快速还是持久？需要变通能力的战略投资

通过它的o公式，我们得到了f（Zτε）∧T） =F（Z）+Zτε∧Tf（Zt）dZt+Zτε∧Tln（Zt）d[Z]t=F（Z）+Zτε∧Tf（Zt）uXXt- uYYtdt+Zτε∧Tf（Zt）σXXtdBXt- σYYtdBYt+Zτε∧Tln（Zt）σXXt+σYYt- 2ρσXσYXtYt |{z}=：σ（Xt，Yt）dt。我们想要建立limε0E[F（Zτε）∧T） ]，首先是积分，我们需要一些估计。为了消除第二个随机积分，我们需要在1t<τf（Zt）xt和1t<τf（Zt）yt的平方P下验证它 可积的Ohm ×[0，T]。我们有| f（Zt）|≤ 1+Zt。对于t≤ τ进一步为0≤ Zt≤ Xt+a乘Yt≥ 0和henceZt≤ （Xt+a）≤ 2Xt+2a。所寻求的与X的平方可积性现在来自P Xnton的dt可积性Ohm 任意n的×[0，T]∈ N和Y类似，多亏了0≤ Yt≤ Xt+a代表t≤ τ.同样的估计保证了第一个积分的期望收敛到τ为ε0的有限期望。对于第三个积分，我们有ln（Zt）≤ Zt≤ Xt+a.第二项σ（Xt，Yt）从下到下以（σXXt）为界- σYYt）≥ 由（σXXt+σYYt）从0开始≤ （（σX+σY）Xt+σYa）≤ 2（σX+σY）Xt+2σyat≤ τ（假设σX，σY>0 wlog.）。因此，被积函数的正部分以P为界 上的dt可积过程Ohm ×[0，T]，而负部分单调收敛，我们可以考虑整个积分的期望值的限制。通过分析LHS的极限limε0E[F（Zτε）得出后者是有限的∧T） ]直接。我们有F（Zτε）∧T） =1τε≤TF（ε）+1T<τεF（ZT），在ε0中是连续的。ForT<τ0≤ ZT≤ XT+a，因此| F（ZT）|≤ |ZT |+|ZT|≤ （XT+a）+（XT+a）。Asalso | F（ε）|≤ 1表示所有ε≤ 1，| F（Zτε）∧T） |由可积随机变量ε0构成。因此，limε0E[F（Zτε∧T） ]=E[F（Zτ）∧T） ]∈ R和E[Rτ∧Tln（Zt）σ（Xt，Yt）dt]∈RHS上的R。在积分中，我们可以忽略完成第一步的σ（Xt，Yt）。

实际上，对于|ρ|<1，如果Xt=Yt=0，我们只能得到σ（Xt，Yt）=0，也就是说，如果Zt=a。因此inf{σ（Xt，Yt）|Zt≤ ε} 对于任何固定ε>0∈ （0，a），所以σ（Xt，Yt）不会“杀死”ln（Zt）andE的下侧Zτ∧Tln（Zt）dt∈ R.在下面我们进一步需要E[Rτ∧Tln（Zt）Xtdt]∈ R、 其结果如下。随|ρ|<1，inf{σ（Xt，Yt）|Zt≤ ε} 仅通过约束bin ding，Yt=Xt+a实现- ε.因此，对于Zt而言≤ ε、 σ（Xt，Yt）≥ σ（Xt，Xt+a）- ε). 后者是XT的二次函数，给定|ρ|<1，XT的系数σ（1，1）>0。对于所有足够大的X，二次函数hencex超过X，即我们可以在σ（Xt，Yt）处选取K>0≥ Xton{Zt≤ ε} ∩ {Xt≥ K} 。XTTHES不会比σ（Xt，Yt）更“放大”ln（Zt）的下行。现在我们准备分析f（Zτε）∧T） =f（Z）+Zτε∧Tln（Zt）dZt+Zτε∧TZtd[Z]t=f（Z）+Zτε∧Tln（Zt）uXXt- uYYtdt+Zτε∧Tln（Zt）σXXtdBXt- σYYtdBYt+Zτε∧TZtσ（Xt，Yt）dt当在预期值下取极限ε0时，与之前一样。通过我们对第一步的最终观察，第一个积分收敛（再次注意Yt）≤ Xt+a代表t≤ τ). 在第二种情况下，我们现在有| ln（Zt）|≤ |ln（ε）|+|Zt |表示t≤ τε，一个比上面更小的界，使得期望值消失。在第三个积分中，σ（Xt，Yt）/Zt≥ 0代表t≤ τ、 somonotone convergence成立。关于LHS，|f（Zτε）∧T） |由所有ε的可积随机变量限定≤ 1分析第一步，即limε0E[f（Zτε∧T） ]=E[f（Zτ）∧T） ]∈ R和thusE[Rτ∧Tσ（Xt，Yt）/Ztdt]<∞. 根据第一步结束时提出的相同论点，我们可以再次忽略σ（Xt，Yt）。带E[Rτ∧T1/Ztdt]<∞, P[{τ≤ T}∩ {Rτ1/Ztdt=∞}] = 0

由于T是任意的，我们可以取所有整数T的并集得出P[{τ<∞} ∩ {Rτ1/Ztdt=∞ }] = 0.这就完成了（A.2）对于A>0的证明（以及（A.1）对于yP>0的证明）。对于yP=a=0，如果（X，Y）6=（0，0）（否则τ=0和（a.2）无关紧要）的情况，需要进行一些修改。对于ztsall，σ（Xt，Yt）不离0，当（Xt，Yt）接近理论值时，它可能是ln（Zt）σ（Xt，Yt）可积性的一个重要因素。为了推导出E[Rτε所需的良好极限∧Tln（Zt）uXXt- uYYt最后，为了从rτσ（Xt，Yt）/Ztdt中去除σ（Xt，Yt），可以采用另一种定位程序：固定一个小的δ>0，并使用σδ=inf{t的最小值≥ 0 | Xt+Yt<δ}和τε∧ 上面到处都是。那么σ（Xt，Yt）在[0，σδ]上远离0有界∧ τ] 对于|ρ|<1，并且再次由系数σ（1，1）>0的四次比率函数下界。现在，对于具有Xt+Yt的所有路径，结果如上所述≥ [0，τ]上的δ。由于δ>0是指数任意的，并且（X，Y）6=（0，0）的任何路径都是通过连续性在[0，τ]上远离原点的，因此如下所述。A.2结果概率以下定义是Riedel和Steg（2014）中定义的简化，由任何αθi（·）的正确连续性产生，其中其值为0。通过uL（x，y）：=x（1），定义函数uLandum从[0,1]\\（0,0）到[0,1]：- y） x+y- xyx和uM（x，y）：=xyx+y- xy。uL（ai，aj）是指在一个完全重复的停止游戏中，我玩恒定阶段停止概率ai，而公司j玩恒定阶段概率aj，公司i停止的概率。uM（ai，aj）是同时停止的概率，1- 微升（ai，aj）- uM（ai，aj）=uL（aj，ai）第一次停止的公司j。定义A.1。

给定θ∈ T和一对扩展的混合策略Gθ，αθ和Gθ，αθ,结果概率λθL，1，λθL，2和λθMat^τθ：=inf{t≥ θαθ（t）+αθ（t）>0}定义如下。让我，j∈ {1,2}，i6=j.如果^τθ<^τθj:=inf{t≥ θ|αθj（t）>0}，然后λθL，i：=1.- Gθi（^τθ）-)1.- Gθj（^τθ）,λθM：=1.- Gθi（^τθ）-)αθi（^τθ）Gθj（^τθ）。如果^τθ<^τθi:=inf{t≥ θ|αθi（t）>0}，然后λθL，i：=1.- Gθj（^τθ）-)1.- αj（^τθ）Gθi（^τθ），λθM：=1.- Gθj（^τθ）-)αθj（^τθ）Gθi（^τθ）。如果^τθ=^τθ=^τθ和αθ（^τθ）+αθ（^τθ）>0，则λθL，i：=1.- Gθi（^τθ）-)1.- Gθj（^τθ）-)uL（αθi（^τθ），αθj（^τθ）），λθM：=1.- Gθi（^τθ）-)1.- Gθj（^τθ）-)uM（αθ（ττ），αθ（ττ）。如果^τθ=^τθ=^τθ和αθ（^τθ）+αθ（^τθ）=0，则λθL，i：=1.- Gθi（^τθ）-)1.- Gθj（^τθ）-)lim inft^τθαθi（t）+αθj（t）>0uL（αθi（t），αθj（t））+lim suptτθi（t）+αθj（t）>0uL（αθi（t），αθj（t））,λθM:=0。备注A.2。（i） λθMis是同时在^τθ停止的概率，而λθL，ii是企业i成为领导者的概率，即企业j成为追随者的概率。它认为λθM+λθL，i+λθL，j=1.- Gθi（^τθ）-)1.- Gθj（^τθ）-). 除以1.- Gθi（^τθ）-)1.- Gθj（^τθ）-)在可行的情况下，产生相应的条件概率。（ii）如果任何αθ·=1，则不需要极限参数。否则，两个αθ·都是正确连续的，并且都是uMexists的相应极限。然而，uL在原点没有连续扩展，因此我们使用lim inf和lim sup的对称组合，确保一致性，即使存在极限。如果不存在潜在平衡中的限制，两家公司的角色将不一样；参见Riedel andSteg（2014）中的引理A.5。参考Azevedo，A.和D.Paxson（2014）。开发实物期权博弈模型。欧洲运营研究杂志237909–920。博耶，M.，P.拉塞尔，T.马里奥蒂和M.莫罗（2004）。价格竞争下的优先购买权和租金耗散。

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