基于霍克斯的最优执行模型的扩展与校正

，p}，（ιs- ιc）wi=λiρi，mq（κ+（i）- κ-（i） )- ρiDi=0，（16）和аs（y/m）- ιc（y/m）=（ιs）- ιs）y/M对于所有y≥ 0以至于>0，u（y- ，y+））>0。该定理将[1]的定理2.1和命题5.1推广到完全单调核G和K。其证明依赖于我们在附录C.1中回忆的相同参数。（16）的一个有趣结论是价格传播子和强度的衰变核之间的联系。对于一般完全单调函数（6），这会产生以下条件：ρ>0（ιs）- ιc）~w（dρ）=（1- ν） ρ∧（dρ）。（17） 因此，为了排除pm，w（dρ）必须与ρλ（dρ）成正比，因此K的衰减速度应高于G的衰减速度，无论其函数形式如何（只要它们完全单调）。此外，我们可以提出以下两点意见。首先，通过将等式（17）的两边除以ρ，在（0）上积分+∞) 利用富比尼定理，我们得到了必要的（但不充分的）鞅价格条件1- ν=（ιs）- ιc）Z∞~w（dρ）ρ=（ιs）- ιc）Z∞Z∞经验(-ρt）dt~w（dρ）=（ιs- ιc）Z∞Z∞经验(-ρt）~w（dρ）dt=（ιs）- ιc）Z∞K（t）dt=：DBR。（18） 这个等式意味着瞬态冲击的比例应等于方向分支，我们将其定义为DBR=（ιs）- ιc）Z∞K（t）dt=ιs- ιcιs+ιc×BR，（19）其中BR是基于霍克斯的模型的通常分支比率，该模型正计算b符号的价格变化（例如，参见Hardiman和Bouchaud[18]）。这个结果是直观的，因为DBR代表了每笔交易的“相同符号的子交易”的平均数量，为了获得不同的价格过程，应该等于价格影响随时间消失的比例。

虽然这只是一个必要的条件，但方程式（18）给出了一个相当普遍的数值标准，用以从经验上评估观测到的价格过程是否与鞅性质相容，或者更持久（DBR>1）- ν） 奥曼回复（DBR<1- ν） 。其次，幂律核函数g（u）=ν+（1）- ν） （1+cG×t）-a、 K（u）=（1+cK×t）-（1+）是（6）的特例，其中∧（dρ）=ρa-1exp(-ρ/cG）Γ（a）caGdρ，~w（dρ）=ρexp(-ρ/cK）Γ（1+）c1+Kdρ。方程（17）则yieldsa=，cG=cK=c，ιs- ιcc=1- ν.让我们回顾一下，如果K是幂律，则必须>0才能获得可积性，这是霍克斯过程平稳的必要条件。此外，在这种情况下，如果Hawkes范数等于1且如果∈ （0,1/2），见[11]中的Brémaud and Massoulié，定理m 1。在这种情况下，自协方差渐近衰减为t-(1-2). 因此，我们得出的结论与Bouchaud等人[9]完全相同，他们给出了不同的价格条件β=（1）-γ） /2，其中γ是贸易符号自相关的衰减指数，β=a是传播子的衰减指数。请注意，我们使用了完全不同的方法（没有价格操纵策略），等式（17）可能是在霍克斯框架内将其结果推广到更广泛类别的内核。第4节中给出的校准结果允许我们将实际库存数据与上述市场价格条件进行对比。特别是，很容易检查瞬态碰撞1的比例- ν=Pλiis小于、等于或大于定向分支比DBR。

虽然我们并不期望在实践中完全满足该条件，但我们发现评估实际数据与理论平衡之间的偏差（以及偏差的方向）很有趣。2.3最优执行策略在[1]中，我们得到了最优执行策略的一个显式特征，该策略使E[C（X）]最小化，其中X∈ 当G（t）=e时，R和XT+=0-ρtand K（t）=e-βt。将这个结果推广到多指数核（7）是有意义的。原则上这是可能的。事实上，对于状态变量（Xt、Pt、St、Dit、κ±（i）t），该模型仍然是马尔可夫的，且成本仍然是二次的。如[1]中所述，我们应该首先猜测成本函数的二次型，然后导出其系数的必要条件，最后运行验证参数。然而，我们从阿方西和希德[3]那里知道，没有交易流动的最佳策略（即≡ 0）已经相当复杂，并通过矩阵Riccati方程表征。在我们的背景下，表征成本函数的普通微分方程系统将更加复杂，人们可能必须用数值方法来解决它，而对于高频交易，数值方法的效率低于封闭公式。然而，在传播子保持指数g（u）=ν+（1）的特殊情况下- ν） 经验(-ρu），K（u）=pXi=1wiexp(-βiu），（20）带0<β<··<β和w，wp>0时，仍然可以显式地导出最佳执行策略。事实上，我们可以处理与[1]中相同的参数，并得到以下结果，如附录C.2所示。定理2.2。设αi=wi（ιs）- ιc）和H，由1定义的p阶方阵≤ i、 j≤ p、 嗨，j={i=j}βi- αj.（21）我们还通过ζ（M）=Xk定义了两个连续矩阵函数ζ，ω≥0(-1） kMk（k+1）！ω（M）=Xk≥0(-1） kMk（k+2）！。（22）我们指的是Hardiman等人。

[17] 在市场数据上测试该属性，以及Jaisson和Rosenbaum[21]研究霍克斯过程，霍克斯范数接近1。当M可逆时，ζ（M）=M-1[Ip- 经验(-M） ]和ω（M）=M-2[exp(-M）- Ip+M]。然后是战略X*这使得预期成本E[C（X）]在（0，T），（1）上满足a.s.和dt-a.E.的要求最小化- ν） X*t=- [1+ρ（T）-t） ]Dt+m2ρ[2+ρ（t-t） ]（23）×δTIp+ρ（T）-t） 2+ρ（t）- t） ×[ζ（（t-t） H）+νρ（t）- t） ω（（t）- t） H）]. (1 , ··· , 1 ),式中δit=κ+t（i）- κ-t（i）代表我∈ {1，·，p}是强度不平衡。此外，方程（23）充分描述了最优策略。虽然仅限于（20），但我们认为[1]结果的扩展可能与应用有关。事实上，在我们的数据集上，使用多指数价格传播因子而不是单指数价格传播因子并没有多大收益，见图1。相反，对于强度的衰减核，考虑指数混合可以产生更丰富的自协方差函数，见图3.3校准方法3。1数据说明我们考虑法国投资银行Natixis提供的逐点数据，对此我们表示感谢。该数据包含两支交易活跃的nch股票：法国巴黎银行（BNP Paribas）和道达尔（Total）的最佳买入价和最佳卖出价的价格和成交量的所有变化。数据选择在上午11点到下午1点之间。m、 2012年1月至9月和2013年之间的每一个运输日。我们不包括一年中最后三个月的活动平均减少，以及蜱虫大小偏离0.005欧元的月份。选择中午前后两个小时的窗口是为了获得相当稳定和统一的市场活动行为，参见Lehalle and Laruelle[22]，第112页。

通过这种方式，对于每只股票，我们可以合理地假设每两个小时的交易都是相同随机价格过程的实现。在初始数据集中，对于每种股票，每一行分别响应最佳队列之一的价格和/或数量更新（由市场事件触发，如市场订单、限价订单或取消），或以给定价格针对给定数量执行的新交易。这些数据的时间戳精确到毫秒。我们通过聚合在同一毫秒上发生的事件来减少这些数据：我们只跟踪每个时间戳开始和结束时的最佳价格，这会产生“同时”发生的事件的聚合价格影响，即在同一毫秒上。同样，我们对在s ame时间戳上执行的所有卷求和。我们获得了一系列市场事件，其中少数与交易量和/或价格变化有关。应澄清[1]和第2节模型的理论项目与实际财务数据之间的对应关系。不同的可能性可能是相关的，但我们的选择如下：o我们将“市场价格”定义为中点价格，即任何时间t的最佳买入价和最佳卖出价的平均值。o我们只考虑中点价格上涨的时间戳。换言之，我们忽略了既不清空最低价也不清空最低价的交易和取消，以及不确定新最低价的被动限价订单。对于我们考虑的股票，这给出了两个连续时间戳之间的平均延迟时间为1到4秒。

这与[1]的理论模型中所考虑的时间尺度有关，它不是超高频我们用小时表示时间，并注意T=2我们考虑的每个交易日的窗口长度。在本文中，我们注意到τ∈ （0，T）时间戳，对应于交易的中点跳跃，即通过跨越价差的限额或指令或市场指令。这些与理论模型的过程N的跳跃相对应：它们都以价格跳跃为标志Mτ（一个或几个半刻度），以及一个已执行的卷Vτ>0，以股份数表示。其他价格上涨的时间戳标注为θ∈ （0，T）。它们由取消和被动提交订单触发，没有执行量，并且假设它们平均执行[9]中的确定性弹性效应。在两次交易之间，价格与这个确定性平均值的偏差被认为是一个噪声过程，使用算术B罗文运动建模。法国巴黎银行和道达尔银行的表1给出了这些项目的一些关键统计数据。Sto ck BNP Paribas TotalYear 2012 2013 2012 2013 2013平均中位价格32.44.9 38.2 39.0厚度0.005 0.005 0.005 0.005每小时中位变化数量1909 1699 1209 929因交易产生的比例10.0%7.9%7.6%6.9%m776 636 978 963m/m3。38 4.69 4.30 6.72第一队的平均规模1398 1136 1710 1779表1：法国巴黎银行股票统计表和2011年1月至9月期间总计，即2012年1月11日上午11点至下午1点之间。法国巴黎银行不包括在内，因为其股票规模降至0.005以下。我们给出了由交易触发的中点变化的比例，剩余的比例由取消或被动限价指令触发。

mis——触发价格波动的平均交易量，以及这些交易的平均平方交易量。比率/m越大，交易量分布的差异越大。3.2校准过程概述等式（4）给出的价格模型的一个特点是，它由两个独立的部分组成：o触发价格变动的交易的点过程，时间戳τ和标记（价格跳变）Mτ和执行体积Vτ）是联合建模和估计的，opropag-ator模型是一个连续的时间线性回归模型，有条件地考虑交易的中点跳变，具有高斯噪声过程σWt。因此，交易使用标记的Hawkes过程建模，并且有条件地，价格是高斯的。这种细分至少有三个优点。首先，校准过程更简单，因为这两个部分可以独立估计，这显著降低了问题的规模。其次，每一方的估计结果对另一方的选择都是稳健的。例如，如果想要修改交易的霍克斯模型，那么传播子的结果仍然有效，反之亦然。最后，第2.2节的结果包含了霍克斯参数和播放机之间的一些理论联系，当两个部分分别进行估计时，将这些联系与我们的校准结果进行对比似乎更为重要。我们的校准协议总体上有点复杂，我们通过在模拟数据上运行它来测试其有效性和鲁棒性。

在第4节和第5节中，我们给出了这些模拟以及真实财务数据的分析结果。3.3传播因子的估计3。3.1框架在本节中，我们将解释第2节中介绍的传播器模型如何适用于实际应用，尤其是其校准。这需要考虑以下两点：o在实践中，交易的价格影响与交易量不成正比。它通常只有几个滴答声，而卷的范围更广。因此，我们必须在“价格弹性”和“数量弹性”之间做出选择，就像阿方西等人[2]所说的那样。第一种选择对应于对市场价格的均值回归特性进行建模，第二种选择描述了流动性在交易结束后如何“再生”，而这两种选择仅在线性价格影响下等效两个事务之间的pric e的演化非常嘈杂，传播子模型只解释了它的一部分方差。因此，我们需要控制估计的方差以获得满意的校准结果。对于第一点，我们选择对价格弹性进行建模，这在实践中更容易衡量，在文献中也更经常被考虑。这归结为替换Nτ/q由中间价格跳变Mτ不等式（4）。对于第二点，直观的可能性在于将传播者回归限制在有限的时间窗口内RW>0，并假设模型预测价格增量Pt- Pt-RWT≥ 而不是Pt-P.如果噪声是一个加法布朗数mσWt，则将预测变量的方差固定为σrw而不是σt，t∈ [RW，T]。我们得到了修改后的价格模型Pt=Pt-RW+Xt-RW<τ≤TMτG（t）- τ） +σ（Wt）- Wt-RW）。

（24）当然，rwg必须是这样的(RW）- G(∞) 与G相比是小的(∞) 对于原始模型（4）的有意义的近似模型，见备注2.1。该条件还允许避免传播子G估计中的偏差RW=0.5小时（30分钟）贯穿本文的整个续篇，基于我们在这里没有详述的初步观察。注意，在这个范围内RW∈ [0.1,1]，该参数的选择对结果几乎没有影响。我们可以事后证实我们对G的估计与G（0.5）是一致的- G(∞) << G(∞).预计价格在t- RWand t由^Pt给出- Pt-RW=Xt-RW≤τ ≤TMτG（t）- τ） （25）Pt在哪里-rw是时间t的实际中点价格- RW，直接取自数据。方程（24）bec omesPt=^Pt+σ（Wt- Wt-RW）。（26）有条件地-到进程M，一个有Pt~ N（^Pt，σ）RW）。本文将G的极大似然估计等价于最小二乘s估计。因此，我们在数值上最小化了G参数的二次误差e（G）=XRW<θ<T[Pθ（G）- Pθ]，（27），其中θ是由于取消或被动限价订单而出现的价格上涨。为了更好地理解传播子的形状，我们首先以“无约束”的方式估计G，即离散点集的线性插值。因此，我们建立了G asG（t）=gl[tl，RW[（t）+l-1Xi=0（ti+1- t） gi+（t- ti）gi+1ti+1- ti[ti，ti+1[（t），其中t，···，t是先验确定的，并且（g，···，gl）是估计的参数。我们看到，第4节给出的股票数据的结果曲线，有一个增加的短程部分，几秒钟后切换到增加模式。一个是g（0）=1，但G在进入递减区之前达到了一个高于单位的点。让我们回忆一下，在一个理想化的无标无求的模型中，阿方西等人。

[4] andGatheral等人[16]表明，为了排除经前综合症和一些市场不稳定性，t G必须在零附近递减和凸出。我们的数据集并非如此。我们将其解释为，交易结束后，新的买卖通常围绕受影响的价格形成。因此，在几秒钟内，限价订单和取消往往会对中间价产生与交易相同的影响。这促使我们区分传播子G（t）及其长程衰减的函数形式，我们称之为弹性，注R（t）。这样，我们就可以允许R（0）≥ 1，并强制要求R减小。然后，我们可以用t=0和t=Ladj之间的简单线性插值将G和R联系起来，Ladj>0表示市场（t）的“调整滞后”=1+（R（Ladj）- 1） 特拉德{t≤Ladj}+R（t）{t>Ladj}。这种选择的优点是，一旦Ladjis fix e d，只需要估计弹性曲线，因为G以R为特征。在此之前，为了用强制递减函数形式估计R，我们将自己放在以下版本的价格模型Pt=Pt中-RW+Xt-RW≤τ<t-拉杰MτR（t）-τ） +Xt-拉杰≤τ ≤TMτ1+（R（Ladj）- 1） t- τLadj+σ（Wt）-Wt-RW）。我们考虑弹性R（t）的两种参数化：o单指数曲线（t）=γ[1]- λ(1 - 经验(-ρt））]，（28）具有三个参数γ，ρ>0，λ∈ [0 , 1]. γ是一个放大系数，ρ是市场的恢复速度，λ是交易价格影响的瞬时部分，而ν=1-λ是永久部分。单指数曲线是[1]的理论模型中考虑的弹性类型多指数曲线（t）=γ“1-pXi=1λi（1- 经验(-ρit）#，（29）是前一个的推广，具有2p+1参数γ，ρ，···，ρp>0，λ，··，λp∈ [0,1]，πλi≤ 1.