基于霍克斯的最优执行模型的扩展与校正

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英文标题：
《Extension and calibration of a Hawkes-based optimal execution model》
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作者：
Aur\\\'elien Alfonsi and Pierre Blanc
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We provide some theoretical extensions and a calibration protocol for our former dynamic optimal execution model. The Hawkes parameters and the propagator are estimated independently on financial data from stocks of the CAC40. Interestingly, the propagator exhibits a smoothly decaying form with one or two dominant time scales, but only so after a few seconds that the market needs to adjust after a large trade. Motivated by our estimation results, we derive the optimal execution strategy for a multi-exponential Hawkes kernel and backtest it on the data for round trips. We find that the strategy is profitable on average when trading at the midprice, which is in accordance with violated martingale conditions. However, in most cases, these profits vanish when we take bid-ask costs into account.
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中文摘要：
我们为我们以前的动态最优执行模型提供了一些理论扩展和校准协议。霍克斯参数和传播子是根据CAC40股票的财务数据独立估计的。有趣的是，传播者表现出一种平稳衰减的形式，有一个或两个主要的时间尺度，但只有在几秒钟后，市场才需要在大规模交易后进行调整。基于我们的估计结果，我们推导了多指数Hawkes核的最优执行策略，并在往返数据上进行了回溯测试。我们发现，当在中间价交易时，该策略平均是有利可图的，这与违反鞅条件是一致的。然而，在大多数情况下，当我们考虑到买卖成本时，这些利润就消失了。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Extension_and_calibration_of_a_Hawkes-based_optimal_execution_model.pdf (505.83 KB)

2022-5-8 11:15:55 上传

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关键词：Quantitative calibration On Strategy Theoretical Independent

基于霍克斯的最优执行模型的扩展和校准*2015年6月30日摘要我们为之前的动态执行模型提供了一些理论扩展和校准协议。霍克斯参数和传播因子是根据CAC40股票的财务数据独立估计的。有趣的是，传播者呈现出一种平稳衰减的形式，有一个或两个主要的时间尺度，但只有在几秒钟后，市场才需要在大规模交易后进行调整。基于我们的估计结果，我们推导了多指数H-awkes核的最优执行策略，并在往返数据上进行了回溯测试。我们发现，当以中间价交易时，该策略平均是可预测的，这符合违反的鞅条件。然而，在大多数情况下，当我们将买卖成本考虑在内时，这些利润就会消失。关键词：校准、霍克斯过程、回溯测试、市场影响模型、最优执行、市场微观结构、高频交易、价格操纵。AMS（2010）：91G99、91B24、91B26、60G55、49J15。1简介在过去的五年里，定量金融方面的文献因许多关于执行问题的研究而丰富。其原理如下：考虑一个特定的交易者，他想在时间间隔[0，T]上清算资产的数量。因此，如果XT是时间t的位置，那么X=X且XT+=0:X>0（相应X<0）对应于卖出（相应买入）程序。交易者使用最小预期成本的执行策略，这应该考虑到大型交易对市场价格有影响的事实。

Bertsimas和Lo[8]以及Almgren和Chriss[5]的作品是这一领域的先驱。随后，几位作者提出了对其框架的扩展，如Obizhaeva和Wang[24]，他们考虑了一个包含瞬时价格影响的模型。这一特征允许复制日内价格中观察到的mea n回归。平均而言，当大宗交易影响市场价格时，这种影响的一小部分会随着时间的推移而消失。在阿方西和布兰科[1]中，我们引入了一个模型，其他流动性接受者将同一资产作为largetrader进行交易，并与她分享相同的价格影响。在该模型中，传入交易量由cádlág（rig ht continuous le ft limits）纯跳跃过程Nt描述，市场价格Ptat时间由pt=Xτ<t给出Nτ×νq+1- νqe-ρ（t）-τ ), (1)*巴黎东部大学，CERMICS，Projet MATHRISK ENPC-INRIA-UMLV，布莱斯帕斯卡大道6号和8号，法国塞德克斯2号马恩拉瓦莱77455号，电子邮件：alfonsi@cermics.enpc.fr, blancp@cermics.enpc.fr.P.Blanc感谢Natixis基金会授予他的博士学位。这项研究还得益于“Risque主席金融家”Risque基金会的支持。其中，时间τ是过程N的跳跃时间，且Nτ=Nτ- Nτ-是时间τ时的有序体的符号体积。因此，q>0是衡量市场流动性的一个指标，ν∈ [0,1]永久影响的比例，ρ>0表示价格瞬时部分的恢复速度。在[1]中，订单流由二维霍克斯过程建模，该过程允许买卖订单之间的自我激励和相互激励。该模型的一个有趣的特点是，它解释了羊群行为和元秩序的分裂，见Bacryand Muzy[7]。也就是说，让N+和N-这是两个不减损的cádlág纯跳跃过程，分别描述了传入买卖订单的数量。

我们有N=N+- N-, 我们在[1]中提出了N±κ+t=κ的跳跃强度的以下模型∞+Xτ<t{Nτ>0}~nsNτm+{Nτ<0}~nc-NτmE-β（t-τ ), (2)κ-t=κ∞+Xτ<t{Nτ<0}~ns-Nτm+{Nτ>0}~ncNτmE-β（t-τ），（3）其中κ∞≥ 0是N+和N+的共同基线强度-, β是强度的回弹速度，φs，φc:R+→ R+是编码强度反馈的可测量正函数。我们假设阶数是根据平方可积概率定律uonR+分布的独立变量，m=R∞xu（dx）是N跳跃的平均振幅。该价格模型称为MIH，即混合冲击霍克斯。在该模型中，我们为最优清算策略提供了一个封闭形式的解决方案，并确定了一组条件，这些条件包括从模型中排除价格操纵策略（如[20]所述）。这些被称为MIHM（混合冲击霍克斯-马尔廷格尔）条件。[1]中介绍的框架的一个好处是，可以根据财务数据校准模型，而无需进行有效交易（这可能会很昂贵）。人们只需观察市场的指令流和价格过程，并估计其他参与者发布的交易的价格影响，预计这与清算交易者将产生的影响类似。本文的目的是对真实股票数据进行这种校准。这使我们能够评估[1]的理论定价模型的现实性，以及最佳策略在实际环境中的性能。由于我们的主要目标是面对市场数据的模型，我们在模拟上测试我们的校准协议的有效性，并将其数学调整留待进一步研究。许多研究在不同的背景下对霍克斯参数的估计进行了探索（例如，见Bacryet等人。

[6] ，Bouchaud和Hardiman[17]，Reynaud Bouret[26]，Lemonnier和Vayatis[23]）。本文重点介绍了用于模拟金融市场交易引发的价格上涨的标记霍克斯过程，在金融市场中，价格上涨的标记是交易量或价格上涨。与金融中的莫斯-萨维奇模型不同，与交易不对应的价格变动通过传播函数单独处理。传播者价格模型在Gathereal[15]、Alfonsi等人[4]和Gathereal等人[16]、Bouchaud等人[9]和Farmer等人[14]等理论框架中得到了广泛研究。然而，就我们所知，很少有实证研究描述了传播曲线的形式，或者只是渐进的。在这里，我们建议传播子使用Timation协议，并讨论指数和多指数衰减的性质。我们还描述了曲线在第一秒的行为，发现曲线的比例在增加。论文结构如下。首先，我们在第2节中介绍了模型。它将[1]中考虑的方法扩展到了一般的衰变核，同时保留了它的大部分性质。然后，在第3节中，我们描述了我们的数据集和校准方法。特别是，我们将解释如何根据实际考虑稍微修改原始模型。第4节通过模拟验证了我们的校准程序，并讨论了真实股票数据的校准结果。最后，我们在第5节中测试了第2节中描述的最优执行策略的相关性，并讨论了它是否可能构成价格操纵策略，即。

平均而言，往返旅行是一种可重复使用的旅行。2模型设置鉴于[1]对市场数据的估计，我们通过添加更多参数使模型更具一般性。首先，即使将价格视为过去交易的纯粹结果是有吸引力的，等式（1）可能过于严格，应该增加一些噪音。此外，我们知道，在价格过程中加入鞅不会改变模型的主要结果，见[1]中的备注2.6。第二，我们选择价格和强度的概率为指数，我们可以考虑一个先验的更一般的衰减函数。因此，我们考虑以下价格传播子模型：Pt=qXτ<tNτG（t）- τ） +σWt.（4）过程W是一个独立于N的布朗运动，它考虑了极限阶和对消中的非确定性噪声。参数σ>0调整了该噪声的波动性。函数G:R+7→ R是市场的传播函数，它对两个市场指令之间价格的平均演变进行编码，通过限价指令和取消形成。与之前一样，q>0描述了市场流动性，并允许将G正常化，使G（0）=1。传播子模型与Alfonsi等人[4]和Gatheral等人[16]所考虑的模型相同，并进行了推广（1）。例如，Bouchaud等人[9]和Gathereal[15]都考虑过类似的模型。同样地，我们考虑了广义衰变函数K:R+7→ R+表示N+和N+的强度-. Na mely，我们假设N+和N的跃迁强度-分别由κ+t=κ给出∞+Xτ<t{Nτ>0}~nsNτm+{Nτ<0}~nc-NτmK（t）- τ ), (5)κ-t=κ∞+Xτ<t{Nτ<0}~ns-Nτm+{Nτ>0}~ncNτmK（t）- τ ).K（0）=1。

我们还引入了平均自激和平均交叉激∞ιs（v/m）u（dv）和ιc=Z∞νc（v/m）u（dv）。因此，在[1]中提出的模型与指数衰减函数G（t）=e对应-ρtandK（t）=e-βt.通过估计续集中的更多一般函数G（t）和K（t），我们能够评估指数衰减假设的相关性。2.1从建模的角度来看，考虑一般衰变核的模型的马尔可夫规范是非常自然的。不幸的是，它通常倾向于放弃价格过程的马尔可夫性，这在最优执行的环境中很重要。尽管如此，对于完全单调的衰变核，仍然有可能以价格获得马尔可夫动力学。Alfonsi和Schied[3]已经对价格传播者模型进行了研究。考虑到完全单调的核，就等于在R上存在概率测度∧（dρ）和∧w（dρ）*+这样g（t）=ν+（1- ν） ZR+e-ρtλ（dρ），K（t）=ZR+e-ρt~w（dρ）。（6） 这里，为了简单起见，我们考虑具有有限支持的概率度量。然后，我们可以假设g（u）=ν+pXi=1λiexp，没有普遍性(-ρiu），K（u）=pXi=1wiexp(-ρiu），（7）注意G和K可能仍然包括不同的衰减速度：只需包括ρi中的所有速度，并在必要时设置一些权重λi，其中为零。0<ρ<·ρp，ν，λi，wi≥ 0，使得ν+Ppi=1λi=1，Ppi=1wi=1。因为我∈ {1，…，p}，我们介绍以下过程Ddit=- ρiDitdt+λiqdNt，（8）dκ+t（i）=-ρi（κ+t（i）- κ∞/p） dt+wi[~ns（dN+t/m）+~nc（dN-t/m）]，（9）dκ-t（i）=-ρi（κ）-t（i）- κ∞/p） dt+wi[~nc（dN+t/m）+~ns（dN-t/m）]。（10） 我们还定义了描述价格中的风险影响部分的过程dSt=νqdnt。

然后，很容易从（7）、（4）和（5）中检查pt=St+pXi=1Dit+σWt，κ±t=pXi=1κ±t（i）、（11），并且过程（P，S，Di，κ±i））满足马尔可夫性质。备注2.1。在一般设置（4）和（5）中，我们隐式地假设平稳性条件（ιs+ιc）R∞满足K（s）ds<1，G可积，因此可以很好地定义和。自（Pt，St，Dit，κ±t（i）法）以来，在马尔可夫案中不再需要这一点；T≥ 0）由初始条件（P，S，Di，κ±（i））决定。在特殊情况下，对于所有i，Di=0，只有在这种情况下，我们才有Pt=P+qP0<τ<tNτG（t）- τ）+σWt。因此，如果| Di |[G（t）- G(∞)] << 尽管如此∈ {1，··，p}和所有t≥ t、 然后是近似值≈ P+qP0<τ<tNτG（t）- τ） +σwtt对于t是合理的≥ t、 除了马尔可夫性质，特殊的形式（7）使我们能够明确地计算跳跃次数的自协方差函数，正如霍克斯在[19]第3节中所解释的那样。这种自协方差结构具有经验性，并作为我们校准程序的起点，参见第3.4节。总强度∑t=κ+t+κ-动力学∑t=2κ∞+ ιZt-∞K（t）- s） dJs，其中ι=ιs+ιcis为∑t的平均跳跃大小，dJt=[（ιs+ιc）（dN+t/m）+（ιs+ιc）（dN-t/m）]/ι的跳跃已正常化为统一。我们假设平稳性条件ιR∞K（s）ds<1成立，见[10]中的定理1，强度过程（κ+t，κ-t） 处于静止状态。我们考虑了J的微小增量的对称自协方差函数C。它定义为τ>0×C（τ）=limh→0+hE[（Jt+h- Jt）（Jt）-τ+h- Jt-τ)] - 4κ=limh→0+hE，∑t（Jt-τ+h- Jt-τ)] - 4κ，（12）其中κ=κ∞/(1 - ι/β）是κ+和κ的共同平稳平均值-. 正如在[19]中推导的，我们得到了关于C的自洽方程：对于τ>0，C（τ）=2κιK（τ）+ιZτ-∞K（τ）- u） C（u）du。（13） 提议2.1。让我们假设K满足w。

，wp>0且平稳性条件ιPpi=1wiρi<1。然后，自协方差函数由c（τ）=pXj=1ajexp给出(-bj |τ|）。τ ∈ R*. （14） 系数a，···，Ap和b，···，Bp是正的，确定如下：b<···<Bp是多项式函数P（X）=Qpi=1（ρi）的区别- 十）- ιPpi=1wiQk6=i（ρk- 十） 和（ab，··，apbp）=κB-1(1, ··· , 1), 其中B是柯西矩阵Bi，j=ρi-北京。证据然后，方程（13）得出τ>0pXj=1aExp的结果(-bjτ）=2ιpXi=1wiκ -pXj=1ajbj（ρi+bj）（ρi）- （北京）经验(-ρiτ）+ιpXj=1aj“pXi=1wiρi- 北京#经验(-bjτ）。因此，（13）如果我们有j、 ι“pXi=1wiρi- bj#=1，i、 pXj=1ajbjρi- bj=κ。第一个方程式给出了精确的P（bj）=0。因为P（0）>0来自平稳性条件和P（ρl）=-ιwlQk6=l（ρk- ρl）的符号与(-1） 通过中值定理，我们得到了0<b<ρ<b<ρ<···<ρp-1<bp<ρp。这些系数是不同的，因此柯西矩阵B是不可测的。设v=B-1(1, ··· , 1): Vi是B的第i行s um-1.根据[27]中的定理2，vi=-A（bi）/B′（bi），其中A（x）=Qi（x）- ρi），B（x）=Qi（x）- bi）。这使得vi>0，因此ai>0。最后，很容易检查（14）是否满足（13）的唯一函数。在单指数情况下，p=1，命题2.1给出了ι=ρ- b、 ab=（ρ+b）（ρ- b） κ，其中yieldsC（τ）=ι（2ρ- ι)2ρ×2κ∞(1 - ι/ρ）×exp(-(ρ - ι） |τ|），正如霍克斯在[19]中发现的那样。2.2交易策略和广义无套利条件我们现在在我们的模型中规定了交易规则。我们用（Ft）表示该过程产生的自然过滤（P，S，Di，κ±（i））。如[1]中所述，我们考虑了一个名为“战略交易员”的特定交易员，并用XT表示她在t时持有的资产数量。我们假设战略X是（Ft）适应的，cáglád，平方可积且有界变化。

cáglád（左c连续-右限制）假设意味着战略交易者能够立即对交易流做出反应。为了简单易懂，我们假设战略交易者的交易与其他交易一样影响价格，但不改变订单流量。更准确地说，我们现在假设dst=νq（dNt+dXt），dDit=- ρiDitdt+λiq（dNt+dXt），但强度κ+t（i）和κ-t（i）仍然如（9）和（10）所定义。价格以及强度κ+和κ-tof买卖订单仍由（11）定义。最后是交易成本Xt=Xt+- 假定Xtat timet由Pt+Pt给出+Xt=PtXt+2q(Xt）。这就产生了[0，T]上清算策略X的以下成本（即XT+=0）C（X）=Z[0，T）PudXu+2qXτ∈DX∩[0，T）(Xτ）- PTXT+2qXT，（15），其中dx是X的（可数）不连续集。在考虑高频交易时，标准方法是将套利定义为能够平均赚钱的策略，没有特定的外溢信号。粗略地说，人们可能会认为，通过使用这种策略，一个人可以获得一种经典的几乎确定的套利。因此，Huber man和Stanzl在[20]中提出了价格操纵策略的以下定义：这是一种策略X，使得X=XT+=0，E[C（X）]<0。定理2.1。当且仅当任意t的Xt=0时，Ptis a（Ft）-鞅，该模型排除价格操纵策略。在这种情况下，最优策略是阿方西和希伊德[3]中定理2（另见第1.3节）给出的策略。此外，根据订单（9）、（10）和（11）的规定，流量N=N+-N-, 当且仅当：，我∈ {1, . . .