对支付过程和类{Pt}t施加一些假设之后，陈述了非线性期望下具有随机成熟度τ的最优停止问题的主要结果∈[0，T]的相互奇异概率。