基于霍克斯的最优执行模型的扩展与校正

一个人≤ 我≤ p、 λiI——以ρi速度衰减的瞬态冲击比例，且ν=1-Piλi表示永久性冲击的比例。对于这两种参数化，我们用^σ=Vuutnpi=1来估计布朗噪声的波动性σ的后验概率矿井- 圆周率-P0<τ<TMiτG（T）- τ )n×T，（30），其中n是样本的天数，对于i∈ {1，··，n}，pian和Mi分别是第一天的真实价格和中间价格跳跃过程，τ是Mi的跳跃时间。此外，由于（25）和（26）定义的预测模型可以被视为一个连续的时间线性回归，其中解释变量是价格增量- Pt-R和回归系数是过去的价格上涨通过交易，我们可以使用方差分析来评估其交易质量。我们定义了右值asr=1-nPi=1PRW<θ<T[^Piθ- Piθ]nPi=1PRW<θ<Tπθ- πθ-RW-P, （31）我在哪里∈ {1，··，n}，^Pi是第一天的定价过程，以及P=Pni=1#θinXi=1XRW<θ<Tπθ- πθ-RW平均价格在θ之间移动吗- R和θ，其中θ是未执行量的价格变化次数，而#θ是第一天此类价格变化的次数。请注意，由于回归模型（26）中没有常数，因此从理论上讲，R应该是负数，但实际情况并非如此。RCR在不同的估计传播子之间建立了一个有用的比较标准，我们在第4节中使用了它。既然全球实践框架已经确定，就需要确定G的估算方法。这是以下第n.3.3.2节估算协议的目标。我们使用多步估算协议，主要采用（27）中定义的二次误差最小化。当G（t）与其参数成线性关系时，E是二次的，牛顿-拉斐逊算法的一步足以找到最小值（见附录A）。

当参数的相关性是非线性的时，我们首先使用网格最小化为算法找到合适的起始点。作为第一步，我们估计“无约束”传播子曲线。然后，我们使用第3.3.1节中给出的两个参数估计回弹曲线。无约束传播子曲线的估计t通过线性插值^G^G（t）=gl[tl，t[（t）+l估计G-1Xi=0（ti+1- t） gi+（t- ti）gi+1ti+1- ti[ti，ti+1[（t）。对于t，···，tl，先验地，^G相对于（G，···，gl）是线性的。因此，牛顿-拉斐逊方法（见附录a.1）的一步确定了使二次误差E（^G）最小化的参数。为了近似长程传播子，我们选择了一个均匀的网格ti=i/l，在区间[0，0.2]上的l=20。另一方面，为了在曲线的开始处进行缩放，我们将ti集中在接近零的位置。多指数恢复力曲线的估计由于多个ρi的同时估计过于不稳定，我们选择将四个分量与四个简单的特征时间尺度（ρi以反小时表示）相关联：ρ=6（十分钟）、ρ=60（一分钟）、ρ=120（三十秒）和ρ=360（十秒）。然后我们假设向量（ρ，···，ρ）足够丰富，可以在我们的框架中代表所有相关的时间尺度，并且我们关注与每个曲线相关的权重λ，···，λ来描述曲线的衰减。由方程（29）给出的多指数弹性变成sr（t）=ν+Xi=1λiexp(-ρit），其中我们重新参数化ν=γ（1）-Pi=1λi）>0，λi=γλi>0。反过来，一个具有γ=ν+Pi=1λi和λi=λi/γ。由于ρi是固定的，弹性电流R（t）是线性的w.R.t。参数（ν，λ，···，λ）仍有待估计，因此牛顿-拉斐逊算法（见附录A.2）通过单次迭代收敛。然后，我们选择信号ρi，如下所示：1。

第一次估计产生一个“完整”参数（ν，λ，·λ）。一些结果λi可能是非正的，这与模型不兼容。2.当存在i时，λi≤ 0时，我们移除与最小λi相关的ρi，并使用一个较少的参数再次启动算法。3.最终，我们选择了一到四个相关权重λi为正的“重要”ρi，估计过程完成。由于这些步骤中的每一步只需要牛顿-拉夫算法的一次迭代，因此多指数曲线的整个估计协议相当快。因此，为了估计市场调整滞后Ladj，我们可以对一些圆盘网进行多次估计，并比较（31）定义的回归。结果与最大rgives相关，参数γmulti、λmulti和ρmultiforthe多指数弹性，以及调整滞后Ladj。单指数恢复力曲线的估计上述多指数估计可作为以下情况的起点。市场调整滞后Ladjis已经估计，以及相关参数集γmulti、λmulti、ρmultiforth多指数弹性曲线。我们将γ=γmulti，λ=Xiλimulti，ρ=Xiλimultiλρimulti（32）设置为单指数估计的起始参数。与多指数情形一样，我们重新参数化了（28）asR（t）=ν+λexp(-ρt），其中ν=γ（1- λ） >0且λ=γλ>0。然后，我们将按照以下步骤进行1。我们使用Newto n-Raphson算法来最小化整个参数（ν，λ，ρ）的二次误差（p=1指数分量见附录A.2.2）。如果起点是凸的，算法收敛到一个满意的水平，我们直接进入步骤6。否则，我们进入步骤2.2。保持ρ固定在其起始值（32）上，R（t）对ν和λ的依赖性是线性的。

因此，通过牛顿-拉斐逊算法的一步，我们得到了ρ3当前值的ν和λ的最佳值。对于第2步确定的γ=ν+λ，λ初始化为λ/γ和ρ，如（32）所示，我们最小化二次误差（λ，ρ）7→ E（λ，ρ）在起始点附近的局部二维网格上。4.在第3步达到误差网格最小值的一对，再次用作牛顿-拉斐逊算法的起点，以确定当前固定值γ的最佳值（λ，ρ），使用附录a.2.1中的“单位”单指数参数化。我们将（λ，ρ）与ν=γ（1）一起实现到这个最佳值- λ） λ=γλ。参数（ν，λ，ρ）现在位于二次误差r更可能是凸的区域。因此，我们使用牛顿-拉斐逊算法对整个参数进行误差最小化的新起点。6.我们得到了单指数寿命曲线的参数γmono，λmono，ρmono。上述单指数寿命曲线的估计方案可能看起来很复杂：尤其是，它比多指数估计更微妙。原因是我们想通过参数ρ来确定弹性的最重要特征时间尺度。二次误差E对该参数的依赖是非线性的，没有任何东西可以先验地保证牛顿-拉斐逊算法（或者更简单地说是梯度算法）有一个凸起点，这是确保其收敛的必要条件。因此，我们必须更加谨慎地进行，并引入几个中间步骤。3.4霍克斯参数的估计3。4.1框架独立于传播者，我们还估计了第2节中基于霍克斯的模型的参数，用于交易导致的价格上涨。

我们选择自激函数φsandφcto bea ffine，即φs（x）=φs+φsx，φc（x）=φc+φcx。（33）在标准Hawkes框架中，未标记流动顺序中的自激，即只有常数项φs，φcappear In洎sand洎c。尽管结构简单，但有效结构允许我们强调与标准Hawkes基准的偏差，并检测自激函数中增加的部分。正如第3.3.1节所指出的，对于与N跳跃相关的标记，有两种可能的解释。由于每一个跳跃都与交易导致的价格跳跃相关，因此它们都与两个正变量相关：一方面是价格影响，另一方面是交易量。因此，我们估计了霍克斯模型不同版本的三组参数（单位标记、体积标记和价格标记），每个参数对强度跳跃项有不同的实际解释。准确地说，我们用三种可能性φs/c，单位，φs/c，体积+φs/c，体积中的任意一种，在（9）和（10）的跳跃时间t处替换φs/c（dN±t）|Vt |/m，φs/c，价格+φs/c，价格|Mt |/m，（34）其中mis是平均执行量，m是平均价格。3.4.2模型霍克斯部分的估计原色估计协议如下：我们首先估计单指数霍克斯模型K（u）=exp(-βu），这使我们能够根据自激和交叉激励来估计Hawkes nor m及其重复性，并为跳跃选择最佳标记类型。然后估计多指数霍克斯模型K（u）=Ppi=1wiexp(-βi是先验的。单指数核函数我们考虑方程（2）的单指数霍克斯模型，其中霍克斯衰减核函数K（u）=exp(-βu），β>0。

我们首先关注总强度∑t=κ+t+κ的参数-tbyaggre将所有因交易而导致的价格上涨，无论其迹象如何。在单指数情形下，onehasd∑t=-β∑t- 2κ∞) dt+ιdJt，其中ι是平均激励，因此J的跳跃平均为1。我们使用广义矩法（GMM）来估计β，κ∞以及ι。我们将长度为T=2小时的时间窗口[0，T]除以长度为h=1/360（即10秒）的720个箱子。然后，我们计算这个数字■由于时间仓位中的交易，Jilof价格上涨[（l）- 1） h，lh]，l∈ {1, ··· , T/h} 在我∈ {1，··，n}，每一次和每一天。如果l是行索引，i是列索引，我们得到T/h ×n矩阵，其中心为正数~Jil。我们也不会通过将每列除以其平均值并将整个矩阵乘以原始全局平均值来对该数据集进行恶意化，从而使全局平均值保持不变，且每列具有相同的测量值。我们首先计算经验平均值离散过程的J和方差V~J~J=n×T/hnXi=1T/hXl=1~Jil，V=n×T/h- 1nXi=1T/hXl=1h~Jil-~Ji。用公式2κ=~J/h.此外，经验自相关函数~J是由K∈ {1，··，kmax}，bC（k）=V×n×(T/h - （k）nXi=1T/hXl=k+1~Jil~Jil-K-~J, （35）其中kmax=36是最大滞后（因此最大范围kmax=0.1等于六分钟）。利用Da Fonseca和Zaatour[12]对单指数Hawkes过程的结果，我们得到了BC（k）decaysas exp(-(β -ι） k）。

因此，经验曲线B（k）的指数函数得出d:=β的估计值-ι.然后，我们也从[12]V=2κ得到βhd+1.-βd1.- 经验(-dh）d.如果我们注意到zh=（1），这个关系可以颠倒，从而得到β的估计值- 经验(-dh））/d，我们认为tβ=dsV/（2κ）- zhh- zh。那么，ι=β- d和κ∞= (1 - ι/β）κ可以从上述方程推导出来。我们还得到了单指数分支比率=ι/β。保留β、ι和κ∞固定这些GMM估计，我们现在转向二维强度模型（2）。我们在一维网格上使用最大似然估计（见附录B）来确定ELFS和交叉激励参数：1。我们确定u的比例∈ [0，1]这样的tιs=uι，ιc=（1）- u） ι最大化二维强度的可能性（κ+，κ-), 式中，ι和ι分别表示平均自激和交叉激励参数。2.对于批量标记和价格标记，我们分别确定我们的比例∈ [0，1]使得φs=usιs，φs=（1-us）ιs最大化（κ+，κ）的可能性-), 式中φs，φ在等式（33）中定义。同样，我们确定了φc=ucιc，φc=（1）的最佳方案-uc）ιc。对于ι和ιc固定，我们获得了两种可能的标记类型的自激和交叉激励的最佳常数和线性部分。3、然后比较三种模型的可能性，以确定哪种单位/数量/价格标记产生最佳模型。最后，我们得到了所有参数βmono，κ的估计∞mono指数Hawkes模型的mono，φsmono，φsmono，φcmono，φcmono，以及最佳的分数类型。多指数核我们转向多指数霍克斯模型K（u）=Ppi=1wiexp(-βiu）。与第3.3.2节中的多指数弹性估计一样，我们将四个βi与四个简单的特征时间尺度相关联。

事实上，我们选择了与弹性相同的时间尺度：β=6、β=60、β=12 0和β=3 60。然后，我们校准与每个βi相关的wi，这些权重调整霍克斯核的形状。单指数估计的结果用于选择市场类型（单位、数量或价格），并获得κ的起点∞, φs，φs，φc，φc和分支比br。选择的wi’的起始点是均匀分布的wi=brmonoi=11/4βi×，具有与初始分支比匹配的刻度。然后，我们在参数（κ）上最大化模型的可能性∞, w、 w，w，w）使用牛顿-拉斐逊算法，如附录B所述。我们使用与第3.3.2节中的多指数弹性估计相同的选择方法：如果至少有一个wi为非正，我们删除与最小wi相关的βi，并再次启动算法，只需少一个参数。最后，我们将（φs，φs，φc，φc）乘以剩余wi的sum，并将后者缩放为1。在不改变整体模型的情况下，对霍克斯衰变核鹿施加K（0）=1。我们得到了参数βmulti，wmulti，κ∞multi，φsmulti，φsmulti，φcmulti，φcmulti用于多指数霍克斯模型。4校准结果4。1结果说明本节专门介绍我们的校准结果。第3节的c校准方法首先应用于模拟数据以测试其有效性，然后应用于法国股票的实际财务数据。我们还提供了一些定性评论。对于每个模拟数据集和每个股票，结果汇总在表格中，再加上法国巴黎银行的一些gra phs。这些表格的内容解释如下。调整滞后表：该表给出了多指数弹性曲线的回归r\'s，即市场调整滞后Ladj的几个值。

它用于选择Ladjon a离散网格的最佳值。弹性表：弹性表给出传播因子的估计结果。我们给出了两种回弹曲线的选定调整滞后ladjan和估计参数ermono（t）=γmono[1]- λmono（1）- 经验(-ρmonot]），Rmulti（t）=γmultih1-Xλjmulti（1）- 经验(-ρjmulti）i，以及噪声和回归r的估计波动率σ，分别由方程（30）和（31）确定。标记表：在这个表中，我们给出了每点Lunit，Lvol的最大对数概率。在单指数霍克斯模型中，每一个马克的价格（单位、数量和价格跳跃）。它可以作为最佳标记类型的选择标准。强度表：该表给出了第2.1节所述霍克斯模型的估计参数，即单指数衰变核K（u）=exp(-βu）和多指数函数K（u）=Ppi=1wiexp(-βiu）。我们还给出了每点lmono和Lmulti的最大对数概率，可以相互比较或在数据集之间进行比较，以量化霍克斯模型的质量。最后，我们给出了由方程（19）定义的分支比BR和方向分支比DBR，它们是通过多指数参数化得到的。4.2模拟数据我们首先在表2和表3中给出了使用pricemodel（4）模拟的两个数据集的校准结果。在每个表格中，第一列给出了“真实”的模拟参数，第二列给出了估计的参数。这两个数据集都由两个小时内150个独立的价格过程实现组成，我们选择与股票数据更接近的模拟参数，以获得相关的分数。

请注意，模拟1具有非零布朗波动性，而模拟2由“纯”传播子模型生成，无噪声。西木年。卡利布。Ladj（第4节）4γ倍数2。70 2.35ρmulti60/360 6/60/360λmulti0。50/0.10 0.13/0.35/0.11ν0。40 0.41σ倍数0。1000 0.1917rmulti- 9.554%γ单体- 2.38ρmono- 68.2λ单声道- 0.55σmono- 0.1923RMNO- 9.519%的年Simu。卡利布。标记类型体积βmulti60/360 60/360wmulti0。100/0.900 0.102/0.898κ∞15。0.15.2φ110。5/19.5 1 09.8/20.9φcmulti66。5/3.5 59.7/9.7L多重- 3.1659β单体- 153.0κ∞单声道- 16.6.斯莫诺- 68.7/1 3.1φcmono- 37.4/6.1LMO- 3.1560BR 0.833 0.839DBR 0.250 0.257表2：模拟1的弹性（左）和强度（右）校准。对于φ，第一项是常数项，第二项是线性项。西木年。卡利布。Ladj（第二节）2γ多重- 3.05ρ- 6/120λ多重- 0.0005/0.6850νmulti- 0.31σ多- 0.0055rmulti- 96.92%γ-mono3。203.06ρmono130121.3λmono0。70 0.69σ0。0000 0.0055RMNO- 96.92%的患者为老年人。卡利布。标记类型体积βmulti120/360 6/120/36 0wmulti0。050/0.950 0.0007/0.0505/0.9488κ∞40岁。0.39.1φ84。0/36.0 72.8/40.9φcmulti45。0/5.0 47.4/7.7L多重- 2.7218β单体- 82.2κ∞单声道- 19.3.斯莫诺- 27.3/15.4φcmono- 17.8/2.9Lmono- 2.6740BR 0.519 0.535DBR 0.214 0.186表3：模拟2的弹性（左）和强度（右）校准。对于φ，第一项是常数项，第二项是线性项。总的来说，估计的准确性令人满意。估计的霍克斯参数与实际参数非常接近，尽管维数很高。重要的是，分支比和定向分支比都是精确确定的，在我们的实验中精度在±0.03以内。关于传播子，模拟1的结果更嘈杂，这并不奇怪，因为它包含一些布朗噪声。