年金化与资产配置

当然，与非年金化财富相关的高额管理费和费用可能会对年金化的收益产生强烈的影响当我们朝着一个开放的制度体系迈进，在这个体系中，年金可以在任何时候小部分进行，我们发现，效用最大化的投资者应该获得基本金额的年金收入（即社会保障或DB养老金），然后当他们的财富与收入之比超过一定水平时，将额外金额的年金化。在这种情况下，我们随时给任何东西贴上标签，个人只要有机会就将一小部分财富年金化——也就是说，他们不等待——然后随着他们变得更富有，他们就会购买更多的年金因此，与全有或全无养老金结构相比，在一个可以持续购买年金的开放系统中，我们发现70岁之前的个人应该拥有最低数额的年金收入，如果他们还没有从现有的DB养老金中获得这一收入，则应立即将部分财富年金化，以创造这一终身收入的基础水平。我们重申，即使存在遗赠动机，只要提案6.2中的z（t）小于完整性，个人也应始终持有一定的年金最后，我们的Anythine anytime模型表明，在其他条件相同的情况下，相对于现有年金收入而言，更大的财富、更高的风险规避水平、更大的投资波动性σ和更好的健康状况（即更低的主观死亡率）都将有助于增加自愿年金的金额。

而且，尽管这一70岁后结果的重要性也在各种流行的新闻文章中得到了宣传，比如2003年9月3日《华尔街日报》C1页上的一篇文章，乔纳森·克莱门茨（Jonathan Clements）的《拖延是值得的：你等待购买一个单位的时间越长，你得到的就越多》。结果取决于所涉及的具体参数，所有这些比较静态数据都符合我们的定性直觉，因此应重新执行规范性投资建议。8.1未来研究的方向我们的论文提出了一些问题，这些问题应该在关于这个主题的任何未来研究中加以考虑，我们现在将详细阐述。首先，到目前为止，我们在对受限allor nothing市场和anytime anytime环境建模时做出的最强假设是，无风险利率和市场风险溢价假定为常数。因此，我们从任何术语结构效应，或利率演变的可预测性，以及投资波动率σ和市场风险溢价的随机性中提取出来。然而，最近的资产配置和投资组合选择模型已经远远超出了经典的默顿框架，这是我们分析的基础。从我们的角度来看，下一步是增强我们模型的财务基础，并考虑更复杂的市场动态。事实上，许多从业者主张，当利率较低时，人们不要进行年金化，当利率较高时，年金化更具吸引力。其他评论员则主张采用美元成本平均法进行年金化，以消除利率风险，这与我们的分析结果一致。

显然，在这种情况下，人们可能会质疑高利率和低利率的精确定义，但研究假设利率和可能的收益率曲线的均值回复过程的影响肯定会很有趣。这就需要对名义利率与实际利率的演变以及通货膨胀的行为进行建模。因此，我们设想了一个高级模型，在该模型中，r eal（经通胀调整）和名义终身年金在最优投资组合中共存。这使得我们的基本模型变得复杂，因为在PDE/ODE中至少产生了一个以上的状态变量，这就是为什么我们要留给未来的研究。同样，美国退休收入市场最近的一项创新是引入了保障性生活福利，这基本上是一种投资组合上的交错普惠选项，保证年金受益人在其有生之年获得最低水平的收入。这些产品属于担保最低取款福利（GMWB）的行业标签，具有一些长寿保险功能和一些衍生证券功能。这些产品是美国万亿美元可变年金（VA）行业的一部分，正日益流行，并可能作为一种产生可持续退休收入的方式，与传统的终身年金竞争。进一步的研究将检验包括这些混合产品在内的最佳需求和资产配置。Fur thermore，鉴于本文的规范性重点，我们忽略了正平衡的影响。在这种情况下，主要的问题是个人希望在最佳时间实现年金化的愿望如何影响年金价格。事实上，传统金融资产的收益并不取决于年龄或死亡率，因此也不取决于边缘投资者的人口结构或健康状况。

根据我们分析的自由裁量和自愿终身年金，我们可以设想这样一种情况，即很少有人在50岁时购买终身年金，从而减少了整个群体中的个人数量，而死亡风险可以根据大量数字进行分散。这将对定价曲线和客观风险率产生直接影响，我们认为这是给定的。详细的均衡分析将试图得出市场的客观风险是参与者主观风险率的异质混合的结果。但是，这远远超出了本文的范围。另一方面，我们的模型隐含地假设未来的死亡率是完全可预测的，并且我们可以在整个时间范围内指定一个su rvival函数和年金定价方程，条件是利率的价值。换句话说，我们假设客观风险率是确定性的。然而，越来越多的实证和理论文献认为，死亡风险的定价是均衡的。在极端情况下，这意味着如果推迟年金化，那么即使个人已经老龄化，年金价格也会实际上涨。当然，这将在决策中引入另一个变量，并使对最佳年金年龄的分析进一步复杂化。尽管如此，随着美国婴儿潮一代退休人数的逐渐减少，以及工业界从固定福利（DB）向固定缴款（DC）养老金计划的转变，我们相信这些问题将需要进一步的学术关注，因为它们具有更大的实际重要性。9附录9。1附录A：目标与目标的影响。

主观健康在本附录中，我们表明，如果死亡的主观力量与客观力量略有不同，以至于所有x的“aSx<2”AoX，那么最佳数值化时间从（16）右侧的0给出的T开始增加。特别是，如果个人健康状况不如正常人（λSx>λox表示所有x），则所有x的“aSx<”AOX表示年金化的最佳时间延迟。此外，如果个人比正常人更健康，但仅达到“aSx<2”的程度，则年金化的最佳时间会延迟。假设一些小ε为“aSx+T=”aOx+T+ε，不一定为正。然后，临界值T处的方程式（16）变为0=γ1 - γ\'aOx+T+ε\'aOx+T！-1.-γγ-1.- γ+aOx+T+ε-aOx+T+\'aOx+T+εδ -r+λOx+T. （61）我们可以把这个方程简化为0=\'aOx+T+εδ -r+λOx+T--1.- γγ- 1.ε′aOx+T！--1.- γγ- 1.-1.- γγ- 2.ε′aOx+T！+，（62）如果ε′aOx+t介于-1和1。因此，根据中值定理，存在ε*介于0和ε\'aOx+Tsuch that0之间=\'aOx+T+εδ -r+λOx+T+2γ(ε*),或者相当于0=δ -r+λOx+T+(ε*)2γ′aOx+T（1+ε′aOx+T）。（63）无论ε的符号是什么，上述方程的第二项都是正的（且很小）。因此，T由设置决定δ -r+λOx+T等于一个负数。因此，对于λx相对于x的增量，T的这个值将大于（17）的零。注意，上述结果的一个有效条件是ε\'aOx+t介于-1和1。不费吹灰之力，我们可以证明这一要求相当于“aSx+T<2”aOx+T。对于不太健康的人（λSx>λOX代表所有x），我们有“aSx<2”aOx代表所有x，所以“aSx+T<2”aOx+自动选择。

此外，这种不平等性也有一定的回旋余地，因此，即使是更健康的人也可能有“aSx+T<2”aOx+T。即使这种不平等性不成立，我们推测，在（17）右手边的0给出的时间之后，我们仍然有一个延迟，正如我们在第5.9.2节附录B中的示例e中所看到的：减少支付的概率在最佳年金化时间的消费（占初始财富的百分比）比一个年金化立即相等时的消费低p%的概率*T\'aOx+T<（1- 0.01p）w\'aOx | w=w！=Pwe2δ-r（u）-r） 2σ2γT-RTk（s）ds+u-rσγBT<（1）- 0.01p）w\'aOx+T\'aOx！=Peu-rσγBT<（1）- 0.01p）\'aOx+T\'aOxe-2δ-R-(u-r） 2σ2γ！T+RTk（s）ds= PBT<ln(1-0.01p）\'aOx+T\'aOx-2δ - R-(u-r） 2σ2γT+RTk（s）dsu-rσγ= Φ自然对数(1-0.01p）\'aOx+T\'aOx-2δ - R-(u-r） 2σ2γT+RTk（s）dsu-rσγ√T. （64）这里，Φ表示标准正态分布的累积分布函数。9.3附录C：可变和固定年金收益在本文正文中，我们假设年金化后唯一可用的终身年金提供固定支付。在本附录中，我们考察了一个市场，在该市场中，年金“包装器”可用于所有资产类别，并具有完全的资产配置流动性。我们研究了该市场的最优消费、投资和年金化政策。我们引入SYMBOLβ来代表年金化时投资于可变年金的财富比例，因此1- β是固定年金的投资比例。我们假设可变年金和固定年金之间的混合，即β与1-β、 在年金受益人的余生中保持不变，这是一种所谓的资金组合计划，并具有Charupat和Milevsky（2002）提出的某些最优特征。同样，我们考虑CRRA实用程序，并为power utility案例提供公式。

在电力公司u（c）=1的情况下，通过让λ在消费、投资和年金化政策中接近1，可以很容易地处理对数情况-γc1-γ, γ >0, γ 6= 1.为了进一步了解该产品的显著特征，我们假设养老金提供商对固定年金的保险负担为非零，因此固定年金的有效“回报”为r′，其中r′≤ r、 类似地，可变年金上存在非零保险负载，因此可变年金上的漂移为u′和u′≤ u和u′- r′≤ u - r、 对于变量年金和固定年金的混合，定义价值函数V byV（w，t；t）=sup{cs，πs，β}Ew，t“ZTte-r（s）-t） s-tpSx+tc1-γs1- γds（65）+Z∞Te-r（s）-t） s-tpSx+t1- γWT′aO，r′x+Teβu′-r′-βσ（s）-T）+βσ（Bs）-（英国电信）！1.-γds，其中，aO上的秒数r′x+T，即r′，是用于计算年金实际现值的贴现率。我们可以通过注意（比约克，1998）Ew，t“W1来处理β的选择-γTeβ（1）-γ)u′-r′-βσ（s）-T）+β（1）-γ） σ（Bs）-BT）#（66）=东，西1-γ-β（1）-γ)u′-r′-βγσ（s）-T）。因此，如果我们最大化β，期望值就会最大化u′- r′-βγσ. 结果表明，β的最优值等于β*=u′- r′σ。（67）请注意，β的最佳选择与年金化的最佳时间T无关。当然，如果β*如果大于1，则持有的股份将被年金的卖方以100%的股份截断。接下来，V求解HJB方程r+λSx+tV=Vt+maxπσpVww+（u- r） πVw+ rwVw+maxc≥0h-cVw+1-γc1-γi，V（w，T；T）=1-γw\'aO，r\'x+T1.-γ′aS，r-(1-γ)(u′-r′）的σyx+T.（68）注意，这与之前的HJB方程相同，只是边界条件反映了可变年金和固定年金的混合。精算现值的第二个上标表示年金支付的贴现率。

除“aSx+T=”as，rx+T替换为“as，r”之外，V的形式与等式（12）中给出的形式相同-(1-γ)(u′-r′）sσyx+T，（69）和‘aOx+T=’aO，rx+T被‘aO，r′x+T’所取代。此外，请注意，对于固定支付情况，最优投资政策与本文正文中给出的类似。如果固定和可变年金没有负担，也就是说，如果r′=r和u′=u，那么在年金化之前投资于风险资产的财富比例等于年金化之后的比例；然而，在这种情况下，个人的最佳策略是立即年金化。后者源于Yaari（1965）的工作。对于CRR投资者（没有bequ est动机）而言，在年金上没有保险负担，风险资产和无风险资产之间的最佳组合对于投资组合是否年金化不变量。V对T的导数与δVδT成正比∝γ1 - γ“作为，r-(1-γ)(u′-r′）sσyx+T′aO，r′x+T1.-γγ-1.- γ+aS，r-(1-γ)(u′-r′）sσyx+T′aO，r′x+T（70）+aS，r-(1-γ)(u′-r′）sσyx+Tδ - δ′- λOx+T,其中δ′=r′+（u′）-r′）2σγ。我们可以利用这个方程来确定在任何给定情况下T的最佳值。

在表5中，我们比较了当个人只能购买固定年金（与表1相比）和个人可以购买可变和固定年金的货币组合时，最佳年金化年龄和延迟的估算值。表5a在这里。我们假设金融市场和死亡率如第5节所述，除了可变年金外，保险公司的回报率有100个基点的死亡率和费用风险，因此修正后的漂移为u′=0.11，固定年金的d，收益率的收益率有50个基点的利差，因此，修正后的回报率为r′=0.055。表5b就在这里。假设个人的CRRA为γ=2，由此得出个人将在年金化前投资75.0%的风险股票，在年金化后投资68.7%的可变年金。9.4附录D：提高年金收益意味着个人可以购买提高年金。不断升级的年金指的是工资以（固定）g的速度增长的年金。这些年金被称为COLA（生活成本调整）年金，可从销售固定年金的供应商处获得。由于在美国几乎不可能获得与通胀挂钩的真实年金，这些不断上涨的年金作为对冲（预期）通胀的手段很受欢迎。不断上涨的年金的精算现值可以写为-gx；也就是说，贴现率r被付款的增长率g降低。在前两节中，我们考虑CRRA效用，并提供了电力效用的公式。因此，我们可以通过v（w，t；t）=sup{cs，πs，g}定义相应的值函数埃兹特-r（s）-t） s-tpSx+t1- γc1-γ-sds（71）+Z∞Te-r（s）-t） s-tpSx+t1- γWT′aO，r-gx+Teg（s）-T）！1.-γdsWt=w这个表达式对于g if1是最大化的- γR∞E-（r）-(1-γ） g）sR∞E-（r）-g） sspOx+Tds1.-γ（72）最大化。

这个表达式对g的导数与toR成正比∞se公司-（r）-(1-γ） g）sspSx+TdsR∞E-（r）-(1-γ） g）sspSx+Tds-R∞se公司-（r）-g） sspOx+TdsR∞E-（r）-g） sspOx+Tds。（73）注意，这是对两种概率分布的“s”期望的不同。另外，请注意，如果λSx=λOx- 对于所有x和一些常数c，则g的最佳值为*=例如，如果个人更健康，主观风险率比客观（定价）风险率低0.01，那么年金支付的最佳收益率（一旦个人将其财富年金化）为0。01γ. 请注意，一般来说，健康的人会希望购买g值为正的递增年金，而患病的人会希望购买g值为负的递增年金。这是有道理的，因为健康的人预期寿命比正常人更长，所以他们将来可以享受更大的年金支付。另一方面，不太健康的人活不长，所以他们现在要求更高的报酬。表6提供了一个数字示例，表明一个人认为他或她比正常人更健康，f=-0.5; 也就是说，一个人的死亡率是普通人的一半。假设CRRA为γ=1.5。我们将这些数字与个人只能购买固定年金的数字进行比较。结果表明，所有年龄段和性别的最优升级率g=2%（到两个小数位数）。表6关于这里。请注意，如果有2%的递增年金可用，个人愿意提前年金；然而，等待还是有好处的。表1a：低风险厌恶γ=1，女性（男性）γ=2，女性（男性）年龄最优值Prob下的最佳年金年龄和延迟值。较低的最优值问题。