非线性期望下随机到期的最优停止

在第4节中，我们首先在非线性预期下解决了一个具有一致连续Payoff过程和Lipschitz连续随机成熟度的辅助最优停止问题，研究了相应的E-Snell包络，如它所满足的动态编程原理、路径规则性特性以及-鞅特征。在第5节中，我们通过Lipschitz连续停止时间来近似指数过程X的命中时间τ，并通过统一连续过程es来近似τ处不连续的一般支付过程。然后，我们证明了近似一致连续过程的斯奈尔包络的收敛性，并导出了其极限的正则性，这对于证明我们的主要结果是必要的。第6节包含我们结果的证明，而这些证明中带有星号标签的一些辅助陈述的说明则推迟到附录中。附录中还包括两个技术问题。2符号和P r省略通过本文，我们∈N和时间范围T∈(0, ∞). 让我们∈[0，T]。我们开始Ohmt:=ω ∈ C[t，t]；研发部: ω（t）=0作为周期[t，t]上的正则空间。给定ω∈ Ohm, φωt（x）：=sup|ω（r′）-ω（r）|：r，r′∈ [0，t]，0≤ |r′-r|≤ 十、, 十、∈ [0，t]显然是满足2的连续性函数的模。1移位过程与正则条件概率分布5limx→0+↓ φωt（x）=0。对于任何人来说∈[t，t]，kωkt，s:=supr∈[t，s]|ω（r）|，ω ∈Ohmtde定义了一个关于Ohmt、 特别是，k·kt是Ohmt、 下面Ohm这是一个可分的完备度量空间。Btof的规范过程Ohm这是一个d-Wiener测度Ptof下的二维标准布朗运动Ohmt、 FtT. 设Ft={Fts}s∈[t，t]，含Fts:=σBtr；R∈ [t，s], 成为BTF的自然过滤，让TTF收集所有信息-停车时间。另外，让我们收集所有的概率Ohmt、 FtT.

任何P∈P对于FtT的任何子西格玛域G，我们用L（G，P）表示所有实值空间G-可测随机变量ξ与kξkL（G，P）：=EP|ξ|< ∞.考虑到∈[t，t]，我们设置Tts:={τ∈Tt：τ（ω）≥sω ∈Ohmt} 并定义截断映射∏tsfromOhmttoOhm斯比πts（ω）（r） ：=ω（r）-ω（s），（r，ω）∈[s，T]×Ohmt、 根据[6]中的引理A.1，τ（πts）=τoπts∈Tts，τ ∈对于任何δ>0和ω∈Ohmt、 Osδ（ω）：=ω′∈ Ohmt:kω′- ωkt，s<δ这是Fts-可测操作集Ohmt、 （2.1）andOsδ（ω）：=ω′∈Ohmt:kω′-ωkt，s≤δ这是Fts-可测闭集OhmT参见[6]中的例（2.1）. 特别地，我们将分别用Oδ（ω）和Oδ（ω）简单地表示OTδ（ω）和OTδ（ω）。如果上标t为0，我们将从上述符号中删除它。比如(Ohm, F）=(Ohm, F） 。我们说ξ是一个连续的随机变量Ohm 如果有ω∈Ohm ε>0时，存在一个δ=δ（ω，ε）>0，如|ξ（ω′）-ξ（ω）|<ε对于任何ω′∈Oδ（ω）。此外，ξ被称为L-ipschitz连续随机变量Ohm 如果对于某些κ>0，|ξ（ω′）-ξ(ω)|≤κkω′-ωk0，任意ω，ω′的Tholds∈Ohm.如果| Xt（ω）|，我们说一个过程X被一些C>0所限定≤ C表示任意（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. 此外，实值过程X在[0，T]×上是一致连续的Ohm 关于连续函数的某些模ρif | Xt（ω）-Xt（ω）|≤ρD∞（t，ω），（t，ω）, （t，ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, （2.2）其中d∞（t，ω），（t，ω）:= |T-t |+kω(·∧（t）-ω(·∧t） k0，t.对于任何t∈[0，T]，在（2.2）中取T=T=T表示Xt（ω）-Xt（ω）≤ρkω-ωk0，t, ω, ω∈Ohm, 这意味着英国《金融时报》-Xt的可测性。SoX确实是一个F- 适应所有连续路径的过程。（2.3）此外，设M表示连续函数ρ的所有模，对于某些C>0和0<p≤p、 ρ（x）≤C（xp∨xp），十、∈[0, ∞). （2.4）在本文件中，我们将经常使用公约inf := ∞ 以及| x∧ A.- Y∧ a|≤ |十、- y |和| x∨ A.- Y∨ a|≤ |十、- y |，a、 x，y∈ R

（2.5）2.1移位过程和正则条件概率分布在本小节中，我们定义为0≤T≤s≤Tnω的级联ω的seω∈Ohmtand和eω∈Ohm周六时间：ω seω（r） ：=ω（r）1{r∈[t，s）]+ω（s）+eω（r）{r∈[s，T]}，R∈ [t，t]定义了另一条道路Ohmt、 集合ωs= ω海：=ωseω：eω∈eA对于任何非空的茶Ohms、 引理2.1。如果∈ Fts，然后ωsOhms A表示任何ω∈ A.对于任何Fts-可测随机变量η，自{ω′起∈Ohmt：η（ω′）=η（ω）}∈Fts引理2.1意味着ωsOhms {ω′∈Ohmt：η（ω′）=η（ω）}即η（ω）seω）=η（ω）， eω∈Ohms、 （2.6）也就是说，η（ω）仅取决于ω|[t，s]。让ω∈Ohmt、 对于任何一个Ohmtwe集为，ω：={eω∈Ohms:ωseω∈A} 作为一个Ohm沙龙ω。特别地，s、 ω=. 给定一个随机变量ξonOhmt、 通过ξs，ω（eω）：=ξ（ω），确定ξ沿ω|[t，s]的位移ξs，ωseω）， eω∈Ohms、 相应地，对于进程X={Xr}r∈[t，t]打开Ohmt、 它的移位过程Xs，ωisXs，ω（r，eω）：=（Xr）s，ω（eω）=Xr（ω）seω），（r，eω）∈ [s，T]×Ohms、 移位随机变量和移位过程“继承”了原始变量的可测性：非线性期望下随机成熟度的最优停止6命题2.1。让0≤T≤s≤T和ω∈ Ohmt、 （1）如果实值随机变量ξOhm这是Ftr-对某些人来说是可测量的∈ [s，T]，那么ξs，ω是Fsr-可测量的（2） 对于任何τ∈Tt，如果τ（ω）sOhm（s）[r，T]对于一些r∈[s，T]，然后τs，ω∈Tsr。（3） 如果实值进程{Xr}r∈[t，t]是英尺-适应（分别为英尺）-然后x，ω是Fs-改编（分别为Fs）-逐步测量）。让P∈Pt。根据规则的条件概率分布（参见[43]），我们可以按照[6]的第2.2节来引入移位概率{Ps，ω}ω族∈OhmTPs，对应的移位随机变量继承了原始变量的P可积性：命题2.2。如果ξ∈LFtT，P为了一些P∈Pt，那么它适用于P-a、 美国。

ω ∈Ohmtξs，ω∈LFsT，Ps，ω安第普斯，ωξs，ω= EPξFts(ω) ∈ R.（2.7）本小节在[6]中给出了更多细节和证据。3本节的主要结果，在对支付过程和{Pt}t类进行了一些假设之后∈[0，T]对于相互奇异的概率，我们将给出我们的主要结果，定理3.1，关于非线性期望下的最优停止问题[·]：=supP∈PEP[·]，其随机成熟度以某种连续指数过程X的击中时间τ到0级的形式存在。更精确地说，设X是一个X>0的过程，使得它的所有路径都是连续的，并且对于某些连续函数的模ρX | Xt（ω）- Xt（ω′）|≤ ρX（kω）- ω′k0，t），T∈ [0，T]，ω, ω′∈ Ohm. （3.1）显然，（3.1）意味着-X的适应性。然后τ：=inf{t∈[0，T]：Xt≤0}∧T∈（0，T]是F-停止时间和τn:=infT∈[0，T]：Xt≤对数（n+2）+十、-1.-1.-1.∧T∈（0，τ），n∈N（3.2）是F的递增序列-收敛于τ的停止时间。下面的例子表明，τ可能是B从某个非凸域的首次退出时间。例3.1。1）设d=2。显然，Xt=1+B（2）t+B（1）t, T∈ [0，T]定义一个X=1的过程，使其所有路径都是连续的，并且对于任何T∈ [0，T]和ω，ω′∈ Ohm, |Xt（ω）-Xt（ω′）|≤B（1）t（ω）-B（1）t（ω′）+B（2）t（ω）-B（2）t（ω′）≤ 2 | Bt（ω）-Bt（ω′）|≤ 2kω-ω′k0，t。然而，τ=inf{t∈ [0，T]：Xt≤ 0}∧T=inf{T∈ [0，T]：Bt/∈ Υ}∧这是B从Υ开始的第一次退出时间：={（x，y）∈ R:y>-1.- |x |}，R.2）的一个非凸子集，设d=2，设Γ：={（R cosθ，R sinθ）：R∈ [0, 1], θ ∈ [0，π]}是以原点（0，0）为中心的3/4单位磁盘。显然，Xt:=1/2- 地区（Bt，Γ），t∈ [0，T]是一个X=1/2的过程，因此它的所有路径都是连续的，对于任何T∈ [0，T]和ω，ω′∈ Ohm, |Xt（ω）- Xt（ω′）|≤ |dist（Bt（ω），Γ）- dist（Bt（ω′），Γ）|≤ |Bt（ω）- Bt（ω′）|≤kω- ω′k0，t。

然而，τ=inf{t∈ [0，T]：Xt≤ 0}∧ T=inf{T∈ [0，T]：Bt/∈eΓ}∧ T是B从eΓ开始的第一次退出时间：={（x，y）∈ R:dist（（x，y），Γ）<1/2}，R.3.1支付过程的一致连续性的另一个非凸子集，支持支付过程（L，U）的假设。设L和U是两个实值过程，有界于某个M>0，使得（A1）在[0，T]×上一致连续Ohm 用r表示ρ∈ M使得ρ满足（2.4），其中有些c>0，有些c<p≤ P（A2）Lt（ω）≤ Ut（ω），（t，ω）∈ [0，T）×Ohm LT（ω）=UT（ω），ω ∈ Ohm.我们考虑以下支付过程：=1{t<τ}Lt+1{t≥τ} Ut，t∈ [0，T]，（3.3）很明显，Y是F-由Mw路径限定的适应过程都是连续的，除了在τ3.2处可能出现的正跳变外，粘贴7例3.2下的弱稳定性。1）（针对控制者的美式或有索赔）考虑针对能够通过某些控制影响概率模型的代理人的美式或有索赔（例如内部人）：当某些基本指数过程I上升到一定水平a（TakingXt=a）时，索赔第一次向代理人支付捐赠UτIat-是的，t∈[0，T]表明τ=τI）。如果代理人选择在比τI更早的时间γ运动，她将接受γ。那么这种美式未定权益的价格是sup（P，γ）∈P×TEP[Yγ∧τ] .2）（鲁棒Dynkin博弈）[7]分析了robus t Dynkin博弈关于相互奇异概率集P的情况：玩家1（保守地认为性质不利于她）将从玩家2处获得报酬（τ，γ）：=1{τ≤γ} Lτ+1{γ<τ}Uγ，如果他们选择在τ退出游戏∈ T和γ∈ 分别是T。本文证明了玩家1在鲁棒Dynkin博弈中有一个价值，即。

V=infP∈Pinfγ∈Tsupτ∈泰普R（τ，γ）= supτ∈Tinfγ∈TinfP∈打气R（τ，γ）并确定最佳停止时间τ*对于玩家1，这是玩家1的价值过程首次满足L（见其中的定理5.1）。然后将鲁棒Dynkin对策归结为具有随机成熟度τ的最优停止问题*在非线性预期下：=supP∈PEP[]，即sup（P，γ）∈P×TEP[Yγ∧τ*], 其中L：=-U和U：=-L.3.2所有对（Y，) 因此，（i）Y是一个以MY>0为界的真值过程，且在[0，T]×上一致连续Ohm 关于ρY∈M（二） ∈ T是一个Lipschitz连续停车时间Ohm 具有系数κ> 0: |(ω) -(ω′)| ≤ κkω-ω′k0，T，ω, ω′∈Ohm.对任何人来说，) ∈ S、 我们定义为：=Y∧t、 t∈ [0，T]，（3.4）这显然是一个F- 以神话为界的适应过程具有所有连续路径。关于概率类的假设。我们考虑一个家庭{Pt}t∈Pt，T子集的[0，T]∈ [0，T]使得（P1）P:=P是P.（P2）的弱紧子集，对于任何ρ∈ M、 存在M的另一个bρ，即sup（P，ζ）∈Pt×TtEPρδ+supr∈[ζ,(ζ+δ)∧[T]Btr- Btζ≤ bρ（δ），T∈ [0，T），δ ∈ (0, ∞). （3.5）特别是，我们要求bρ满足（2.4），其中某些bc>0，而1<bp≤英国石油公司。（P3）对于任何0≤ t<s≤ T，ω∈ Ohm 和P∈Pt，存在一个扩展(Ohmt、 F′，P′）的(Ohmt、 FtT，P）i、 e.FtTF′和P′|FtT=P和Ohm′∈ F′与P′的结合(Ohm′) = 1使得对于任何eω，Ps，eω都属于Ps∈ Ohm′.（P4）对于任何（Y），) ∈S、 存在一个连续性函数的模ρYsuch，下面的语句对任何0都适用≤t<s≤T，ω∈ Ohm 和P∈Pt：给定δ∈Q+和λ∈N、 le t{Aj}λj=0be a Fts-分割Ohm对于j=1，··，λ，Aj 某些δj的Osδj（eωj）∈(0, δ]∩Q∪ {δ} 和eωj∈ OhmT

那么对于任意{Pj}λj=1 Ps，这里有abP=bP（Y，)∈Pt使（i）bP（A）∩ A） =P（A）∩ A） ,，A.∈ FtT；（ii）对于任何j=1、·、λ和A∈ 英国石油公司金融时报∩ Aj）=P（A）∩ Aj）安第布帕∩AjbYt，ωγ（πts）i≥EPh{eω∈A.∩Aj}EPj比，ωteωγ-ρY（δ）我γ ∈ Ts.（3.6）以下是本文关于优化问题（1.1）可解性的主要结果。定理3.1。假设（3.1）、（A1）、（A2）和（P1）-（P4）。然后优化问题（1.1）允许一个最优对（P*, γ*)∈P×T，其中γ的形式*将在提案5.3（4）中详细说明。任何英国《金融时报》-可测随机变量ξ在某些C>0的范围内，我们用概率类{Pt}t定义其非线性期望∈[0，T]byEt[ξ]（ω）：=supP∈PtEP[ξt，ω]，（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.非线性期望下具有随机成熟度的最优停止，则（1.1）可替换地表示为（1.2），即γ*对于非线性期望下的最优停车，单独停车是最优停车时间。备注3.1。（1）显然，（x） ：=x，十、∈ [0, ∞) 是M中连续函数的模。设b 在M in（P2）中是它的对应元素，并假设b 对某些C类的满意度（2.4）>0和0<q≤q、 （2）基于（P2），（3.6）右侧的期望值定义得很好，因为映射eω→EeP比，ωteωγ在范数k kt，t下对任何EP都是连续的∈Psandγ∈Ts.（3）与[6]中的假设（P2）类似，条件（P4）可被视为一种弱形式的st能力下传，因为它由“固定粘贴下的稳定性”所暗示参见[42]中的例（4.18）: 对于任何0≤t<s≤T，ω∈Ohm,P∈Pt，δ∈ Q+和λ∈ N、 设{Aj}λj=0为Fts-分割Ohm对于j=1，··，λ，Aj 某些δj的Osδj（eωj）∈(0, δ]∩Q∪ {δ} 和eωj∈ Ohmt、 那么对于任意{Pj}λj=1Ps，由bp（A）=P（A）定义的概率∩ A.+λXj=1EPh{eω∈Aj}PjAs，eω我A.∈ FtT（3.7）在Pt中。例3.3。

（弱配方的控制）给定l > 0，设{Plt} t∈[0，T]是[19]中考虑的半鞅测度族，如Plt收集上的所有连续半鞅测度(Ohmt、 FtT），其漂移和差异特征以l 和√2.l 分别地根据其中的引理2.3，{Plt} t∈[0，T]满足度（P1）、（P3）和在有限粘贴下的稳定性因此（P4）在备注3.1（3）中. 此外，我们可以从Bu r Kholder-Davis-Gundy不等式推断{Plt} t∈[0，T]满意度（P2），详见第6节。4 Lipschitz连续随机成熟度的最优停止为了解决优化问题（1.1），我们在本节中首先分析了非线性期望下具有一致连续Payoff过程和Lipschitz连续随机成熟度的辅助最优停止问题。让概率类{Pt}t∈[0，T]满足（p2）-（P4）。为了解决（1.1），我们首先考虑Y=L=U的随机到期情况 对一些人来说，)∈对于任意（t，ω）∈[0，T]×Ohm, definezt（ω）：=sup（P，γ）∈Pt×TtEPhbYt，ωγ是支付过程的斯奈尔包络，对应于非线性预期se={Et}t∈[0，T]给定历史路径ω|[0，T]。我们只把Z称为你-斯内尔·恩弗洛比。自从F-BY和（2.6）的ada属性意味着bYt，ωt（eω）=bYt（ωteω）=bYt（ω）， eω∈Ohmt、 一个哈斯米≥ Zt（ω）≥ 晚餐∈PtEPhbYt，ωti=bYt（ω）≥ -我的（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. （4.1）给定t∈[0，T]，我们对每个ω处随机变量zt的连续性有如下估计∈ Ohm, 这不仅是k0下ω的距离，而且是ω到时间t的路径信息。命题4.1。假设（P2）。让我们，)∈S和（t，ω）∈[0，T]×Ohm. 它适用于任何ω′∈Ohm|Zt（ω）-Zt（ω′）|≤bρY(1+κ)kω-ω′k0，t+supr∈[t，t]ω（r）-ω（t）≤bρY（1+κ)kω-ω′k0，t+φωtκkω-ω′k0，t, （4.2）式中t:=(ω) ∧ (ω′) ∧ t和t：=(ω) ∨ (ω′)∧ T

因此，Zt（ω）在规范k0，t下在ω中是连续的：即对于任何ε>0，存在δ=δ（t，ω）>0，使得|Zt（ω′）- Zt（ω）|<ε，ω′∈ Otδ（ω），（4.3），因此zt是Ft-可测量的5.随机成熟度的最优停止τ带支付过程Y和随机成熟度的辅助优化问题（1.3）的求解基于以下动态规划原理-斯奈尔包络Z及其结果，过程Z的连续性估计：命题4.2。假设（P2）-（P4）。让我们，) ∈ 它适用于任何（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 和ν∈ TtthatZt（ω）=sup（P，γ）∈Pt×TtEPh{γ<ν}bYt，ωγ+1{γ≥ν} 因此，Z是F-以神话为界的适应过程具有所有连续路径。更准确地说，对于任何ω∈Ohm 和0≤T≤s≤TZt（ω）-Zs（ω）≤ 2C我的（s）-t） q∨（s）-t） q-Q+ bρY（s）-t） +bρYδt，s（ω）∨bbρYδt，s（ω）, （4.5）式中δt，s（ω）：=（1+κ)（s）-t） q+支持≤r<r′≤sω（r′）-ω（r）andbbρY∈M是对应于bρYin（P2）的连续性函数的模。注释C见备注3.1（1）, QandQhere。根据4.2号提案-斯内尔·e·恩弗洛普·Z有以下e-鞅性质：命题4.3。As s ume（P2）-（P4）。让我们，) ∈ S和n∈ N.那么Z是anE-超级马丁格尔，Z是一个-[0，νn]上的次鞅，对于任何ζ∈ TZζ∧t（ω）≥Et[Zζ]（ω）和Zνn∧ζ∧t（ω）≤ Et[Zνn∧ζ](ω), （t，ω）∈ [0，T]×Ohm,式中，νn:=infT∈[0，T]：Zt-比亚特≤N∈T剥削你-将Z的ale子划分到νnas，以及Z的连续性估计（4.2），（4.5），我们可以通过采用与[19，定理3.3]的proo f中使用的参数类似的参数来解决优化问题（1.3）。定理4.1。假设（P1）-（P4）和（Y，)∈美国存在abP∈P使得Z=EZbν=EbPZbν=EbPbYbν,式中bν：=infT∈[0，T]：Zt=bYt∈T也就是说，bν，bP使用Payoff processbY解决优化问题（1.3）。

此外，它适用于任何ζ∈ T表示Z=EZbν∧ζ= EbPZbν∧ζ.5随机成熟度的最优停止τ在本节中，我们用Lipschitz连续停止时间近似指数过程X的击中时间τ，并用一致连续过程近似（3.3）中的一般支付过程Y。我们证明了近似一致连续过程的Snell包络的收敛性，并导出了其极限的正则性，这对于证明我们的主要结果定理3.1至关重要。为了应用定理3.1，我们首先用递增序列近似τ{n} n∈Nof Lipschitz连续停止时间n+1-随着n的增加，nuniformly减小到0→∞:提议5.1。假设（3.1）。存在一个递增序列{n} n∈nint和一个递增序列{κn}n∈带limn的Nof正数→∞↑ κn=∞ 这样对于任何一个n∈N（1）τN（ω）≤n（ω）≤τ（ω）和0≤ n+1（ω）- n（ω）≤2Tn+3，ω ∈ Ohm. 特别是，如果{t∈[0，T]：Xt（ω′）≤对于某些ω′，0}不是空的∈ Ohm, 然后n（ω′）<τ（ω′）。（2） 给定ω，ω∈Ohm,n（ω）-n（ω）≤κnkω-ωk0，任意t的tholds∈T∈[an，T]：T≥an+κnkω-ωk0，t∪{T}，其中：=n（ω）∧n（ω）。让n，k∈ 让我们美国国家广播公司-提案5.1中规定的停车时间。我们用斜坡线连接附近的土地Unas如下：对于任何t∈ [0，T]，Yn，kt:=Lt+1.∧ （2k（t）- n）- 1)+（犹他州）- Lt）（5.1）=1{t≤n+2-k} Lt+1{n+2-k<t<n+21-k} n1.-2k（t）-N-2.-（k）Lt+2k（t）-N-2.-k） Uto+1{t≥n+21-k} Ut，（5.2）非线性期望下随机到期的最优停止{n（ω）+2-k<t<n（ω）+21-k}响应。{t≥n（ω）+21-k}可能是空的，如果n（ω）+2-K≥T响应。n（ω）+21-k> T对于某些ω∈Ohm.显然，过程Yn，kis也以M为界，并且在[0，T]×上是一致连续的Ohm 关于某些ρn，k∈ M：引理5.1。假设（3.1）和（A1）。