年金化与资产配置

Yaari（1965年）的研究结果一直是公共经济学和保险文献中许多研究的主题，我们请感兴趣的读者阅读弗里德曼和沃肖斯基（1990年）、布朗n（1999年、2001年）、米切尔、波特巴、沃肖斯基和布朗（MPWB）（1999年）、布朗和波特巴（2000年）以及布朗和沃肖斯基（2001年）的一系列论文。总的来说，这些论文将低年金率的一些“b跛脚”放在年金价格中包含的高负担和费用上。其他基于经济学的解释包括Kotliko ff和Summers（1981年）、Kotliko ff和Spivak（1981年）、Hurd（1989年）和Bernhiem（1991年），这些解释侧重于家庭在年金化需求中的作用及其遗赠动机。其他关注市场缺陷和逆向选择的模型包括e Brugiavini（1993）和Yagi and Nishigaki（1993）。因此，鉴于关于动态资产配置的丰富文献以及人们对养老金相关金融问题的日益关注，我们的目标是将企业长寿保险产品纳入一个组合和资产配置框架，以恰当地捕捉精算和保险方面的缺陷。尽管Richard（1975）扩展了Merton（1971）模型，在连续的时间框架内获得了Yaari（1965）的结果，但机构设置缺乏当前支付年金市场的现实性。我们还认为，何时购买不可逆转的终身年金的决定赋予持有人延迟的动机，这可以被试探性地视为一种选择。

事实上，在许多机构养老金安排下（比如直到最近的英国或美国关于可变年金储蓄政策的规定），个人被允许尝试以投资组合为基础的年金模式的最新论文——大多数是在本文初稿发布后撰写的——包括卡普尔和奥萨格（1999年）、布莱克、凯恩斯和多德（2000年）、凯恩斯、布莱克和多德（2005年）、纽伯杰（2003年）、杜希和韦伯（2003年）、辛克莱（2003年）、S塔比尔（2003年）以及巴托基奥、梅诺辛（2003年），斯凯莱特（2003年）、科金、奈曼和沃克（2006年）。通过自由支配消费提取养老金，但最终必须在某个时间点将剩余财富年金化。我们将该系统称为一种全有或全无的安排，并认为这类似于S tock和Wise（1990）的退休选择，并呼应了Sundaresan和Zapatero（1997）的框架，他们研究了各种养老金福利的最佳行为（和估值）。其他制度结构也允许在任何时间和小规模进行年金化，在本文中，我们随时将这些系统称为任何东西。我们研究了这两种情况下的最优年金政策，并提供了大量的数值例子来比较这两种情况。3金融和养老金年金市场在本节中，我们将介绍我们的金融和年金市场模型。我们假设个人可以投资于无风险资产，其在时间s，Xs的价格遵循过程dXs=rXsds，Xt=X>0，对于某些固定的r≥ 0.此外，个人可以投资于风险资产，其价格在时间s，Ss，遵循几何布朗运动，由（dSs=uSsds+σSsdBs，St=s>0，（1）给出，其中u>r，σ>0，B是概率空间过滤{Fs}的标准布朗运动(Ohm, F、 P）。

设Ws为个人在s时的财富，πs为决策者在s时投资于风险资产的金额。此外，决策者在s时的消费率为Cs。那么，无风险资产中的金额为Ws- πs，并且当个人不购买年金时，财富遵循这个过程dWs=d（Ws）- πs）+dπs- csds=r（Ws）- πs）dt+πs（uds+σdBs）- csds=[rWs+（u）- r） πs- cs]ds+σπsdBs，Wt=w>0。（2） 在第4节和第5节中，我们假设决策者寻求最大化折扣消费的预期效用（超过容许{cs，πs}和将他或她的全部财富年金化的次数τ）。容许{cs，πs}是指那些可测量的关于时间s可用信息的信息，即Fs，其限制消耗为非负的，以及导致（2）具有唯一解的d；见Karatzas和Sh reve（1998年）。我们还允许个人通过主观风险率（或死亡率）来评估预期效用，而年金则使用客观风险率来定价；可能相同，也可能不同。我们的金融经济是基于（simp-ler）几何布朗运动加无风险利率模型的，该模型最初由默顿（1971）首创，而不是最近由Kim和Omberg（1996）、Sorensen（1999）、Wachter（2002）或Campbell和Viceira（2002）开发的r-icher模型。原因是，我们主要感兴趣的是在投资组合选择框架中引入死亡率或有权益的影响，而不是研究随机利率或均值回复股票价格本身的影响。通过避免更复杂设置的计算价格，我们能够获得欧兰努化问题的解析解。现在我们来谈谈保险和精算假设。

我们让TPSx表示x岁的个体相信他或她能活到x+t岁的主观条件概率。它通过主观风险函数λSx+t，通过公式TPSx=exp定义-ZtλSx+sds. （3） 对于客观条件生存概率tpOx，我们有一个类似的公式，即客观风险函数λOx+t。每年向购买时年龄为x的个人连续支付1美元的终身年金的精算现值写为“ax”。定义为“ax=Z”∞E-rttpxdt。（4） 我们故意在年金定价中使用无风险利率r，因为最近的大多数经验证据表明，相对于无风险ZF收益率曲线，年金的货币价值相对接近1。换句话说，使用无风险利率支付的预期现值等于为该收益支付的保费。因此，保险公司通过投资高风险债券可能承担的额外信用风险似乎由其收取的任何保险费用和佣金决定。我们请感兴趣的读者参阅MPWB（1999）的论文，以便更详细地讨论实际定价中使用的精确曲线。在符号方面，如果我们使用主观风险率来计算等式（4）中的生存概率，那么我们写“aSx”，而如果我们使用客观（定价）风险率来计算生存概率，那么我们写“aOx”。

必须澄清的是，客观“aOx”指的是年金扣除任何保险负担后的实际市场价格，而“以市场价格计算”则是“如果保险公司使用个人和主观的死亡率评估”。我们让感兴趣的读者参考赫德和麦加里（1995年，1997年）对实验的讨论，这些实验涉及生存概率的“主观”与“客观”评估。最近，史密斯、泰勒和斯隆（2001）声称，他们的发现“毫无疑问，应该认真对待对死亡率的主观看法。”他们指出，个体的“寿命预期是对未来死亡率的合理良好预测”其他研究人员，如Bhattacharya、Goldman和Sood（2003年）声称，个人对死亡率的估计存在偏见，这一点可以从旅行和生活结算市场中得到证明。对于个人是否使用与保险公司相同的正向曲线估计和计算死亡率，我们没有采取立场，因此允许这两个函数是不同的。证明死亡信念的不对称性可能会在很大程度上解释为什么那些认为自己不如平均水平健康的人更有可能避免年金，尽管他们没有公开的遗赠动机。在经典的完美市场Yaari（1965）框架中，主观生存率在最优策略中不起作用。

我们将证明，如果消费者不同意保险公司关于其主观风险率或个人健康状况的定价基础，她将在全有或全无的环境中延迟年金。在第6节中，我们首先假设决策者最大化（超容许{cs，πs，As}）贴现终身消费和遗产的预期效用，其中包括年金购买过程。As表示在购买任何年金后的s时刻的非负年金收益率；我们假设Asis右极限与左极限是连续的。这种收入的来源可能是之前购买的年金或之前存在的年金，如社会福利或养老金收入。我们假设，个人可以在s时以“aOx+sper美元”的年金收入购买年金，或在x+s年龄购买同等金额的年金。在这种情况下，财富过程的动态由（dWs=[rWs]给出-+ (u - r） πs- cs+As-] ds+σπsdBs- \'aOx+sdAs，重量-= w>0。（5） 财富和年金子账户上的负号表示购买任何（一次性）年金之前这些金额的左边限额。4.限制性市场：无论是全部还是全部在本节中，我们研究了制度安排，其中要求个人在某个（退休）时间τ一次性将其所有财富年金化。如果投资回报率的波动率σ=0，并且假设目标风险率随时间增加，那么我们表明，个人将其所有财富在时间T上进行年金化，时间T为u=r+λOx+T，即风险率（也称为死亡率积分）加上无风险率等于资产的预期回报的时间。此外，如果λSx+t=λOx+t对于所有的t>0，那么个人将在时间t之后最佳地消费年金收入。

因此，对于σ和λSx+t的小值≈ λOx+t对于所有t≥ 0，个人在将其财富年金化后，至少在年金化后不久的一段时间内，将消费大约一笔年金收入。事实上，经典的年金结果，例如Yaari（1965），证明在没有最佳动机的情况下，消费整个年金收入是最优的。这就是为什么，为了简化我们的工作，我们假设在某个时间τ，个人将其所有财富Wτ年金化，然后以Wτ¨aOx+τ的比率消耗年金收入。因此，这个问题的关联值函数由u（w，t）=sup{cs，πs，τ}Ew，t给出Zτte-r（s）-t） s-tpSx+tu（cs）ds+Z∞τe-r（s）-t） s-tpSx+tuWτ\'aOx+τds= sup{cs，πs，τ}Ew，tZτte-r（s）-t） s-tpSx+tu（cs）ds+e-r（τ）-t） τ-tpSx+tuWτ\'aOx+τ\'aSx+τ, （6） 其中，u是消费的递增凹效用函数，Ew，tdenotes是以Wt=w为条件的期望。注意，个人以无风险利率r贴现消费。如果我们用主观贴现率（比如ρ）建模，那么这相当于使用（6）中的r并加上ρ- r为主观危险率。因此，如果主观折现率等于无风险折现率r，则不会对普遍性造成有效损失。换句话说，虽然文献中的一些生命周期模型对感知风险和其他主观因素的折现率进行了调整，但我们告诉读者，我们对azard rateλSx+te的理解有效地调整了生存概率的折现率，因此，含蓄地考虑了这些风险。请注意，在本节中，我们不考虑现有年金，例如国家和企业养老金。我们预计这种年金将改变最佳的年金化时间，但我们将这个问题推迟到第6节。此外，请注意，我们采用的年金价格是非一致的。

我们并不像阿克洛夫（1970年）或罗斯柴尔德和斯蒂格利茨（1976年）的对手选择文献那样，创建了一个均衡（正）定价模型，而是一个规范的模型，说明在给定的市场价格面前人们应该如何行为。尽管我们在结论中对年金的均衡定价做了一些陈述，但扩大均衡考虑超出了本（规范性）文件的范围。我们还将注意力限制在效用函数呈现恒定相对风险厌恶（CRR A）的情况下，γ=-cu′（c）/u′（c）。也就是说，u由u（c）=c1给出-γ1 - γ, γ > 0, γ 6= 1. （7） 对于这个效用函数，相对风险规避等于γ，一个常数。相对风险规避1对应的效用函数是对数效用。接下来，我们证明，对于CRRA效用，解决（6）中的问题相当于假设最优停止年金化时间是未来的某个固定时间，比如T。根据T的值，我们可以找到最优的消费和投资政策。最后，我们找到了T的最佳值≥ 0.推动这一结果的CRRA实用程序的特点是财富因素超出了价值函数；因此，停止时间τ不是随机的，而是确定性的。

对于其他效用函数，τ将是一个随机停止时间，取决于随机（状态变量）财富，就像美式期权的行使时间一样。为了证明CRRA效用的最佳停止时间是确定的，我们使用这样一个事实：如果我们能找到下面的变分不等式的光滑解V，那么光滑解等于（6）中的值函数U；例如，见Oksendal（1998年，第10章）。r+λSx+t五、≥ Vt+rwVw+maxc[u（c）- cVw]+maxπ(u - r） πVw+σπVww, （8） andV（w，t）≥ \'\'aSx+tuw’aOx+t, （9） （8）和（9）中至少有一个相等，并且（7）中给出了u。我们寻找形式为V（w，t）=1的变分不等式的解-γw1-γψγ（t）。如果是这种形式的Vis，则th enψ必然解1- γr+λSx+tψ ≥γ1 - γψ′+ δψ +γ1 - γ、 （10）和1- γψγ（t）≥1.- γ′aSx+t\'aOx+t1.-γ、 （11）至少在（10）和（11）中的一个方面平等。因此，如果我们在时间t内找到这个变量不等式的光滑解ψ，那么我们就完成了，我们可以断言U（w，t）=1-γw1-γψγ（t）。需要注意的关键特征是财富w和时间t在U中是可乘法分离的；因此，个人财富年金化的最佳时间与财富无关，因此具有确定性。为了求解ψ的变分不等式，我们假设“连续区域”（即不年金的时间）的形式为（0，T）。换句话说，一个人直到时间T才将自己的财富年金化。如果我们的hy-pothesis是正确的，那么（10）在（0，T）上等于成立，而（11）在（0，T）上等于成立，在（T=T）上等于成立。给定T的任何值，我们都可以解这个边值问题；写出φ=φ（t；t）作为这个问题的解。对于t<t，函数φ由φ（t；t）=aSx+t给出\'aOx+T1.-γ!γe-R-δ(1-γ） γ（T）-（t）T-tpSx+tγ+ZTte-R-δ(1-γ） γ（s）-（t）s-tpSx+tγds，（12）δ=r+2γu-rσ.

对于t≥ 我们有φ（T；T）=aSx+T\'aOx+T1.-γ!γ. （13） 函数ψ是（10）和（11）中变分不等式的光滑解，其中有唯一的T。（也就是说，φ在t=t时有一个连续的一阶导数≥ 0.）T的最佳值≥ 0就是这样一个1-γφγ（t；t）最大化。请注意，年金化的最佳时间也可能是现在（即T=0）。定义函数U，由U（w，t；t）=1-γw1-γφγ（t；t）。然后，（6）中的值函数U由U（w，t）=maxT给出≥0U（w，t；t），其中t的最佳值与财富w无关，因为w考虑了U的表达式。换句话说，最佳年金化时间在t时确定。可以从（8）中的一阶必要条件获得最佳消费和投资政策；它们以反馈形式由byC提供*t=c*（W）*t、 t）=W*tψ（t）、（14）和∏*t=π*（W）*t、 t）=u- rσγW*t、 （15）分别，其中*这是年金化前的最佳控制财富（时间T）。如果我们在对数效用的情况下，可以证明最优消费率是C*t=W*t’aSx+t。值得注意的是，如果r=0，在这种情况下，最优消费的分母ψ下降到（主观）预期寿命，那么消费率正是美国国税局规定的71岁后罗米拉每年消费取款的最低比率。具体来说，每年从年金中提取的比例等于年初余额除以未来预期寿命。由于现实中的r>0，IRS规定的最低消费率低于具有对数效用的个人的最优消费率，死亡率与IRS表格中的死亡率相等。为了找到最佳年金化时间，将U=U（w，t；t）与t进行区分，同时使用t<t。