快速还是持久？需要变通能力的战略投资

安排（Lt）- Ft）类似于（6.1）所示（Lt- 对于足够大的t，Ft）为负值，这限制了上一个间隔。假设抢占间隔为非空且uY>0，则在抢占之前、期间或之后可能会出现在t=`t时达到的唯一最大值。只有在第一种情况下，也就是说，如果L’t<F’tand，我们才能观察到先消耗后抢占（L’t）- F\'t）>0，即X\'t/（r）- uX（见（6.3）右侧）位于\'y/（r）- uY）- （cB）-cA）/r-一、 uY′Y/（uX（r）- uY）. 该间隔是非空的，例如，如果uX和uY有效循环。在抢占间隔后的子游戏中，所有t≥t.根据我们在第2节中的假设，LHS是两个非减量函数的乘积，RHS是非负的。因此Lt>Ftfor allt>inf{t≥ 0 | Lt>Ft}=:t如果（6.2）的LHS变为正值，即tP<∞ <=>uY>uXor Y/（r）- uY）>X/（r- uX）。抢占权不会在t=0 i ffy/（r）时立即开始- uY）- X/（r）- uX）<（cB- cA）/r+I，即tP>0<=> （X，Y）6∈P.现在是最大化Ltover t的约束s Toping问题≤ 这很容易。随着LTI的增加，i ffy<y，即i ffy<y和T<uYlnyY=:\'t，解决方案是在u约束的最佳t=\'t处停止（如果Y，则分别在t=\'t:=0处停止≥ “y）或约束t=tp（如果它是bindin g）。该解决方案也是唯一的，因为Ltin事实上严格增加了Yt</y，严格减少了Yt≥ 因此，在达到受约束的最佳最小值（\'t，tP）之前，停止g被严格控制，只有在抢占开始前达到无约束的最大ofL时，我们才能观察到平衡状态下的磨损。

事实上，它认为L\'t<F\'t（给定Y<Y）i ffy\'tr- uY-cB- 汽车- I<X\'tr- uX<=>\'年- uY-cB- 汽车- I<XeuX\'tr- uX=Xr- uXyYuXuY（6.3）（和L<F<=> （X，Y）6∈P代表Y≥ “y”），因此会有损耗。市场A的初始稳定性XO足够大，可以让y在（Xt，Yt）之前超过∈P.OnceYt>y，分别。t>t，LTP严格降低，我们观察到损耗，直到抢占开始attP。平衡现在可以用命题4.10中的。定理4.12，在固定的抢占开始日期t下，将τP（θ）through out和t≥\'t更换动态边界Yt≥ b（Xt）。请注意，如果在抢占区域搜索之前存在损耗，那么由于损耗，现在将以概率1发生停止。如果uX6=0，则（Xt，Yt）在状态空间R+中的路径由关系y=y（x/x）（uy/ux）给出。对于uX=0，它当然只是{（X，y）|y≥ Y} 。与命题4.11及其证明类似（事实上相反），它需要验证t hatZτPdtXt- Yt+a=∞当使用简化符号τP=inf{t≥ 0 | Xt- Yt≤ a}∈ (0, ∞), 因为我们只对YτP>Y感兴趣，所以Ytis在τP附近远离Y，在这里，上述积分爆炸。事实上，作为一个数值例子，我们使用与之前相同的参数值，但设置σX=σY=0。为了便于参考，图6的左面板包括了第5节中导出的畸变区域的近似边界。请注意，对于每个样本路径，很明显，游戏以消耗结束，并且在ce上输入消耗区域后，它将永远不会退出。因此，平衡磨损率是时间的平滑函数，如图6的右面板所示。

在本例中，非示例路径将以抢占结束。0 5 10 15 20 25 30510152025xyy*yPAC（a）样本路径12 14 16 18 2000.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.02时间损耗率（X0，Y0）=（10,5）（X0，Y0）=（15,5）（b）损耗率图6：确定性情况下的路径和损耗率。然而，如果我们采用相同的例子，但使用uY=.06和uX=.02，则情况非常不同。图7显示了三条以抢占结束的示例路径。因此，在抢占区域进入时，损耗率平稳地增加到1。这与第5.7节结论性意见中讨论的损耗率的典型样本路径又有很大不同。在本文中，我们建立了一个连续时间随机模型，该模型捕捉了一个自然战略投资问题，根据环境的随机演化，该问题会产生一系列局部先动和后动优势。我们主要关注具有后发优势的区域，因为这些在实物期权文献中很少被考虑。

尽管游戏的开发是不可预测的，我们还是构建了subgameZt=Xt- 我们有极限→τPZt=0，dZt=（uXXeuXt）- uYYeuYt）dt，因此∞ = 极限→τP- ln（Zt）=- ln（Z）-ZτPuXXeuXt- uYYeuYtXt- Yt+adt。由于积分中的分子在假定的有限区间[0，τP]上有界，因此如下所述。0 5 10 15 20 25 30 3546810121416182022xyy*yPAC（a）样本路径0 5 10 15 20 2500.10.20.30.40.50.60.70.80.91时间损耗率（X0，Y0）=（10,5）（X0，Y0）=（15,5）（X0，Y0）=（20,5）（b）损耗率图7：确定性情况下的路径和损耗率。完美（马尔可夫）平衡，为此，我们使用了不同于最优停止理论的方法，因为我们确定了平衡结构核心的停止问题，而这些问题在文献中并不标准。尽管我们对潜在的随机过程做出了一些强有力的假设，选择了一种非常具体的形式，但应该清楚的是，我们的结果——特别是驱动我们均衡的经济学——可以推广到其他潜在的支付过程。几何布朗运动的假设主要是为了明确计算先导和跟随过程。未来研究的一个重要经济途径是通过为跟随者引入延续值来丰富经济环境。这甚至可以扩展到amodel w，在这里，企业可以随心所欲地经常发痒。然而，这样的扩展不属于这里使用的计时游戏框架，而是需要更丰富的子游戏模型，尤其是（投资）历史模型。感谢作者感谢约克大学经济与相关研究系的支持。

Jacco Thijssen感谢比勒菲尔德大学数学经济学中心以及该大学跨学科研究中心（ZiF）的支持。Z iF项目“稳健金融：战略力量、骑士式的不确定性和经济政策建议的基础”的参与者提出了有益的意见。附录。1.命题4.6的证明。首先考虑Y=0，这是吸收。根据我们的推测≥ 0，so（R+，0） 给Y的个人电脑≡ 0因此τP=∞ （所以我们面临一个无约束的确定性问题）因此（x，0）∈ C<=> VL（x，0）>L（0，0）<=> 0<y*通过无约束问题的解，或直接从dLt=e-对于y=0和y*> 0<=> y>0。在这种情况下，τCc=∞ 是最优的，如果y*≤ 0.现在，我们通过强路径比较，建立了整个状态空间中L的停止和继续区域的单调性。因此，表示（2.1）可原谅初始条件（X，Y）=（X，Y）的解∈ R+by（Xx，Yy）=（Xx，Yy）。进一步将延续区域写为C={（x，y）∈ R+| V!L（x，y）>L（x，y）} Pc，其中L（x，y）：=L（0，y）1（x，y）∈Pc+F（0，x）1（x，y）∈P参见（2.2）。这意味着如果我们定义了任何（x，y）∈ C、 然后存在一个停止时间τ*∈ （0，τP]a.s.带V＠L（x，y）≥ E~Lτ*= EL（τ）*, Yyτ*)>L（x，y）=L（0，y）。现在乘以任意ε∈ （0，y）暗示（Xx，Yy）-ε） =（Xx，Yy）-εY）s在（x，Y）处的鞑靼- ε) ∈ Pc和τ*≤ τP≤ inf{t≥ 0 |（Xxt，Yy）-εt）∈ P} 。因此，V~L（x，y-ε) ≥ EL（τ）*, Yy-ετ*)= EL（τ）*, Yyτ*)-E-rτ*εYτ*/（r）-uY）> L（0，y）-EE-rτ*εYτ*/（r）-uY）≥ L（0，y）-ε/（r）-uY）=L（0，Y-ε） =L（x，y）-ε). 最后一个不平等是由于（e）-rtY）作为r>uY的超鞅。由于ε是任意的，我们可以定义b（x）：=sup{Y≥ 对于任意x，0 | V!L（x，y）>L（x，y）}∈ R+，其中延拓区域的那一部分是非空的，并且对所有y得出V)L（x，y）>L（x，y）∈ （0，b（x））。

然后我们有b（x）≤ Y*因为在Y的无约束问题中，立即停止是最优的≥ Y*, 正常L（0，y）=L（x，y）≤ VL（x，y）≤ UL（0）=L（0，y）表示任何（X，y）=（X，y）∈ PCY≥ Y*.同样的参数表明，如果y*≤ 0.在这种情况下，我们可以设置b（x）：=y*.任意x的连续区域的截面≥ 实际上，只有当y*≤ 0，这就完成了b.I Indeed的定义，我们在证明的开头看到（R+，0） C如果y*> 0（实际上是（x，y）∈ C代表所有y∈ [0，b（x））。我们还可以对x>0应用以下重要估计。如果y*> 0，即如果y>0，则b（x）≥ 最小值y，yP+x（r- uY）/（r- uX），这是因为L是一个连续半鞅，具有有限的变化部分zt-E-rs（Y）- 从应用o引理可以看出，是ds。这种漂移在{Y<\'Y}上是绝对正的，因此停止L是次优的，因此它对＠L（直到τP）来说太大了。这里是L的斯奈尔包络，即无约束停止问题的值过程。另请参见命题4.6之后的相应讨论。对于b的单调性，选择任意（X，Y）=（X，Y）∈ C和τ*≤ τPas之前和fixan任意ε>0。然后（Xx+ε，Yy）=（Xx+εX，Yy）从（X+ε，y）开始∈ Pc和τ*≤ τP≤ inf{t≥ 0 |（Xx+εt，Yyt）∈ P} 。现在VL（x+ε，y）≥ EL（τ）*, Yyτ*)> L（0，y）=L（x+ε，y），其中b（x+ε）≥ b（x）。b在x=0中的连续性由以下估计保持。下面我们展示了b（x）≥min（yP，y）*), 这和单调性一起产生了一个右手极限和b（0），b（0+）≥min（yP，y）*). 另一方面，定义b（x）≤ yP+x（r）- uY）/（r- uX）和b（X）≤ Y*如上所示。因此b（0）=b（0+）=min（yP，y*).

为了验证b在x>0时的连续性，我们证明了如果（x，y）∈ C、 然后是线{（x，y）∈ R+| x∈ （0，x]，y=xy/x} C.作为第一步，我们检查给定的（X，Y）=（X，Y）∈ Pc，τP≤ inf{t≥ 0 |（Xxt，Yyt）∈ P} 对于指定直线上的任意点（x，y）。的确，对于任何（Xx，Yy）我们都可以写≤ 英尺<=>Yytr- uY-Xxtr- uX≤cB- cAr+I=yPr- uY<=>你- uYYt-xr- uXXt≤yPr- uY.如果Y=xy/x，则该值为- uYYt-xr- uXXt=xx你- uYYt-xr- uXXt≤yPr- uY.作为yP/（r）- uY）为非负，则（x，Y）的条件由（x，Y）ifx的条件暗示∈ [0，x]。因此，如果我们在{（x，y）线上任意点∈ R+| x∈ （0，x]，y=xy/x}，我们有τ*≤ inf{t≥ 0 |（Xxt，Yyt）∈ P} ，whereτ*如前所述，满足感L（τ）*, Yyτ*)> 给定（x，y）的L（0，y）∈ C.特别是（x，y）∈ 现在假设（x，y）∈ 复写的副本。Th en L（0，y）=VL（x，y）≥EL（τ）*, Yyτ*)= EL（τ）*, Yyτ*) - E-rτ*（y）- y） /（r）- uY）Yτ*> L（0，y）- EE-rτ*（y）- y） /（r）-uY）Yτ*≥ L（0，y）- （y）- y） /（r）- uY）=L（0，Y），这是一个矛盾（我们再次使用了（e）的事实）-是一个超级艺术家）。因此，（x，y）∈ C.现在我们认为C 抄送，可能除了来源。相反的*> 0，即y>0（否则C=). b（x）≥ 最小值y，yP+x（r- uY）/（r- uX）），这是y=b（x）=0的C可以是原点（并且只有当yP=0时）。如果y=y>0和（X，y）∈ C、 然后（X，Y）w将以概率1立即进入C的内部。事实上，我们已经证明了b（x+h）≤ b（x）+hb（x）/x对于任何x，h>0，这意味着b的单调性，一个图形说明有助于传达b（x）的连续性参数。如果Y=b（x）>0且x>0，则{Yt>b（Xt）} {Yt>Y}∩ {Yt>YXt/X}={（uY-σY/2）t+σYBYt>0}∩{（uY）-σY/2）t+σYBYt-（uX）-σX/2）t-σXBXt>0}。

在归一化之后，我们看到后两个集合对于一些漂移为u的布朗运动b都是{Bt+ut>0}形式∈ R（我们首先通过σYin和（σY）进行标准化- 2ρσXσY+σX）在第二种情况下为1/2；回想一下σYBYand和σYBY- σxBx不退化）。因此，我们用τ和τ表示的它们的匹配时间是0a.s.，P[inf{t≥ 0 | Yt>b（Xt）}=0]≥1.- P[τ>0]- P[τ>0]=1，即bx和byx之间的相关性ρ不重要。当{Yt>b（Xt）}={Yt>Y}时，该参数的更简单版本适用于X=0和Y=b（0）>0的情况。还有待证明b（x）≥ min（yP，y）*). 如果*≤ yPthenτP≥ τ*（y） ：=inf{t≥0年至今≥ Y*} 对于（X，Y）=（X，Y）∈ PCELτ*（y）= UL（0）≥ VL（x，y）≥ ELτ*（y）.因此，对于y<y，UL（0）=VL（x，y）>L（0，y）=L（x，y）*, 暗示b（x）≥ Y*.为了你*> 我们将证明L（x，y）=L（0，y）<ELτ（yP）≤ 对于y<yP的任何（x，y），其中τ（yP）：=inf{t≥ 0年至今≥ yP}≤ τP，这意味着b（x）≥ yP。在{Y=Y<yP}上，我们通过定义E得到Lτ（yP）= -c/r+（y/yP）β（c- cA）/r，是y的连续函数，延伸到ELτ（yP）= L（0，yP）表示Y=Y=yP，表示ELτ（yP）= -Y=Y=0的c/r。因此，ELτ（yP）- L（0，y）在y=yP时消失，而在y=0时达到I+（cB）- c） /r，如果y为正*> 0.现在耶Lτ（yP）- L（0，y）< 0代表一切∈ （0，yP）i ffβ（c- cA）（y/yP）β-1<cB- ally的cA+rI∈ （0，yP），i ffβ（c- （加州）≤ cB- cA+rI（自β>1），即*≥ yP。命题4.7的证明。在命题4.6的证明中，我们从确定性情况Y=0开始，其中τP=∞ dLt=e-是的。在这种情况下，L=L的斯奈尔包络是控制L的最小非递增函数≥ 0<=> Y*≥ 0，它只是常数L∞= -c/r，因此dDL=0，而对于y<0<=> Y*< 0这是L本身，因此L=-dL。两者都对应于索赔，参见。

另注4.13。对于Y>0=X，解决方案是通过命题4.6来停止第一次Y超过sb（0）=min（yP，Y*). 那么斯奈尔包络线就是t≤ τP，如脚注28所示，其中^y=min（yP，y*), 插入YT并通过e对括号进行折扣-rt（和UL=~L forY≥ ^y）。在这种情况下，dD)lca可以被确定为U)l从其o公式的漂移。因此，我们可以将下面的论证简化为一维情形。对于X，Y>0，首先请注意，斯奈尔包络UL=VL（X，Y）是连续的，因为evL（·）是一个连续函数；例如，见Krylov（1980）。对于任意阈值^y>0及其命中时间τ（^y）：=inf{≥ 0年至今≥ ^y}通过几何布朗运动，我们通过标准结果[Lτ（^y）]=-铬+Y^Yβ^yr- uY-cB- 铬- 我如果Y<^Y.由Jacka（1993）：如果非负半鞅UL的局部时间-~L at0是微不足道的，即如果L（U~L-~L）≡ 0（a.s.）。通过应用杰卡定理6的论证，我们可以证明后者在我们的模型中确实成立。具体地说，它的引理表明，L是一个连续半鞅，其有限变量部分为：=Rt-1s<τPe-rs（Y）- cB+c- rI）ds。用A表示其递减部分-, 我在这儿干什么-t=1Y>ye-rt（Yt）- cB+c- rI）根据Jacka（1993）的定理3，dLt（UL-~L）≤ 1UL=~L，t<τP2 dA-t、 和hisTheorem 6一样，dL（UL-L）由{（X，Y）支持∈ C} 。如果我们让-如上所有t∈ R+，ELt（UL）-~L）≤ EZt（X，Y）∈C、 s<τPdA-s≤ EZt（X，Y）∈CdA-s.爸爸-显然，对于R+上的勒贝格测度，它有一个马尔可夫密度，而我们的基本扩散（X，Y）有一个对数正态的跃迁分布，因此对于R+上的勒贝格测度，它有一个密度。

像C={（x，y）∈ R+| y=b（x）}haslebsgue测度0在R+中，我们得出的结论与Jacka（1993）定理6的pro类似-~L）≡ 0（a.s.）。命题4.11的证明。我们需要证明zτPdGθi（t）1- Gθi（t）=ZτPYt≥b（Xt）（Yt）- \'y）dtXt/（r）- uX）- （Yt）- yP）/（r）- uY）<∞ （A.1）关于{τP<∞} a、 注意τP=in f{t≥ θLt≥ Ft}如果（X，Y）6=（0，0）或yP>0（见命题4.10）。由于Y是连续的，所以它在[0，τP]上有界，其中该区间是有限的。因此，我们可以用dt作为（A.1）中的分子。我们也将忽略（r）- uX）和（r）- uY），可以在初始位置（X，Y）进行编码。根据强马尔科夫性质，我们将θ设为0。因此，我们将证明zτdtXt- Yt+a<∞ （A.2）关于{τ<∞} a、 s.对于非负几何布朗运动X和Y（在我们的非简并假设σX下，σY>0，|ρ|<1），一些固定水平a>0，停止时间τε：=inf{t≥ 0 | Xt- Yt+a≤ ε} ε=0。我们将在证明的最后处理特殊情况yP=a=0。定义流程Z:=X- Y+a简化了符号。作为第一步和工具，我们得出较弱的结果E[Rτ∧Tln（Zt）dt]∈ R表示任何时间t>0（这意味着alsoRτln（Zt）|dt<∞ 关于{τ<∞ } a、 （通过对证据的论证）。定义函数f:R+→ R byf（x）=x ln（x）- 十、∈ [-1，x]和函数f:R+→ R乘以F（x）=Rxf（y）dy∈ [-x、 因此，对于所有的x>0，F′（x）=ln（x）。出于本地化目的，定义ε>0和时间T>0。