快速还是持久？需要变通能力的战略投资

因此，如果α=α=α=L，则在平衡状态下，两种作用之间的效果是不同的- 佛罗里达州- M∈ （0,1），这意味着预期的本地支付F（注意，我们有F≥ M） 。对于对称强度，任一企业成为领导者的概率为α（1）- α) + (1 - α)α(1 - α) + · · · =1 - α2 - α.以极限为例，概率成为P的边界，其中α消失（见附录中关于极限结果的注释2）。然而，在P的内部，有一个由确定性时间t索引的正预期和一个通过t=τ（ω）的逐点构造。参见Hendricks和Wilson（1992）的平衡证明。概率α/（2）- α） 代表抢占成本的同时投资，而不是更多的临时协调设备。现在考虑P以外的州。首先假设一些公司试图确定何时进行切换并获得领先值L是最佳的，这直接取决于Y。如果竞争对手无法抢占公司的先机，那么标准技术将意味着存在一个门槛*这将企业保持活跃的持续区域和企业进行切换的停止区域分开。因此，最佳停止时间是进程Y第一次进入集合[Y]的时间*, ∞) 而进程X在这个问题上根本不起作用。然而，企业应该意识到，一旦P被击中，游戏就结束了，并且它接收到了不可预测的Follower值，该值确实取决于X。因此，企业应该实际解决受约束的最优停止问题，直到P的第一次击中时间，成为领先者，这个问题的解决方案应该再次将（真正的二维）状态空间分为两组：连续集C和停止集a。这些区域之间的边界由映射x 7给出→ b（x），见图1。

b（x）增加玩具*为了x→ ∞, 从那时起，在等待接近无约束阈值y时达到P的概率*它很小。xyy*`yyPL=FP（L>F）Ab（x）C图1：延续区、消耗区和保留区。然而，对于较小的x值，如果Pis在Y<Y时命中，则陷入抢占的风险更高*. 因此，在P被设置为可能更低的值之前，最好确保当前的前导值。我们正式证明，严格提前停止是最优的∪ R+×[y*, ∞) 在约束停止问题中被击中，即停止边界b（x）位于该区域下方（尤其是当抢占“接近”时）。在stoppin gset A的内部，我们现在面临着一种类似于消耗战的情况：等待而不发生切换（受约束的领导者值预期会降低），但在该区域成为追随者将产生更高的回报F>L。y和YP的定义将在第4.3节中变得清晰。我们根据受约束领导者停止问题的s顶部边界b（x）来描述下面的消耗区域A，并将该区域的等待成本确定为L的漂移。在平衡状态下，如果对手退出，产生跟随者的回报，企业只愿意继续并承担成本。我们将提出对称的马尔可夫均衡投资风险率，称为损耗率，这使得两家公司在A中的持续性完全不同。如果我们在这里用λ表示这些风险率，给出一个启发性的论点，那么一家公司在一个小时间间隔[t，t+dt]内投资的概率是λtdt。

假设每家公司的等待时间不同，则平衡值（即预期收益）vt应满足vt=Ftλtdt+（1- λtdt）E[Vt+dt | Ft]=Ftλtdt+（1- λtdt）E[Vt+dVt | Ft]<=> λtdt=-E[dVt | Ft]Ft- 及物动词- E[dVt | Ft]。另一方面，我们应该在不同的情况下得出V=L，因为如果另一家公司以一定的利率投资，同时投资的概率为零。因此，E[dVt | Ft]是o（dt）阶Ltof的（此处为负）d裂谷，意味着λtdt=-E[dLt | Ft]Ft- Lt.我们将更一般地将策略建模为随时间变化的分布函数Gi（t），例如危险率实际上是λtdt=dGi（t）/（1）- Gi（t））。请注意，与线性发展的确定性模型（状态变量随时间t变化）不同，我们必须考虑s状态频繁且随机地进入和离开磨损区域的可能性，这使得差异更难验证。外源不确定性的一个显著特征是，在之前没有企业投资的情况下，总是有积极的可能性达到先占区域，尽管风险率λtgrow无限地为F- L→ 0p附近；后者确实加强了对确定性模拟的投资。4子博弈完美均衡的形式化分析在这一节中，我们展示并更详细地讨论了第3节非正式介绍的形式化结果。我们首先在第4.1节中对计时博弈（特别是策略和均衡概念）进行形式化，然后在第4.2节中为从抢占区域P开始的子博弈建立均衡。第4.3节分析了识别磨损区域A的约束最优停止问题。

在第4.4节中，我们为任意子博弈建立（马尔可夫）均衡策略。4.1计时博弈：策略与均衡我们使用子博弈完美均衡的框架，对随机计时博弈进行分析，并在Riedel和Steg（2014）中提出混合策略。存在固定概率空间(Ohm, F，P）捕捉关于世界现状的不确定性，特别是关于未来利润的不确定性。我们的企业可以决定在连续时间t内转向新市场B∈ R+。何时切换的决定可以基于一些外部动态信息，这些信息由过滤器表示=英尺T≥0满足us-ual条件（即F是正确的连续且完整的）。它包括当前对过程X和Y的观测，因此L、F和M也适用于F。连续时间内的可行决策节点都是停止时间。因此，任何停止时间都代表着子游戏的开始，其含义是之前没有任何公司切换过。让T表示所有停止时间的集合w.r.T.过滤F。我们将指定所有子游戏的完整行动计划，采取随时间变化的（随机）分布函数形式。这些规则必须是时间一致的，这意味着Bayes的规则必须适用于任何适用的地方。需要额外的策略扩展作为协调设备，以便在连续时间内适当地建模抢占。定义4.1。企业i的扩展混合战略∈ 在从θ开始的子游戏中{1,2}∈ T，也称为θ-策略，是一对过程Gθi，αθi分别取[0,1]中具有以下属性的值。（i） Gθiis改编。

对于所有t<a.s.（ii）αθi（t）=0，它是右连续的，且n随Gθi（t）=0递增。当αθi<1，a.s.（iii）αθi（t）>0时，它是右连续的=> Gθi（t）=1代表所有t≥ 0，a.s.我们进一步定义了Gθi（0-) ≡ 0，Gθi(∞) ≡ 1和αθi(∞) ≡ 每扩展一个混合策略1个。任何停止时间τ≥ θ可以解释为与Gθi（t）=t相对应的纯策略≥τ表示所有t≥ 0.如果Gθijump同时为1，则扩展αθide确定实际时间概率，因此在一定程度上可以避免同时停止。Fudenberg和Tirole（1985）首次为确定性游戏引入了α-成分。通常，映射αθi：Ohm ×[0，t]→ R、 （ω，s）7→ αθi（ω，s）必须是Ft B（[0，t]）-对任何t都是可测量的∈ R+。这是一个比适应性更强的条件，但比可选性弱，这是我们通过右连续性自动拥有的条件。渐进可测性意味着αθi（τ）对于任何τ都是Fτ-可测的∈ T这意味着在概率为1的情况下，αθi（·）是完全连续的∈ [0, ∞) 其中αθi（t）<1。由于我们在这里只对对称博弈感兴趣，我们可能会要求扩展αθi（·）在取值为0的情况下是正确的，这简化了结果的定义。参见R iedel和Steg（2014）的第3节，了解不对称博弈和相应较弱的规则性限制的问题。并允许在连续时间内进行即时协调。它们还可以被视为衡量企业的“先发制人强度”，因为它们决定了每个企业成功投资的概率。特别是，at^τθ：=inf{t≥ θ|αθ（t）+αθ（t）>0}，范围αθ·确定最终结果概率λθL，i，λθL，jandλθMas在Riedeland Steg（2014）中定义，我们在附录A.2中提供了完整性。

这里λθL，i和λθL，j分别表示企业i成为领导者或追随者的概率。λθ估计两家公司同时投资的可能性。由于后一种结果从来都不是理想的（即企业宁愿成为跟随者，最终在同时投资的情况下结束），这种结果传统上被称为“协调失败”（例如，见Huisman和Kort，1999）。既然战略已经正式确定，我们就可以确定企业的薪酬。与战略一样，必须为每个子游戏确定这些薪酬。定义4.2。给出了两种扩展的混合策略Gθi，αθi,Gθj，αθj, i、 j∈ {1,2}，i6=j，子博弈中i的收益从θ开始∈ T isVθiGθi，αθi，Gθj，αθj:= EZ[0，^τθ）1.- θj（s）LsdGθi（s）+Z[0，^τθ）1.- θi（s）FsdGθj（s）+Xs∈[0,^τθ)θi（s）Gθj（s）Ms+λθL，iL^τθ+λθL，jF^τθ+λθMM^τθFθ.由于θ-策略需要在子游戏中聚合，我们需要引入时间一致性的概念。定义4.3。企业i的扩展混合战略∈ {1,2}在计时游戏中是一个家庭Gi，αi:=Gθi，αθiθ∈Tof扩展了所有子游戏的混合策略θ∈ T一种扩展的混合策略Gi，αi时间是否一致≤ θ′∈ Tθ\'≤ T∈ R+=> Gθi（t）=Gθi（t′）-) +1.- Gθi（θ′）-)Gθi（t）a.s.和θ≤ τ ∈ T=> αθi（τ）=αθ′i（τ）a.s.现在平衡概念是标准的。定义4.4。

计时博弈的子博弈完美均衡是一对G、 α,G、 α时间一致的扩展混合策略∈ T，i，j∈ {1,2}，i6=j，以及扩展的混合策略Gθa，αθaVθi（Gθi，αθi，Gθj，αθj）≥ Vθi（Gθa，αθa，Gθj，αθj）a.s.，即每对Gθ，αθ,Gθ，αθ在θ的子游戏中是平等的∈ 分别是T。4.2先发制人均衡我们通过考虑具有先发优势Lθ>Fθ的子博弈开始构建子博弈完美均衡，即从先发制人区域P开始，在这里我们可以参考以下已建立的均衡，其中至少有一个企业立即发痒。提案4.5（Riedel and Steg（2014），提案3.1）。修好∈ 假设θ=inf{T≥ θLt>Ft}a.s.那么Gθ，αθ,Gθ，αθ由αθi（t）=1Lt>FtLt定义- FtLt- 任何MTT∈ [θ, ∞) Gθi=1t≥θ，i=1，2，是θ子博弈中的均衡。由此产生的收益为Vθi（Gθi，αθi，Gθj，αθj）=Fθ。在这些平衡中，企业在停止和等待之间没有区别。后者意味着立刻成为跟随者，然后对手肯定地切换。如果Lθ>Fθ，则同时切换的可能性为正，这就是“赎回成本”，将支付降低到Fθ。特别令人感兴趣的是Lθ=Fθ的子博弈，其中每个企业都有可能在命题4.5的均衡中成为领导者或追随者（考虑到A.2节中定义的结果概率）。在τP（θ）：=inf{t的“连续”平衡中尤其如此≥ θLt>Ft}（因此游戏将以概率1结束）对于以Lθ开始的s ubgames≤ Fθ。通过这些持续均衡，企业知道如果达到先占区域，那么每个企业都可以期望在那时获得跟随者价值。

这一观察结果对于在磨损情况下建立平衡非常重要。4.3受约束领导者的停止问题我们现在转向从外部开始的子博弈的均衡，在那里我们将观察到一场消耗战，与文献中典型的战略实物期权模型形成对比，其中只考虑了先占。我们的平衡与一个特殊的首要问题密切相关，因此我们详细讨论了这个问题。它的价值（功能）也将是玩家在均衡状态下的持续价值，需要它的解来描述和理解非均衡策略。这个停车问题本身也是一个有趣的问题，因为它是二维的，因此在最优停车文献中根本不是标准的。根据命题4.5，每当州达到优先购买区域P时，我们就确定（均衡）支付。现在假设只有一家公司，比如说我，可以在达到P之前进行转换。然后，我可以决定什么时候成为打P的最佳领导者，游戏以F的当前值作为预期回报结束。让τP:=inf{t≥ 0 |（Xt，Yt）∈ P} =inf{t≥ 0 | Lt>Ft}表示抢占区域P的第一次命中时间，公司i现在面临最佳停止辅助支付过程的问题L:=L1t<τP+FτPt≥τP.显然有必要考虑停车时间τ≤ τP.我们也只对初始状态（X，Y）=（X，Y）感兴趣∈ Pc，这意味着FτP=LτPby连续性。那么我们的停止问题的值是vL（x，y）：=ess supτ≥0E~Lτ= ess supτ∈[0，τP]ELτ对于（X，Y）=（X，Y）∈ Pc（和V~L（x，y）：=Ffor（x，y）=（x，y）∈ P） 。

由于强马尔可夫性，这个问题的解可以通过识别状态空间{（x，y）的停止区域来表征∈ R+| V)L（x，y）=Lfor（x，y）=（x，y）}=P∪ {（x，y）∈Pc | V!L（x，y）=L（0，y）}和延拓区域c:={（x，y）∈ Pc | V!L（x，y）>L（0，y）} Pc.根据L（resp.L）的连续性，当（X，Y）点击Cc时，停止确实是最佳选择。s Toping和continuation区域与无约束问题SUPτ的相关≥0ELτ, 这仅取决于Y及其初始值Y=Y。这是实物期权文献中的一个标准问题，例如，通过停止初始时间Y超过阈值Y，可以唯一地解决该问题*=ββ- 1（r）- uY）I+cB- 铬,当β>1时，二次方程q（β）的正根≡σYβ（β- 1） +μYβ- r=0。（4.1）在y*, 作为垄断者投资于B的净现值刚好足够高，在退化情况下，该解决方案也适用于Y=Y*= 0，i offl是恒定的，但它当然不是唯一的。等待的选择价值。现在，约束约束约束了，无约束问题的停止区域不完全包含停止区域P，如图1所示*> yP:=（r）- uY）cB- 汽车+I.事实上，停止L对Yt来说是最佳选择≥ Y*在无约束的情况下，它太受约束τ≤ τP.因此，如果y*≤ yP，有约束和无约束问题的连续区域f一致。在显示的案例中，y*> 然而，yP，我们有一个更复杂的，真正的二维停止问题。然后，L的停止区域延伸到P以下∪ {（x，y）∈R+| y≥ Y*} 因为当（X，Y）接近P但低于Y时，在较低的Y值处击中P的风险*.

然而，在值“y:=cB”以下，停车占主导地位- c+rI，其中L的漂移为正，因此也为“y<y”*如果其中一个是肯定的。此外，我们还表明，在下列情况下，始终值得等待，直到YE至少超过yP（如果小于y*). 然后，继续区域C和停止区域CforL确实由函数b（x）分隔，如图所示。4.6号提案。存在一个函数b:R+→ [min（yP，y*), Y*] 它是不减量的连续的，这样，直到原点，C={（x，y）∈ R+| y<b（x）} Pc和τCc:=inf{t≥ 0 |（Xt，Yt）∈ Cc}达到V)L（x，y）=ELτCc对于（X，Y）=（X，Y）∈ R+。起源属于C i ffy*> 0，即i ffy>0。在这种情况下，b进一步满足b（x）≥最小值y，yP+x（r- uY）/（r- uX））（否则b≡ Y*C=).在y之上*, 任何延迟所放弃的收入都是如此之高，以至于投资绝对是最优的。y以下*, 对投资成本的贬值效应是使等待严格最优的主要因素。yP≥ 根据我们对参数的假设为0。真正的二维问题及其自由边界由于其普遍的复杂性，在文献中很少被研究。有时会考虑二维问题，例如涉及一维扩散及其运行上确界，然后将其简化为一维、更标准的问题。例如，见Peskir和Shiryaev（2006年）。L的漂移，-E-rt（Yt）- y）dt，可以通过将其o的公式应用于（2.2）中的L（t，Yt）来推导。