非线性期望下随机到期的最优停止

对于anyeω∈Ohmt、 as s（eω）=ζ（eω）≥t、 （A.1）意味着I（ω）=s upr∈[s（eω），s（eω）]eω（r）-eω（s（eω））≤ 苏普∈[ζ（eω），（ζ（eω）+δ）∧[T]Btr（eω）-Btζ（eω）.把它放回（A.2）中，然后取Expection EP[]，我们可以从（3.5）中看到bYt，ωγ-bYt，ω′γ我≤EPρYδ+supr∈[ζ,(ζ+δ)∧[T]Btr-Btζ≤bρY（δ）。（A.3）（ii）何时(ω)∧（ω′）<t≤(ω)∨（ω′），设（ω，ω）是（ω，ω′）的一个可能置换，使得(ω)=(ω)∧（ω′）<tand(ω) = (ω)∨(ω′) ≥ t、 引理A.1，(ω TOhm（t）≡ （ω） 及(ω TOhm（t） [t，t]。对于任意的eω∈ Ohmt、 一个hass（eω）=γ（eω）∧(ωteω）∧(ωteω）=（ω） =t<t和s（eω）=γ（eω）∧(ωteω）∨(ωteω）=γ（eω）∧(ωteω）≥t、 Sinces（eω）<s（eω）+δ<t+δ由（A.1）和自t=(ω)∧t=t，我们可以推导出i（eω）=苏普∈[s（eω），t]ω（r）-ωs（eω）∨苏普∈[t，s（eω）]eω（r）+ω（t）-ωs（eω）≤苏普∈[t，t]ω（r）-ω（t）∨ω（t）-ω（t）+ 苏普∈[t，s（eω）]eω（r）-eω（t）≤ 苏普∈[t，t]ω（r）-ω（t）+ 苏普∈[t，（t+δ）∧[T]Btr（eω）-Btt（eω）.（A.3）的分析表明bYt，ωγ-bYt，ω′γ我≤EPρYδ+supr∈[t，（t+δ）∧[T]Btr-Btt≤bρY（δ）。（A.4）非线性期望下随机到期的最优停止30（iii）当(ω)∨（ω′）<t，我们从引理A.1再次得出：(ω TOhm（t）≡ （ω） <t和(ω′TOhm（t）≡ （ω′）<t.对于任何eω∈Ohmt、 asγ（eω）≥t、 一个人有s（eω）=(ω)∧（ω′）=t<t和s（eω）=(ω)∨（ω′）=t<t，因此i（ω）=supr∈[t，t]ω（r）-ω（t）, 那么（A.4）仍然适用于本案。因此，我们证明了引理的第一个不等式。自从t-t=(ω)∧T- (ω′)∧T≤|(ω)-(ω′)|≤κkω-ω′k0，tby（2.5），第二个不等式很容易出现。引理A.3。假设（P2）-（P4）和（Y，) ∈S.P∈P、 Z是P-s超鞅与EP[Zτ]≥EP[Zγ]适用于任何τ，γ∈带τ的T≤γ、 P-a、 美国证据：修正，)∈标准普尔∈P.1）让t∈[0，T]和γ∈T

命题4.1和（4.1）表明Zγ是FT-可测有界随机变量。根据命题2.2，我们可以找到一个P-空集N使得EP[Zγ| Ft]（ω）=EPt，ω（Zγ）t，ω, ω ∈北卡罗来纳州。此外，（P3）显示了某些扩展的情况(Ohm, F′，P′）的(Ohm, 英国《金融时报》（FT，P）和一些Ohm′∈F′与P′的结合(Ohm′) = 1，Pt，ω∈对于任意ω∈ Ohm′. 命题4.3意味着EP[Zγ| Ft]（ω）=EPt，ω（Zγ）t，ω≤EtZγ(ω) ≤ Zγ∧t（ω），ω ∈ Ohm′∩ 北卡罗来纳州。使用导致（6.5）的类似参数，我们可以得到Ep[Zγ| Ft]≤ Zγ∧t、 P-a、 s.（a.5）2）设τ，γ∈带τ的T≤γ、 P-a、 s。还有，让n∈N和i=1，··，2n。我们设置tni:=i2-nT和Ani:={tni-1<τ ≤tni}∈Ftni，tn:=0。将（A.5）与t=tNiields一起应用，使EP[Zγ| Ftni]≤ Zγ∧tni，P-a、 美国1年乘以1年并对1年进行总结∈ {1，··，2n}，我们得到EP[Zγ| Fτn]≤ Zγ∧τn，P-a、 其中τn:=nXi=1Anitni∈ T然后取期望值EP[]得到EP[Zγ]≤ EP[Zγ∧τn]。自从limn→∞↓ τn=τ，由于命题4.2表明Zi是一个具有所有连续路径的有界过程，有界对流定理的应用导致Ep[Zγ]≤EP[Zγ∧τ] =EP[Zτ]。我们需要[19]中引理4.5的以下扩展来证明定理4.1和定理3.1。引理A.4。一个ssume（P1）。允许Ohm Ohm 设θ，θ，θ是三个实值随机变量Ohm 在紧致区间I中取值R的长度| I |>0。如果有ω∈ Ohm存在δ（ω）>0，使得θ（ω′）≤θ(ω)≤θ(ω′), ω′∈Oδ（ω）（ω）=ω′∈Ohm: kω′-ωk0，T≤δ(ω), （A.6）然后对于任何ε>0的情况，可以找到一个开放的子集TBOhm 属于Ohm 和Lipschitz连续随机变量bθ：Ohm →我喜欢吃晚饭∈聚丙烯BOhmC≤ε和θ-ε<bθ<θ+εonbOhm ∩Ohm.证明：因为正则空间Ohm 是一个可分的完备度量空间，因此Lindel¨o f，存在一个序列{ωj}j∈诺夫Ohm 以至于∪J∈诺伊=Ohm 其中Oj:=Oδ（ωj）（ωj）={ω∈Ohm: kω-ωjk0，T<δ（ωj）}。让n∈ N与N>|I|-1.根据（2.1），Ohmn:=n∪j=1是Ohm.

对于j=1，·，n，我们定义函数fn，j:[0，∞) → [0,1]作者：fn，j（x）：=1代表x∈0，δ（ωj）, fn，j（x）：=n-2 |我|-1对于x≥ δ（ωj）和fn，jis在δ（ωj），δ（ωj）. clearly，gn，j（ω）：=fn，j（kω）-ωjk0，T），ω∈ Ohm 是一个Lipschitz连续随机变量Ohm 系数<2/δ（ωj）。因此，gn:=Pnj=1gn，jis是一个Lipschitz连续随机变量Ohm 带值InN-1 |我|-1，nPnj=1θ（ωj）gn，是一个Lipschitz连续随机变量Ohm 谁的绝对值≤Pnj=1 |θ（ωj）|。然后我们可以推导出θn（ω）：=gn（ω）nXj=1θ（ωj）gn，j（ω），ω ∈ Ohm定义另一个Lipschitz连续r andom变量Ohm I.A.1技术引理31中的值给定ω∈ OhmN∩ Ohm, 当ω对于某些j=1，··，n时，我们看到索引集Jn（ω）：={1≤ J≤ n:kω- ωjk0，T≤δ（ωj）}不是空的，并且gn（ω）>1。然后我们可以从（A.6）推导出θn（ω）-θ（ω）=gn（ω）Xj∈Jn（ω）[θ（ωj）-θ（ω）]gn，j（ω）+Xj/∈Jn（ω）[θ（ωj）-θ（ω）]gn，j（ω）≤gn（ω）Xj/∈Jn（ω）|I | gn，j（ω）=gn（ω）Xj/∈Jn（ω）n<n，同样，θn（ω）-θ(ω) > -n、 因为P是Pby（P1）的弱紧子集∪N∈NOhmn=Ohm, [16]中的引理8表明limn→∞↓ 晚餐∈聚丙烯Ohmcn= 0 . 因此，对于任何ε>0，存在一个整数N>1/ε，使得对于anyn≥N，晚餐∈聚丙烯Ohmcn≤ε. 然后我们采取BOhm,bθ=OhmN、 θN. 我们可以找到F-局部L-ipschitz连续的停止时间如下。这个结果及其结论，引理A.6，对于我们用命题5.1中的Lipschitz连续停止时间来近似τ是至关重要的。引理A.5。Let（T，ω）∈（0，T）×Ohm R，κ>0。

存在一个F-停止时间ζ，取值为（0，T），使得ζ≡TonOTR（ω）={ω∈Ohm: kω-ωk0，T≤R} 给定ω，ω∈Ohm,|ζ(ω)-ζ(ω)|≤κkω-ωk0，t（A.7）对任何t都成立∈[b，T]∪T∈[a，b:t≥a+κkω-ωk0，t, 式中a:=ζ（ω）∧ζ（ω）和b:=ζ（ω）∨ζ(ω).证明：给定（t，ω）∈[0，T]×Ohm, 路径ω（·），ω（·）的连续性意味着xt（ω）：=kω-ωk0，t=supr∈[0，t]| Br（ω）-ω（r）|=supr∈Q∩[0，t]| Br（ω）-ω（r）|∈[0, ∞).作为随机变量supr∈Q∩[0，t]| Br-ω（r）|是Ft-可测量的，我们看到X是F-适应了所有连续路径的过程。定义f（x）：=-x/κ+T/κ+R，十、∈[0，T]。自ζ：=inf{t∈[0，T]：f（T）∧ （T）-Xt≤0}∧T是F-停止时间ζ：=ζ∧T=inf{T∈[0，T]：Xt≥f（t）}∧这也是F-（0，T）中的停止时间取值：给定ω∈Ohm,自X（ω）-f（0）=0-（T/κ+R）<0且自路径X·（ω）-f（·）是连续的，存在一些tω∈（0，T）使得Xt（ω）-f（t）≤-（T/κ+R）<0，T∈[0，tω]。因此ζ（ω）>tω>0。让ω∈ Ohm. 如果kω-ωk0，T≤ R、 可以推断Xt（ω）=kω-ωk0，t≤ kω-ωk0，T≤ R=f（T）<f（T），T∈[0，T），因此ζ（ω）=T。接下来，让ω，ω∈ Ohm. 如果ζ（ω）=ζ（ω），（A.7）自动保持。因此，让我们假设a:=ζ（ω）<ζ（ω）：=b，而不丧失一般性。我们声称如果t∈[a，b]s aties t-A.≥κkω-ωk0，t，然后|ζ（ω）-ζ（ω）|=b-A.≤κkω-ωk0，t.（A.8）为了看到这一点，我们让t∈[a，b]t-A.≥κkω-ωk0，t和集δ：=kω-ωk0，t，bt:=a+κδ≤t、 当ζ（ω）<t时，过程X和函数f的连续性意味着kω-ωk0，a=kω-ωk0，ζ（ω）=f（ζ（ω））=f（a）。然后我们可以推导出kω-ωk0，bt≥kω-ωk0，bt-kω-ωk0，bt≥kω-ωk0，a-kω-ωk0，t=f（a）-δ=f英国电信.所以b=ζ（ω）≤它允许|ζ（ω）-ζ（ω）|=b-A.≤英国电信-a=κδ=κkω-ωk0，t，证明了这个说法。如果b-a>κkω-ωk0，bheld，在t=b的情况下应用（A.8）将产生b-a=|ζ（ω）-ζ(ω)|≤κkω-ωk0，b，a矛盾出现。因此，我们必须有|ζ（ω）-ζ（ω）|=b-A.≤κkω-ωk0，b≤κkω-ωk0，t，T∈[b，T]。引理A.6。

设θ，θ，θ是三个实值随机变量Ohm 满足：对于某些δ>0，它适用于i=1，2和任何ω∈Ohm θi（ω′）≤θi+1（ω），ω′∈Oθi+1（ω）δ（ω）=ω′∈Ohm: kω′-ωk0，θi+1（ω）≤δ. （A.9）非线性期望下随机到期的最优停止32如果θ取（0，T）中的值，那么对于任何κ>T/δ，都存在一个F-停车时间 这样θ≤ ≤ θonOhm .而且，给定ω，ω∈Ohm,(ω)-(ω)≤κkω-ωk0，t（A.10）对任何t都成立∈[b，T]∪T∈[a，b:t≥a+κkω-ωk0，t, 其中a：=(ω)∧（ω） b：=(ω)∨(ω).证明：我们fixκ>T/δ并设置δ：=δ-T/κ。自从正则空间Ohm 是一个可分完备度量空间，因此Lindel¨of，存在一个可数稠密子集ωjJ∈诺夫Ohm 在范数k0下，T.给定j∈ N、 我们设置tj:=θ（ωj）∈（0，T]和κj:=tjδ-δ. 将引理A.5与（ω，T，R，κ）=（ωj，tj，δ，κj）结合，得到一个F-停止时间ζj在（0，tj]中取值，使得ζj（ω）≡tj，ω ∈Otjδ（ωj）。（A.11）给定ω，ω∈Ohm, 它持续了一段时间∈[bj，tj]∪T∈[aj，bj]：t≥aj+κjkω-ωk0，t那个ζj（ω）-ζj（ω）≤κjkω-ωk0，t≤κkω-ωk0，t，（A.12），其中aj:=ζj（ω）∧ζj（ω）和bj:=ζj（ω）∨ζj（ω）。清晰地:= 苏普∈Nζjde定义为F-（0，T）中的停止时间取值。Le Tω，ω∈Ohm. 如果(ω)= （ω） ，其中一个自动生成（A.10）。因此，让我们在不失去普遍性的情况下假设a:=(ω)<（ω） 我们声称如果∈[a，b]满足感-A.≥κkω-ωk0，t，那么(ω)-(ω)≤κkω-ωk0，t.（A.13）为了看到这一点，我们让t∈[a，b]t-A.≥κkω-ωk0，t和letλ∈（0，b）-a]。存在一个j=j（λ）∈N使得ζj（ω）≥B-λ. Asζj（ω）≥a=(ω)≥ζj（ω），我们看到aj=ζj（ω）和bj=ζj（ω）。然后是[aj，T]和最满意的-aj≥T-A.≥κkω-ωk0，t≥κjkω-ωk0，t.So乘以（A.12），(ω)-(ω)=B-A.≤ζj（ω）+λ-ζj（ω）≤κkω-ωk0，t+λ。让λ→ 0会产生这样的结果(ω) - (ω)≤κkω-ωk0，t，证明了这个说法。如果b-a>κkω-ωk0，bheld，应用t=b的权利要求（A.13）将得到b-a=|(ω)-(ω)|≤κkω-ωk0，b，a矛盾。

因此，我们必须|(ω)-（ω） |=b-A.≤κkω-ωk0，b≤κkω-ωk0，t，T∈[b，T]。现在，让我们乘以ω∈ Ohm. 自Oδωj Otjδωj对于任何j∈ N、 有一个Ohm = ∪J∈无δωj ∪J∈NOtjδωj Ohm. 所以ω∈Otjδωj为了一些j∈N从（A.11）可以得出(ω)≥ζj（ω）=tj>0。自kω-ωjk0，θ（ωj）=kω-ωjk0，tj<δ<δ，取（A.9）中的（i，ω，ω′）=（1，ωj，ω）表示θ（ω）≤θ（ωj）=tj=ζj（ω）≤(ω).我们声称ζl(ω) ≤θ(ω), l ∈N：假设不是，即ζl（ω） >θ（ω）对于某些l ∈N.来自莱玛的证据。5，我们看到ζl（ω） =inf{t∈[0，tl] : kω- ωlk0，t≥Fl（t） }∧Tl, f在哪里l（x） ：=-x/κl+tj/κl+δ, 十、∈[0，tl]. 自切克ωl-ωk0，θ（ω）≤ kω-ωlk0，ζl(ω)≤ Flζl(ω)< Fl（0）=tl/κl+δ=δ，取（i，ω，ω′）=2, ω, ωlin（A.9）导致一个矛盾：θ（ω）≥θωl=Tl≥ ζl(ω) ! 因此，ζl(ω)≤θ(ω), l ∈因此（ω） =supl∈Nζl(ω)≤θ(ω). A.2第6节（6.12）证明中的星型不等式：让r∈[t，t]。如果r<t，as{γ<ν}∈Ftγ∧νFtγ，有{bγλ≤r} ={γ<ν}∩{γ ≤r}∈Ftr。否则，如果r≥t、 设k为最大整数，使得tk≤r、 自{γ≥ν}∩{γ ≤r}{ν ≤r}{ν6=ti}Ai=k+1··，自{γ≥ν}∩Aij={γ≥ti}∩{ν=ti}∩Otiδj（eωj）∪j′<jOtiδj′（eωj′）∈Ftti对于i=1，··，k和j=1，···，λ，可以推导出{bγλ≤r}={γ < ν}∩{γ ≤r}∪{γ ≥ν}∩{γ ≤r}∩K∩i=1Ai∪K∪i=1λ∪j=1{γ ≥ν}∩哎呀∩{γij（πtti）≤r}∈Ftr。因此，bγλ∈Tt。（6.41）的证明：我们假设bκnbe是bδn的Lipschitz系数∈Ohm ε>0，setbλn=bλn（ω，ε）：=ε∧（φωT）-1（ε/3）bκnand letω′∈Obλn（ω）。让0≤R≤r′≤带r′的T-R≤bδn（ω）。Ifbδn（ω）≤bδn（ω′），然后|ω（r′）-ω（r）|≤|ω（r′）-ω′（r′）|+|ω′（r′）-ω′（r）|+|ω′（r）-ω（r）|≤φω′Tbδn（ω）+2kω′-ωk0，T<φω′Tbδn（ω′）+ε. （A.14）A.2第6节中星型不等式的证明如果bδn（ω′）<bδn（ω），我们设置s′：=r′∧（r+bδn（ω′）。

因为（2.5）表明-s′=r′∧（r+bδn（ω））-r′∧（r+bδn（ω′）≤bδn（ω）-bδn（ω′）≤bκnkω-ω′k0，这是s′-r=r′∧（r+bδn（ω′）-r′∧R≤bδn（ω′），我们可以推断|ω（r′）-ω（r）|≤ |ω（r′）-ω（s′）|+|ω（s′）-ω（r）|≤φωTbκnkω-ω′k0，T+|ω（s′）-ω′（s′）|+|ω′（s′）-ω′（r）|+|ω′（r）-ω（r）|≤ φωTbκnkω-ω′k0，T+φω′Tbδn（ω′）+2kω′-ωk0，T<φω′Tbδn（ω′）+ε.将其与（A.14）结合，并对该对（r，r′）取上确界，得到φωTbδn（ω）≤ φω′Tbδn（ω′）+ ε.另一方面，让0≤呃≤呃’≤ T与er′结合-呃≤bδn（ω′）。Ifbδn（ω′）≤bδn（ω），与（A.14）的类比表明|ω′（er′）- ω′（er）|<φωTbδn（ω）+ε. （A.15）否则，如果bδn（ω）<bδn（ω′，则可以推断|ω′（er′）-ω′（er）|≤|ω′（er′）-ω（er′）|+|ω（er′）-ω（er）|+|ω（er）-ω′（er）|≤φωTbδn（ω′）+2kω-ω′k0，T≤φωTbδn（ω′）-bδn（ω）+φωTbδn（ω）+2kω-ω′k0，T<φωTbκnkω-ω′k0，T+φωTbδn（ω）+ε≤φωTbδn（ω）+ε.将其与（A.15）相结合，并将上确界置于二者之上呃，呃产生φω′Tbδn（ω′）≤ φωTbδn（ω）+ ε.因此ω→ φωTbδn（ω）是一个连续的随机变量Ohm. （6.42）的证明：设ω，ω′∈Ohm 设置t:=bθn（ω），s:=bθn（ω′）。我们从（4.2）和（4.5）中看到Zs（ω）-Zs（ω′）≤ bρY（1+κ)kω-ω′k0，T+φωTκkω-ω′k0，T, 和Zt（ω）-Zs（ω）=Zt∧s（ω）-Zt∨s（ω）≤2C我的|s-t|q∨|s-t|q-Q+ bρY|s-t|+ bρYδ′t，s（ω）∨bbρYδ′t，s（ω）,式中δ′t，s（ω）：=（1+κ）)|s-t | q+φωt|s-t|. 把它们加起来，我们可以从随机变量Bθn的Lipschitz连续性推断出Zbθn是一个连续的随机变量Ohm. 证明（6.53）：如果n（ω）∧n（ω）+2-k> t，一个有Ht（ω）=Ht（ω）=0。另一方面，假设n（ω）∧n（ω）+2-K≤ t、 当kω-ωk0，t≥ 2.-kκ-1n，我们自动拥有Ht（ω）-Ht（ω）≤ 1.≤kκnkω-ωk0，t；当kω-ωk0，t<2-kκ-1n，自从n（ω）∧n（ω）+κnkω-ωk0，t<n（ω）∧n（ω）+2-K≤t、 将位置5.1（2）与t=tyields一起应用n（ω）-n（ω）≤κnkω-ωk0，t.那么（2.5）意味着Ht（ω）-Ht（ω）≤k（t）-n（ω））-1.+-k（t）-n（ω））-1.+≤2kn（ω）-n（ω）≤2kκnkω-ωk0，t。（6.67）的证明：设ω′∈ Ohm.

如果集合{t′∈[0，T]：X（T′，ω′）≤ 0}不是空的，命题5.1（1）意味着limn→∞↑ n（ω′）=τ（ω′），然而，n（ω′）<τ（ω′）对于任意n∈ 然后我们可以推断出limn→∞[0,n（ω′）（t′）=[0，τ（ω′）（t′），t′∈[0，T]，路径U·（ω′）的连续性意味着limn→∞Ynt′（ω′）=limn→∞{t\'\'≤n（ω′）L（t′，ω′）+1{t′>n（ω′）U(n（ω′，ω′）= 1{t′<τ（ω′）}L（t′，ω′）+1{t′≥τ（ω′）U（τ（ω′），ω′）=Y（τ（ω′）∧ t′，ω′）=cYt′（ω′），t′∈[0，T]。另一方面，如果集合{t′∈ [0，T]：X（T′，ω′）≤ 0}为空，路径X·（ω′）的连续性意味着inft′∈[0，T]X（T′，ω′）>0。足够大的∈ N、 布景t′∈[0，T]：X（T′，ω′）≤对数（n+2）+十、-1.-1.-1.也是空的，因此T=τn（ω′）=n（ω′）=τ（ω′）由命题5.1（1）确定。然后（A2）表明，对于任何t′∈[0，T]limn→∞Ynt′（ω′）=limn→∞{t\'\'≤n（ω′）L（t′，ω′）+1{t′>n（ω′）U(n（ω′，ω′）=1{t′≤T}L（T′，ω′）=1{T′<T}L（T′，ω′）+1{T′=T}U（T，ω′）=1{T′<τ（ω′）L（T′，ω′）+1{T′≥τ（ω′）U（τ（ω′），ω′）=cYt′（ω′）。（6.73）的证明：设ω∈Ohm. 从那时起l,lt（ω）=Lt（ω）除以[0，l(ω)+2-l][0, n） ，一个hasbζαi，l∧n=infT∈[0, n） ：Zl,lT≤通过l,lt+1/i+1/α∧n=infT∈[0, n） ：Zl,lT≤Lt+1/i+1/α∧n=ζαi，l∧n、 （A.16）非线性期望下随机到期的最优停止34If Zmj，mjt（ω）=Lt（ω）对于某些t∈0, n（ω）, 应用（6.70），k=MJ，k=l 分别表示zt（ω）≤Zmj，mjt（ω）+εmj≤Lt（ω）+εl<Lt（ω）+2i+α，因此Zl,lt（ω）≤Zt（ω）+εl<Lt（ω）+i+α。所以inf{t∈[0, n（ω））：Zl,lt（ω）≤Lt（ω）+1/i+1/α}≤inf{t∈[0, n（ω））：Zmj，mjt（ω）=Lt（ω）}。AsbYmj，mjt（ω）=Lt（ω）除以[0，n（ω）），可以得出ζαi，l(ω)∧n（ω）=infT∈[0, n（ω））：Zl,lt（ω）≤Lt（ω）+1/i+1/α∧n（ω）≤inf{t∈[0, n（ω））：Zmj，mjt（ω）=Lt（ω）}∧n（ω）=inf{t∈[0, n（ω）：Zmj，mjt（ω）=bYmj，mjt（ω）}∧n（ω）=νmj（ω）∧n（ω）。另一方面，如果T∈ [0, n（ω）：Zmj，mjt（ω）=Lt（ω）如果是空的，我们可以推断出νmj（ω）≥ n（ω）。然后νmj（ω）∧n（ω）=n（ω）≥我，l(ω)∧n（ω）自动保持不变。

（6.79）的证明：Setbζ′i，l:= limα→∞↑bαi，l≤bζi，l. 作为Z的c连续性l,l-通过l,l显示Zl,lbαi，l-通过l,lbαi，l≤i+α，α > l, 让α→ ∞, 从Z的连续性可以看出l,l-通过l,l再说一遍，Zl,lbζ′i，l-通过l,lbζ′i，l≤ 1/i，这意味着bζi，l=bζ′i，l= limα→∞↑bαi，l. （6.82）的证明：设ω∈ Ohm. 如果集合I（ω）：=T∈ [0，T]：Zt（ω）≤ Lt（ω）+1/i是空的，路径Z·（ω）的连续性-L·（ω）意味着η（ω）：=inft∈[0，T]Zt（ω）-Lt（ω）> 1/i.对于任意整数h>（η（ω）-1/i）-1.自那以后∈[0，T]（Zt（ω）-Lt（ω））=η（ω）>1/i+1/h，集合Ih（ω）：=T∈[0，T]：Zt（ω）≤Lt（ω）+1/i+1/h也为空，因此γhi（ω）=T。因此，林→∞↑ γhi（ω）=T=γi（ω）。另一方面，如果I（ω）不是空的，我们设置γ′I（ω）：=limh→∞↑ γhi（ω）≤ γi（ω）=inf i（ω）。不管怎样∈ N、 Ih（ω）包含I（ω），因此不是空的。路径Z·（ω）的连续性-L·（ω）则意味着Zγhi（ω），ω-Lγhi（ω），ω≤i+h.让h→ ∞, 从路径Z·（ω）的连续性可以看出-L·（ω）再次表示Zγ′i（ω），ω-Lγ′i（ω），ω≤1/i，表明γi（ω）=inf i（ω）≤γ′i（ω）。因此，γi（ω）=γ′i（ω）=limh→∞↑ γhi（ω）。（6.89）的证明：集sn=sn（ω）：=（γ）*∧n） （ω）且ε>0。通过路径Z·（ω）的连续性，存在一个δn=δn（ω）>0，使得Zt（ω）-Zsn，ω≤ ε, T∈（序号-δn）+，sn. 我们看到fr om（6.88）足够大∈N、 两者（γi）∧n） （ω）和（γ2i）∧n） （ω）在（序号-δn）+，sn, 所以Jn，i（ω）（序号-δn）+，sn. 因此Zsn，ω-ε≤输入∈Jn，i（ω）Z（t，ω）≤ 监督∈Jn，i（ω）Z（t，ω）≤ Zsn，ω+ ε. 就像我→ ∞, 我们得到Zsn，ω-ε ≤ 里美→∞输入∈Jn，i（ω）Z（t，ω）≤里美→∞监督∈Jn，i（ω）Z（t，ω）≤Zsn，ω+ε. 让ε→0则为（6.89）。参考文献[1]E.Bayraktar a和Y.Huang，关于多维控制器和塞子游戏，暹罗J.ControlOptim。，51（2013），第1263-1297页。[2] E.Bayraktar，I.Karatzas和S.Yao，《动态凸风险度量的最优停止》，伊利诺伊州J.Math。，54（2010），第1025-1067页。[3] E.Bayraktar和S。

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