年金化与资产配置

例如，在Zariphopoulou（1992）中，可以证明以下结果。命题6.1：函数U的值是HamiltonJacobi-Belman方程的约束粘性解（r+λSx+t）U- 美国犹他州- （rw+A）Uw- 最大πσπUww+（u- r） πUw-马克斯≥0(-cUw+u（c））- λSx+tu（w），\'aOx+tUw- UA= 0.（26）等式（24）定义了财富年金收入空间中的“障碍”。如果财富和年金在时间t位于障碍物的右侧，那么个人将立即花费大量财富沿对角线移动至障碍物（u p和左侧）。这种变化是对角的，因为随着财富减少，养老金的数量增加，养老金收入也会增加。此后，如果财富低到足以保持在障碍左侧，年金收入将保持不变，或者年金收入将持续响应障碍处的微小财富变化。因此，正如Dixit和Pindyck（1994年，第359页）或Zariphopoulou（1992年）一样，我们发现最优年金购买计划是一种障碍控制。其他障碍控制政策出现在金融和保险中。在财务方面，Zariphopoulou（1999年、2001年）回顾了在存在交易成本的情况下，壁垒政策在最优投资中的作用；另请参阅她的两篇文章中的参考资料。参见Gerber（1979）关于风险理论的经典文本，其中包括关于最优股息支付的选择，并指出它遵循一种障碍控制。6.2恒定的相对风险规避偏好在本小节中，我们专门针对个人偏好表现出CRRA的情况，对之前的调查结果进行分析。对于这种情况，我们可以将问题简化为一个维度，并且我们证明了上一节中给出的障碍是从财富年金空间的原点发出的射线。Letu（c）=c1-γ1 - γ、 u（w）=ku（w），γ>0，γ6=1，k≥ 0

（27）参数k≥ 0表示遗产效用相对于消费效用的权重。Davis and Norman（1990）和Shreve and Soner（1994）表明，对于存在交易成本的消费和投资问题中的CRRA p参考，价值函数U是其HJB方程在经典意义上的解，而不仅仅是在粘性意义上的解。一般来说，如果死亡率“最终”大到足以定义价值函数，那么这也就解决了我们的问题。对于（27）中的效用函数，结果证明值函数U是阶1的齐次函数- γ与财富w和年金收入A有关，即U（bw，bA，t）=b1-b>0时的γU（w，A，t）。因此，如果我们用V（z，t）=U（z，1，t）定义V，那么我们可以从V byU（w，A，t）=A1中恢复U-γV（w/A，t），对于A>0。（28）由此可知，命题6.1中U的HJB方程变成了V的以下方程：min[（r+λSx+t）V- 及物动词- （rz+1）Vz- 最大πσ^πVzz+（u- r） πVz- 麦克斯≥0-^cVz+^c1-γ1 - γ- kλSx+tz1-γ1 - γ、 （z+aOx+t）Vz- (1 - γ） V]=0，（29），其中^c=c/A和^π=π/A。戴维斯和诺曼（1990）以及什里夫和索纳（1994）在存在交易成本的消费和投资问题中使用相同的变换。杜菲、扎里波普卢（1993）和库奥（1998）也利用这种变换研究了具有随机收入的最优消费和投资。出于空间考虑，我们仅参考米列夫斯基和杨（2002b）的工作文件版本，该文件研究了最优消费和投资政策的性质。

请参考这篇文章，以了解关于描述个人行为的后续命题的证明细节。命题6.2：对于t的每个值≥ 0时，存在一个财富与收入比率的v值，它解出（z（t）+aOx+t）Vz（z（t），t）=（1）- γ） V（z（t），t），（30）这样（i）如果z=w/A>z（t），那么个人立即购买年金- A\'aOx+tA+A=z（t）；（31）因此，在这种情况下，V（z，t）=V（z（t），t。（ii）如果z=w/A<z（t），则个人不购买年金；i、 例如，她在行动区。因此，在这种情况下，V解（r+λSx+t）V（32）=Vt+（rz+1）Vz+max^πσ^πVzz+（u- r） πVz+ 麦克斯≥0-^cVz+^c1-γ1 - γ+ kλSx+tz1-γ1 - γ.因此，在每个时间点，势垒w=z（t）A是一条从原点发出的光线，位于（w，A）空间的第一象限。注意，如果z（t）<∞, 那么，对于个人来说，最好是有正年金收入，因为正w轴位于区域{（w，A，t）：w/A<z（t）}。Davis和Norman（1990年）以及Shreve和Soner（1994年）发现，在存在比例交易成本的情况下，最优消费和投资问题的结果与命题6.2中的结果类似。在下一小节中，我们将展示如何将没有遗赠动机的个人的HJB方程线性化。6.2.1零遗赠动机：HJB方程的线性化到目前为止，我们在我们的规范中假设了遗赠和消费的效用。在这一小节中，我们将V的非线性偏微分方程在无遗赠动机（k=0）的方程（32）的不活动区域线性化。为此，我们考虑V的凸对偶，定义为V（y，t）=maxz>0[V（z，t）- zy]。（33）临界值z*解方程0=Vz（z，t）-Y因此，z*= I（y，t），其中I是vz相对于z的倒数。

请注意，可以通过关系V（z，t）=miny>0hV（y，t）+zyi从V中检索函数V。（34）实际上，临界值y*求解方程0=~Vy（y，t）+z=- I（y，t）+z；因此，y*= Vz（z，t）。在没有遗赠动机（k=0）的V w偏微分方程中，让z=I（y，t）并用V写出方程，得到V-（r+λSx+t）~V+λSx+tyVy+myVy=-Y-γ1 - γy1-γ、 （35）其中m=u-rσ. 注意，（35）是一个线性偏微分方程。接下来，考虑方程（24）中的边界条件UA（w，A，t）=aOx+tUw（w，A，t）。对于V，这个条件可以写成方程（27），为了方便起见，我们重复它-(1 - γ） V（z（t），t）+（z（t）+aOx+t）Vz（z（t），t）=0。（36）在边界处平滑粘贴意味着该边界条件相对于z=z（t）处计算的z的导数保持d，由γVz（z（t），t）+（z（t）+aOx+t）Vzz（z（t），t）=0给出。（37）我们还有一个z=0的边界条件，因为在这一点上，个人没有财富来投资风险资产。写^π*关于~V:^π*（y，t）=u-rσyVy。因此，对于z=0（y对应的g值写为ya（t）），我们得到ya（t）=0或Vy（ya（t），t）=0。因为Vz>0是相对于z严格递减的，所以我们有ya（t）>y（t）≥ 0代表所有t≥ 0，其中ya（t）和y（t）由ya（t）=Vz（0，t）和y（t）=Vz（z（t），t定义。（38）因此，因为ya（t）>0，根据V，边界条件变为Vy（ya（t），t）=0，（39）对于Vy（ya（t），t）=0，（40）和（1）- γ） V（y（t），t）+γy（t）~Vy（y（t），t）=aOx+ty（t），（41）对于~Vy（y（t），t）+γy（t）~Vy（y（t），t）=aOx+t。

（42）6.2.1.1恒定的致命力当我们假设致命力是恒定的，即λSx+t时，仍然在零遗产世界中运行≡ λ砂λOx+t≡ λ或全部t≥ 0，那么我们可以通过（35）和（39）-（42）给出的边值问题，得到V值的“隐式”解析解。参见Neuberger（2003）最近的相关工作。在这种情况下，V、~V、ya和yarein与时间无关，因此（35）成为普通微分方程- （r+λS）~V（y）+λSy~V′（y）+y~V′（y）=-Y-γ1 - γy1-γ、 （43）有界条件V′（ya）=0，（44）对于V′（ya）=0，（45）和（1）- γ） V（y）+γyV′（y）=yr+λO，（46）对于V′（y）+γyV′（y）=r+λO（47）（43）的通解是V（y）=DyB+DyB+yr+Cy1-γ、 （48）d d常数由边界条件确定，Cgiven byC=r+λSγ- m1- γγ（49），带b=2m（m）- λS）+q（m）- λS）+4m（r+λS）> 1、（50）和B=2m（m）- λS）-q（m）- λS）+4m（r+λS）< 0.（51）ygive{1+γ（B）的边界条件- 1） }yB+D{1+γ（B）- 1） }yB+yr=yr+λO，（52）和db{1+γ（B）- 1） }yB+DB{1+γ（B）- 1） }yB+yr=yr+λO.（53）解方程（52）和（53）得到y:D=-λ或（r+λO）1- BB- 比1-B1+γ（B）- 1） ，（54）和d=-λ或（r+λO）B- 1B- 比1-B1+γ（B）- 1). （55）接下来，用（44）和（45）中的Dand-Din＠V′（ya）+γya＠V′（ya）=0来得到λ或+λOB（1）- B） B- B耶B-1+λ或+λOB（B）- 1） B- B耶B-1= 1. （56）（56）给出了比率ya/y>1的方程式。要检查（56）是否有大于1的唯一解，请注意，当我们设置ya/y=1时，左手边（i）等于λO/（r+λO）<1，（ii）随着ya/ygo的增加而变为完整，以及（iii）严格地相对于ya/y增加。接下来，用Dand Din V′（ya）=0从（44）得到-λ或（r+λO）B（1）- B） B- B（是的）B-11+γ（B）- 1)-λ或（r+λO）B（B- 1） B- B（是的）B-11+γ（B）- 1） +r+C1.-γY-γa=0。

（57）替换雅/阴方程（57），并求解雅。最后，我们可以分别从方程（54）和（55）得到yfromy=yaya/y，（58）和dD。一旦我们得到了V的解，我们就可以从V（z）=maxy>0hV（y）+zyi=maxy>0hDyB+DyB+yr+Cy1中恢复V-γ+zyi，（59），其中临界值y*solvesDByB-1+DByB-1+r+C1.-γY-γ+z=0。（60）因此，对于给定的z=w/a值，求出（60）的y值，并将该y值代入（59）的U（w，a）=V（z）。也许更重要的是，我们感兴趣的是一个人花一笔钱购买更多年金收入的临界值。我们将在下一节的示例中继续讨论这一点。7个数值例子：随时注释任何东西在本节中，我们提供各种数值例子来说明我们的anythinganytime模型的结果。我们关注风险规避、投资波动性和保险费对最佳年金金额的影响。在第一组结果中，我们假设危险率参数的值如下：λS=λO=0.04。也就是说，死亡率是恒定的，因此预期未来寿命为：1/λ=25年。此外，我们将无风险利率设定为r=0.04，风险资产的漂移为u=0.08，其波动率为σ=0.20。我们选择了这些数字——比前面例子中使用的数字要低——以便更好地捕捉一个真实的（通货膨胀后）情况，在这种情况下，社会保障福利将被视为现有年金的一部分。在表4a中，对于γ的各种值，我们给出了财富与年金收益之比z=w/A的临界值，超过该临界值，个人将一次性花费财富以增加其年金收入。

我们还包括个人将在给定（预先存在的）年金收入a=$25000的年金上花费的金额，即（w）- zA）/（1+（r+λO）z）。表4a关于这里。例如，一名拥有100万美元流动可投资资产和2.5万美元预存年金收入的退休人员将立即（不可逆地）将727620美元至914176美元之间的年金化，这取决于相对风险规避的效率。从同一张表4a中可以看出，随着个人变得更加厌恶风险，在给定的财富水平下，年金的支出金额会增加，这是一个直观的令人愉悦的结果。此外，对于给定的风险厌恶程度，随着财富的减少，用于某项活动的金额也会减少。在表4b中，我们给出了当A=50000美元时的结果。请注意，当预先存在的年金收入从4万美元增加到5万美元，但在相同的财富水平下，立即用于额外年金购买的金额较少。表4b在这里。事实上，在这种情况下，当相对风险规避系数γ=2或更小时，财富为10万美元或更少的人不会将任何额外财富年金化。我们再次强调，这些数字结果假设绝对没有遗赠动机，也没有遗产、配偶或任何其他幸存者的重要性。在遗产中存在一定权重的情况下（这在现实世界中是意料之中的），年金化的金额不会再高。表4c关于这里。表4c考察了问题的一个不同方面，即投资波动率σ对任何时间环境下最佳年金金额的影响。在这种情况下，我们假设相同的λO=λS=0.04危险率，r=0.05无风险率和u=0.12漂移风险集。

我们提供了两种不同风险规避水平下的结果：高（γ=5）和低（γ=2）。在这两种情况下，我们假设退休人员/投资者拥有1000000美元的流动可投资财富和40000美元的现有年金收入。请注意，从表4c中可以看出，随着投资波动率σ从0.12增加到0.20，在两种（我们可以显示，所有）风险规避水平下，未经分析的金额都会下降。事实上，在高波动水平下，退休人员/投资者对γ=2和γ=5的年金分别为472871美元和768568美元。当投资波动率从0降低时，这些数字分别降至12692美元和469789美元。20比0.12。这一结果的经济直觉相当清楚。随着投资高回报替代品的相对风险降低，在风险调整的基础上，对个人财富进行合理化的吸引力就会大大降低。表4d关于这里。表4d调查了在同一框架下主观与客观健康状况对年金金额的影响。在这种情况下，我们假设客观（年度定价）风险率λO=0.04，但主观λs的值从0.03变为0.055。因此，保险公司认为年金受益人的预期寿命为1/0.04=25.0岁，而年金受益人认为他们更健康（预期寿命增至1/0.03=33.3岁）或更不健康（预期寿命降至1/0.055=18.2岁）。人们可以认为这代表了逆向选择或信息不对称对年金金额的影响。如表4c所示，我们假设退休人员/投资者拥有1000000美元的流动财富和每年40000美元的现有年金收入。

无风险利率的市场参数为r=0.05，风险资产的漂移为u=0.10，投资波动率的市场参数为σ=0.16。在这种情况下，与全有或全无结果的结果相比，In-cr-hazardrate对年金金额具有统一的影响。也就是说，在所有其他条件相同的情况下，认为自己健康状况较差的人年金较少。更具体地说，γ=2的退休人员/投资者如果认为自己的预期寿命（仅）为18.2年，将获得514496美元的年金，而当他认为自己的预期寿命超过33.3年时，将获得574840美元的年金。在风险厌恶程度较高的情况下也观察到了同样的结果，尽管名义（和边际）风险厌恶程度较低。注意，在低（γ=2）风险厌恶水平下，预期寿命的15年差异会减少60000美元的年金金额。但是，如果风险厌恶程度更高（γ=5），差异仅为2.8万美元。我们提醒读者，这些结果是在各种假设下获得的，即恒定的风险率（指数未来寿命分布）和零遗赠动机，以及恒定的无风险率和风险溢价。消除这些限制是正在进行的研究的主题。8结论和主要见解本文确定了一个效用最大化的个人的最佳动态政策，该个人有兴趣将终身支付年金（或固定福利收入）纳入其退休投资组合。我们调查了各种各样的制度安排和市场结构，并有不同的限制和约束。

我们的主要结果如下：一个人面临着何时开始固定（名义或实际）终身养老金年金的不可逆转的决定——附带条件是年金必须以“要么全有，要么全无”的形式进行——被赋予了推迟的动机，这在年轻人中是非常有价值的即使没有遗赠动机，也有推迟年金化的动机。这是因为市场的不完善不允许退休人员购买支付年金，从而使资产配置更加灵活，与个人的主观消费偏好和健康状况相匹配。不同的是，一个即时重新协商的生命或有音调的市场不会产生我们的“延迟选择”结果在全有或全无的框架下（这是许多公共和私人养老金系统的一个特点），年金的最佳年龄是延迟选择的时间价值为零的年龄。该值被定义为因无法达到最佳状态而造成的效用损失。这个值取决于一个人的相对风险规避系数，以及他们的主观健康状况利用历史市场参数和现实的死亡率估计，我们得出结论，在这个“全有或全无”的模型中，追求纯生命的最佳年龄在70岁之前并不存在。这一结果与各种基于概率的模型一致，这些模型基于死亡率积分与竞争资产类别回报之间的关系如果支付年金中有完整的资产配置灵活性，这类似于某些国家和司法管辖区提供的可变即时年金，那么年金的最佳年龄确实更早。