快速还是持久？需要变通能力的战略投资

与“y wealso haveLt”一起-cr+EZ∞te-rs（Y）- \'y）ds英尺.它认为y=0<=> Y*= 0，否则是y*/“y”∈ （0,1），因为βuY<r（显然如果uY≤ 如果uY>0，则为0，且Q（r/uY）>0 in（4.1）；此外，更重要的是- cA）/（cB- cA+rI）<uY/r，例如，如果cissu足够小，或者如果I或Cb足够大（而uY>0）。证据：见附录。我们在引理4.8中展示了th下面的b<y*如果yP<y*; 然而b（x）y*因为约束问题的值收敛到无约束问题的值asX→ ∞.根据命题4.6中确定的C的形状，一个确定永远不会超越e P的公司将在状态离开C时立即切换：{Y>b（X）}∩{F>L}将导致由L的漂移给出的运行预期损失，即-E-rt（Yt）- 这里的y）dt<0。然而，巫术会产生另一个，保持不变的奖励F>L。由于两家公司面临相同的情况，我们在受训练的停站问题的停站区域获得了消耗战：如果对手让步并切换，等待获得奖品会产生运行成本。因此我们称之为损耗区：={（x，y）∈ R+| y≥ b（x）}\\P.为了在抢占区域P之外得出平衡，我们需要准确地知道在A中放弃停止的预期成本。一般来说，这不需要仅仅是L，e的（负）漂移-rt（Yt）- \'y）dt≥ 在A中为0，因为状态可以非常频繁地在A和C之间转换。我们的等式验证使用了约束停止问题的后续特征，以及停止太晚的成本。根据最优停止的一般理论，停止问题的值过程V＠L（X，Y）：=U＠是支配支付过程L的最小上乘过程，称为斯奈尔包络。

作为一个超级艺人，它有一个组合U＠L=M＠L- 在鞅M下，一个非减量过程DL称为从DL（0）=0开始的补偿器。因此UL（0）- E[U)L（τ）]=E[D)L（τ）]≥ 如果只考虑在τ之后停止，则0是预期成本。考虑到我们在第4.6条建议中确定的A和C之间边界的几何形状，D的增量实际上由L的（绝对值）漂移给出，其中状态为第4.7条建议。对于命题4.6中的b（x）和（x，Y）6=（0，0），我们有ddL（t）=1t<τP，Yt≥b（Xt）e-rt（Yt）- y）所有t的dt（4.2）∈ R+a.s.如果（X，Y）=（0，0），（4.2）如果Y仍然成立*≤ 0或yP>0；其他方面≡ 0.正式来说，我们只有A=Cc∩ 根据命题4.6，我们更喜欢使用边界表示法。正是 复写的副本∩ 当b（x）位于抢占边界yP+x（r）以下时-uY）/（r- uX），实际上b（0）=min（yP，y*), 所以我们有（0，0）∈ C∩ A i offy*> 0≥ yP，resp。A=Cc∩ 佩西*≤ 0或yP>0。这种等待成本的“开启和关闭”可能会导致非平凡行为，这取决于我们的流程（X，Y）在两个区域之间的边界上花费的本地时间（Y=b（X）。参见Jacka（1993）关于布朗运动的例子，其中当地时间是非平凡的。证据：见附录。有了斯奈尔包络的概念，我们现在可以证明b不是平凡的，也就是说，不仅仅是应用于无约束解的约束。引理4.8。如果yP<y*, 然后b<y*.证据假设b（^x）=y*> yP，因此是y*> 0.然后特别是对于所有X≥ ^x和Y=Y*,UL（0）=L=L=UL（0），具有L的超（无约束）S nell包络。对于任何停止时间τ，UL（0）- E[U＠L（τ）]=E[D＠L（τ）]=EZτ∧τPYt≥b（Xt）e-rt（Yt）- \'y）dt同样，对于无约束问题（0）- E[UL（τ）]=E[DL（τ）]=EZτYt≥Y*E-rt（Yt）- \'y）dt.现在让X>^X，Y=Y*τ=inf{t≥ 0 | Xt≤ ^x}∧ τP>0。

在{Yτ<Y上的UL（τ）<UL（τ）*}, 根据我们的非简并假设，它的概率为正，所以E[UL（τ）]<E[UL（τ）]。这与前两次显示中的所有其他术语相矛盾，因为它们是相等的。备注4.9。更明确地刻画b是一个困难的问题。然而，通过引理4.8证明中的类似论证，我们可以得到一个近似b的方案（参见第5节中的数值研究）。斯奈尔包络UL是类（D）的超鞅，在L（P）中收敛到UL(∞) =~L∞= LτP.它的鞅和单调部分在L（P）中收敛为t→ ∞, 分别地如果≥ b（X），我们进一步有UL（0）=L=L。因此，UL（0）- E[UL(∞)] = L- E[LτP]=EZτPe-rt（Yt）- \'y）dt= E[DL(∞)] = EZτPYt≥b（Xt）e-rt（Yt）- \'y）dt亨西呢≥ b（X）=> EZτPYt<b（Xt）e-rt（Yt）- \'y）dt= 0.（4.3）自y以来*≥ b、 也可以使用τP∧ inf{t≥ 0年至今≥ Y*} 在（4.3）中。任何候选人都应该满足≥ 就像b本身一样。因此，如果^b（局部）太高（低），则（4.3）中的期望值将为Y=^b（X）的正（负）。当Y>0时，L的opt imal停止时间，即第一次Y超过Y*, 是唯一的（最多为空集），但在Y，yP<Y的约束问题中是不允许的*, 因此，类似地，U~L（τ）<UL（τ）在{Yτ<Y上*}.4.4子博弈完美均衡我们现在准备结合之前的结果来构造任意子博弈的均衡。如果状态达到P，则会有抢占权，某些公司会立即切换。在C区，企业只是等待。然而，在消耗区域A中，企业在特定的时间切换，使得另一方成为（更具优势的）跟随者的概率补偿了领导者薪酬的负漂移，使得每个人都等待或立即切换。4.10号提案。假设（X，Y）6=（0，0）或yP>0。修好∈ T和setτP:=inf{T≥θLt>Ft}。

然后Gθ，αθ,Gθ，αθ由DGθi（t）1定义- Gθi（t）=Yt≥b（Xt）（Yt）- \'y）dtXt/（r）- uX）- （Yt）- yP）/（r）- θ，τP）上的μY（4.4）和[τP]上的Gθi（t）=1，∞] αθi（t）=1Lt>FtLt- FtLt- 姆顿[θ，∞], i=1，2是θ子博弈中的一个均衡。由此产生的收益为Vθi（Gθi，αθi，Gθj，αθj）=V＠L（Xθ，Yθ）=ess supτ≥θE~LτFθ带＠L:=L1t<τP+FτPt≥τP.证明。修好我∈ {1,2}让j表示另一个企业。这些策略满足定义4.1的条件（假定[0，θ]上的Gθi（t）=αθi（t）=0）。特别注意，根据我们的非退化假设，τP=inf{t≥ θLt≥ Ft}除非（Xθ，Yθ）=（X，Y）=（0，0）和yp=0，因此除了f，在排除的情况下，（4.4）中的分母在τP之前不会消失。现在Y>Yt≥ b（Xt）意味着t≥ τPby b（x）≥ 最小值y，yP+x（r- uY）/（r- uX）和Hencet建议的停止率也是非负的。这些策略是在命题4.5的τpB下，即给定任何Gθi（τP-), [τP]上的Gθi（t）=1，∞] 所提出的αθi（t）是最优的Gθj，αθj与公司i相关的报酬是E(1 - Gθi（τP）-)1.- Gθj（τP）-)FτPFθ. 仍然需要证明Gθ离子[θ，τP]的最优性。由于Gθjis在[θ，τP]上是连续的，因此Riedel和Steg（2014）得出结论，没有必要考虑αθi（t）>0的可能性。鉴于[τP]上提出的最优αθi（t）=1，∞], 在给定拟定利率的情况下，τpand的相关支付，Gθi（t）=1- 经验{-Rtθ（1）- θi（s））-1dGθi（s）}在[θ，τP]上。Gθjup到τP的连续性，我们可以将任何Gθ离子[θ，τP）的支付写为vθiGθi，αθi，Gθj，αθj= EZ[0，τP]Z[0，s）FtdGθj（t）+1.- θj（s）LsdGθi（s）+（1）- Gθi（τP）-)1.- Gθj（τP）-)FτPFθ.此外，注意到（1）- Gθi（τP）-)1.- Gθj（τP）-)FτP=Gθi（τP）Gθj（τP）FτPandGθj（t）=0on[0，τP），我们得到vθiGθi，αθi，Gθj，αθj= EZ[0，τP]Si（s）dGθi（s）Fθ其中Si（s）=R[0，s]FtdGθj（t）+1.- θj（s）是的。

因此，当停止Si的时机相同时，Gθiis op timal i ffit会增加。我们现在证明，在磨损区域A或τP的任何地方都是这样。这个过程在{θ<τP}上是连续的，因为有LτP=FτPSi（τP）=Gθj（τP）FτP- LτP= 0.由于L是连续半鞅，且[0，τP]上的Gθjis单调且连续，因此Sisatis fiesdsi（s）=（Fs）- Ls）dGθj（s）+1.- θj（s）dLs。使用（Fs）- Ls）dGθj（s）=1.- θj（s）Y≥b（Xs）e-rs（Y）- 在[θ，τP）Yieldsdssi（s）上的y）ds=1.- θj（s）dLs+1Ys≥b（Xs）e-rs（Y）- \'y）ds.回顾第4.3小节中的L（τpad为θ进行了调整），以及提案4.7中提到的斯奈尔包络线UDlided，我们有事实上的DSI=1.- θj（s）d~Ls+dD~L（s）关于[θ，τP]，其中θ<τP。我们首先忽略（1- Gθj）并认为，在磨损区域A或τP处停止L+Dlany是最佳的。事实上，当UL=ML时- DLis最小的su permartingale支配L，UL+DL=ML必须是最小的Supermartingale支配L+DL，即L+DL的斯奈尔包络。作为MLis a M artingale，任何停止时间τ与ML（τ）=Lτ+DL（τ）<=> UL（τ）=Lτa.s.对于L+DL而言是最佳的，当建议的Gθii增加时（即在a或在τP处），这是令人满意的。韦比的4.6号提案，A∩ C只能在原点处达到，即（Xτ，Yτ）=（0，0）<=> （X，Y）=（0，0），如果yP=0（参见脚注14），我们已经排除了这一点。通过定义，U~L（τP）=Lτphold。实际上必须考虑，对于任何τ∈ [θ，τP]，Si（τ）- Si（θ）=Z[θ，τ]1.- θj（s）d~Ls+dD~L（s）=1.- Gθj（τ）~Lτ+D~L（τ）-Lθ- D~L（θ）+Z[θ，τ]~Ls+D~L（s）dGθj（s）。存在（1）- 因此，与停止θL+DθL相比，Gθj）起到了约束作用。

然而，Gθj有利地改变了其整体质量，因为它也只在最佳停止时增加。因此，最佳停止Si的回报确实是来自L+DL的回报，即ML（θ）=UL（θ）（DL（θ）=0），并且相同的停止时间是最佳的。证据现已完成。马尔可夫平衡停止率（4.4）是L的绝对值除以F的差值- 五十、 如前所述，确保准确的补偿，使每个最终结果有所不同。如果（X，Y），等待是严格最优的∈ C、 其中，平衡点payo fff为UL>L。尽管当州接近禁区时，s-Toping Rate（4.4）会变得无限大，因为分母F- 当分子从零开始有界时，L消失——累积停止概率不收敛于1。在设定优先购买权边界时，会留下一些质量。这是我们的随机模型的一个显著特征，在确定性版本中未观察到，参见第6节。4.11号提案。提案4.10中规定了战略Gθ在{τP<∞ } a、 美国证明：见附录。关于αi的正则性，注意我们只能有L≤ 我在{Y≤ 根据我们的假设（c）- cA）/r+I≥ 0，在{（X，Y）上L>M∈ P∪ P} 如果X>0，则为a.s；所以αi是连续的，并且在{（X，Y）上消失∈ P} 。命题4.11背后的数学问题本身就很有趣。通过证明中使用的相同元素（随后变得更简单），我们可以证明，对于在a>0处开始的布朗运动，h asZτBtdt<∞a、 其中τ=inf{t≥ 0 | Bt≤ 0}.

我们实际上考虑了过程Zt=Xt的倒数- 用几何布朗运动X，Y表示Y+a。在特殊情况下，X=0，X≡ 0和αi（t）=Lt- FtLt- MtLt>Ft=（Yt- yP）1Yt>yPYt- yP+（r- uY）（I）- （约- c） /r）。那么αI仍将持续I>（约- c） /r和{Y上的统一≥ I=（cA）的yP}- c） /r.由于所有的数量都是马尔可夫的，我们可以很容易地将均衡聚合为子博弈性能均衡。定理4.12。策略Gθi，αθiθ∈T、 命题4.10中的i=1，2构成了一个子博弈完美等式。备注4.13。如果X=0<Y，游戏“在Y轴上”进行，导出的平衡如下。一旦Y超过抢占点yP，就有抢占权。任何小于b（0）=最小值（yP，y*) 在延拓区，所以有损耗*)+< yP，在这两点之间。如果Y=0，游戏“在x轴上”进行，实际上是确定的，因为我们有τP=∞ 根据我们的假设yP≥ 0.事实上，现在Ft>LtT∈ R+如果X∨ yP>0，DLT=e-是的。因此，如果≥ 0时，t的停止占主导地位∈ R+，严格地说，如果y>0或是收费[0，∞), 而所提出的均衡策略只需要充电[∞].如果y<0，也可以是b≡ Y*< 0，并且速率存在永久性损耗-dL/（F）- 五十） 。在X=yP=0的完全退化情况下，命题4.10的停止率没有得到很好的定义。然而现在，我≡ F并且存在以下平衡：对于y>0，两家公司都会不确定地等待，对于y=0，任何没有关节质量点的策略对都是一个平衡，对于y<0，一家公司立即切换，另一家公司弃权。5.一个数值例子作为模型的说明，我们给出一个数值例子来说明迄今为止给出的结果的后果。

表1给出了基本情况的参数值。c=3.5 cA=4.5 cB=5 I=100 r=.1uY=.04uX=.04σY=.25σX=.25ρ=.4表1：数值示例的参数值在这种情况下，它认为Y*= 17.45. 抢占区域如图2a所示。寻找边界x7→ 命题4.6中描述的b（x）并非如备注4.9所示的微不足道。然而，从pricingAmerican期权数值方法的文献中（例如，参见Glasserman，2004年的概述）可以看出，分段线性或指数近似通常效果良好。在我们的例子中，我们对形式b（x）=y的指数边界进行了简化*- （y）*- y）e-γ（x）-其中，x是唯一的，因此（\'x，\'y）在P的边界上，γ是自由P参数。事实上，如果y=y*= 0，b≡ Y*= 0，而如果y>0<=> Y*> 0，然后b（Xt）>0表示X+yP>0byb（X）≥ 最小值y，yP+x（r- uY）/（r- uX）。现在，一个粗略的实现包括假设γ的值，然后模拟3000个样本路径，以获得接近该边界的几个起始值。最佳边界应使模拟的连续值一致地略大于引导值。通过手动搜索多个γ值，可以得出0.0984 anda边界值，如图2b所示。0 5 10 15 20 25 3005101520xyy*yPP（a）抢占区域0 5 10 15 20 25 3005101520xyb（x）y*YPCA（b）受约束前导值的最佳停止边界图2：数值示例的抢占、消耗和延续区域。一旦建立了边界，我们就可以使用定理4.12中的平衡策略来模拟平衡样本路径。图3和图4给出了两个样本路径及其磨损率（4.4）的实现。与路径平行，我们从各自的损耗率中得出投资决策。

投资的终点。010 20 3005101520xy3。2 3.4 3.6 3.800.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05时间累积损耗率图3：以抢占结束的样本路径及其实现的损耗率。010 20 3005101520xy2。2.3 2.400.010.020.030.040.050.060.07时间累积损耗率图4：以损耗区域结束的样本路径及其实现的损耗率。注意，即使两个样本路径从完全相同的点（X，Y）=（6，8）开始，它们的平衡实现也非常不同。在采样路径t7中→ （Xt（ω），Yt（ω））在图3中，在样本路径到达抢占边界之前，磨损区域被进入和退出几次。当时，已实现的磨损率已上升到约Gj（τP（ω）-) ≈ .045，j=1，2。然而，在τP（ω）之前，没有公司进行过投资。在时间τP（ω）时，我们有（GτP（ω）j（τP（ω）），ατP（ω）j（τP（ω））=（1,0），j=1,2，因此（见附录A.2）在时间τP（ω）时，每个公司都是第一个以概率λτP（ω）L，i=.5进行投资的公司。因此，ω样本路径结束时，投资发生在第一个移动有利条件下。在采样路径t7中→ （Xt（ω），Yt（ω））在图4中，磨损区域被重新定位并退出数次。请注意，磨损区域的第一个入口大致与ω样本路径上的第一个入口同时出现。在时间2.5（大约）时，损耗率实现已上升到Gj（1.4）≈ .07，j=1，2，这两家公司中的一家实际投资，从而使另一家公司获得了后发优势。最后，我们对3000条样本路径进行了模拟，所有路径都从（X，Y）=（6，8）开始，并记录游戏是在消耗区还是抢占区停止。

我们发现，80%的样本路径以抢占结束，而20%的样本路径以消耗区域结束。图5给出了首次投资时的数值散点图（Xτ（ω），Yτ（ω））。在损耗区域花费的时间的平均分数为6.76%，所有样本路径经验损耗都发生在第一次投资之前。即时投资的价值为-16.67，而均衡策略的（模拟）价值为12.02。该图排除了两个维度的异常值。图5:Xτ实现的散点图*, Yτ*).6确定性和随机模型之间的差异出于比较目的，我们现在简要分析我们模型的确定性版本，即设置σX=σy=0。（2.2）中给出的Lt、fta和mt的表达式仍然相同。为了避免区分任何不同的案例，我们将重点放在最“典型”的一个案例上，它代表了我们心目中的经济故事。因此，假设市场B从初始值Y>0开始以uY>0的速度增长。那是什么意思≥ uX，因此只有市场B在稳定性方面可能超过另一个市场A。对于函数L和F也是如此：现在我们有了Lt>Fti ff（Xt，Yt）的优先权∈ P、 这就是我的工作你- uY-Xr- uXe（uX-uY）t>cB- cAr+I.（6.2）如果uX>uYand X>0，则行为与正文中讨论的行为不同，如下所示。现在，A市场的稳定性最终将超过B市场，抢占权将在一定的时间间隔内发生（如果有的话）。事实上，自从（Lt- （英国《金融时报》）t=euXtuYYr- uYe（uY）-uX）t-uXXr- uX（6.1）最多有一个零，并且对于足够大的t（Lt- Ft）增长到最大值，然后下降，所以{t |Lt- Ft>0}形成一个区间（如果n为空）。