非线性期望下随机到期的最优停止

下一步我们将展示Zνn∧ζ∧t（ω）≤Et[Zνn∧ζ](ω).如果νn（ω）∧ζ(ω)≤t、 使用导致（6.31）的类似参数得到（Zνn∧ζ） t，ω（eω）=Zνn（ω）∧ζ(ω) ∧t、 ω,eω∈Ohmtand-thusEt[Zνn∧ζ] （ω）=Zνn∧ζ∧t（ω）。另一方面，假设νn（ω）∧ ζ（ω）>t。我们再次从引理A.1中看到ζn:=（νn∧ζ） t，ω∈Tt。设ε>0。应用（4.4）w，其中ν=ζn，可以找到一对（Pε，γε）=（Pnε，γnε）∈Pt×ttzt（ω）=sup（P，γ）∈Pt×TtEPh{γ<ζn}bYt，ωγ+1{γ≥ζn}Zt，ωζni≤EPεh{γε<ζn}bYt，ωγε+1{γε≥ζn}Zt，ωζni+ε。（6.32）6.2第4.17节中ny eω结果的证明∈ {γε<ζn}，因为γε（eω）<ζn（eω）=（νn∧ζ)(ω teω）≤ νn（ω）teω），ζn的定义表示n<Zγε（eω），ωteω-通过γε（eω），ωteω= Zt，ωγε（eω）-bYt，ωγε（eω）。由（6.32）可知zt（ω）≤EPεh{γε<ζn}bYt，ωγε+1{γε≥ζn}Zt，ωζni+ε≤EPεhZt，ωγε∧ζn-n{γε<ζn}i+ε。（6.33）自γε（πt）∈ttb根据[6]中的引理A.1，应用ζ=γε（πt）的（6.30）∧ νn∧ ζ产生zt（ω）=Zγε（πt）∧νn∧ζ∧t（ω）≥Et[Zγε（πt）∧νn∧ζ](ω) ≥ EPεhZγε（πt）∧νn∧ζt、 ωi=EPεhZt，ωγε∧ζni，（6.34），其中我们假设对于任何eω∈ OhmTZγε（πt）∧νn∧ζt、 ω（eω）=Zγεπt（ω）teω）∧νn（ω）teω）∧ζ(ωteω），ωteω=Zγε（eω）∧ζn（eω），ωteω=Zt，ωγε∧ζn（eω）。把（6.33）和（6.34）放在一起表明Pε{γε<ζn}≤nε。我们可以从（6.32）和（4.1）推导出∧ζ∧t（ω）=Zt（ω）≤EPεh{γε<ζn}（bYt，ωγε-Zt，ωζn）+Zt，ωζni+ε≤2MYPε{γε<ζn}+EPε[Zt，ωζn]+ε≤ ε（Zνn）∧ζ） t，ω+（1+2车型年款）ε≤Et[Zνn∧ζ] （ω）+（1+2nMY）ε。让ε→ 0产生Zνn∧ζ∧t（ω）≤Et[Zνn∧ζ](ω). 定理4.1的证明：Fix（Y，) ∈因为Z和B都是F-根据命题4.2，我们从（4.1）和（6.28）中看到，bν：=infT∈[0，T]：Zt=bYt是F-停车时间。给安∈N、 让我们来看看F-（6.29）中定义的停车时间。因为Z是一个-[0，νn]上的鞅根据命题4.3，可以找到Pn∈P（1.4）。

B y（P1），{Pn}∞n=2具有弱收敛子序列{Pmj}j∈英国石油公司∈P.当mj≥n、 （所以）≤我们从（1.4）中看到≤ EPmjZνmj+ 2.-乔丹≤ EPmjZνn+ 2.-乔丹。（6.35）1）将j发送至∞ 为了近似（6.35）中的分布bp，我们需要接近{νn}n∈Nby序列bθnN∈Nof Lipschitz连续随机变量。固定整数n≥ 2.存在λn>0，使得ρY（x）∨bρY（x）≤2n（n+1），十、∈ [0，λn]。让ω∈ Ohm, 设置δn（ω）：=λn2（1+κ）)∧（φωT）-1（λn/2）κ带（φωT）-1（x）：=inf{y>0:φωT（y）=x}，x>0，设ω′∈Oδn（ω）（ω）。赠品∈[0，T]，集s:=(ω)∧t和s′：=(ω′)∧t、 根据（2.5），|s-s′|≤(ω)-(ω′)≤κkω-ω′k0，T。那么（2.2）意味着bY（t，ω）-bY（t，ω′）=|Y（s，ω）- Y（s′，ω′）|≤ ρY|s- s′|+supr∈[0，T]ω（r）∧ （s）- ω′（r）∧ s′）≤ ρYκkω-ω′k0，T+supr∈[0，T]|ω（r）∧（s）-ω（r）∧s′）|+supr∈[0，T]ω（r）∧s′）-ω′（r）∧s′）≤ ρY（1+κ)kω-ω′k0，T+φωT|s′-s|≤ρY（1+κ)kω-ω′k0，T+φωTκkω-ω′k0，T≤2n（n+1）。（6.36）取t=νn（ω），我们从（4.2）中看到（Z）-bY）（νn（ω），ω）-（Z）-bY）（νn（ω），ω′）≤Z（νn（ω），ω）-Z（νn（ω），ω′）+bY（νn（ω），ω）-bY（νn（ω），ω′）≤bρY（1+κ)kω-ω′k0，νn（ω）+φωνn（ω）κkω-ω′k0，νn（ω）+2n（n+1）≤bρY（1+κ)kω-ω′k0，T+φωTκkω-ω′k0，T+2n（n+1）≤n（n+1）<（n-1） n.作为Z的连续性-通过显示Z-通过（νn（ω），ω）≤n、 （6.37）非线性期望下随机到期的最优停止18Z-bY）（νn（ω），ω′）≤n+（n-1） n=n-1，所以-1(ω′)≤νn（ω）。

类似地，在（6.36）中取t=νn+1（ω′）得到（Z）-bY）（νn+1（ω′），ω）-（Z）-bY）（νn+1（ω′），ω′）≤Z（νn+1（ω′），ω）-Z（νn+1（ω′），ω′）+通过（νn+1（ω′），ω）-通过（νn+1（ω′），ω′）≤bρY（1+κ)kω-ω′k0，T+φωTκkω-ω′k0，T+2n（n+1）≤n（n+1）和（Z-bY）（νn+1（ω′），ω）<（Z-bY）（νn+1（ω′），ω′）+n（n+1）≤n+1+n（n+1）=n，这表示νn（ω）≤νn+1（ω′）。现在，我们可以将引理A.4应用于(Ohm, θ、 θ，θ，I，δ（ω），ε）=(Ohm, νn-1，νn，νn+1，[0，T]，δn（ω），2-n） 找到opensubsetbOhm诺夫Ohm 和Lipschitz连续随机变量bθn：Ohm → [0，T]这样的支持∈聚丙烯BOhmcn≤ 2.-n、 νn-1.- 2.-n<bθn<νn+1+2-诺布Ohmn、 （6.38）2）接下来，让我们估计EPmj的预期差异Zbθn-Zνn.给定ω∈BOhmN-1.∩BOhmn+1，asbθn-1.-2.-n+1<νn<bθn+1+2-N-1，t:=bθn（ω）∧νn（ω）和s:=bθn（ω）∨νn（ω）满足-t=νn（ω）-bθn（ω）<（bθn）-1.-bθn-2.-n+1）-∨（bθn+1）-bθn+2-N-1)+≤|bθn-1.-bθn-2.-n+1|∨|bθn+1-bθn+2-N-1个|≤|bθn-1(ω)-bθn（ω）|+|bθn+1（ω）-bθn（ω）|+2-n+1:=bδn（ω）。（6.39）集φn（ω）：=（1+κ)bδn（ω）q+φωTbδn（ω）. 然后（4.5）表明Zbθn（ω）-Zνn（ω）=Z（t，ω）-Z（s，ω）≤2C我的bδn（ω）Q∨bδn（ω）Q-Q+ bρYbδn（ω）+ bρYφn（ω）∨bbρYφn（ω）:=ξn（ω）。让j∈N和mj≥n、 我们从（6.35），（4.1）和（6.38）中可以看出-2.-乔丹≤ EPmjZbθn+EPmjZbθn-Zνn≤EPmjZbθn+1bOhmN-1.∩BOhmn+1（ξn）∧2车型年款）+2MYPmjBOhmcn-1.∪BOhmcn+1≤ EPmjZbθn+（ξn∧2车型年款）+5车型年款-n、 （6.40）随机变量sbθn-1，bθn，bθn+1是Lipschitz连续的Ohm, 所以是bδn，那么我们可以推导出tω→φωTbδn（ω）是一个连续的随机变量Ohm, （6.41*）加上bδn的Lipschitz连续性，φn和ξn是Ohm. 此外，随机变量Bθ的Lipschitz连续性和过程Z的连续性意味着ZBθ也是一个连续的随机变量Ohm. （6.42*）让j→ ∞ 在（6.40）中，我们从随机变量Zbθ和ξnthatZ的连续性中看到≤ EbPZbθn+（ξn∧ 2车型年款）+5车型年款-NN≥ 2.

（6.43）3）最后，我们利用bθ的收敛性和Z的连续性来推导e-Z在[0，bν]上的鞅性。集bν′：=limn→∞↑ νn≤bν。Z的连续性-由（6.37）和（4.1）可知，Zbν′-bYbν′=0，因此bν=bν′=limn→∞↑ 那么我们可以从（6.38）推导出limn→∞bθn（ω）=bν（ω），ω ∈∞∪n=3∩K≥nbOhmk、 作为∞Xn=3bPBOhmcn≤∞Xn=3supP∈聚丙烯BOhmcn≤, Borel-Cantelli引理暗示了tbP∞∪n=3∩K≥nbOhmK= 1.Solimn→∞bθn=bν，bP- a、 因此，limn→∞bδn=0，bP-a、 s.a.和limn→∞ξn=0，bP-a、 最终，让n→ ∞ 在（6.43）中，我们可以从过程Z的连续性和有界支配收敛定理Z≤ EbPZbν≤EZbν=EbYbν≤ sup（P，γ）∈P×TEP由γ= Z.6.3第5节中结果的证明19因此，Z=EZbν=EbPZbν=EbPbYbν.接下来，让ζ∈ T任何P∈ P、 我们从引理A.3中看到，Z=EP[Z]≥ EPZbν∧ζ≥ EPZbν. （6.45）取P的上确界∈ P产生Z≥EZbν∧ζ≥EZbν= Z.特别是，取（6.45）中的P=bP表示Z≥ EbPZbν∧ζ≥ EbPZbν= Z6.3命题5.1第5节结果的证明：集合n:=1+十、-1.>十、-1.给定k∈ N∪{0}，因为X是F-具有所有连续路径且自X>n以来的自适应过程≥k+n，我们看到bτk:=infT∈[0，T]：Xt≤k+n∧T是F-停止时间满足0<bτk（ω）≤τ(ω), ω ∈ Ohm. 特别是r，如果{t∈[0，T]：Xt（ω′）≤对于某些ω′，0}不是空的∈ Ohm, 然后bτk（ω′）<τ（ω′）。Le t{δk}k∈Nbe一个递减到0的序列，使得ρX（δk）≤（k+n）（k+n+1），K∈ N.a）首先，我们构造一个辅助递增序列{θl}l∈Nof Lipschitz连续停车时间。修理k∈N.对于i=k-1，k，设ω，ω′∈Ohm 用kω′表示-ωk0，bτi+1（ω）≤δk（3.1）表明X（bτi+1（ω），ω′）-X（bτi+1（ω），ω）≤ρXkω′-ωk0，bτi+1（ω）≤ρX（δk）≤（k+n）（k+n+1）。如果所有t的Xt（ω）>i+n+1∈ [0，T]，然后bτi+1（ω）=T≥ bτi（ω′）。

另一方面，如果T∈ [0，T]：Xt（ω）≤i+n+1不是空的，X的连续性意味着X（bτi+1（ω），ω）=i+n+1，因此X（bτi+1（ω），ω′）≤i+n+1+（i+n）（i+n+1）=i+n，所以仍然有bτi（ω′）≤bτi+1（ω）。然后我们可以应用引理A.6和（θ，θ，θ，δ，κ）=bτk-1，bτk，bτk+1，δk，2T/δk找到a和bK∈T s uch thatbτk-1(ω)≤ Bk（ω）≤bτk+1（ω）≤τ(ω), ω ∈ Ohm, （6.46）（如果集合{t∈[0，T]：Xt（ω）≤0}不是空的）和给定的ω，ω∈ Ohm,Bk（ω）- Bk（ω）≤ 2Tδ-1kkΩ- ωk0，t（6.47）适用于任何t∈bbk，T∪T∈[bak，bbk]：t≥bak+2Tδ-1kkΩ-ωk0，t, 式中bak:=bk（ω）∧Bk（ω）和bbk:=bk（ω）∨Bk（ω）。允许l ∈ N.我们定义和F-停车时间θl:= maxk=1，···，lBk、 让ω，ω∈ N并设置一个l:= θl(ω) ∧θl（ω） ，bl:=θl(ω)∨θl(ω). 看到这一点θl(ω)-θl(ω)≤2Tδ-1.lkω-ωk0，t（6.48）适用于任何t∈[b]l, [T]∪T∈[a]l, Bl): T≥A.l+2Tδ-1.lkω- ωk0，t, 我们先让t∈ [b]l, [T]。对于任何k=1，··，l, 从那以后≤θl(ω)∨θl（ω） =bl≤t、 应用（6.47）得到Bk（ω）-Bk（ω）≤2Tδ-1kkΩ-ωk0，t≤2Tδ-1.lkω-ωk0，t.（6.49）可以得出k（ω）≤ Bk（ω）+2Tδ-1.lkω-ωk0，t≤θl（ω） +2Tδ-1.lkω-ωk0，t.在k=1上取最大值，l表明θl(ω)≤θl（ω） +2Tδ-1.lkω-ωk0，t。然后交换ω和ω的作用得到（6.48）。接下来我们假设T∈ [a]l, Bl) : T≥ A.l+ 2Tδ-1.lkω- ωk0，t不是空的，包含t.Givenk=1，··，l, 自从t∈[a]l, Bl)贝克，T从那时起k（ω）∧Bk（ω）+2Tδ-1kkΩ-ωk0，t≤θl(ω)∧θl（ω） +2Tδ-1.lkω-ωk0，t≤t、 施用（6.47）会产生（6.49）的产量，从而再次产生（6.48）。现在，fix n∈我们出发了l:=对数（n+2）≥2，j:=n+2-2.l-1和定义n:=（θ）l-1+j21-l（T）∧θl∈Tb） 在这一步中，我们展示了n’s是Lipschitz连续停车时间的增加顺序，例如n+1-nis以2tn+3为界。非线性期望下随机到期的最优停止l -1<对数（n+2）≤ l, 我们看到1≤ J≤ 2.l-1.

如果j<2l-1，当n+2=2时l-1+j≤ 2.l-1.一个人有l=对数（n+2）≤对数（n+3）≤l, 所以lo g（n+3）= l. 那么（2.5）意味着0≤n+1（ω）-n（ω）=θl-1（ω）+（j+1）21-lT∧θl(ω)-θl-1（ω）+j21-lT∧θl(ω)≤21-lT≤2Tn+3，ω ∈Ohm.另一方面，如果j=2l-1，即n+2=2l, 然后n=（θ）l-1+T）∧θl= θl和对数（n+3）= 日志（2）l+1)= l+1.再次应用（2.5）会产生0≤n+1（ω）-n（ω）=θl(ω)+2-lT∧θl+1(ω)-θl(ω)∧θl+1(ω)≤2.-lT=Tn+2<2Tn+3，ω ∈Ohm.自bτl-2=infT∈[0，T]：Xt≤l-2+n∧T=infT∈[0，T]：Xt≤(对数（n+2）+十、-1.-1)-1.∧T=τnby（3.2），我们可以从（6.46）推导出Tτn（ω）=bτl-2(ω)≤ Bl-1(ω)≤θl-1(ω)≤(θl-1（ω）+j21-l（T）∧θl(ω)=n（ω）≤θl（ω） =maxi=1，···，lBk（ω）≤τ(ω), ω ∈Ohm,其中最后一个不等式是严格的，如果集合{t∈[0，T]：Xt（ω）≤0}不是空的。c） 这仍然是为了证明李普希茨的连续性n、 集κn:=2Tδ-1.l= 2Tδ对数（n+2）-1，在n中增加，并收敛到∞. 让ω，ω∈ N和setan：=n（ω）∧n（ω）。我们在不失一般性的前提下假设=n（ω）≤n（ω）并通过两种情况进行讨论：i）当n（ω）=θl-1（ω）+j21-lT，有一个n（ω）-n（ω）=n（ω）-θl-1(ω)-j21-lT≤θl-1(ω)-θl-1(ω). （6.50）应用（6.48）t=t表明n（ω）-n（ω）≤ 2Tδ-1.l-1kΩ-ωk0，T≤ κnkω-ωk0，T。另一方面，假设T∈ [an，T]：T≥ an+κnkω-ωk0，t不是空的，包含t.因为θl-1(ω) =n（ω）-j21-lT≤n（ω）-j21-lT≤θl-1（ω），我们看到l-1= θl-1（ω）可以推断出≥an+κnkω-ωk0，t=θl-1（ω）+j21-lT+κnkω-ωk0，t>θl-1（ω）+2Tδ-1.l-1kΩ-ωk0，t=al-1+2Tδ-1.l-1kΩ-ωk0，t.那么（6.50）和（6.48）意味着n（ω）-n（ω）≤2Tδ-1.l-1kΩ-ωk0，t≤κnkω-ωk0，t.ii）当n（ω）=θl（ω） 用t=t应用（6.48）表明n（ω）-n（ω）≤ θl(ω)-θl(ω) ≤ 2Tδ-1.lkω-ωk0，T=κnkω-ωk0，T.下一步，我们将T∈[an，T]：T≥an+κnkω-ωk0，t不是空的，也不是空的。自从θl(ω)= n（ω）≤n（ω）≤θl(ω). 我们看到l= θl（ω） 可以推断出≥an+κnkω-ωk0，t=θl（ω） +κnkω-ωk0，t=al+2Tδ-1.lkω-ωk0，t。

再次应用（6.48）可以得到n（ω）-n（ω）≤ θl(ω)-θl(ω) ≤2Tδ-1.lkω-ωk0，t=κnkω-ωk0，t。引理5.1的证明：修正n，k∈ N.我们定义Ht:=1∧（2k（t）-n）-1） +和t:=Ut-中尉，t∈ [0，T]。设（t，ω），（t，ω）∈[0，T]×Ohm. 我们设置d1,2:=d∞（t，ω），（t，ω）在不失普遍性的前提下≤t、 因为（2.5）表明Ht（ω）-Ht（ω）≤k（t）-n（ω））-1)+-k（t）-n（ω））-1.+≤ 2k | t-t |，（2.2）意味着Yn，kt（ω）-Yn，kt（ω）≤Lt（ω）- Lt（ω）+Ht（ω）- Ht（ω）|t（ω）|+Ht（ω）|t（ω）- t（ω）|≤ρD∞（t，ω），（t，ω）+21+kM | t-t |+2ρD∞（t，ω），（t，ω）. （6.51）Sincesupr∈[t，t]ω（r）-ω（t）≤ |ω（t）-ω（t）|+supr∈[t，t]|ω（r）-ω（t）|≤2.kω-ωk0，t∨ 苏普∈[t，t]|ω（t）-ω（r）|= 2kω(·∧（t）-ω(·∧t） k0，t，可以推断出∞（t，ω），（t，ω）=|T-t |+supr∈[t，t]ω（r）-ω（t）≤2.|T-t |+kω(·∧（t）-ω(·∧t） k0，t=2d1,2。然后根据（6.51）得出Yn，kt（ω）-Yn，kt（ω）≤3ρ2d1,2+21+kMd1,2。（6.52）6.3第5.21节中的结果证明因为（2.5），命题5.1（2）暗示Ht（ω）-Ht（ω）≤2kκnkω-ωk0，t，（6.53*）和自kω-ωk0，t≤kω(·∧（t）-ω(·∧t） k0，t≤d1，2，我们可以进一步推断Yn，kt（ω）-Yn，kt（ω）≤Lt（ω）- Lt（ω）+Ht（ω）- Ht（ω）|t（ω）|+Ht（ω）|t（ω）- t（ω）|≤ ρkω-ωk0，t+21+kMκnkω-ωk0，t+2ρkω-ωk0，t≤3ρ（2d1,2）+21+kMκnd1,2，这与（6.52）一起导致Yn，kt（ω）-Yn，kt（ω）≤ 6ρ（2d1,2）+21+kM（1+κn）d1,2=ρn，k（d1,2）。（5.4）的证明：Fix（t，ω）∈[0，T]×Ohm. 我们将简单地表示21-kbyδ并表示术语U(n（ω）+δ）∧ t、 ω-U(n（ω）∧ t、 ω）通过U.Let（P，γ，ν）∈Pt×Tt×t和定义γ，ν（eω）：=1{γ（eω）>n（ω）teω）}U(n（ω）teω）+δ）∧（ν（eω）∨n（ω）teω），ωteω-Un（ω）teω），ωteω, eω∈ Ohmt、 1）我们首先通过三个案例说明|Jγ，ν- U|≤ bρ（δ）。（6.54）（i）何时n（ω）<t-δ、 应用引理A.1，其中（t，s，τ）=（0，t，n） 产生tn:=n（ω）=n（ω）teω）， eω∈Ohmt、 因为U是F-通过（A1）和（2.3）调整工艺，其中一个具有Utn∈Ftnftan和Utn+δ∈Ftn+δ英尺。

设eω∈Ohmt、 分别用（2.6）和（t，s，η）=（0，t，Utn）和（t，s，η）=（0，t，Utn+δ）表示teω）=U（tn，ω）和Utn+δ，ωteω=Utn+δ，ω. As tn+δ<t≤γ（eω）∧ν（eω），一个hasJγ，ν（eω）=1{γ（eω）>tn}U（tn+δ）∧（ν（eω）∨tn），ωteω-U（tn，ω）teω）= Utn+δ，ω-U（tn，ω）=U.（ii）当t-δ ≤ n（ω）<t，我们还有tn=n（ω）=n（ω）teω）和U（tn，ω）teω）=U（tn，ω）， eω∈ Ohmt、 设置νn:=（tn+δ）∧ν ∈Tt。对于任意的eω∈Ohmt、 我们从tn<t中看到≤γ（eω）∧ν（eω）thatJγ，ν（eω）-U=1{γ（eω）>tn}U（tn+δ）∧（ν（eω）∨tn），ωteω-U（tn，ω）teω）-U（t，ω）+U（tn，ω）=Uνn（eω），ωteω-U（t，ω）。自从t≤νn（eω）≤（tn+δ）∧T≤（t+δ）∧T，我们可以进一步推断fr om（2.2）Jγ，ν（eω）-U≤ρ（νn（eω）-t） +supr∈[0，T](ωteω）R∧νn（eω）-ω（r）∧（t）≤ρδ+supr∈[t，（t+δ）∧T]| eω（r）|= ρδ+supr∈[t，（t+δ）∧[T]Btr（eω）-Btt（eω）.以期望值EP[]为例，我们从（3.5）中看到|Jγ，ν- U|≤ bρ（δ）。（iii）何时n（ω）≥t、 我们看到了U=U（t，ω）-U（t，ω）=0。引理A.1表明t、 ωn∈Tt，ζn:=(t、 ωn+δ）∧(ν ∨t、 ωn）也是一个Ft-停车时间。给定eω∈Ohmt、 我们设定sn：=t、 ωn（eω）≤ζn（eω）：=sn。自序号起≤t、 ωn（eω）+δ=sn+δ，再次应用（2.2）得到Jγ，ν（eω）-U=Jγ，ν（eω）= 1{γ（eω）>t、 ωn（eω）}U(t、 ωn（eω）+δ）∧（ν（eω）∨t、 ωn（eω）），ωteω-Ut、 ωn（eω），ωteω≤Usn，ωteω-Usn，ωteω≤ρ（序号-sn）+supr∈[0，T](ωteω）（r）∧sn）-(ωteω）（r）∧sn）= ρ（序号-sn）+supr∈[sn，sn]eω（r）-eω（sn）≤ρδ+s不饱和聚酯∈[t、 ωn（eω）(t、 ωn（eω）+δ）∧[T]Btr（eω）-英国电信t、 ωn（eω），eω.取期望EP[]并使用（3.5）得到该EP|Jγ，ν- U|≤ bρ（δ）。因此，我们证明了（6.54）。2）接下来，我们用（6.54）来验证（5.4）。2a）对于任何（t′，ω′）∈[0，T]×Ohm, 因为（5.2）和（A2）意味着L（t′，ω′）≤Yn，k（t′，ω′）≤U（t′，ω′），bYn，k（t′，ω′）=1{t′≤n（ω′）L（t′，ω′）+1{t′>n（ω′）Yn，kn、 k（ω′）∧t′，ω′≤1{t′≤n（ω′）L（t′，ω′）+1{t′>n（ω′）U(n（ω′）+δ）∧t′，ω′.

（6.55）非线性期望下随机到期的最优停止（P，γ）∈Pt×t和eω∈Ohmt、 取（t′，ω′）=γ（eω），ωteω在（6.55）中得出拜恩，kt、 ωγ（eω）-（Yn）t，ωγ（eω）=bYn，kγ（eω），ωteω-伊恩γ（eω），ωteω≤1{γ（eω）>n（ω）teω）}U(n（ω）teω）+δ）∧（γ（eω）∨n（ω）teω），ωteω-Un（ω）teω），ωteω=Jγ，γ（eω）。然后，从（6.54）得出EPh拜恩，kt、 ωγi≤EP（Yn）t，ωγ+Jγ，γ≤Znt（ω）+U+bρ（δ）。取上确界（P，γ）∈左边的Pt×t导致Zn，kt（ω）≤Znt（ω）+U+bρ（δ）.2b）表示（5.4）的左侧，我们让（P，γ）∈Pt×t和集合eγ：=γ+δ∧T∈Tt。还有，让（t′，ω′）∈[0，T]×Ohm,一个hasYn（t′，ω′）≤1{t′≤n（ω′）U（t′，ω′）+1{t′>n（ω′）Un（ω′），ω′=Un（ω′）∧t′，ω′. （6.56）如果t′≤T-δ、 sincebYn，k（t′+δ，ω′）=1{t′≤n（ω′）-2.-k} L（t′＋δ，ω′＋1{t′）≥n（ω′）U(n（ω′）+δ）∧T、 ω′+1{n（ω′）-2.-k<t′<n（ω′）}n1.-2k（t′+2）-K-n（ω′）L（t′+δ，ω′）+2k（t′+2）-K-n（ω′）U（t′+δ，ω′）o≥1{t′≤n（ω′）L（t′+δ，ω′）+1{t′>n（ω′）U(n（ω′）+δ）∧T、 ω′,我们可以得到（t′，ω′）-bYn，k（t′+δ，ω′）≤1{t′≤n（ω′）}L（t′，ω′）-L（t′+δ，ω′）+1{t′>n（ω′）}U(n（ω′，ω′）-U(n（ω′）+δ）∧T、 ω′. （6.57）同时，（5.3）和（A2）表示byn，k（T，ω′）=1{n（ω′）>T-δ} U（T，ω′）+1{n（ω′）≤T-δ} U(n（ω′）+δ）∧T、 ω′=U(n（ω′）+δ）∧T、 ω′. （6.58）设eω∈{γ>T-δ} 所以eγ（eω）=T。取（t′，ω′）=γ（eω），ωteω在（6.56）、（6.58）中，使用（2.2）y ie ld表示（Yn）t，ωγ（eω）-拜恩，kt、 ωeγ（eω）=Ynγ（eω），ωteω-bYn，k（T，ω）teω）≤Un（ω）teω）∧γ（eω），ωteω-U(n（ω）teω）+δ）∧T、 ωteω=1{γ（eω）≤n（ω）teω）}Uγ（eω），ωteω-UT、 ωteω+1{γ（eω）>n（ω）teω）}Un（ω）teω），ωteω-U(n（ω）teω）+δ）∧T、 ωteω≤ ρT-γ（eω）+ 苏普∈[γ（eω），T]eω（r）-eω（γ（eω））-Jγ，T（eω）≤ρδ+supr∈[γ（eω），（γ（eω）+δ）∧[T]Btr（eω）-Btγ（eω）-Jγ，T（eω）。（6.59）另一方面，让eω∈{γ ≤T-δ}.

用（t′，ω′）应用（6.57）=γ（eω），ωteω使用（2.2）得到（Yn）t，ωγ（eω）-拜恩，kt、 ωeγ（eω）=Ynγ（eω），ωteω-拜恩，kγ（eω）+δ，ωteω≤ 1{γ（eω）≤n（ω）teω）}L（γ（eω），ωteω）-L（γ（eω）+δ，ωteω）+1{γ（eω）>n（ω）teω）}U(n（ω）teω），ωteω）-U(n（ω）teω）+δ）∧T、 ωteω≤ρδ+supr∈[γ（eω），（γ（eω）+δ）∧[T]eω（r）-eω（γ（eω））-Jγ，T（eω）=ρδ+supr∈[γ（eω），（γ（eω）+δ）∧[T]Btr（eω）-Btγ（eω）-Jγ，T（eω）。结合（6.59），我们可以从（6.54）和（3.5）中看到这一点（Yn）t，ωγ≤伊芙拜恩，kt、 ωeγ-Jγ，Ti+bρ（δ）≤Zn，kt（ω）-U+2bρ（δ）。然后取上确界（P，γ）∈左手边的Pt×t导致Znt（ω）≤Zn，kt（ω）-U+2bρ（δ）。（5.5）的证明：Fix（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. 我们将简单地用δ表示2tn+3，并表示术语Un+1（ω）∧t、 ω-Un（ω）∧t、 ω再见U.Let（P，γ，ν）∈Pt×Tt×t和定义γ，ν（eω）：=1{γ（eω）>n（ω）teω）}Un+1（ω）teω）∧（ν（eω）∨n（ω）teω），ωteω-Un（ω）teω），ωteω, eω∈ Ohmt、 6.3第5.23节中的结果证明根据命题5.1（1），可以通过三种情况再次推断（6.54）：n+1（ω）<t，n（ω）<t≤n+1（ω）和n（ω）≥t、 1）让我们首先展示（5.5）的右侧。对于任意（t′，ω′）∈[0，T]×Ohm, 因为（6.56）的类比表明Yn+1（t′，ω′）≤ Un+1（ω′）∧t′，ω′, 我们有+1（t′，ω′）=1{t′≤n（ω′）L（t′，ω′）+1{t′>n（ω′）Yn+1t′，ω′≤1{t′≤n（ω′）L（t′，ω′）+1{t′>n（ω′）Un+1（ω′）∧t′，ω′. （6.60）给定（P，γ）∈Pt×t和eω∈Ohmt、 取（t′，ω′）=γ（eω），ωteω在（6.60）中得出Yn+1t、 ωγ（eω）-（Yn）t，ωγ（eω）=Yn+1γ（eω），ωteω-伊恩γ（eω），ωteω≤1{γ（eω）>n（ω）teω）}Un+1（ω）teω）∧（γ（eω）∨n（ω）teω），ωteω-Un（ω）teω），ωteω=Jγ，γ（eω）。然后根据（6.54）得出Yn+1t、 ωγ≤EP（Yn）t，ωγ+Jγ，γ≤Znt（ω）+eU+bρ（δ）。取上确界（P，γ）∈左手边的Pt×t导致Zn+1t（ω）≤Znt（ω）+eU+bρ（δ）。2）为了表示（5.5）的左侧，我们让（P，γ）∈Pt×t和集合eγ：=γ+δ∧T∈Tt。