关于鲁棒Dynkin对策

让0≤T≤s≤T和ω∈ Ohmt、 （1）如果实值随机变量ξOhm这是Ftr-对某些人来说是可测量的∈ [s，T]，那么ξs，ω是Fsr-可测量的（2） 对任何人来说∈ N∪ {∞} 和τ∈Tt（n），如果τ（ω）sOhm（s）[r，T]对于一些r∈[s，T]，然后τs，ω∈Tsr（n）。（3） 给定τ∈Tt，如果τ（ω）≤s、 然后τ（ω）sOhm（s）≡τ(ω); 如果τ（ω）≥s（resp.>s），然后τ（ω）seω）≥s（分别>s）， eω∈Ohm因此，τs，ω∈Ts.（4）如果实值过程{Xr}r∈[t，t]是英尺-适应（分别为英尺）-然后x，ω是Fs-改编（分别为Fs）-逐步测量）。让P∈Pt。根据规则的条件概率分布（参见[58]），我们可以按照[5]的第2.2节引入移位概率{Ps，ω}ω族∈OhmTPs，在其下，相应的移位随机变量和移位过程继承了原始变量的P可积性：命题1.2。（1）适用于Pt-a、 sω∈Ohmt那Pts、 ω=Ps.（2）如果ξ∈LFtT，P为了一些P∈Pt，那么它适用于P-a、 sω∈Ohmtξs，ω∈LFsT，Ps，ω安第普斯，ωξs，ω= EPξFts(ω) ∈ R.（1.9）（3）如果X∈s英国时报为了一些P∈Pt，那么它适用于P-a、 sω∈Ohmt x，ω∈ sFs，Ps，ω.根据（1.9），位移的Pt-空集也有零度量。引理1.2。对任何人来说∈Nt，它适用于Pt-a、 sω∈ Ohmt等于Ns，ω∈ 纳什。这一小节在[5]中给出了更多细节和证据。

在接下来的三个部分中，我们将逐步为robustDynkin游戏的主要结果（定理4.1和定理6.1）提供技术设置和准备。2.粘贴下的弱稳定性为了研究鲁棒Dynkin对策，我们需要一些关于支付过程的正则性条件。关于支付过程的长期假设（g、L、U）。（A） g，L和U是[0，T]×上一致连续的实值过程Ohm 对于连续函数ρ的同调，满足Lt（ω）≤ Ut（ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.对于任意（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 还有s，s′∈ [t，t]，我们在技术上定义R（t，s，s′，ω）：=Rs∧s′tgr（ω）dr+1{s≤s′}Ls（ω）+{s′<s}Us′（ω）。由（1.6），|R（t，s，s′，ω）-R（t，s，s′，ω）|≤Zs∧s′t | gr（ω）-gr（ω）|dr+1{s≤s′}Ls（ω）-Ls（ω）|+1{s′<s}|Us′（ω）-Us′（ω）|≤ （1+s）∧s′-t） ρkω-ωk0，s∧s′, ω, ω∈ Ohm. （2.1）让健壮的Dynkin游戏从时间t开始∈[0，T]当历史沿着ω|[0，T]路径演化时∈Ohm. 玩家1和玩家2在游戏退出时间做出自己的选择。如果玩家1选择τ∈ TtandPlayer 2选择γ∈ Tt，游戏在τ处进行∧γ. 然后，玩家1将从她的对手那里收到一个累加的重罚τ∧γtgt，ωsds和终端支付Lt，ωτ（分别，ωγ）ifτ≤γ（res p.γ<τ）。这里是ne-gativeRτ∧γtgt，ωsds，Lt，ωτorUt，ωγ表示从P层1向玩家2支付的款项。所以玩家1在时间τ的总财富∧γisRt，ω（τ，γ）：=Zτ∧γtgt，ωsds+1{τ≤γ} Lt，ωτ+1{γ<τ}Ut，ωγ=Zτ∧γtgt，ωsds+1{τ≤γ} Lt，ωτ∧γ+1{γ<τ}Ut，ωτ∧γ.因为1.1（4）表示gt，ω，Lt，ω和Ut，ω是Ft-具有所有连续路径的自适应过程，Rt，ω（τ，γ）∈Ftτ∧γ, τ, γ ∈Tt。（2.2）此外，很明显Rt，ω（τ，γ）（eω）=Rt、 τ（eω），γ（eω），ωteω,  eω∈ Ohmt、 （2.3）健壮的Dynkin游戏6接下来，我们定义ψt:=(-Lt）∨ 美国犹他州∨0，t∈ [0，T]。

通过（1.6），我们可以推断ψt（ω）-ψt（ω）≤ ρkω-ωk0，t, T∈ [0，T]，ω, ω∈ Ohm; （2.4）（为了方便读者阅读，我们在第7.1节中提供了一份声明。）很明显Rt，ω（τ，γ）≤Zτ∧γt|gt，ωs|ds+ψt，ωτ∧γ, （t，ω）∈ [0，T]×Ohm, τ, γ ∈Tt。（2.5）下面的结果表明，移位支付过程的可积性与给定的路径历史无关。引理2.1。假设（A）。无论如何∈[0，T]和P∈Pt，如果ψt，ω∈S（Ft，P）和EPRTt|gt，ωS|ds<∞ 对于某些ω∈Ohm,然后ψt，ω′∈S（Ft，P）和EPRTt|gt，ω′S|ds<∞ 总的来说ω′∈Ohm.我们将集中讨论PTP中转移支付过程可积的可能性：假设2.1。无论如何∈[0，T]，bPt:=nP∈Pt:ψt，0∈S（Ft，P）和EPRTt | gt，0s |ds<∞ois不是空的。备注2.1。（1）如果ψ∈ S（F，P）和EPRT|gs|ds<∞, 然后Pt∈BPT适用于任何t∈ [0，T]。（2）如命题5.1所示，当（A）中的连续模ρ具有多项式增长时，受控SDE（5.1）在[t，t]期间的解的规律属于Pt。在（A）和假设2.1下，我们可以从引理2.1推导出，对于任何t∈[0，T]和P∈bPt，ψt，ω∈s英国时报和EPZTt|gt，ωs|ds<∞, ω ∈ Ohm. （2.6）接下来，我们需要概率类在以下意义下进行调整和弱稳定粘贴：对概率类的持续假设。（P1）对于任何t∈ [0，T]，我们考虑一个{P（T，ω）}ω族∈Ohm如果ω|[0，t]=ω|[0，t]，则P（t，ω）=P（t，ω）的子集。（2.7）进一步假设概率clas{P（t，ω）}（t，ω）∈[0，T]×Ohm对于连续函数bρ，满足以下两个条件：对于任何0≤ t<s≤ T，ω∈ Ohm 和P∈P（t，ω）：（P2）存在一个扩张(Ohmt、 F′，P′）的(Ohmt、 FtT，P）即

FtTF′和P′|FtT=P和Ohm′∈ F′与P′的结合(Ohm′) = 因此Ps，eω属于P（s，ω）对于任意的eω∈ Ohm′.（P3）（粘贴下的弱稳定性）对于任何δ∈Q+和λ∈N、 设{Aj}λj=0为Fts-分割Ohm对于j=1，··，λ，Aj某些δj的Osδj（eωj）∈(0, δ]∩Q∪{δ} 和eωj∈Ohmt、 然后是纽约睡衣∈P（s，ω）teωj），j=1，···，λ，存在abP∈P（t，ω）使得（i）bP（A∩A） =P（A）∩ A） ,，A.∈ FtT；（ii）对于任何j=1、·、λ和A∈ 英国石油公司金融时报∩Aj）=P（A）∩ Aj）；（iii）任何∈N∪{∞} 和∈Ts，确实存在新泽西州∈Tts，j=1，··，λ使得对于任何∈Ftsandτ∈ Tts（n）λXj=1EbPA.∩AjRt，ω（τ），（新泽西州）≤λXj=1EP{eω∈A.∩Aj}sup∈Ts（n）EPjRs，ωteω（），)+Zstgt，ωr（eω）dr+ bρ（δ）。（2.8）备注2.2。（1）通过（2.7），可以将P（t，ω）视为Pt的路径依赖子集。特别地，P:=P（0，0）=P（0，ω），ω ∈Ohm.（2） （2.8）的两面都是有限的，我们将在第7节中展示。尤其是，由于映射eω，右侧的期望值得到了很好的定义→ sup∈Ts（n）EePRs，ωteω（），)对于任意n，在范数k kt，t下是连续的∈N∪{∞},eP∈bPsand∈Ts.3。动态规划原理7（3）类似于[5]中假设的（P2），条件（P3）可被视为粘贴下稳定性的弱形式，因为它由“有限粘贴下的稳定性”所暗示参见[56]中的例（4.18）: 对于任何0≤ t<s≤ T，ω∈ Ohm,P∈P（t，ω），δ∈Q+和λ∈N、 设{Aj}λj=0为Fts-分割Ohm对于j=1，··，λ，Aj 某些δj的Osδj（eωj）∈(0, δ]∩Q∪{δ} 和eωj∈ Ohmt、 那么任何睡衣∈P（s，ω）teωj），j=1，··，λ，由bp（A）=P（A）定义的概率∩A.+λXj=1EPh{eω∈Aj}PjAs，eω我A.∈ FtT（2.9）在P（t，ω）中。正如[49]中的备注3.6（见[5]中的lso备注3.4]）所指出的，（2.9）不适用于带有控件的路径相关SDE示例（见第5节）。

因此，我们假设弱粘贴条件（P3），这证明了我们的近似方案在证明主要结果时是有效的。3动态规划原理考虑了概率类{P（t，ω）}（t，ω）上具有支付过程（g，L，U）的鲁棒Dynkin对策∈[0，T]×Ohm如第2节所述。如果玩家1保守地认为大自然也反对她，那么对于任何（t，ω）∈[0，T]×Ohm,Vt（ω）：=supτ∈Ttinfγ∈ TtinfP∈P（t，ω）EPRt，ω（τ，γ）和vt（ω）：=infP∈P（t，ω）infγ∈ Ttsupτ∈TtEPRt，ω（τ，γ）在给定历史路径ω|[0，t]的情况下，确定玩家1在时间t的下限值和上限值。正如我们将在定理4.1中看到的，vcoin与V一致，V是参与方1的值过程V，其与r·gsds之和为E-直到第一次τ的子鞅*为了这个目的，当V满足L时，我们在本节中推导了V的一些基本性质及其近似值，包括动态规划原理。让（A）、（P1）-（P3）和假设2.1在本节中保持不变。对于任意（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 按照[50]的想法，我们从技术上定义了fV byVnt（ω）：=infP的近似值过程∈P（t，ω）infγ∈ Ttsupτ∈Tt（n）EPRt，ω（τ，γ）≤ infP∈P（t，ω）infγ∈ Ttsupτ∈TtEPRt，ω（τ，γ）=Vt（ω），N∈ N、 （3.1）并特别规定∞t（ω）：=Vt（ω）。让n∈ N∪ {∞}. 很明显vn（T，ω）=infP∈P（T，ω）infγ∈ TTsupτ∈TT（n）EPRT，ω（τ，γ）= infP∈P（T，ω）EPRT，ω（T，T）= LT（ω），ω ∈ Ohm. （3.2）我们可以证明- ψt（ω）≤Lt（ω）≤Vnt（ω）≤Ut（ω）≤ψt（ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. （3.3）为方便读者，我们在第7.1节中提供了证据。我们需要对Vn的以下假设来讨论它们所使用的动态规划原则。假设3.1。存在连续性函数ρ的模≥ ρ使得对于任何n∈ N∪ {∞}Vnt（ω）- Vnt（ω）≤ ρkω- ωk0，t, T∈ [0，T]，ω, ω∈ Ohm. （3.4）备注3.1。

如果P（t，ω）不依赖于ω∈ [0，T]，那么假设3.1自动成立。备注3.2。假设3.1意味着VNF-适合任何人∈ N∪ {∞}.我们首先介绍了Vn动态规划原理的子解：命题3.1。对任何人来说∈ N∪ {∞}, 0≤ T≤ s≤ T和ω∈ Ohm,Vnt（ω）≤ infP∈P（t，ω）infγ∈ Ttsupτ∈Tt（n）EP{τ ∧γ<s}Rt，ω（τ，γ）+1{τ∧γ≥s}Vnst、 ω+Zstgt，ωrdr. （3.5）鲁棒Dynkin对策8相反，我们只需要给出V的动态规划原理的超级解∞= 五、提议3.2。对于任何0≤ T≤ s≤ T和ω∈ Ohm,Vt（ω）≥ infP∈P（t，ω）infγ∈ Ttsupτ∈TtEP{τ ∧γ<s}Rt，ω（τ，γ）+1{τ∧γ≥s}Vt，ωs+Zstgt，ωrdr.作为命题3.1和3.2的结果，玩家1的上限值过程V满足了真正的动态编程原则。我们利用另一个条件进一步证明了VntoV的收敛性及其在下两个命题中的路径正则性。假设3.2。对于任何α>0，存在连续性函数ρα的模，使得对于任何t∈ [0，T）supω∈Otα（0）补充∈P（t，ω）supζ∈TtEPρδ+supr∈[ζ,(ζ+δ)∧[T]Btr- Btζ≤ ρα(δ), δ ∈ （0，T）.（3.6）命题3.3。让n∈ N、 t∈ [0，T]和α>0。它适用于任何ω∈ Otα（0）thatVt（ω）≤ Vnt（ω）+ρα（2）-n） +2-N|gt（ω）|+ρα（T）-（t）. （3.7）提案3.4。（1）对于任何n∈ N∪ {∞}, 所有路径都是左上半连续和右下半连续的。特别是，过程V具有所有连续路径。（2） 对于任意（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 和P∈ P（t，ω），Vt，ω∈ S（Ft，P）。4主要结果在本节中，我们陈述了关于稳健Dynkin博弈的第一个主要结果。让（A）、（P1）-（P3）和假设2.1、3.1、3.2在整个章节中适用。给定t∈ [0，T]，设置Lt:={随机变量ξonOhm : ξt，ω∈ L（FtT，P），ω ∈ Ohm, P∈ P（t，ω）}。显然，Ltisclosed在线性组合下：即对于任何ξ，ξ∈ 和α，α∈ R、 αξ+αξ∈ Lt。

然后我们定义了线性期望：Et[ξ]（ω）：=infP∈P（t，ω）EP[ξt，ω]，ω ∈ Ohm, ξ ∈ 对任何人来说∈ N∪{∞} 和τ∈T，Vnτ和rτgrdr都属于Lt.（4.1）（我们在第7.3节中证明了这一主张。）与经典的Dynkin对策类似，我们将证明在鲁棒Dynkin对策中，V与V作为参和者1的值过程V重合，并且V plusR·gsds是一个响应非线性期望E的子鞅。定理4.1。让（A）、（P1）-（P3）和假设2.1、3.1、3.2成立。（1） 对于任意（t，ω）∈[0，T]×Ohm,Vt（ω）：=Vt（ω）=Vt（ω）（4.2）在给定历史路径ω的时间t开始的鲁棒D yn kin博弈中[0，t]。此外，Vt（ω）=infγ∈ TtinfP∈P（t，ω）EPRt，ωτ*（t，ω），γ, τ在哪里*（t，ω）：=infs∈[t，t]：Vt，ωs=Lt，ωs∈Tt。（4.3）（2）F-具有所有连续路径的自适应过程Υt:=Vt+Rtgrdr，t∈ [0，T]是一个E-时间τ以下的子鞅*:=τ*（0,0）=infT∈[0，T]：Vt=Lt∈在某种意义上，对于任何ζ∈TΥτ*∧ζ∧t（ω）≤EtΥτ*∧ζ(ω), （t，ω）∈[0，T]×Ohm. (4.4)5. 示例：受控路径相关SDEs 95示例：受控路径相关SDEs在本节中，我们提供概率类{P（t，ω）}（t，ω）的示例∈[0，T]×Ohm在路径依赖的情况下，带控制的随机微分方程。设κ>0，设b:[0，T]×Ohm×Rd×d→ RDP应该是一个PB（Rd×d）B（道路）-可测函数| b（t，ω，u）-b（t，ω′，u）|≤κkω-ω′k0，tand|b（t，0，u）|≤κ（1+| u |），ω, ω′∈Ohm, （t，u）∈[0，T]×Rd×d.Fix T∈ [0，T]。我们让UT收集所有S>0d-英国《金融时报》-渐进可测量过程{us}∈[t，t]使得|us |≤ κ、 ds×dPt-a、 美国。

让ω∈ Ohm, bt，ω（r，eω，u）：=b（r，ω）teω，u），（r，eω，u）∈ [t，t]×Ohmt×Rd×显然是PtB（Rd×d）B（道路）-满足| bt，ω（r，eω，u）的可测函数-bt，ω（r，eω′，u）|≤κkeω-eω′kt，rand|bt，ω（r，0t，u）|≤κ1+kωk0，t+|u|,  eω，eω′∈Ohmt、 （r，u）∈[t，t]×Rd×d∈ Ut，对[53]中的Theorem V.12.1的一个轻微扩展表明以下概率空间上的SDEOhmt、 FtT，Pt:Xs=Zstbt，ω（r，X，ur）dr+ZsturdBtr，s∈ [t，t]，（5.1）允许一个唯一的解Xt，ω，u，即anFt-满足Et的自适应连续过程Xt，ω，u*P< ∞ 无论如何≥1（或参见[5]的完整ArXiv版本以获取证明）。注意，SDE（5.1）取决于ω[0，t]通过发电机bt，ω。在不丢失基因的情况下，我们假设Xt，ω，u的所有路径都是连续的，并且从0开始。否则，通过设置N:={ω∈ Ohmt:Xt，ω，ut（ω）6=0或路径Xt，ω，u·（ω）不是连续的}∈Nt，可以取ext，ω，us:=1NcXt，ω，us，s∈[t，t]。这是anFt-适应的过程满足（5.1），其路径都是连续的，从0开始。应用Burkholder-Davis-Gundy不等式、Gronwall不等式和binω的Lipschitz连续性-变量，我们可以很容易地得出以下关于Xt，ω，u的估计：对于任何p≥ 1Et苏普∈[t，s]Xt，ω，ur-Xt，ω′，urP≤Cpkω-ω′kp0，t（s）-t） p，ω′∈Ohm, s∈ [t，t]，（5.2）和Et苏普∈[ζ,(ζ+δ)∧[T]Xt，ω，ur- Xt，ω，μζP≤φp（kωk0，t）δp/2，对于任意ft-停止时间ζ和δ>0，（5.3），其中Cpis是一个常数，取决于p，κ，T和φp:R+→R+是一个依赖于p，κ，T的连续函数（5.2）和（5.3）的证明见[5]的完整ArXiv版本.对于任何人来说∈ [t，t]，我们从[5]中看到 GXt，ω，us:=nAOhmt:Xt，ω，u-1（A）∈Ftso，即。，Xt，ω，u-1（A）∈Fts，A.∈ Fts。（5.4）即Xt，ω，uisFtsFts-可测量为从OhmttoOhmT

定义Ptbypt，ω，u（A）下的Xt，ω，u定律：=PtoXt，ω，u-1（A），A.∈ GXt，ω，uT，用Pt，ω，u表示Pt，ω，u对Ohmt、 FtT.现在，让我们设置P（t，ω）：=Pt，ω，u：u∈美国犹他州Pt。提议5.1。允许是连续性函数的模，对于某些 ≥1.(δ) ≤κ(1+δ), δ > 0.假设g，L，U满足（A）关于而这是gt（0）|dt<∞. 然后对于任意（t，ω）∈[0，T]×Ohm, 我们有p（t，ω）bPt。概率类{P（t，ω）}（t，ω）∈[0，T]×Ohm满意度（P1）-（P3），假设3.1-3.2.备注5.1。（1） 当b≡0，命题5.1和结果（4.2）验证了[45]中的假设5.7（尤其是fort=0）。然后，我们从定理5.8中得知，对于具有零漂移的受控路径依赖SDE，游戏者1的值V与二阶双反射倒向随机微分方程的解密切相关。鲁棒Dynkin对策10（2）类似于[5]，我们考虑Ptover GXt，ω，uT下的Xt，ω，u定律的原因最大σ-根据映射Xt，ω，u事实上，命题5.1的证明在很大程度上依赖于Xt，ω，u的逆映射Wt，ω，u。根据[5]中命题6.2和6.3的证明，因为Wt，ω，u是anFt-只有pt，ω，u的渐进可测量过程-a、 s.连续路径，它适用于pt，ω，u-a、 美国。

eω∈ Ohmt转移概率Pt，ω，us、 eω是移位的SDE的解的定律因此Pt，ω，us、 eω∈P（s，ω）teω）.这就解释了为什么我们的假设（P2）需要扩展(Ohmt、 概率空间的F′，P′）(Ohmt、 6最优三元组在本节中，我们在支付过程和概率类的下列附加条件下，确定了鲁棒Dynkin博弈中玩家1的值的最优三元组。（A′）让g≡ 设L，U是两个实值过程，由一些M>0限定，使得它们在[0，T]×上一致连续Ohm 关于同一ρ∈ M、 这个Lt（ω）≤ Ut（ω），（t，ω）∈ [0，T）×Ohm, 那么lt（ω）=UT（ω），ω ∈Ohm.还有，让一个家庭{Pt}t∈子集合的[0，T]PtofbPt=Pt，T∈ [0，T]满足：（H1）P:=Pis任意ρ的P.（H2）的弱紧子集∈ M、 存在M的另一个ρ，即sup（P，ζ）∈Pt×TtEPρδ+supr∈[ζ,(ζ+δ)∧[T]Btr- Btζ≤ρ(δ), T∈ [0，T），δ ∈ (0, ∞).特别是，我们需要ρ来满足（1.7），其中一些C>0和1<p≤ p、 （H3）对于任何0≤ t<s≤ T，ω∈ Ohm 和P∈Pt，存在一个扩展(Ohmt、 F′，P′）的(Ohmt、 FtT，P）i、 e.FtTF′和P′|FtT=P和Ohm′∈ F′与P′的结合(Ohm′) = 1使得对于任何eω，Ps，eω都属于Ps∈ Ohm′.（H4）此外，让备注2.2（3）中规定的粘贴下的最终稳定性保持不变。下一个例子表明，弱公式的控制（即P包含所有半鞅测度，其中B具有均匀的基础漂移和扩散系数）满足（H1）-（H4）。例6.1。鉴于l > 0，设{Plt} t∈[0，T]是[20]中考虑的半鞅测度族，使得Plt收集上的所有连续半鞅测度(Ohmt、 其漂移和扩散特性受l 和√2.l 分别地根据其中的引理2.3，{Plt} t∈[0，T]满意度（H1）、（H3）和（H4）。