年金化与资产配置

我们可以证明△UδT∝γ1 - γ\'aSx+T\'aOx+T！-1.-γγ-1.- γ+‘aSx+T’aOx+T+ \'\'aSx+Tδ -r+λOx+T. （16） 因此，如果（16）右侧的表达式对于所有T都为负值≥ 0，那么最好是立即将一个人的财富年金化，我们有U（w，t）=U（w，t；0）。然而，如果存在一个值T*> 使（16）的右侧对所有0都为正≤ T<T*所有T>T都为负值*, 那么，在时间T将个人财富年金化是最佳选择*, 我们有U（w，t）=U（w，t；t*). 在我们下面给出的所有例子中，这两个条件中的一个出现了。我们认为，年金化的决定与个人财富无关，这是CRRA效用的产物。很容易证明，在t=t>0处有一个连续导数的U（w，t；t）意味着t是U的临界点；也就是说，（16）的右边在T值处为零。此外，如果临界点T=T*最大化U（w，t；t），然后（11）保持严格不等式on（0，t）*), 如你所愿。参见本文的早期工作论文版本，米列夫斯基和杨（2002a），了解p屋顶和对这一事实的探索。如果死亡的主客观力量相等，那么我们就有δUδT∝ [δ - （r+λx+T）]。（17） 在这种情况下，如果危险率λx+t随时间t增加，则δ≤ （r+λx），由此得出立即将一个人的财富进行年金化是最优的，或δ>（r+λx），由此得出未来e（可能在单位）中存在一个时间T，在该时间点将一个人的财富进行年金化是最优的。购买固定寿命年金的最佳年龄是当重要性λxis大于一个常数（由默顿常数构成）时，定义为：M:=2γu - rσ.

（18） 因此，人们可以将风险率视为年金超额回报的一种形式，这是由于嵌入的死亡积分，以及当年金购买者死亡时，流动财富回归到保险公司这一事实。这种购买年金的条件带来了许多有吸引力的见解。也就是说，较高水平的风险厌恶（γ）和较高水平的投资波动（σ）导致较低的货币化年龄，因为在较大的γ、σ下，常数M减小，而在较高水平的u下，常数M增大。我们观察到，如果死亡率的主观力量不同于死亡率的客观力量，那么最佳年金化时间从（16）的右手sid e的0给出的T开始增加。我们可以从数学上证明，如果主观的运动力与客观的运动力之间的差异达到“aSx<2”的程度，那么对于所有年龄的x（见附录A），这是正确的，我们推测这在一般情况下是正确的。请注意，这种不平等对不太健康的人来说是自动成立的，因为在这种情况下，所有x的“aSx<”AOX。对于比普通人更不健康的人来说，年金将过于昂贵，而这个人将希望将自己的财富延迟年金化。另一方面，对于一个比普通人更健康的人来说，养老金将相对便宜。然而，这样一个健康的人平均寿命会更长，并且会有兴趣通过现在少消费和晚年等待购买年金而获得更大的年金收益。因此，一个健康的人也愿意为了更大的年金收益（更长的时间）而推迟她的财富年金化。请注意，这个结果可能是由以下事实驱动的：在这个模型中，我们强迫投资者消费来自该公司的全部收入。

如果投资者被允许将部分年金收入存起来，并将其投资于股市，那么这个结果就不一定成立。当然，通过遵循投资、消费和年金化的最佳政策，个人在将财富年金化后的消费可能会比在t=0时立即将财富年金化时少。当然，也有完全相反的可能性，即终身年金结构将更高。因此，为了量化这种风险，我们计算了与各种消费结果相关的概率。该概率的公式见附录B。我们在下面的一个数值例子中包括了它的计算。最后，我们通过计算额外财富来确定一个衡量过早年金价值损失的指标，该额外财富将用于补偿强制年金的效用最大化者。这类似于MPWB（1999）使用的年金等价财富，我们更喜欢将其标为主观期权价值。从技术上讲，它被定义为当加上当前财富w时，使个人在年金化（有额外财富）和在时间T（没有额外财富）年金化之间区别最小的金额h。因此，h是givenbyU（w，t；t）=U（w+h，t；0），（19），其中t是年金化的最佳时间。在下一节的示例中，我们表示财富的百分比为w。这是适当的，因为U显示了与w.5数值示例有关的CRRA：全部或全部年金化在本节中，我们提供了两个数值示例来说明上一节的结果。首先，虽然大多数死亡率表都是离散化的，但我们需要一个连续的时间死亡率法。我们使用Gompertz死亡率公式，这在年金定价的精算文献中很常见。

参见Frees、Carriere和Valdez（1996），了解年金定价中该模型的示例。这种死亡率模型也被经济学文献用于保险定价；例如，见约翰逊（1996年）。死亡的力量写为λx=exp（（x- m） /b）/b其中，m是模态值，b是比例参数。注意死亡本身的力量是如何随着年龄的增长而显著增加的。在本文中，我们将Gompertz的参数，即m和b，用投影量表G拟合到2000年个人年金死亡率（基本）表中。对于男性，我们拟合参数（m，b）=（88.18,10.5）；对于f emales（92.63,8.78）。最初，我们假设死亡的主观和客观力量是相等的。在本节中，我们假设年金卖家使用男性风险率为女性年金定价；同样，对于男性来说。图1显示了Gompertz危险率下未来寿命随机变量的概率密度函数图，该概率密度函数适用于离散死亡率表。图1关于这里。至于资本市场参数，在我们的两个例子中，风险股票被假定为h=0.12，波动率σ=0.20。这与IbbotsonAssociates（2001）提供的数字大致一致，该数字在模拟长期投资时被从业者广泛使用。我们实际上给出了一个Makeham风险率或死亡率，即λ+exp（（x- m） /b）/b其中λ≥ 0是事故率的常数。然而，λ的限定值为0，因此危险率的有效形式为Gompertz（Bowers等人，1997）。返回。我们假设无风险债券的名义收益率为r=0.06。对于三种不同的风险规避水平γ=1（对数效用）、γ=2和γ=5，我们显示了延迟年金化h选项的值。

许多研究估计γ的值在1到2之间。参见Friend and Blume（1975）的论文，该论文为持续相对风险规避提供了一个经验证明，以及最近的MPWB（1999）论文，其中CRRA值取1到2之间。在估算社会保障可变年金的现值时，费尔德斯坦和兰格洛娃（2001）提供了一些定量数据，即CR R a的值小于3，甚至可能小于2。另一方面，一些股票溢价文献（见Campbell and Viceira（2002））表明，风险规避水平可能更高，这就是为什么我们还展示了γ=5.5.1的结果。例如#表1提供了最佳年金化年龄——以及我们将延迟期权的价值标记为初始财富的百分比——以及在最佳年金化时间消费少于立即年金化财富的概率。我们称之为延迟失败的概率。在相对风险厌恶系数非常低（γ=1）、较低（γ=2）和较高（γ=5）的情况下，我们为男性和女性提供了数值结果。表1a关于这里。请注意，与男性相比，女性在更大的年龄领取年金，因为男性在每个特定年龄的死亡率都较低。此外，请注意，更多不愿承担风险的个人希望更快地进行年金化，这是一个直观上令人愉悦的结果。

然而，请注意，即使在风险厌恶程度相对较高（γ=5）的情况下，男性也不会在63岁之前进行年金化，女性也不会在70岁之前进行年金化。最后，推迟年金化的选择权的价值——实际上是等同于立即年金化的福利损失的确定性——随着人们接近最佳年金化年龄而降低，正如人们所预期的那样。表1b关于这里。表1a中报告的延期失败概率虽然看似很高，但与最终达到原始年金金额20%以上的概率相平衡。例如，对于γ=2的70岁女性，在最佳年金化年龄消费比立即年金化至少多20%的概率为0.474。显然，在效用调整的基础上，这是一个值得的交易，价值函数的行为证明了这一点。对于各种年龄以及γ=1和d2，个人在最佳年金化年龄的消费量比他或她立即年金化的消费量至少多20%的概率列表见表2。表2关于这里。随着最佳年金化年龄的临近，这些“上扬”概率会降低。此外，在特定年龄段，他们随着CRRA的增加而减少。这是有道理的，因为风险厌恶程度较低的人不太愿意面对方差较高的分布。5.2示例#2我们继续前面示例中关于金融市场的假设。我们有一位60岁的男性，γ=2，其目标死亡率与前一个例子相同；也就是说，年金价格是根据风险率确定的。

例如，假设死亡的主观力量是死亡的客观力量的倍数；具体来说，λSx=（1+f）λOx，其中f r表示-1（不朽）到完整（在死亡之门）。这一转变被称为王（1996）提出的精算学中的比例风险转变，它类似于约翰逊（1996）在增加预期寿命的经济价值的经济背景下研究的转变。在表3中，我们给出了延迟年金化选项的估算值、最佳年金化年龄、年金化前的最佳消费率（占当前财富的百分比）和年金化后的消费率（也占当前财富的百分比）。相比之下，如果男性在60岁时将财富年金化，消费率将为8.34%。此外，在年金化之前，投资于风险y股票的最佳比例为75%。表3关于这里。请注意，随着60岁男性的主观死亡率越来越接近客观（定价）死亡率，那么最佳年金年龄就会降低。看来，当死亡的主观和客观力量相等时，最佳年金化年龄将是最小的，至少是增加死亡率的力量。我们推测这个结果在一般情况下是正确的，但我们只有当“aSx<2”aOx时才有它的证明；另请参见附录A。请注意，年金化前的消费率会随着个人健康状况的下降而增加，正如预期的那样。将这些消费率与8.34%进行比较，如果男性立即利用自己的财富，则为消费率。我们看到，如果男性相对于死亡率的定价力来说是健康的，那么他愿意放弃当前的消费，以换取更大的消费，当他年金时，至少达到f=-0.4。

在这一点上，年金化前的最佳消费率大于8.34%。对于60岁男性，f=-0.2（比平均水平健康20%），参见图2，以获取预期消费率占初始财富百分比的图表。我们还绘制了他的r和dom消费量的25%和75%的图表。这个人期望活到84.4岁。请注意，与60岁领取年金相比，年金受益人在剩余寿命内消费更多的几率约为70%。图2关于这里。6.不受限制的市场：任何时候都可以将任何东西年金化在本节中，我们考虑一个人的最优年金购买问题，该个人寻求最大化其终生消费的预期效用。在第6.1节中，我们允许个人拥有相当普遍的偏好，而在第6.2节中，我们专门讨论偏好表现出恒定相对风险厌恶的情况。我们允许个人一次性或连续购买年金，以最佳为准。我们的结果与Dixit和Pindyck（1994年，第359页）的结果相似。考虑一下企业不可逆转的产能扩张问题。对我们个人来说，购买年金也是不可逆的，这导致了结果的相似性。具体而言，财富的离散跳跃可能会在最初的瞬间发生（在我们的案例中，通过购买年金；在他们的案例中，通过初始资本投资）；此后，年薪收入保持不变或递增，以将财富保持在给定的边界以下（对于Dixit和Pindyck而言，股本要么不变，要么递增）。

换句话说，最优控制是一种“障碍控制”策略。在第6.2.1节中，我们继续使用CRRA偏好，并在没有遗赠动机的情况下，通过凸对偶变换在无年金追逐区域线性化HJB方程。在第6.2.1.1节中，我们提供了第6.2.1节中提出的最优年金pu-rchasin g问题的隐式解析解，其中致命力为常数。这就引出了第7节，它提供了一整套数值结果。6.1消费和遗赠的一般效用在本节中，我们表明个人的最佳年金购买是由一个障碍政策给出的，因为她将仅将其财富的一部分年金化，以保持在财富年金空间障碍的一侧。在等式（5）中，我们描述了这个人的财富动态。用τd表示个体的随机死亡时间。我们假设τd独立于金融市场的随机性，即驱动股价的布朗运动B。因此，她的时间t或年龄x+t的值函数由u（w，A，t）=sup{cs，πs，As}Ew，A，t给出Z∞te-r（s）-t） s-tpSx+tu（cs）ds+e-r（τd）-t） u（Wτd）= sup{cs，πs，As}Ew，A，tZ∞te-r（s）-t） s-tpSx+tu（cs）+λSx+su（Ws）-)ds, （20） 其中UAR和UAR严格递增，分别凹进了消费和遗产的效用函数。此外，Ew，A，t表示以Wt为条件的期望-= w和At-= A.在上一个等式中，我们使用τd与布朗运动B的独立性来简化U的表达式。注意，我们假设个人以无风险利率r贴现未来消费，因为死亡率贴现（增加了有效贴现率）是单独纳入的。值函数U在w和A中共同凹进。我们继续对相关HJB方程的推导进行正式讨论。

假设此时（w，A，t），最好不要购买任何年金。由此得出，^o的lemmathat U满足（r+λSx+t）U=Ut+（rw+A）Uw+maxπ给出的（w，A，t）方程σπUww+（u- r） πUw+ 马克斯≥0[-cUw+u（c）]+λSx+tu（w）。（21）由于上述政策总体上是次优的，（21）作为一种不平等而成立；也就是说，对于所有（w，A，t），（r+λSx+t）U≥ Ut+（rw+A）Uw+maxπσπUww+（u- r） πUw+ 马克斯≥0[-cUw+u（c）]+λSx+tu（w）。（22）接下来，假设在（w，A，t）点，即时购买年金是最优的。换句话说，假设投资者立即从（w，A，t）移动到（w）- \'aOx+tA、 A+A、 t）。那么，这个决定的最优性意味着U（w，A，t）=U（w- \'aOx+tA、 A+A、 依次是yieldsUA（w，A，t）- \'aOx+tUw（w，A，t）=0。（24）请注意，一次性购买是这样的：年金收入的边际效用等于调整后的财富边际效用，其中我们通过乘以年金收入1美元的成本来调整财富的边际效用。这一结果与经济学中的许多类似。实际上，年金收入的边际效用是收益的边际效用，而调整后的财富边际效用是成本的边际效用。因此，一次性购买使得边际公用设施相等。由于篇幅限制，我们请感兴趣的读者参考米列夫斯基和杨格（2002b）的早期工作文件版本，详细讨论U。然而，这样的政策总体上是次优的；因此，（23）作为一个不等式成立，（24）变成“aOx+tUw（w，A，t）- UA（w、A、t）≥ 0.（25）通过组合（22）和（25），我们得到下面与（20）中给出的值函数U相关联的HJB方程（26）。