基于霍克斯的最优执行模型的扩展与校正

尽管如此，瞬态冲击的比例几乎是准确的，主要的时间尺度是确定的。模拟2是用一个mo no指数传播器生成的，弹性速度ρmonoiss被略微低估；然而，这个参数不如λ稳定，我们认为bta的精度是合理的。在第二种情况下，我们发现的波动率和回归值分别非常接近于0%和100%。4.3法国巴黎银行表4、5和6以及图1、2和3显示了我们对2012年2月至2013年9月期间法国巴黎银行股票的估计结果。Ladj（sec）0 2 4 6rmulti（2012）24.572%24.675%24.677%24.672%rmulti（2013）10.607%10.674%10.668%10.649%表4：对法国巴黎银行的多指数弹性曲线进行了重新评估，评估结果为几次市场调整滞后Ladj=0,2,4,6秒。马克类型单位成交量价格跳跃LMONO（2012）2.6804 2.6826 2.6791Lmono（2013）2.5772 2.5794 2.5750表5：法国巴黎银行股票的单指数霍克斯模型的每点对数可能性，针对几种类型的标记进行评估：单位、成交量和价格跳跃（见等式（34））。2012年2013Ladj（sec）4 2。69 2.99ρmulti60 60/360λmulti0。61 0.30/0.53ν0。39 0.17σ0。22530.2153rmulti24。677%10.674%γ-mono2。70 2.56ρmono60。8116.5λmono0。620.80σmono0。22530.2153rmono24。2012年678%10.688%2013年市场类型交易量βmulti6/360 6/360WMULIT0。010/0.990 0.011/0.989κ∞15。1 12.1φsmulti112。8/18.4 115.4/15.7φcmulti50。4/2.1 46.4/0.9Lmulti2。7720 2.6708β-73。0 114.1κ∞13。9 14.0φsmono38。3/6.2 58.5/8.0φcmono17。1/0.7 23.5/0.5Lmono2。6826 2.5794BR 0.820 0.810DBR 0.351 0.380表6:2012年9月1日至2013年9月1日上午11点至下午1点期间法国巴黎银行股票弹性（左）和强度（右）的校准。

对于φ，第一个是常数项，第二个是线性项。让我们首先看看传播者的估计结果。表4和图2显示，第3.3.1节中定义的调整滞后是正的，因此传播因子在接近零的位置增加。估计结果为Ladj=4秒。2012年，Ladj=2秒。2013年，图2（a）中增加的部分持续时间比图2（b）中更长。表6中给出的参数γ调整了propa gator在增加阶段结束时达到的最大值。我们发现结果介于2和3之间。这意味着，平均而言，在大宗交易之后，不仅出价接近受影响的价格（这将产生γ）≈ 2） ，但新的最佳排队的取消也将价格推向与交易相同的方向。在其短增量部分之后，传播器切换到表6和图1所示的恢复模式。无约束弹性曲线非常平滑，从图1可以看出，它变得更加精确，让我们考虑一个购买订单，它增加了一个勾号的要求。然后，中间价跳了半个基点。如果出价很快跟随ask并增加一个滴答声，这将再次向上移动半滴答声的中间，这将给出γ=2.0 2 4 6 8 100.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0滞后（min）弹性曲线（a）20120 2 4 6 8 100.0 0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 3滞后（min）弹性曲线（b）2013图1:BNP Paribas的估计传播者。平面线是无约束传播子，（蓝色）虚线是单指数弹性曲线，（绿色）点线是多指数弹性曲线。对永久性影响的非零比例(≈ 2012年和2012年为40%≈ 2013年为20%）。

此外，表6中给出的结果表明，在该数据集上，恢复力的mo no指数效应良好。对于2012年，在多指数估计中仅选择SP eedρ=60（即一分钟的特征时间尺度）。另一方面，2013年，有两种选定的速度（对应于1分10秒），但ρmono=116.5（约30秒）的单指数函数产生了更高的回归r。这些主要特征时间尺度促使使用第2.3节中考虑的优化策略的特定情况。现在我们重点讨论霍克斯参数的估计结果。表5对体积标记的选择进行了调整：事实上，与单位标记和价格标记相比，它们每点产生的可能性更高。单位标记是霍克斯流程的基准模型，但它们无法再现大订单引发市场更多活动的事实。实际上，我们在表6中看到，自激参数φ和交叉激振参数φchave是不可忽略的线性部分（10- 自励15%，自励2%- 5%用于交叉激励）。至于价格标记，我们认为它们提供的信息比数量标记多，因为价格跳跃集中在几个值上（大多数情况下是一个或两个刻度），而数量的分布则更宽。霍克斯参数似乎相当稳定，尤其是在多指数情况下，2012年和2013年的估计结果非常相似。为强度选择了两种衰减速度，它们是两种极端的：长程β=6（10分钟）和短程eβ=360（10秒）。每个时间尺度β的重要性可以通过它所占的范数的比例来衡量，给定nbywi/βiPjwj/βj。这里，长程分量β=6表示≈ 正常值的40%，剩下的60%为短程1β=360。

因此，衰减速度很重要，这也反映在从单指数模型的对数似然每点到多指数模型的对数似然每点显著增加上。可以推断，与传播子相反，霍克斯核至少包含两个指数分量。图3给出了数据、单指数霍克斯模型和多重0 5 10 15 200.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0滞后（秒）缩放传播者（a）20120 5 10 15 200.0 0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0滞后（秒）缩放传播者（b）2013图2:BNP Paribas传播者曲线前20秒的Zoo m。平面线是无约束曲线，（蓝色）虚线是无指数曲线，（绿色）点虚线是多指数曲线。在恢复力效应开始之前的几秒钟内，传播速度不断增加。通过事件数量的自相关指数。经验自相关函数bc（k）的公式由等式（35）给出。利用方程（12）和（14），我们得到，如果h>0为小且τ>0，则bC（τ/h）近似于总强度过程∑t的自相关函数C（τ）/C（0）。对于多指数Hawkes核，一个hasbC（τ/h）≈C（τ）C（0）=pXj=1ajPkakexp(-bj |τ|），其中系数a，···，ap，b，···，bp>0由命题2.1确定。从图3可以看出，mo-no-expo指数模型很好地拟合了曲线的末端，但其初始衰减太慢。另一方面，多指数模型确实显示了两种衰减速度之间的过渡，并且更好地捕捉了曲线的短程行为。

尽管如此，该函数的精度仍不太令人满意，而且自相关函数形式似乎比多指数函数形式更微妙。最后，我们将校准结果与第2.2节中因模型中没有价格操纵策略而得出的条件相比较。用方程式（16）来确定我们的参数集与平衡的偏差在实践中是复杂的。另一方面，方程式（18）给出了一个更简单的标准：方向分支比DBR和比例1-瞬时冲击的ν应相等，以排除PMS。这里，标准分支比率BR≈ 80%是高的，但定向分支比率DBR≈ 4 0%相当低，这是由于订单流中不可忽略的交叉激励部分。这意味着平衡条件是从1开始的-ν ≈ 2012年和2012年为60%-ν ≈ 2013年为80%。从1-在这两种情况下，我们发现价格过程平均而言是均值回复，而不是差异。这将导致PMS在实践中的存在，这是第5.4.4节总计的目标。表7、8和9给出了我们对2012年1月至9月和2013年1月至9月期间法国股票总计的估计结果。结果的定性解释与第4.3节类似。然而，我们应该注意以下几点。2事件数的0.5 1.0 2.0 5.00.01 0.02 0.05 0.10 0.20滞后（分钟）AC函数（a）20120.2 0.5 1.0 2.0 5.00.01 0.02 0.05 0.10 0.20滞后（分钟）AC事件数的函数（b）2013图3:BNP Paribas在对数标度内由交易（平线）触发的中点移动数的自动关联函数。

（蓝色）虚线是由mono-e xponentialHawkes模型生成的自相关，（绿色）点虚线是由多指数Hawkes模型生成的。Ladj（sec）0 2 4 6rmulti（2012）23.093%23.166%23.137%23.108%rmulti（2013）11.604%11.613%11.608%11.606%表7：多指数弹性曲线的回归，针对多个市场调整进行评估总存量的Ladj=0,2,4,6秒。表9中可观察到的点。首先，我们注意到，单指数传播子和多指数传播子之间没有显著差异。在这里，与法国巴黎银行的情况相反，在两个时间尺度下，情况稍好一些。第二，分支比率BR≈ 60%和定向分支比DBR≈ 总的来说，30%的比例较小，而1- 瞬时影响（2012年为84%，2013年为92%）更高，这意味着价格具有更强的均值回归趋势。马克类型单位数量价格跳跃LMONO（2012）2.2981 2.3034 2.2965Lmono（2013）2.2065 2.2127 2.2063表8：单指数霍克斯模型的每点对数可能性，针对几种类型的市场进行评估：单位、数量和价格跳跃（见等式。

（34）），用于股票总额。2012年2013Ladj（sec）2。72 2.21ρmulti60/360 6/120/360λmulti0。29/0.55 0.004/0.651/0.268ν0。16 0.08σ倍数0。1400 0.1124rmulti23。166%11.613%γ-3。842.65ρ187。2191.3λmono0。840.93σmono0。1399 0.1123rmono23。132%2012年11.586%2013年市场类型交易量βmulti120/360 6/60/360WMULIT0。052/0.948 0.010/0.035/0.955κ∞多重21。0.9.7φ98。7/21.7 84.5/18.5φcmulti44。3/3.9 36.5/0.7L倍数2。3801 2.2842β-93。0 109.1κ∞mono9。2.9.0φsmono43。5/9.6 47.4/10.4φcmono19。5/1.7 20.4/0.4Lmono2。3034 2.2127BR 0.517 0.688DBR 0.222 0.323表9：2012年1月至9月至2013年1月至9月期间，上午11点至下午1点，库存总量的恢复力（左）和强度（右）校准。对于φ，第一项为常数项，第二项为线性项。5.对一些价格操纵策略的测试在本节中，我们将[1]和定理2.2中导出的最优策略应用于我们的数据集，并使用我们的校准协议获得的参数。基本上，我们每天都以零初始和最终位置运行策略。如果模型是相关的，那么平均而言，这应该会带来一些好处。此回溯测试用于实际评估我们的校准结果和模型本身。5.1最优策略的缩放和离散化最简单、最自然的方法是使用最优策略（23），即考虑[0，t]的离散子集Θ（可能由停止时间组成），并为每个时间t进行交易∈ Θ量ξst，T=-[1+ρ（T）-t） [qsDt+Xt2+ρ（t）- t） +m2ρ×(1, ··· , 1) .Ip+ρ（T）-t） 2+ρ（t）-t） ×[ζ（（t- t） H）+νρ（t）- t） ω（（t）- t） H）]. sδt, （36）如果s=1，则（23）在t+中保持不变。

这里，δt=κ+t（i）- κ-t（i）iI强度不平衡的矢量，并使用以下公式计算D dt=Xτ≤TMτ[G（t）]- τ) - G(∞)].为了调整战略的杠杆作用及其在市场上的离散性，我们引入了一个比例因子s∈ [0,1]乘以δtand Dt。通过这样做，我们将整个战略与标准d Obizhaeva和Wang[24]清算方案的偏差乘以s。后者是静态的，因为它假设观察到的价格过程总是鞅。因此，极限s=0对应于静态策略，而s=1是定理2.2给出的最佳策略，在标准市场条件下可能非常激进。事实上，使用s=1的最优策略可能会导致买卖数量超过第一个队列的s ize，这是不现实的。5.2方法为了在实践中对策略进行回溯测试，我们在观察中间价变动时选择更新我们的头寸。让我们定义Θ={θ∈ (RW，T），θ- τ（θ）>Ladj}，其中θ对应于由于取消和被动限价指令而导致的价格上涨的时间，τ（θ）是由于θ之前的交易而导致的最后一次价格上涨的时间，RW是第3.3节中定义的回归窗口，Ladjis是市场调整滞后。时间t时s策略的位置∈ [0，T]由xst=Xθ给出∈Θξsθ，T.在时间T，我们用交易结束头寸XsT=-XsT。时间范围仍然是T=2小时，其中T=0对应于上午11点，T=T对应于下午1点。我们选择在[RW，T]而不是[0，T]，因此δ和dt的值≥ 可以准确地计算。此外，对于每一次τ∈ (RW，T）在这里，价格因为交易而上涨，我们不在时间间隔[τ，τ+Ladj]上交易。

事实上，市场调整的滞后时间与在交易清空最佳出价或最佳出价后，出价-要求成交所需的时间大致相当。在买卖成交之前，以中间价（甚至是中间价±1.5分）交易是没有意义的，如果我们允许的话，我们会特别提高策略的表现。然而，模拟数据不需要这个约束，我们为其设置了Θ={θ∈ (RW，T）}。我们假设，由于该策略对市场价格的有效影响可以忽略不计，扩展s很小。虽然这是一个近似的假设，但它允许我们在假设我们可以以观察到的价格进行交易的情况下，对策略进行回溯测试。在本节的后续部分中，我们将为单指数和多指数Hawkes decaykernels以及几种股票应用最优策略。我们用一张表格和几张图表总结了每种股票的结果。Wenote Yi是策略在第一天制定的绩效∈ {1，···，n}，Yn=nPni=1yi经验平均值，sn=n-1Pni=1[Yi-Yn]每日利润的经验方差。表ar e中给出的值o战略夏普的年度夏普比率=√n×YnpSn.o日增益概率的经验正概率、偏斜和峰度=nnXi=1{Yi>0}，Skew=nPni=1[Yi-恩，库托=nPni=1[Yi-Yn]Sn。sca ling s的选择对这些结果没有影响，因为上面的所有值对于策略乘以一个正常数是不变的。因此，只有图形的单位会因缩放而改变，我们fix s=0.001。

通过这种选择，单个交易的交易量永远不会超过最佳出价/请求队列平均交易量的5%，这使得我们的玩具回溯测试没有影响是合理的。对于每个股票和每个时期，我们还评估了如果用两个独立的复合泊松过程对交易进行建模所得到的“泊松策略”，这相当于施加κ+t≡κ, κ-T≡ κ，因此κ+t-κ-T≡ 0 . 更准确地说，我们用t交换∈ Θ（与霍克斯模型的时间网格相同）量ξst，T=-[1+ρ（T）-t） [qsDt+Xt2+ρ（t）- t） 。该策略完全基于均值回归，趋势跟踪部分消失。对于Hawkes和Poisson策略，我们在ta-bles中给出了半滴答的买卖成本对结果的影响。这与该策略的更现实的实施相对应（该策略应在最佳状态下交易，而不是在中点），我们认为，在大多数情况下，这有助于防止价格操纵策略（夏普比率接近于零，甚至为负）。作为b enchmark，我们还在表10和11中展示了这些策略对模拟数据的结果。从理论上讲，这些策略可以达到什么样的效果。我们的发现如下。在模拟数据上，这些策略所产生的效果是明显的，并且仍然显著，只需半个勾号。在实际数据上，所有测试的夏普比率均为正值，这表明该模型并未超出预期范围，并捕捉到了实际市场流动的一些特征。然而，这些比率低于模拟数据的比率，当我们考虑到任务差价时，这些比率可能会变为负值。