基于霍克斯的最优执行模型的扩展与校正

参数π=（ν，λ，··，λp，ρ，··，ρp）是（2p+1）维的。gradientand Hessian由以下公式给出：^R（t）ν= 1 ,^R（t）ν= 0,^R（t）νλi=0，^R（t）νρi=0，^R（t）λi=exp(-ρit），^R（t）ρi=-tλiexp(-ρit），^R（t）ρi=tλiexp(-ρit），^R（t）ρiλi=-经验(-ρit），^R（t）λiλj=0，^R（t）ρiρj=0，^R（t）λiρj=0如果i 6=j.B霍克斯强度的最大似然估计霍克斯参数的估计，如第3.4节所示，采用最大似然估计。霍克斯过程中使用MLE是众所周知的，例如见Ozaki[25]，Da Fonseca和Zaatour[12]最近在类似的财务框架中考虑了hasbee n。在这一节中，我们给出了Hawkes过程的对数似然公式，并导出了它的梯度和Hessian矩阵，这是使用Newton-Raphson算法所必需的。我们定义了跳跃过程J+t=P0<τ<t{Nt>0}和J-t=P0<τ<t{Nt<0}，即J+（分别为J-)当N+时使单位跳跃（分别为N-) 跳跃。假设我们在时间间隔[0，T]上观察这个过程的实现，并且我们希望在[T，T]上最大化它的对数可能性，使用T∈ [0，T）.有条件地（κ±T）T∈[0，T]，轨迹的对数似然（J±T）T∈时间间隔[t，t]上的[t，t]是（见[13]，第三节命题7.2）ln L（J±|κ±）=ZTtln（κ±）-) dJ±t-ZTtκ±tdt+T.（37）此外，有条件地到（κ+T，κ-t） t∈[0，T]，模型isln L（J |κ）=ln L（J+|κ++ln L（J）的全局对数似然-|κ-). （38）我们现在计算ln L（J+|κ+）。由于我们不知道时间t=0之前过程的历史，因此不可能使用方程（5）计算κ+t，因为它需要知道所有的跳跃。然而，合理的近似是选择t∈ （0，T）使U≥ t、 K（u）<< 1，哪个是雅思κ+t≈ κ∞+X0<τ<tK（t- τ ){Nt>0}~ns(新台币（元）+{Nt<0}~nc(-新台币（元）（39）对于t∈ [t，t]。

让我们在本节的续集中假设（39）可以被认为是一种品质。我们定义τ=0和τi，i≥ 1 N+和N的有序组合跳跃时间-关于[0，T]，且χ（T）=max{i≥ 0，τi≤ t} 弗特∈ [0，T]。我们还定义了≥ 1θ+i=~ns(N+τi/m）k+i+c(N-τi/m）k-i、 其中，如果τ是N+的跳跃时间，k+i=1，否则k+i=0，k-iis的定义与N类似-. 一个是哈斯特∈ [t，t]κ+t=κ∞+χ（t）Xj=1θ+jK（t- τj）。区分t前后的跳跃，我们得到zttκ+tdt=κ∞（T）-t） +χ（t）Xj=1θ+j[K（t）-τj）- K（t）- τj）]+χ（T）Xj=χ（T）+1θ+j[K（T）-τj）- K（0）]，（40）其中Kis是K的反义动词。让我们转向log likeliho od的另一项。我们为i设置A+=0≥ 2A+i=i-1Xj=1θ+jK（τi）- τj），我们有zttln（κ+t）-) dJ+t=χ（t）Xi=χ（t）+1k+ilnκ∞+ A+i. （41）我们有来自（38）、（37）、（40）和（41）的对数似然ln L（J+|κ+）的显式表达。因此，可以在一组离散的点上进行评估，例如通过网格搜索来估计一个或多个参数。现在，为了使用牛顿-拉斐逊算法最大化可能性，还必须确定LNL（J+|κ+）的梯度和海森矩阵。对于给定的φs，φc和K的参数化，我们注意到π是一个任意参数，我们有 ln L（J+|κ+）κ∞=χ（T）Xi=χ（T）+1k+iκ∞+ A+i- （T）- t） ,， ln L（J+|κ+）π=χ（T）Xi=χ（T）+1k+iπA+iκ∞+ A+i-χ（t）Xj=1π{θ+j[K（T）]-τj）- K（t）- τj]}-χ（T）Xj=χ（T）+1π{θ+j[K（T）]-τj）- K（0）]}，它产生对数似然的梯度。对于Hessian矩阵，让我们注意到π，π′的两个参数（不同的或不不同的）。我们有ln L（J+|κ+）κ∞= -χ（T）Xi=χ（T）+1k+i[κ∞+ A+i]，ln L（J+|κ+）κ∞π= -χ（T）Xi=χ（T）+1k+iπA+i[κ∞+ A+i]，ln L（J+|κ+）ππ′=χ（T）Xi=χ（T）+1k+iππ′A+iκ∞+ A+i-πA+iπ′A+i[κ∞+ A+i]-χ（t）Xj=1ππ′{θ+j[K（T）]-τj）- K（t）- τj]}-χ（T）Xj=χ（T）+1ππ′{θ+j[K（T）]-τj）- K（0）]}。一旦K已知，且φs、φc、K、K是两倍可区分的w.r.t。

通过参数化，可以直接从递减方程推导出对数似然的梯度和海森矩阵的解析表达式。C多指数Hawkes核函数的最优执行。1定理的证明2.1首先，让我们注意到EhRTWtdXt- WTXTi=0，我们可以在不损失一般性的情况下假设σ=0。我们将价格过程分解如下。我们引入dSNt=νqdNt，dDN，it=-ρiDN，itdt+λiqdNt，dSXt=νqdxt和dDX，它=-ρiDX，itdt+λiqdXt，其中SN=S，DN，i=Di，SX=DX，i=0。我们有pt=PXt+PNt，其中PNt=SNt+pXi=1DN，it，PXt=SXt+pXi=1DX，it。然后，我们可以写出成本（15）asC（X）=Z[0，T）PNudXu- PNTXT+\'C（X），其中\'C（X）=R[0，T）PXudXu+2qPτ∈DX∩[0，T）(Xτ）-PXTXT+2qXT。我们注意到，`C（X）是X的一个确定性函数，并且正是[3]中考虑的成本函数。此外，它还满足了C（cX）=C（X）对C的要求∈ R.通过与[1]中定理2.1的证明相同的论证，我们得到当任意t的Xt=0时，当且仅当PTI为（Ft）-鞅时，不存在PMS。我们现在考虑X≡ 0并在霍克斯模型（9）、（10）和（11）下写出P的鞅条件。我们有dpt=dSt+dDt+σdWt=qdNt-pXi=1ρiDitdt+σdWt=qdNt+σdWt+dtpXi=1Ait，其中it=mqδit- ρiDit，δit=κ+t（i）- κ-t（i）和Nt=Nt- mRtδudu是一个鞅。那么，（Pt）是一个鞅当且仅当几乎肯定是几乎处处的nddt，Ppi=1Ait=0。我们有- ρiAitdt+mqwidIt-λiρiqdNt，其中=Zt（~ns）- νc）（dN+u/m）- （~ns）- νc）（dN-u/m）. （42）特别是dAit=-N的两个连续跳跃τ和τ′之间的ρiAitdt。因此，我们有Ppi=1Ait=Ppi=1Aiτe-ρi（t）-τ=0表示t∈ [τ，τ′），因此所有i的Aiτ=0（t=τ+k（τ′）的等式- τ） p，k∈{0，…，p- 1} 给出了Vandermonde系统）。因此，对于t，我们必须有Ait=0≥ 任何i都是0。

然后，dAit=0给出SMQwi[（s- νc）（dN+t/m）- （~ns）- νc）（dN-t/m）]=λiρiq[dN+t- dN-t] 尽管如此，t≥ 0和我所有的∈ {1，··，p}。因此- 在N±跳跃定律的支持下，c必须是线性的，此外，我们必须i、 （ιs）- ιc）wi=λiρi。这精确地给出了（16）。相反，（16）通过同样的计算确保P是鞅。C.2定理2.2的证明在第（C.1）节中，我们假定σ=0，但不丧失一般性。我们首先介绍一些注释来表示关于最优执行的主要结果。我们定义δit=κ+t（i）- κ-t（i）和∑it=κ+t（i）+κ-t（i）。Fr om（9）、（10）和（20），我们得到δit=-βiδitdt+widIt，d∑it=-βi∑it- 2κ∞/p） dt+widIt，（43）表示所有i∈ {1，···，p}，式中，它=Rt[（~ns+~nc）（dN+u/m）+（~ns+~nc）（dN-[u/m]），并由（42）定义。我们现在完全按照附录B中的[1]进行，这里只给出主线和类似的注释。Weassume不丧失通用性q=1。对于t∈ [0，T]，x，d，z∈ R和δ，∑∈ Rp，我们用C（t，x，d，z，δ，∑）表示当Dt=d，St=z，δt=δ，∑t=δ时，在时间间隔[t，t]内清算Xt=x的最小cos t。我们寻找一个具有以下形式的函数c（t，x，d，z，δ，∑）=a（t- t） （d）- (1 - ν） x）+（z）- νx）+（d- (1 - ν） x）（z）- νx）-（d+z）+（d）- (1 - ν） x）pXi=1bi（T-t） δi+pXi=1pXi=1ci，j（t-t） δiδj+pXi=1ei（t-t） ∑i+g（t）-t） ，（44）带a，bi，ci，j，ei，g:R+→ R连续可微函数。我们有极限条件C（T，x，d，z，δ，∑）=-（d+z）x+x/2=（d+z）- 十）- （d+z）/2，这是签署交易量的成本-x、 我们认为a（0）=，bi（0）=ci，j（0）=e（0）=g（0）=0。对于随机策略X，我们定义了∏t（X）=RtPudXu+P0≤τ<t(Xτ）+C（t，Xt，Dt，Stδt，∑t）。这是策略的成本，在时间t之前等于X，然后是最优的。因此，∏t（X），t∈ [0，T]）必须是次鞅，且当且仅当X是最优的。

我们定义了axt=“Z（t，Xt，Dt，St，δt，∑t）+tC- ρDtdC-pXi=1βiδitδiC-pXi=1βi（it∑）- 2κ∞/p）∑iC#dt，（45）其中C的导数是taken in（t，Xt，dt，Stδt，∑t）和Z（t，x，d，Z，δ，∑）：=pXi=1[δi+δi]！EC（t，x，d+（1- ν） V，z+V，δ+s-c（Vm）w，∑+~ns+c（Vm）w）- C（t，x，d，z，δ，∑）+pXi=1，∑i- δi]！EC（t，x，d）- (1 - ν） V，z- νV，δ- ~ns-c（Vm）w，∑+~ns+c（Vm）w）- C（t，x，d，z，δ，∑）,和V~ u，~ns-c=νs-νcand k s+c=k s+k c。该过程是连续的，因此∏t（X）-这是一个鞅。给定问题的二次性，我们搜索一个过程AXof the formdAXt=ρ1- νdt×hj（T）- t） （Dt）- (1 - ν） Xt）- Dt+pXi=1ki（T-t） δiti。（46）我们现在引入变量y=d- (1 - ν） x和ξ=z- 用（y，d，ξ，δ，∑）代替（x，d，z，δ，∑）。从（44）和Z的定义，我们有tC（t，x，d，z，δ，∑）=-˙a y- yX˙biδi-XX˙ci，jδiδj-X˙ei∑i- ˙g，- ρddC（t，x，d，z，δ，∑）=-2ρa+ρν1- νdy+ρ1- νd- ρdXbiδi，- βiδiδiC（t，x，d，z，δ，∑）=-βibiδiy- βiδi2ci，iδi+Xj6=ici，jδj,- βi∑i- 2κ∞/p）∑iC（t，x，d，z，δ，∑）=-βiei∑i+2βiκ∞ei/p，Z（t，x，d，Z，δ，∑）=m×2(1 - ν） a+v+v 1- ν+pXk=1αkbk！ypXi=1δi-m1- νdpXi=1δi+pXi=1pXj=1“（1- ν） mbi+2pXk=1ci，kαk#δiδj+pXi=1m×x(1 - ν） a+ν（1）- ν/2) -+ (1 - ν） pXk=1αkbk+αpXk=1pXl=1ck，lwkwl+pXk=1（αk+2wkιc）ek！∑i，其中∧α=E[V×（νs）- ^c（V/m）]，^α=E[（^s]- νc）（V/m）]。现在我们确定方程（45）和（46）的每一项。（等式dy）：-2ρa+ρν1-ν= -2ρ1-νj（等式y）：-˙a=ρ1-νj.这两个方程与[1]中的方程相同，且给定j（u）=2+ρu和a（u）=1- ν2+ρu-ν. （47）（等式δiy）：-˙bi- βibi+Ppk=1αkbk+m×h2（1- ν） a+v+v 1-νi=2ρ1-νjki。（等式δid）：- ρbi-m1-ν= -2ρ1-νki，它产生ki（u）=1-νbi（u）+m2ρ。将其代入（等式δiy），我们得到˙bi=-βibi+Ppk=1αkbk-2ρ1-νj1.-νbi+m2ρ+ mh2（1- ν） a+v+v 1-νi和s ince j/（1）- ν） =a+v/[2（1）- ν） ]我们有˙bi（u）=-βibi（u）+Ppk=1αkbk（u）-ρ2+ρubi（u）+m1-ν×1+νρu2+ρu。

我们把它改写成s˙b（u）=-H-ρ2+ρuIpb（u）+m1- ν×1+νρu2+ρu×（1，·1）, （48）Ip地址∈ Rp×pis单位矩阵与H∈ Rp×pis由（21）给出。为了解方程（48），我们搜索形式为b（u）=2+ρu×[exp(-嗯）。■b（u）]代表u≥ 0.该产量2+ρu×[exp(-嗯）。˙b（u）]=m1- ν×1+νρu2+ρu×（1，·1）,因此，b（u）=m1- ν×（1+νρu）×[exp（uH）。（1，·1）].根据定义（22），我们有经验(-嗯）。Ru（1+νρs）×exp（sH）ds= uζ（uH）+νρuω（uH）表示u≥ 由于b（0）=2b（0）=0，我们得到了b（u）=mu1- ν×2+ρu×[{ζ（uH）+νρuω（uH）}.（1，·1）]. （49）方程（等式：δid）给出了向量函数k（u）k（u）=m2ρ×Ip+ρu2+ρu×[ζ（uH）+νρuω（uH）]. (1, ··· , 1). （50）因此，（46）中涉及的函数j和k是明确的，这保证了最优策略是一个封闭公式。其余的功能ci、j、EIG不在确定最佳策略方面发挥任何作用。通过识别δiδj，∑i中的项和常数项，我们检查它们是否解线性常微分方程组。因此，它们是在R+上唯一确定和定义的，并且成本函数C是定义良好的。这些代码对于运行验证参数也很重要，即检查C是否确实是最佳成本函数，以及策略X是否正确*下面描述的是最佳选项。我们现在确定战略X*使得∏（X）*) 是一个鞅，或等价于*isconstant。方程（46）和（47）YieldAxt=ρ1- νdtדdt- (1 - ν） Xt2+ρ（T）-（t）- Dt+pXi=1ki（T-t） δit#=ρ/（1）- ν） [2+ρ（T）-t） ]dt×(1 - ν） Xt+[1+ρ（T-t） ]Dt- [2+ρ（T）- t） ]pXi=1ki（t-t） δ它.因此，AX*常数为（0，T）当且仅为ifa。s、 ，dt-a.e.on（0，T），（1- ν） X*t=- [1+ρ（T）- t） ]Dt+[2+ρ（t）- t） ]pXi=1ki（t-t） δ。（51）这个方程描述了最优策略。

特别是，我们得到了它的初始跳跃十、*在时间t=0（1）时- ν)十、*= -[1+ρT]qD+x2+ρT+m2ρ×(1, ··· , 1) .Ip+ρT2+ρT×[ζ（th）+νρTω（th）]. δ.式中δ=（δ，··，δp）∈ Rp。