非线性期望下随机到期的最优停止

我们还讨论了t（t′，ω′）∈[0，T]×Ohm.如果t′≤T-δ、 自从n+1（ω′）≤n（ω′）+δ通过命题5.1（1），可以推断出thatYn+1（t′+δ，ω′）=1{t′+δ≤n+1（ω′）L（t′+δ，ω′）+1{t′+δ>n+1（ω′）Un+1（ω′），ω′≥ 1{t′+δ≤n+1（ω′）L（t′+δ，ω′）+1{n+1（ω′）-δ<t′≤n（ω′）Ln+1（ω′），ω′+1{t′>n（ω′）Un+1（ω′），ω′,因此thatYn（t′，ω′）-Yn+1（t′+δ，ω′）≤1{t′+δ≤n+1（ω′）}L（t′，ω′）-L（t′+δ，ω′）+1{n+1（ω′）-δ<t′≤n（ω′）}L（t′，ω′）-Ln+1（ω′）∨t′，ω′+1{t′>n（ω′）}Un（ω′），ω′-Un+1（ω′），ω′. （6.61）同时，（A2）表示yn+1（T，ω′）=1{T=n+1（ω′）L（T，ω′）+1{T>n+1（ω′）Un+1（ω′），ω′= 1{T=n+1（ω′）U（T，ω′）+1{T>n+1（ω′）Un+1（ω′），ω′=Un+1（ω′），ω′. （6.62）设eω∈{γ>T-δ} 所以eγ（eω）=T。取（t′，ω′）=γ（eω），ωteω在（6.56）和（6.62）中得到（Yn）t，ωγ（eω）-Yn+1t、 ωeγ（eω）=Ynγ（eω），ωteω-Yn+1（T，ω）teω）≤Un（ω）teω）∧γ（eω），ωteω-Un+1（ω）teω），ωteω= 1{γ（eω）≤n（ω）teω）}Uγ（eω），ωteω-Un+1（ω）teω）∨ γ（eω），ωteω+1{γ（eω）>n（ω）teω）}Un（ω）teω），ωteω-Un+1（ω）teω），ωteω≤ρδ+supr∈[γ（eω），（γ（eω）+δ）∧[T]Btr（eω）-Btγ（eω）-Jγ，T（eω），（6.63），其中我们从（2.2）thatU得到γ（eω），ωteω-Un+1（ω）teω）∨ γ（eω），ωteω≤ ρn+1（ω）teω）∨ γ（eω）-γ（eω）+ 苏普∈[0，T](ωteω）R∧ (n+1（ω）teω）∨ γ（eω））-(ωteω）（r）∧ γ（eω））≤ ρT-γ（eω）+ 苏普∈[γ（eω），T]eω（r）-eω（γ（eω））≤ ρδ+supr∈[γ（eω），（γ（eω）+δ）∧[T]Btr（eω）-Btγ（eω）.非线性期望下随机成熟度的最优停止，另一方面，设eω∈{γ ≤T-δ}.

用（t′，ω′）应用（6.61）=γ（eω），ωteω得到（Yn）t，ωγ（eω）-Yn+1t、 ωeγ（eω）=Ynγ（eω），ωteω- Yn+1γ（eω）+δ，ωteω≤ 1{γ（eω）+δ≤n+1（ω）teω）}L（γ（eω），ωteω）-L（γ（eω）+δ，ωteω）+1{n+1（ω）teω）-δ<γ（eω）≤n（ω）teω）}L（γ（eω），ωteω）-Ln+1（ω）teω）∨γ（eω），ωteω+1{γ（eω）>n（ω）teω）}U(n（ω）teω），ωteω）-Un+1（ω）teω），ωteω≤ρδ+supr∈[γ（eω），（γ（eω）+δ）∧[T]Btr（eω）-Btγ（eω）-Jγ，T（eω），（6.64），其中我们从m（2.2）推导出n+1（ω）eω）<γ（eω）+δ，Lγ（eω），ωteω-Ln+1（ω）teω）∨ γ（eω），ωteω≤ ρn+1（ω）teω）∨ γ（eω）-γ（eω）+ 苏普∈[0，T](ωteω）R∧ (n+1（ω）teω）∨ γ（eω））-(ωteω）（r）∧ γ（eω））≤ ρδ+supr∈[γ（eω），（γ（eω）+δ）∧[T]eω（r）-eω（γ（eω））≤ ρδ+supr∈[γ（eω），（γ（eω）+δ）∧[T]Btr（eω）-Btγ（eω）.结合（6.63）和（6.64），我们可以从（6.54）和（3.5）中看到这一点（Yn）t，ωγ≤伊芙Yn+1t、 ωeγ-Jγ，Ti+bρ（δ）≤Zn+1t（ω）-EU+2bρ（δ）。然后取上确界（P，γ）∈左手边的Pt×t导致Znt（ω）≤Zn+1t（ω）-EU+2bρ（δ）。命题5.3的证明：1）让n∈引理5.1和命题4.2表明Zn，k，k∈N是F-适应所有连续路径的流程。对于任意（t，ω）∈[0，T]×Ohm, 作为k→∞ 在（5.4）中，U的连续性意味着thatlimk→∞Zn，kt（ω）=Znt（ω）。（6.65）然后是F-{Zn，k}k的适应性∈Nshows的工艺也是F- 改编。给定（s，ω）∈[0，T]×Ohm, 让t→在（5.4）中，我们可以从过程U，{Zn，k}k的连续性推导∈NthatZn，ks（ω）- bρ（21）-（k）- U(n（ω）+21-（k）∧ s、 ω+ U(n（ω）∧ s、 ω）≤ 极限→sZns（ω）≤极限→sZns（ω）≤ Zn，ks（ω）+2bρ（21）-（k）- U(n（ω）+21-（k）∧ s、 ω+ U(n（ω）∧ s，ω），K∈ N.作为k→∞, （6.65）U的连续性意味着limt→sZnt（ω）=limk→∞Zn，ks（ω）=Zns（ω）。因此，过程zns具有所有连续路径。2） Fix（t，ω）∈[0，T]×Ohm. 对于任何n<m的整数，从i=n到i=m加（5.5）-1表明- 2米-1Xi=nbρ2Ti+3≤ Zmt（ω）-Znt（ω）-Um（ω）∧t、 ω+Un（ω）∧t、 ω≤M-1Xi=nbρ2Ti+3.

（6.66）由于bp>1，由（P2），（2.4）给出该值∞i=0bρ2Ti+3≤Pn-1i=0bρ2Ti+3+bCP∞i=n2Ti+3英国石油公司<∞, 式中n:=1+（2T）-3)+.然后我们从U的连续性中看到，并且（6.66）表示Znt（ω）N∈Nis是R的Cauchy序列。Let Zt（ω）bethe的极限Znt（ω）N∈N、 即Zt（ω）：=limn→∞Znt（ω）。作为林姆→∞↑ τm（ω）=τ（ω），命题5.1（1）表明→∞↑ m（ω）=τ（ω）。让我→∞ 在（6.66）中，使用U收益率的连续性（5.6）。3a）现在让我们展示（5.7）的第一个不等式。显然，F-{Zn}n的适应性∈n是Z和{Zn}n的唯一性的乘积∈Nby是Z的缩略语。与第1部分中使用的论点类似），让t→ 在（5.6）中，我们可以从过程{Zn}n的连续性推导∈N、 U和limn→∞↑ n=τ，表示过程Z具有所有连续路径。6.4定理3.1 25Let（t，ω）的证明∈[0，T]×Ohm. 给定ε>0，存在（Pε，γε）∈Pt×tt，使得sup（P，γ）∈Pt×TtEPhcYt，ωγi≤ EPεhcYt，ωγεi+ε。自从limn→∞↑ τn=τ，可以从U thatlimn的连续性推导出→∞Ynt′（ω′）=cYt′（ω′），（t′，ω′）∈[0，T]×Ohm. （6.67*）因此limn→∞（Yn）t，ωγε（eω）=limn→∞伊恩γε（eω），ωteω=赛γε（eω），ωteω=cYt，ωγε（eω）， eω∈Ohmt、 由于Yn都有M的界，应用有界收敛定理得到thatsup（P，γ）∈Pt×TtEPhcYt，ωγi≤EPεhcYt，ωγεi+ε=limn→∞ε（Yn）t，ωγε+ε≤ 画→∞Znt（ω）+ε=Zt（ω）+ε。然后让ε→ 0导致Zt（ω）≥ sup（P，γ）∈Pt×TtEPhcYt，ωγi≥ 晚餐∈PtEPhcYt，ωti=cYt（ω），在这里我们使用了off-Y和（2.6）在最后一个等式中的适应性。3b）Let（t，ω）∈[0，T]×Ohm. 我们通过两个例子验证了（5.7）的第三等式。如果τ（ω）=T，（6.62）和U的连续性意味着zt（ω）=limn→∞ZnT（ω）=limn→∞晚餐∈PtEP（Yn）T，ωT= 画→∞YnT（ω）=limn→∞Un（ω），ω=Uτ(ω), ω.假设接下来τ（ω）<T。通过定义τ（ω），se t{t∈ [0，T]：Xt（ω）≤ 0}不是空的。SoProposition 5.1显示n（ω）<τ（ω）。让我们∈[τ（ω），T]和n∈N

作为tn:=n（ω）<τ（ω）≤t、 引理A.1意味着n（ω）TOhmt） =n（ω）=tn.Letγ∈Tt。因为U是F-通过（A1）和（2.3）调整工艺，其中一个具有Utn∈FtnFt.给定eω∈Ohmt、 用（2.6）和（t，s，η）=（0，t，Utn）表示U（tn，ωteω=U（tn，ω）。然后我们可以从γ（eω）推导出≥t>tn=n（ω）teω）那（Yn）t，ωγ（eω）=Ynγ（eω），ωteω= Un（ω）teω），ωteω= U（tn，ω）teω=U（tn，ω），这导致Zn（t，ω）=sup（P，γ）∈Pt×TtEP（Yn）t，ωγ= U（tn，ω）=Un（ω），ω. 让n→ ∞, 我们从U的连续性得到Zt、 ω= Uτ(ω), ω.4） 由（3.3）和在pa中得到的Z的连续性，Dt:=Zt-中青旅≥0，t∈ [0，T]是F-一个自适应过程，除了τ处可能出现的负跃迁外，所有这些过程都是连续的。特别地，D的每一条路径都是下半连续且右连续的。因此γ*是F-停止时间（请参阅[6]的ArXiv版本中的引理A.13了解一点）。当Zt=Uτ=cYt时，T∈[τ，T]通过（5.7），我们可以推断γ*= γ*∧τ=infT∈[0，τ）：Zt=cYt∧τ=infT∈[0，τ）：Zt=Yt∧τ=inf{t∈[0，τ）：Zt=Lt}∧τ. 6.4定理3.1对任意m的证明∈N、 应用定理4.1（Y，)= （Ym，m，m、 m）表明有一个Pm∈P使得zm，m=EPmhZm，mνm∧ζi，ζ ∈ T，（6.68），其中νm:=infT∈[0，T]：Zm，mt=bYm，mt∈T通过（P1），{Pm}m∈Nhas是弱收敛序列{Pmj}i∈NWITHP*.1） 首先，我们用（5.4），（5.6）和证明定理4.1的类似论点来证明z≤EP*赫利姆→∞里美→∞林l→∞Zζi，l∧ni，（6.69），其中ζi，l:=infT∈[0，T]：Zl,lT≤Lt+1/i∧ T这一部分相对较长，我们将其分为几个步骤。1a）我们从一个辅助不等式开始：对于任何n，k∈N和k≥ n和ω∈Ohm,Zk，kt（ω）-Zt（ω）≤εk:=2bρ1.-K+2.∞Xi=kbρ（2Ti+3），T∈ [0, n（ω）]。（6.70）非线性期望下随机到期的最优停止26Let n，k∈ N和k≥ n和ω∈ Ohm.

无论如何∈ [0，T]，我们从（5.4）和（5.6）中看到-2bρ1.-K≤Zk，kt（ω）-Zkt（ω）-U(k（ω）+21-（k）∧t、 ω+Uk（ω）∧t、 ω≤ bρ1.-K而且-P∞i=kbρ（2Ti+3）≤Zkt（ω）-Zt（ω）-Uk（ω）∧t、 ω+Uτ(ω)∧t、 ω≤2P∞i=kbρ（2Ti+3）。把它们加在一起就得到了-εk≤Zk，kt（ω）-Zt（ω）-U(k（ω）+21-（k）∧t、 ω+Uτ(ω)∧t、 ω≤ εk，T∈ [0，T]。（6.71）尤其是r，对于任何t∈[0, n（ω）]，自t≤n（ω）≤k（ω）≤τ（ω）根据命题5.1（1），我们有U(k（ω）+21-（k）∧t、 ω=Uτ(ω)∧t、 ω=U（t，ω）。然后（6.70）直接从（6.71）开始。现在，乘以整数s1≤n<i<l < α这样的thatεl≤2i和fix j∈N这样mj≥α. 引理5.1，命题4。2，（A1）和（2.3）表明l,l-L是n F-所有连续路径的适应过程ζαi，l:= infT∈ [0，T]：Zl,lT≤ Lt+1/i+1/α∧ 定义一个F-停车时间。（6.72）类似于νnin（6.29），bζαi，l:=infT∈[0，T]：Zl,lT≤通过l,lt+1/i+1/α也是一个n-F-停车时间s满足bζαi，l∧n=ζαi，l∧N≤νmj∧n、 （6.73*）然后用（k，t）=（mj，0），（k，t）应用（6.70）=mj，bζαi，l∧ N和（k，t）=l,bαi，l∧ N分别应用（6.68）和（m，ζ）=mj，bζαi，l∧N, 我们得到了-εmj≤Zmj，mj=EPmjhZmj，mjνmj∧bαi，l∧ni=EPmjhZmj，mjbζαi，l∧镍≤EPmjhZbζαi，l∧ni+εmj≤EPmjhZl,lbαi，l∧ni+εmj+εl. （6.74）1b）在将j发送到∞ 为了近似分布P*在（6.35）中，我们需要bαi，lα∈Nbya序列θi，lα∈Nof Lipschitz连续随机变量，并估计预期差异EPmjhZl,lbαi，l∧N-Zl,lθi，l∧Ni、 回想引理5.1和它后面的注释Yl,l在[0，T]×上是一致连续的Ohm 关于连续函数ρ的模l,l而且l,lLipschitz连续停车时间是否开启Ohm 具有系数κl.

将（Z，bY，νn）替换为Zl,l,通过l,l,bαi，l在导致（6.38）的论点中，我们可以找到一个开放子集Ohmαi，l属于Ohm 和一个L-ipschitz连续随机变量θαi，l: Ohm → [0，T]这样的支持∈聚丙烯(Ohmαi，l)C≤ 2.-α、 bζα-1i，l- 2.-α<θαi，l<bζα+1i，l+ 2.-αonOhmαi，l. （6.75）给定ω∈BOhmα-1i，l∩BOhmα+1i，l, 自θα-1i，l-2.-α+1<bζαi，l< θα+1i，l+ 2.-α-1，（2.5）和（6.39）的类比意味着t:=θαi，l(ω)∧bαi，l(ω)∧nand s：=θi，l(ω)∨bαi，l(ω)∧nsatisfys-t=bαi，l(ω)∧n（ω）-θi，l(ω)∧n（ω）≤bαi，l(ω)-θi，l(ω)<|θα-1i，l(ω)-θi，l（ω） |+|θα+1i，l(ω)-θi，l(ω)|+2-α+1:=Δαi，l(ω).设定我，l(ω):=(1+κl)Δαi，l(ω)q+φωTΔαi，l(ω). （4.5）对Z=Z的应用l,l表明Zl,lθi，l∧n（ω）-Zl,lbαi，l∧n（ω）=Zl,l（t，ω）-Zl,l（s，ω）≤2CMΔαi，l(ω)Q∨Δαi，l(ω)Q-Q+ bρl,lΔαi，l(ω)+ bρl,l我，l(ω)∨bbρl,l我，l(ω):= 我，l(ω).作为Zl,l以M为界，（6.74）和（6.75）表示z-2εmj-εl≤ EPmjhZl,lθi，l∧ni+EPmjhZl,lbαi，l∧N-Zl,lθi，l∧N我≤ EPmjhZl,lθi，l∧ni+EPmjhbOhmα-1i，l∩BOhmα+1i，l（i），l∧ 2M）i+2MPmjBOhmα-1i，lC∪BOhmα+1i，lC≤ EPmjhZl,lθi，l∧n+（ξαi），l∧ 2M）i+5M-α. （6.76）随机变量θα-1i，l, θi，l, θα+1i，lLipschitz在继续吗Ohm, 我也是，l. 与（6.41）类似，可以证明ω→ φωTΔαi，l(ω)也是一个连续的随机变量Ohm, 再加上Δαi的ipschitz连续性，l6.4定理3.1的证明意味着φαi，l因此，我，l也是连续的随机变量Ohm. 与（6.42）类似，我们可以从随机变量θαi的Lipschitz连续性，l∧ 和进程Z的连续性lθi，l∧这是一个连续的随机变量Ohm.正如命题5.3（2）所示，LIMM→∞↓εm=0，（6.77）j→ ∞ 在（6.76）中，我们从rando m变量Z的连续性中看到l,lθi，l∧与我，lthatZ≤ EP*赫兹l,lθi，l∧n+（ξαi），l∧ 2M）i+εl+5米-α.

（6.78）1c）接下来，我们将使用θαi的收敛性，ltobζi，l, Z的连续性l,l以及（6.70）推导（6.69）。因为Z的连续性l,l-通过l,l意味着thatlimα→∞↑bαi，l=bζi，l:= infT∈ [0，T]：Zl,lT≤通过l,lt+1/i∈T，（6.79*）通过与（6.44）的类比，我们可以从（6.75）和Borel-Cantelli引理推断出limα→∞θi，l=bζi，l, P*-a、 因此，limα→∞Δαi，l= 0，P*-a、 因此limα→∞我，l= 0，P*-a、 如命题4.2所示l,l是anF吗-以Mthat为界的自适应过程具有所有连续路径，让α→ ∞ 在（6.78）中，我们从有界支配收敛定理e m Thatz中看到≤ EP*赫兹l,lbζi，l∧ni+εl. （6.80）类似于ζαi，l在（6.72）中，ζi，l是F-停车时间满足ζi，l∧n=bζi，l∧n、 应用（6.70）和（k，t）=l, ζi，l∧N使用（6.80）得到Z≤EP*赫兹l,lζi，l∧ni+εl≤EP*hZζi，l∧ni+2εl. 既然命题5.3（3）表明Z以M为界l→∞, 使用Fatou引理和（6.77）得到Z≤林l→∞EP*hZζi，l∧镍≤EP*赫利姆l→∞Zζi，l∧镍。同样，让我→∞ 然后让n→∞, 我们再次从法头引理推导出（6.69）。2） 在第二部分中，我们展示了对于任何∈Nγi≤ 林l→∞ζi，l≤林l→∞ζi，l≤等一下Ohm, （6.81）式中γi:=infT∈[0，T]：Zt≤Lt+1/i∧T修好我∈N.因为提案N5.3（3）、（A1）和（2.3）表明-L是F-适用于所有连续路径的过程，γiis和F-满足γi=limh的停车时间→∞↑ γhi，（6.82*），其中γhi:=infT∈[0，T]：Zt≤Lt+1/i+1/h∧T∈T固定ω∈Ohm 定义φωU（x）：=sup|Ur′（ω）-Ur（ω）|：r，r′∈[0，T]，0≤|r′-r|≤十、, 十、∈[0，T]。任何l ∈N、 因为（2.5）意味着U(l(ω)+21-l)∧ζi，l(ω), ω-Uτ(ω)∧ζi，l(ω), ω≤φωU(l(ω)+21-l)∧ζi，l(ω)-τ(ω)∧ζi，l(ω)≤φωU(l(ω)+21-l)∧T-τ(ω), 应用（6.71）和（k，t）=l, ζi，l(ω)意味着Zl,lζi，l(ω), ω-Zζi，l(ω), ω≤εl+φωU(l(ω)+21-l)∧T-τ(ω), l ∈N

（6.83）作为liml→∞↑ l（ω） =τ（ω）根据命题5.1（1），路径U·（ω）的一致连续性意味着l→∞φωU(l(ω)+21-l)∧T-τ(ω)=0.（6.84）为了看到（6.81）的第一个不等式，我们假设liml→∞ζi，l（ω） <T。有一个顺序{lλ=lλ（i，ω）}λ∈使limλ→∞ζi，lλ（ω）=liml→∞ζi，l（ω） <T。非线性期望下随机到期的最优停止∈自从林l→∞↓ εl= 由于（6.84），存在abλh=bλh（i，ω）∈N使得对于任何整数λ≥bλh，一个有ζi，lλ（ω）<T和εlλ+φωU(lλ(ω)+21-lλ)∧T-τ(ω)≤1/h.给定λ∈N带λ≥bλh，作为ζi，lλ（ω）<T，集合T∈[0，T]：Zlλ,lλt（ω）≤Lt（ω）+1/i不是空的。所以路径Z的连续性lλ,lλ·(ω)-L·（ω）意味着zlλ,lλζi，lλ(ω), ω≤Lζi，lλ(ω), ω+1/我。应用（6.83）和l=lλ产生thatZζi，lλ(ω), ω≤Zlλ,lλζi，lλ(ω), ω+εlλ+φωU(lλ(ω)+21-lλ)∧T-τ(ω)≤Lζi，lλ(ω), ω+1/i+1/h，这表明γhi（ω）≤ ζi，lλ(ω). Asλ→∞, 我们得到γhi（ω）≤ limλ→∞ζi，lλ（ω）=liml→∞ζi，l(ω). 然后让h→ ∞使用（6.82）得到γi（ω）=limh→∞↑ γhi（ω）≤ 林l→∞ζi，l(ω).关于（6.81）中的第三个不等式，我们假定γ2i（ω）<T，或等价地，集合T∈[0，T]：Zt（ω）≤Lt（ω）+2i不是空的。然后我们可以从路径Z·（ω）的连续性推导出-L·（ω）thatZγ2i（ω），ω≤Lγ2i（ω），ω+2i。（6.85）使用（k，t）应用（6.71）=l, γ2i（ω）用一个类似于（6.83）的论点得出Zl,lγ2i（ω），ω-Zγ2i（ω），ω≤εl+φωU(l(ω)+21-l)∧T-τ(ω). （6.86）对于任何l ∈ N使得εl+ φωU(l(ω) + 21-l)∧T-τ(ω)≤2i，（6.85）和（6.86）表示Zl,lγ2i（ω），ω≤Zγ2i（ω），ω+2i≤Lγ2i（ω），ω+1/i，这表明ζi，l(ω)≤γ2i（ω）。像l → ∞, 我们得到了l→∞ζi，l(ω)≤γ2i（ω）。3）最后，我们证明了limn→∞里美→∞林l→∞Z（ζi，l(ω) ∧n（ω），ω）=Z（γ）*(ω), ω), ω ∈Ohm. 结论如下。让我≤n<i和ω∈Ohm.

我们在一起l=Tl（n，i，ω）：=ζi，l∧N(ω), l >i、 让telEl∈Nbe{t的子序列l}∞l=i+1如此之多l→∞Z（t）l, ω） =酸橙l→∞Z（te）l, ω). 序列telEl∈Nin turn有一个c收敛子序列tel′El′∈nWithT∈[0, n（ω）]。路径Z·（ω）的连续性表明Z（t，ω）=limel′→∞Z（te）l′, ω） =林l→∞Z（t）l, ω). 此外，（6.81）意味着γi∧N(ω)≤ 林l→∞ζi，l∧N（ω） =林l→∞Tl≤t=石灰l′→∞tel′≤林l→∞Tl= 林l→∞ζi，l∧N(ω)≤γ2i∧N(ω). 亨塞因夫特∈Jn，i（ω）Z（t，ω）≤ Z（t，ω）=liml→∞Zζi，l(ω) ∧ n（ω），ω≤ 监督∈Jn，i（ω）Z（t，ω），（6.87），其中Jn，i（ω）：=（i）∧n） （ω），（γ2i）∧n） （ω）.与（6.82）的类比表明γ（ω） ：=infT∈[0，T]：Zt（ω）≤Lt（ω）∧T=limi→∞↑ γi（ω）。SincecYt（ω）=Yt（ω）=Lt（ω）0, τ(ω)0, n（ω）通过命题5.1（1），我们可以从（5.7）推导出thatlimi→∞↑（i）∧n） （ω）=（γ）∧n） （ω）=inf{t∈[0, n（ω）：Zt（ω）≤Lt（ω）}∧n（ω）=infT∈[0, n（ω）：Zt（ω）≤cYt（ω）∧n（ω）=infT∈[0, n（ω）：Zt（ω）=cYt（ω）∧n（ω）=（γ）*∧n） （ω）。（6.88）它来自路径Z·（ω）thatlimi的连续性→∞输入∈Jn，i（ω）Z（t，ω）=limi→∞监督∈Jn，i（ω）Z（t，ω）=Zγ*(ω)∧n（ω），ω. （6.89*）然后让我→∞ 在（6.87）中，塔利米→∞林l→∞Z（ζi，l(ω)∧n（ω），ω）=limi→∞林l→∞Z（ζi，l(ω)∧n（ω），ω）=Z（γ）*(ω)∧n（ω），ω）。（6.90）既然命题5.1（1）和命题5.3（4）暗示limn→∞(γ*∧n） （ω）=（γ）*∧τ)(ω) = γ*（ω） ，让n→ ∞在（6.90）中，我们再次从路径Z·（ω）的连续性中看到→∞里美→∞林l→∞Z（ζi，l(ω) ∧ n（ω），ω）=limn→∞里美→∞林l→∞Z（ζi，l(ω) ∧ n（ω），ω）=Z（γ）*(ω), ω), ω ∈Ohm.把这个放回（6.69）中，用命题5.3（3）得到sup（P，γ）∈P×TEP[Yγ∧τ] =sup（P，γ）∈P×TEPcYγ≤Z≤EP*Zγ*. 因为Z a的连续性和y的右连续性意味着Zγ*（ω） =cYγ*（ω） =Yγ*∧τ(ω), ω ∈Ohm,我们可以进一步推导出（1.8）和（1.1）。A.附录29A附录A。1.技术问题A.1。给定t∈[0，T]，设τ∈t和（s，ω）∈[t，t]×OhmT

如果τ（ω）≤s、 然后τ（ω）sOhm（s）≡τ(ω); 如果τ（ω）≥s（resp.>s），然后τ（ω）seω）≥s（分别>s），eω∈Ohm因此，τs，ω∈TSB提案2.1（2）。证据：让我们∈[0，T]，τ∈t和（s，ω）∈[t，t]×Ohmt、 当bs:=τ（ω）≤s、 自ω∈A:={τ=bs}∈FtbsFts引理2.1表示ωsOhmsA、 即τ（ω）sOhm（s）≡bs=τ（ω）。另一方面，当τ（ω）≥s（resp.>s），作为ω∈A′：={ ≥s} （分别为{>s} )∈Fts，再次应用引理2.1得到ωsOhms∈A′。Soτ（ω）seω）≥s（分别>s）， eω∈Ohms引理A.2。Ass ume（P2）。让我们， ) ∈S和（t，ω）∈[0，T]×Ohm . 它适用于任何ω′∈Ohm, P∈p和γ∈那是bYt，ωγ-bYt，ω′γ我≤bρY（1+κ)kω-ω′k0，t+supr∈[t，t]ω（r）-ω（t）≤bρY（1+κ)kω-ω′k0，t+φωtκkω-ω′k0，t,其中t：=(ω)∧(ω′)∧t和t：=(ω)∨(ω′)∧t、 证明：1）固定ω′∈Ohm. 我们设定t：=(ω) ∧(ω′) ∧t、 t:=(ω) ∨(ω′)∧t和δ：=（1+κ）)kω-ω′k0，t+s upr∈[t，t]ω（r）-ω（t）. 也修复P∈p和γ∈Tt。设eω∈Ohmt、 有一个bYt，ωγ（eω），eω-bYt，ω′γ（eω），eω=通过γ（eω），ωteω-通过γ（eω），ω′teω=Ys（eω），ωteω-Ys（eω），ω′teω,其中s（eω）：=γ（eω）∧(ω teω）∧(ω′teω）和s（eω）：=γ（eω）∧(ω teω）∨(ω′teω）. 因为（2.5）意味着S（eω）- s（eω）≤(ω teω）- (ω′teω）≤ κkωteω- ω′teωk0，T=κkω- ω′k0，t<δ，（A.1）可以从（2.2）推导出bYt，ωγ（eω），eω-bYt，ω′γ（eω），eω≤ρYs（eω）-s（eω）+ 苏普∈[0，T](ω teω）R∧s（eω）- (ω′teω）R∧s（eω）≤ρYκkω-ω′k0，t+I（eω）+supr∈[0，T](ωteω）R∧s（eω）-(ω′teω）R∧s（eω）≤ρY（1+κ)kω-ω′k0，t+I（eω）, （A.2）式中I（eω）：=supr∈[0，T](ωteω）R∧s（eω）-(ωteω）R∧s（eω）= 苏普∈[s（eω），s（eω）](ωteω（r）-(ωteω）s（eω）.2） 接下来，我们通过三个案例讨论（ω） 及（ω′）（i）当(ω)∧(ω′) ≥ t、 引理A.1表明t、 ω和t、 ω′属于Tt，所以doesζ：=γ∧t、 ω∧t、 ω′。