基于霍克斯的最优执行模型的扩展与校正

不同的是，使用均值回复和趋势跟踪策略的市场参与者已经利用了我们的模型描述的大部分套利机会，并且在现实市场条件下对我们的最优策略进行回溯测试不会产生显著的收益。在处理市场影响和买卖价差时，这从某种程度上证明了理论假设的正确性，即考虑一个没有PMS的市场。现在，让我们比较一下表12和表13中使用的不同策略。这三种策略的结果非常相似，而且没有一种策略的表现优于其他策略。直觉上，这意味着该策略的主要组成部分是均值回复策略（这在泊松和霍克斯策略中很常见），而紧随其后的策略贡献较小。表6和表9中的统计事实证实了这一点，其中方向分支比DBR远低于瞬态冲击λmono=1的比例- ν、 5.3模拟数据表10和11给出了应用于模拟数据的最佳策略的结果。模拟参数与第4.2节相同（见表2和表3），两个数据集由150个独立的两小时窗口组成。在表10和表1中，第一列和第四列分别包含使用霍克斯模型的真实模拟参数计算的策略结果，第三列和第四列包含霍克斯参数估计的结果。在这两种情况下，弹性都是估计的单指数曲线，因为只有在这种情况下才明确知道最优策略。西木年+出价要求Calib+投标文件askSharpe（Multi）6.759 3.225 6.764 3.176 Proba。（多重）74.0%63.3%74.0%63.3%倾斜（多重）0.55 0.23 0.57 0.24峰度（多重）4.19 4.03 4.22 4.05夏普（单声道）- - 6.308 3.371概率。（单声道）- - 74.0%62.7%倾斜（单声道）- - 0.47 0.20Kurto。

（单声道）- - 4.11 3.97夏普（泊松）- - 6.630 3.735罗伯。（泊松）- - 73.3%64.0%倾斜（Po isson）- - 0.43 0.18库托。（泊松）- - 3.88 3.80表10：应用于模拟1数据的最优策略的结果统计（表2的模拟参数）。西木年+出价要求Calib+投标书askSharpe（Multi）33.268 27.095 32.302 25.769Proba。（多）100.0%100.0%100.0%99.3%倾斜（多）0.50 0.51 0.52 0.54峰度（多）3.22 3.35 3.25 3.40夏普（单）- - 34.940 28.605概率。（单声道）- - 100.0%100.0%倾斜（单声道）- - 0.45 0.46库托。（单声道）- - 3.19 3.31夏普（泊松）- - 34.986 28.681概率。（泊松）- - 100.0%100.0%倾斜（Po isson）- - 0.44 0.45库托。（泊松）- - 3.12 3.25表11：在模拟2数据上应用的最优策略的结果统计（表3的模拟参数）。5.4巴黎银行年份为2012年+bid ask IS 2013年+bid ask OS 2013年+bid as kSharpe（Multi）1.382- 0.6752.4540.7252.2480.418Proba。（多元）65.9%56.5%61.3%47.1%58.1%48.2%倾斜（多元）-2.02-2.40 3.65 3.34 4.48 4.14峰度（多峰）19.02 19.94 29.40 27.71 36.96 34.65夏普（单峰）1.26 3-0.7132.5360.7712.4300.563概率。（单声道）62.9%57.1%62.3%48.2%58.1%49.7%倾斜（单声道）-1.89-2.30 2.94 2.61 3.5 6 3.21Kurto。（单声道）16.64 17.68 23.27 21.90 26.74 24.87夏普（泊松）1.056-0.849 2.5888 0.8077 2.513 0.630概率。（泊松）65.3%55.9%61.3%49.7%60.2%49.2%歪斜（Po-isson）-2.72-3.07 3.09 2.76 3.94 3.58库托。（Poisson）23.46 24.68 24.41 22.82 31.13 28.86表12:2012年2月至2013年1月至9月期间，法国巴黎银行在11.30 A之间每天应用的最佳策略的结果统计。m、 1便士。m、 前两列为样本结果，即用于校准模型的数据与评估数据相同。第三列给出了样本外结果，即。

我们根据2012年的数据对模型进行了校准，以将该策略应用于2013年的数据。0 50 100 150-1000-500 500 1000天策略（a）在mi dprice0 50 100 150交易的累积收益-1000-500 500 1000天该策略的累积收益（b）半滴答罚款图4：2012年2月至9月期间，法国巴黎银行在11.30 A之间每天应用该策略的累积收益。m、 1便士。m、 （红色）长虚线表示泊松模型的性能，（蓝色）虚线表示单指数霍克斯模型，（绿色）点虚线表示多指数霍克斯模型。左图：我们允许策略以中间价交易。右图：我们采用半个勾号的后验线性成本惩罚来解释买卖价差。收益直方图策略频率的每日收益-100-50 0 500 10 20 30 40 50 60 70（a）收益的单指数霍克斯直方图策略频率的每日收益-150-100-50 0 500 20 40 60 80（b）多指数鹰派图5:2012年2月至9月期间，在11.30a之间，法国巴黎银行采用的策略的每日收益直方图。m、 1便士。m、 左：单指数霍克斯模型。右图：多指数霍克斯模型。0 50 100 150-2000-1000 1000 2000天策略（a）在mi dprice0 50 100 150交易的累积收益-2000-1000 0 1000 2000天该策略的累积收益（b）半滴答罚款图6：法国巴黎银行在2013年1月20日期间，每天11:30之间，应用于该策略的累积累积收益。m、 1便士。m、 （红色）长虚线表示泊松模型的性能，（蓝色）虚线表示单指数霍克斯模型，（绿色）点虚线表示多指数霍克斯模型。左图：我们允许策略以中间价交易。

右图：我们采用半个勾号的后验线性成本惩罚来解释买卖价差。收益直方图策略频率的每日收益-100-50 0 50 100 1500 20 40 60 80（a）收益的单指数HawkesHistogram战略频率的每日收益-100-50 0 50 100 150 2000 20 40 60 80（b）多指数鹰派图7:2013年1月至9月期间，在11.30 A之间，法国巴黎银行采用的策略的每日收益直方图。m、 1便士。m、 左：单指数霍克斯模型。右图：多指数霍克斯模型。5.5 TotalYear为2012年+bid-ask为2013年+bid-ask OS 2013年+bid-ask为kSharpe（Multi）0.067- 0.763 2.697 1.016 2.794 1.224概率。（多元）57.8%44.3%66.0%51.8%65.4%51.8%倾斜（多元）-9.34-9.62 6.38 6.37 5.94 5.97峰度（多峰）114.76 117.75 62.86 65.85 53.84 57.93Sharpe（单峰）0.12 6-0.770 2.795 1.191 2.76 0 1.099概率。（单声道）59.4%44.8%66.0%52.4%65.4%52.4%倾斜（单声道）-9.52-9.82 6.01 6.02 6.1 8 6.18库托。（单声道）118.29121.7755.5459.3059.2062.65Sharpe（泊松）0.001-0.810 2.807 1.259 2.790 1.224概率。（泊松）57.8%43.8%65.4%50.8%65.4%50.8%歪斜（Po-isson）-9.33-9.59 5.96 6.00 6.04 6.08库托。（泊松）11 4.39 116.97 53.37 57.35 54.90 58.87表13:2012年1月至9月期间，在11.30 A之间每天对Total应用的最佳策略的结果统计。m、 a和1p。m、 前两列为样本结果，即用于校准模型的数据与评估数据相同。第三列给出了样本外结果，即我们在2012年数据上校准模型，在2013年数据上应用s策略。6结论在本文中，我们通过允许传播子和Hawke核的更一般形式，扩展了[1]的理论模型。

此外，我们还推导了在传播子和霍克斯部分都具有多指数衰减的情况下，Huberma n和Stanzl[20]中排除价格操纵策略的条件。这使我们能够推导出一般完全单调核的传播子和Hawkes核之间的一些有趣的联系。此外，当价格传播子为单指数且Hawkes核为多指数时，我们仍然可以作为一个闭合公式得到最优策略。这有一些实际意义，因为pr-opagator似乎很好地近似于一个指数，而hawkes-dec-ay内核显然包含几个特征时间序列。我们还介绍了模型的校准协议，该协议适用于法国股票的逐点数据。结果表明，该模型在很大程度上解释了价格差异。长程传播因子是一条平滑衰减的曲线，但短程部分在几秒钟内增加（这与大交易后买卖需要结束的时间相对应）。关于霍克斯过程（Hawkes process）对交易流量建模的估计，我们得到了显著偏离零的激励参数，这尤其表明流量不是泊松的。此外，我们还发现，交易间激励的主要驱动力是交易量，而不是价格波动。在实践中违反了预防PMS的鞅条件，特别是定向分支比瞬时价格影响的比例小。因此，在我们的数据集中，价格具有显著的均值回复趋势。一系列回溯测试表明，往返旅行使用的最佳策略平均而言是可支持的，因此该模型对中价变动做出了相关预测。

然而，交易成本水平与竞价价差的宽度相适应，使得利润接近于零。这证实了一个自然的观点，即在这种频率下，价格操纵策略的存在源于市场影响和买卖成本。我们最终在研究中得出了一些应用和观点。第一个简单的应用是通过使用给定（可能是随机）时间gΘ上的大宗交易（36），使用校准模型进行最佳执行。与大多数现有模型相反，该策略考虑了交易流量。该模型的另一个可能用途是检测交易感兴趣的瞬间。事实上，等式（46）给出了无n交易的（理论）瞬时成本。例如，只有当成本高于某个阈值时，才可以决定交易，或者优化成本和交易成本之间的权衡。这种策略在实践中可能会很有趣，但需要根据市场数据进行彻底调查。现在让我们考虑一下我们工作的一些可能扩展。首先，在一整天而不是两小时的时间内处理模型的校准是很有趣的。由于开盘和收盘之间交易活动的日内变化，这当然很困难。第二，将买卖价差等成本纳入我们的模型交易中会很好。les的雄心勃勃的目标至少是修改我们的最佳执行策略，以一种巧妙的方式降低交易成本，或许可以使用上述等式（46）。参考文献[1]奥列恩·阿方西和皮埃尔·布兰科。混合市场影响霍克斯价格模型中的动态最优执行。arXiv预印本arXiv:1404.0648v2，即将出版的《金融与随机》，2014年。[2] 奥列安·阿方西、安杰·弗鲁斯和亚历山大·席德。具有一般形状函数的极限顺序优化执行策略。

定量。《金融》，10（2）：143-157，2010年。[3] 奥列恩·阿方西和亚历山大·希德。奇异控制下完全单调核的容量测度。暹罗J.控制优化。，51 (2):1758–17 80, 2013.[4] 奥列安·阿方西、亚历山大·希德和阿拉·斯林科。订单弹性、价格操纵和积极的投资组合问题。暹罗J.金融数学。，3(1):511–533, 2 012.[5] 罗伯特·阿尔姆格伦和尼尔·克里斯。投资组合交易的最佳执行。《风险日记》，3:5-392000。[6] 伊曼纽尔·巴克里、哈利勒·戴里和让·弗朗索瓦·穆齐。对称hawkes过程的非参数核估计。高频金融数据的应用。《欧洲物理杂志B凝聚态物质与复杂系统》，85（5）：2012年1-12月。[7] 埃曼纽尔·巴克里和让-弗朗索瓦·穆齐。价格和交易高频动态的霍克斯模型。定量。《金融》，14（7）：1147-1166，2014。[8] Dimitris Bertsima s和Andrew Lo。执行成本的最优控制。《金融市场杂志》，1:1-501998。[9] Jean-Philippe Bouchaud、Yuval Gefen、Marc Potters和Matthieu Wyart。中国市场的波动和响应：“随机”价格变化的微妙本质。定量金融，4（2）：176-1902004。[10] 皮埃尔·布雷莫和劳伦特·马苏利。非线性Hawkes过程的稳定性。安。Probab。，24(3):1563–1588, 1996.[11] Pierre Brémaud，Laurent Massoulié，et a l.Hawkes分枝点过程没有一个新的分支。《应用概率日记》，38（1）：122-1352001。[12] J oséDa Fonseca和Riadh Zaatour。霍克斯过程：快速c校准、应用于贸易集群和差异限制。《期货市场杂志》，34（6）：548–5792014。[13] Daryl J Daley和David Vere-Jones。点过程理论导论：第二卷：一般理论和结构，第二卷。

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那样的话^G≡ 0，因此^Pθ（π）≡ 0和E（π）=2XRW<θ<T^Pθ（π）。^Pθ（π）对于任何π都是正定义。而且，在这种情况下，^G不依赖于参数π的当前值，π=π-E（π）-1.E（π）是任意π的误差E（π）的最小值。因此，当传播子线性化时，算法的起点并不重要，一步就足以找到最优值。A.1无约束传播子我们考虑无约束传播子^G（t）=gl[tl，RW[（t）+l-1Xi=0（ti+1- t） gi+（t- ti）gi+1ti+1- ti[ti，ti+1[（t），带l≥ 2,0=t<t<···<tl固定椎间盘再结晶时间，g=1和π=（g，··，gl）∈ [0, +∞)l需要估计的一维参数。^G w.r.t.π的依赖性是线性的，我们只需要计算梯度：^G（t）gi=ti+1- tti+1- ti[ti，ti+1[（t）+t- 钛-1ti- 钛-1[ti-1，ti[（t）代表1≤ 我≤ L- 1.^G（t）gl=[tl，RW[（t）+t- 热释光-1tl- 热释光-1[tl-1，tl[（t）.A.2多指数曲线在本节中，我们考虑多指数弹性曲线^R（t）=ν+pXi=1λiexp(-ρit）和传播子^G（t）=1+（^R（Ladj）- 1） 特拉德{t≤Ladj}+R（t）{t>Ladj}，由Ladj的R决定≥ 0预先确定。^G的依赖性是线性的w.r.t.参数如果且仅当ρi是固定的。A.2.1单位多指数曲线“单位”多指数回弹曲线是指ν=1的情况-Ppi=1λ。这就产生了^R（t）=1-pXi=1λi（1- 经验(-ρit），参数π=（λ，···，λp，ρ，··，ρp）是2p维的。一个是给我的，j∈ {1，··，p}，^R（t）λi=-{1 - 经验(-ρit）}，^R（t）ρi=-tλiexp(-ρit），^R（t）ρi=tλiexp(-ρit），^R（t）ρiλi=-经验(-ρit），^R（t）λiλj=0，^R（t）ρiρj=0，^R（t）λiρj=0，如果i6=j.A.2.2一般多指数曲线，如果我们放松条件，则ν=1-Ppi=1λiso如果^R（0）c可以大于1，我们得到^R（t）=ν+pXi=1λiexp(-ρit），带ν≥ 0，λi≥ 0