关于鲁棒Dynkin对策

（7.34）同样，再次使用（1.6）并使用（1.8）η=gt∈ 对于任意的eω∈ OhmTZτ（eω）∧stgt，ωr（eω）dr≤Zstgt，ωr（eω）博士≤Zstgt，ωt（eω）+gt，ωr（eω）-gt，ωt（eω）博士≤Zst|gt（ω）|+ρ（s）-t） +supr∈[t，s]Btr（eω）-Btt（eω）dr.（7.35）也（3.4）表明，对于任何eω∈OhmTVns（ω）-（Vns）t，ω（eω）=Vns（ω）-Vn（s，ω）teω）≤ρkω-ω teωk0，s=ρ苏普∈[t，s]ω（r）-ω（t）-eω（r）≤ρ苏普∈[t，s]ω（r）- ω（t）+ 苏普∈[t，s]eω（r）≤ ρδt，s+supr∈[t，（t+δt，s）∧[T]Btr（eω）-Btt（eω）. （7.36）由于kωk0，t≤ kωk0，T<α，我们可以从（7.34），（7.35），（3.3），（3.6）和（7.36）推导出{τ<s}Lt，ωτ+1{τ≥s} （Vns）t，ω- Vns（ω）+Zτ∧stgt，ωrdr-（s）-t） |gt（ω）|≤EP{τ<s}Lt，ωs+1{τ≥s} （Vns）t，ω-Vns（ω）+ρ（s）-t） +supr∈[τ，（τ+s-（t）∧[T]Btr-Btτ+（s）-t） ρ（s）-t） +supr∈[t，s]Btr-Btt≤EP（Vns）t，ω-Vns（ω）+（1+s）-t） ρα（s-（t）≤（2+s）-t） ρα（δt，s）。τ上的鲁棒Dynkin对策∈ Tt（n）在左边，我们从（7.33）得到（7.32）。1b）接下来，我们证明了对于v，不等式（7.32）可以加强为Vs（ω）-Vt（ω）≤ （s）-t） 苏普∈[0，T]| gr（ω）|+（2+s）-t） ρα（δt，s）。（7.37）固定ε>0。我们可以找到一个P=P（ε）∈P（t，ω）使得vt（ω）+ε/2≥ γ干扰素∈ Ttsupτ∈TtEPRt，ω（τ，γ）. 由（7.27）可知，存在一些bγ=bγ（ε）∈t就这样{τ ∧bγ<s}Rt，ω（τ，bγ）+1{τ∧bγ≥s}Vt，ωs+Zstgt，ωrdr≤ γ干扰素∈ Ttsupτ∈TtEPRt，ω（τ，γ）+ ε/2, τ ∈Tt。特别是，在左手边取τ=s，得到tVt（ω）+ε≥EP{bγ<s}Rt，ω（s，bγ）+1{bγ≥s}Vt，ωs+Zstgt，ωrdr=EPZbγ∧stgt，ωrdr+1{bγ<s}Ut，ωbγ+1{bγ≥s} Vt，ωs.

（7.38）与（7.34）和（7.35）的类比表明：Ut，ωbγ（eω）-Ut，ωs（eω）≤ ρ（s）-t） +supr∈[bγ（eω），[bγ（eω）+s-（t）∧[T]Btr（eω）-Btbγ（eω）,  eω∈ {bγ<s}和Zbγ（eω）∧stgt，ωr（eω）dr≤ （s）-（t）|gt（ω）|+ρ（s）-t） +supr∈[t，s]Btr（eω）-Btt（eω）,  eω∈ Ohmt、 作为kωk0，t≤kωk0，T<α，将其重新插入（7.38）并使用n施加（7.36）=∞, 我们可以从（3.6）和（3.3）推导出vt（ω）-Vs（ω）+ε+（s）-t） |gt（ω）|≥EPh{bγ<s}Ut，ωs+1{bγ≥s} Vt，ωs-Vs（ω）i-（1+s）-t） ρα（s-（t）≥EPVt，ωs-Vs（ω）-（1+s）-t） ρα（s- （t）≥-（2+s）-t） ρα（δt，s）。让ε→ 0，取（7.32），n=∞ 收益率（7.37）。自limts以来↓ δt，s=limst↓ δt，s=0，我们可以从m（7.32）和（7.37）中推导出vn的每条路径都是左上半连续和右下半连续的，特别是v的每条路径都是连续的。2） 给定（t，ω）∈[0，T]×Ohm, 注3.2，命题1.1（4）和第1部分表明Vt，ω是Ft-适应所有连续路径的过程。任何P∈P（t，ω），（3.3）和（2.6）意味着EPhVt，ω*我≤EPψt，ω*<∞. SoVt，ω∈S（英尺，P）。7.3第4节（4.1）中结果的证明：固定n∈N∪{∞} 和τ∈T我们让（t，ω）∈[0，T]×Ohm 和P∈P（t，ω）。自Vnτ∈ FTandRτgrdr∈ 根据备注3.2，第1.1（1）条说明了这两种情况Vnτt、 ω和Rτgrdrt、 ω属于FtT。1） Ifbt:=τ（ω）≤ t、 命题1.1（3）表明τ（ω）TOhm（t）≡bt.将（1.8）应用于η=Vnbt∈ Fbt Ftand toη=Rbtgrdr∈Fbt对于任意的eω∈OhmTVnτt、 ω（eω）=Vnτ(ωteω），ωteω=越南bt，ωteω=越南bt，ω, （7.39）和Rτgrdrt、 ω（eω）=Rτ（ω）teω）gr（ω）teω）dr=Rbtgr（ωteω）dr=Rbtgr（ω）dr。两者仅依赖于ω。2）Nex t，假设τ>t。命题1.1（3）也表示τ（ω）teω）>t， eω∈ Ohmζ：=τt，ωisa Tt-停车时间。因此Vnτt、 ω（eω）=Vnτ(ω teω），ωteω= 越南τt，ω（eω），ωteω= （Vn）t，ωζ（eω），eω,eω∈OhmT

根据第一个等式（7.4），我们也有Rτgrdrt、 ω（eω）=Rτ（ω）teω）gr（ω）teω）dr=Rtgr（ω）dr+Rζ（eω）tgt，ωR（eω）dr。那么（3.3）和（2.6）意味着（Vnτ）t，ω+Zτgrdrt、 ω≤EP（Vn）t，ωζ+Zζtgt，ωr博士+Zt | gr（ω）|dr≤EPψt，ω*+ZTtgt，ωr博士+Zt | gr（ω）|dr<∞.7.4命题的证明5.1 19定理4.1的证明：定义t:=Vt+Rtgrdr，t∈ [0，T]如引理A.1。给定（t，ω）∈[0，T]×Ohm 和n∈N、 由于注释3.2，命题1.1（4）和命题3.4表明（Vn）t，ω-ω是Ft-具有左上半连续路径和thatVt，ω的自适应过程-ω是Ft-对于所有连续路径的自适应过程，我们可以从（3.2）中推导出τn，δ（t，ω）：=infs∈[t，t]：（Vn）t，ωs<Lt，ωs+δ, δ>0都是英尺-可选时间和τ*（t，ω）：=infs∈[t，t]：Vt，ωs=Lt，ωs=infs∈[t，t]：Vt，ωs≤Lt，ωs这是英国《金融时报》-停车时间。1） Let（t，ω）∈[0，T]×Ohm γ∈Tt。自γ（πt）∈Ttby（1.3），在引理A的（A.1）o中取t′=t和ζ=γ（πt）。表明vt（ω）+Ztgr（ω）dr=Υt（ω）≤ infP∈P（t，ω）EPΥτ*（t，ω）（πt）∧γ（πt）∨Tt、 ω. （7.40）对于任何eω∈ Ohmt、 （3.3）和（7.4）中的第一个等式意味着Υτ*（t，ω）（πt）∧γ（πt）∨Tt、 ω（eω）=Υτ*（t，ω）πt（ω）teω）∧γπt（ω）teω）∨t、 ωteω=Υτ*（t，ω）（eω）∧γ（eω），ωteω=Vt，ωτ*（t，ω）（eω）∧γ（eω），eω+Zτ*（t，ω）（eω）∧γ（eω）gr（ω）teω）dr≤ 1{τ*（t，ω）（eω）≤γ（eω）}Lt，ωτ*（t，ω）（eω），eω+1{γ（eω）<τ*（t，ω）（eω）}Ut，ωγ（eω），eω+Ztgr（ω）dr+Zτ*（t，ω）（eω）∧γ（eω）tgt，ωr（eω）dr=Rt，ω（τ）*（t，ω），γ）（eω）+Ztgr（ω）dr.将其插入（7.40）得到vt（ω）≤ infP∈P（t，ω）EPhRt，ωτ*（t，ω），γi、 接受γ的影响∈ t等于vt（ω）≤ γ干扰素∈ TtinfP∈P（t，ω）EPRt，ωτ*（t，ω），γ≤ supτ∈Ttinfγ∈ TtinfP∈P（t，ω）EPRt，ω（τ，γ）=Vt（ω）≤Vt（ω），证明（4.3）。2）让ζ∈T和（T，ω）∈[0，T]×Ohm. Ifbt:=τ*(ω)∧ζ(ω) ≤t、 与（7.39）相似，我们可以从命题1.1（3）中推导出F-注释3.2和（1.8）对Υ的适应性Υτ*∧ζt、 ω（eω）=Υbt，ω,  eω∈OhmT

ThenEtΥτ*∧ζ（ω） =infP∈P（t，ω）EPhΥτ*∧ζt、 ωi=infP∈P（t，ω）EPΥ（bt，ω）= Υbt，ω= Υτ*(ω) ∧ ζ(ω) ∧ t、 ω. （7.41）另一方面，如果τ*(ω) ∧ζ（ω）>t，应用命题1.1（3）再次表明ωTOhmT{τ*∧ζ>t}。所以它适用于任何eω∈Ohmt那Υτ*∧ζt、 ω（eω）=Υτ*∧ζωteω=Υ(τ*∧ζ)∨Tωteω=Υ(τ*∧ζ)∨Tt、 ω（eω）。Asτ*=τ*(0,0)=τ*（0，ω），在（A.1）中取t′=0得到Υτ*∧ζ∧t（ω）=Υt（ω）≤ infP∈P（t，ω）EPhΥ(τ*∧ζ)∨Tt、 ωi=infP∈P（t，ω）EPhΥτ*∧ζt、 ωi=EtΥτ*∧ζ（ω） ，再加上（7.41）证明（4.4）。7.4命题5.1关于任何αδ的证明∈(0, ∞), 我们定义Φ（α，δ）：=(δ+δ1/4)+κ(1+2-1δ)φ(α)δ1/4+κ2-1φ+1(α)δ/2+1/4.1）我们首先证明了概率类{P（t，ω）}（t，ω）∈[0，T]×Ohm满意度（P1）和（P2）。Let（t，ω）∈[0，T]×Ohm 和u∈美国犹他州。我们设定（P，P，X）：=Pt，ω，u，Pt，ω，u，Xt，ω，u. 给定eω∈Ohmt、 （2.4）表明ψt，0r（X（eω））-ψr（0）=ψr（0）tX（eω）-ψr（0）≤k0tX（eω）k0，r≤κ1+kX（eω）kt、 r, R∈[t，t]。（7.42）健壮的Dynkin游戏20因此ψt，0*（X（eω））=supr∈[t，t]ψt，0r（X（eω））≤ κ1+kX（eω）kt、 t+ Mψ，其中Mψ：=supr∈[t，t]ψr（0）< ∞ 通过路径ψ·（0）的连续性。因为ψt，0是一英尺-根据1.1（4）的建议调整工艺，施用（5.3）可产生thatEPψt，0*=Epψt，0*=Etψt，0*（十）≤κ1+EtkXkt、 t+Mψ≤κ1+φkωk0，tT/2.+Mψ<∞.也就是说，ψt，0∈ S（英尺，P）。与（7.42）相似，从m（1.6）可以推断gt，0r（X（eω））-gr（0）≤κ1+kX（eω）kt、 rforany r∈[t，t]。然后Fubini定理和（5.3）暗示EpZTt | gt，0r | dr=EpZTt | gt，0r | dr=EtZTt | gt，0r（X）|dr≤ κZTt1+Et[kXkt、 [t]dr+ZTt | gr（0）| dr≤κT1+φkωk0，tT/2.+ZTt|gr（0）| dr<∞. 因此P∈bPt。（7.43）对于任何t∈ [0，T]和ω，ω∈ Ohm 对于ω|[0，t]=ω|[0，t]，因为对于给定的路径ω，SDE（5.1）只依赖于ω|[0，t]∈ Ohm, 我们看到Xt，ω，u=Xt，ω，u，因此对于任何u，Pt，ω，u=Pt，ω，u∈ 美国犹他州。因此P（t，ω）=P（t，ω）。因此，假设（P1）是满足的。

[5]的命题6.3已经证明了概率类{P（t，ω）}（t，ω）∈[0，T]×Ohm满足性（p2）。2）验证概率类{P（t，ω）}（t，ω）∈[0，T]×Ohm满意度（P3）相对较长。我们把它分成几部分。2a）让我们首先引用[5]中关于Xt，ω，u的逆映射的一些知识，它已经验证了{P（t，ω）}（t，ω）的（P3）（i），（ii）∈[0，T]×Ohm.给定（t，ω）∈[0，T]×Ohm 和u∈Ut，根据[5]（参见其中（7.62）和（7.63）的c上下文），存在一个Ft-逐步测量过程Wt，ω，u，使得对于所有的eω∈ Ohmt接受治疗-空集Nt，ω，uBts（eω）=Wt，ω，usXt，ω，u（eω）, s∈ [t，t]，并且pt，ω，u集的概率为，ω，u：={eω′∈Ohmt:Nct，ω，u∩（Xt，ω，u）-1（eω′）6=} 是1，即Act，ω，u∈Npt，ω，u：=A.∈GXt，ω，uT:pt，ω，u（A）=0. 对任何人来说∈[5]的[t，t]，（5.4）和引理A.3（2）表明Ft，ω，ur:=σFtr∪Npt，ω，uGXt，ω，ur。我们从（7.67）周围的上下文中看到-[5]的（7.69）thatfWt，ω，ur（eω）：=1{eω∈At，ω，u}Wt，ω，ur（eω），（r，eω）∈[t，t]×Ohmtisan{Ft，ω，ur}r∈[t，t]-调整流程，使其所有路径都属于Ohmt、 即ω=Bt（eω）=Wt，ω，uXt，ω，u（eω）=fWt，ω，uXt，ω，u（eω）,  eω∈ Nct，ω，u，（7.44）以及fWt，ω，u-1（A′）∈ Ft，ω，ur，A′∈Ftr，R∈ [t，t]。（7.45）修正0≤t<s≤T，ω∈Ohm 和u∈Ut，δ∈Q+和λ∈N.我们考虑Fts-分区{Aj}λj=0ofOhm对于j=1，··，λ，Aj某些δj的Osδj（eωj）∈(0, δ]∩Q∪{δ} 和eωj∈Ohmt、 设{uj}λj=1我们我们将简单地设置（P，P，X，W，F·）：=Pt，ω，u，Pt，ω，u，Xt，ω，u，fWt，ω，u，Ft，ω，u·. （7.46）给定j=1，··，λ，（5.4）表明AXj:=X-1（Aj）∈Fts。所以存在一个Aj∈比如AXj Aj∈Nt（参见[36]中的问题2.7.3）。

根据[5]中命题6.3的证明中使用的类似论点，我们可以证明（u1）seteAj:=Aj∪j′<jAj′∈安盛富时酒店eAj∈新界见[5]中的（7.70）.（u2）粘贴的控制bur（eω）：=1{r∈[t，s）}ur（eω）+1{r∈[s，T]}{eω∈eA}ur（eω）+Pλj=1{eω∈eAj}ujr（πts）eω）, （r，eω）∈[t，t]×Ohm特贝隆至Ut，其中EA：=λ∪j=1eAjC∈ Fts见[5]中的（7.71）. 设置bP，bP，bX，cW，bF·，bN:=Pt，ω，bu，Pt，ω，bu，Xt，ω，bu，fWt，ω，bu，Ft，ω，bu·，Nt，ω，bu.（u3）存在一个Pt-null seteNjsuch对于任何eω∈eAj∩eNcj，Neω：=bω∈Ohms:bXr（eω）sbω）6=X（eω）sXs，ωtX（eω），uj（bω）（r） 为了一些人∈[t，t]属于我的见[5]中的（7.78）.7.4命题5.1 21（u4）的证明∈ Fts，X-1（A）bX-1（A）∈ 新界见[5]中的（7.74）.同样，类似于[5，命题6.3]的第（2b）部分，我们可以使用受控SDE（5.1）的唯一性来证明等式bu=u[t，s]×OhmT∪[s，T]×eA意味着等式bx=X[t，s]×OhmT∪[s，T]×eA,因此，BP的满意度（P3）（i）、（ii）。2b）为了表明BP的满意度（2.8），我们首先进行了一些技术设置和准备。命题1.1（4）表明Yr:=gt，ωr，Yr:=Lt，ωrand Yr:=Ut，ωr，r∈ [t，t]是三英尺-适应了所有连续路径的流程。对于l = 1,2,3，（5.4）表示YlbX是anFt吗-适应所有连续路径的过程。用[5]中的引理A.2（3）和（P，X）=（Pt，Bt）表示YlbX有一个（英尺，磅）-版本Yl. 更确切地说，是Yl’s是Ft-逐步可测量的过程，例如：=∪l=1.eω∈Ohmt:Ylr（eω）6=YlRbX（eω）为了一些人∈[t，t]∈新界。（7.47）根据艾玛1.2，它适用于所有的eω∈Ohmtexcept on aneNR∈不是吗NR∪bNs、 eω∈纳什。从命题1.1（4）可以看出，随机变量ξm:=supt′∈[t，t]Z（t′+2）-m）∧Tt′gt，ωr博士M∈N（7.48）为FtT-可测量的

从林姆开始→∞↓ ξm=0，（2.6）且收敛定理表明→∞↓ EbP[ξm]=0。所以有m∈N使得EbP[ξm]≤δ/2和Φkωk0，t，2-M≤δ/2. 设置a:=2-m、 现在，fix n∈N∪{∞}, ∈t设j=1，··，λ。我们设定（Pj，Pj，Xj，Wj，Fj·，NXj）：=Ps，ωteωj，uj，ps，ωteωj，uj，Xs，ωteωj，uj，fWs，ωteωj，uj，Fs，ωteωj，uj·，Ns，ωteωj，uj以及定义j:=（Xj）∈Ts，νj：=j（πts）∈Tts，bγj:=νjcW, （7.49*）其中bγjis abF-以[s，T]为单位取值的停止时间。给定i=0，··，2m，我们设置si:=s∨（i2）-mT）和Di:={si-1<bγj≤si}∈BFSIS-1:=-1.例如[36]中的问题2.7.3，存在neDi∈FTSISOUCH电子数据交换∈Nbp。定义Di:=eDi∪i′<ieDi′∈FtsiandD:=m∪i=0Di=m∪i=0eDi∈FtT。那么γ′j:=Pmi=0Disiis abF-γj:=Pmi=0Disi+1DcT定义Tts时的停止时间-停车时间。显然，γ′jcoincides与γjoverm∪i=1Di∩Di, 谁的补语∪i=1Di\\Di属于NbpbecauseDi\\Di=Di∩H电子数据交换C∪∪i′<ieDi′我=Di\\eDi∪∪i′<i电子数据交换∩DiDi电子数据交换∪∪i′<i电子数据交换∩Dci\' ∪我≤我Di′电子数据交换∈Nbp。对于i=1，2m。也就是说，我们有γ′j=γj，bp- a、 现在，Fix a∈ Fts，τ∈ Tts（n）和集bτ：=τbX. 我们给出了一个辅助不等式：λXj=1EbPA.∩AjRt，ωτ、 γj≤λXj=1EtbX-1（A）∩Aj）Ξj+δ、 （7.51）式中Ξj:=Rbτ∧νjtYrdr+1{bτ≤νj}Ybτ+1{νj<bτ}Yνj∈ [s，T]，与（A.19）的类比表明{bτ≤r} =bX-1.{τ ≤ r}∈Ftr，So bτ∈Tts。根据[5]的ArXiv版本中的引理2.5（3），它适用于所有的eω∈OhmNτ上的t接受∈ntbτs，eω∈t.对于j=1，·，λ，从Y开始l’s阿雷夫特-逐步可测量的过程和自νjis aTts-停止时间，我们看到Ξjis是FtT-可测量的随机变量。鲁棒Dynkin对策22设j=1，··，λ。到（7.50），EbPA.∩AjRt，ωτ、 γj=EbpA.∩AjRt，ωτ、 γj=EbpA.∩AjRt，ωτ、 γ′j=EthbX-1（A）∩Aj）Rt，ωτ、 γ′jbX我

（7.52）给定eω∈Ohmt、 从0开始≤γ′j（eω）-bγj（eω）<a，（1.6）意味着rt，ωτ、 γ′j（eω）-Rt，ωτ、 bγj（eω）=Zτ（eω）∧γ′j（eω）τ（eω）∧bγj（eω）gt，ωr（eω）dr+1{bγj（eω）<τ（eω）≤γ′j（eω）}Lt，ω（τ（eω），eω）-Ut，ω（bγj（eω），eω）+1{γ′j（eω）<τ（eω）}Ut，ω（γ′j（eω），eω）-Ut，ω（bγj（eω），eω）≤ξm（eω）+1{bγj（eω）<τ（eω）≤γ′j（eω）}（τ（eω）-bγj（eω））+supr∈[0，T](ωteω）R∧τ（eω）-(ωteω）R∧bγj（eω）+1{γ′j（eω）<τ（eω）}（γ′j（eω）-bγj（eω））+supr∈[0，T](ωteω）R∧γ′j（eω）-(ωteω）R∧bγj（eω）≤ξm（eω）+1{bγj（eω）<τ（eω）≤γ′j（eω）}a+supr∈[bγj（eω），τ（eω）]eω（r）-eω（bγj（eω））+1{γ′j（eω）<τ（eω）}a+supr∈[bγj（eω），γ′j（eω）]eω（r）-eω（bγj（eω））≤ξm（eω）+a+supr∈νjcW（eω）,νjcW（eω）+A.∧Teω（r）- eωνjcW（eω）.取eω=bX（eω′），我们可以从（7.44）中推导出Pt-a、 s.eω′∈Ohmt、 Rt，ωτ、 γ′jbX（eω′）-Rt，ωτ、 bγjbX（eω′）≤ξmbX（eω′）+a+supr∈[νj（eω′）（νj（eω′）+a）∧[T]bXr（eω′）-bXνj（eω′）. （7.53）同时，（7.44）和（7.47）表明，对于任何eω′∈NR∪bNcRt，ωτ、 bγjbX（eω′）=Zbτ（eω′）∧νj（eω′）tYrbX（eω′）dr+1{bτ（eω′）≤νj（eω′）Ybτ（eω′），bX（eω′）+1{νj（eω′）<bτ（eω′）Yνj（eω′），bX（eω′）=Zbτ（eω′）∧νj（eω′）tYr（eω′）dr+1{bτ（eω′）≤νj（eω′）Ybτ（eω′），eω′+1{νj（eω′）<bτ（eω′）Yνj（eω′），eω′=Ξj（eω′）。（7.54）自-1（A）∩ （Aj）∈Fts，j=0，··，λ乘以（5.4）和自νj的areTts-停止时间，ν：=1bX-1（A）T+Pλj=1bX-1（Aj）νjis也是Tts-停车时间。设置η：=supr∈[ν，（ν+a）∧[T]bXr-bXν. 使用不等式（a+b）≤-1（a）+B), a、 b>0，可以从（7.54）、（7.53）和（5.3）中推断λXj=1EthbX-1（A）∩（Aj）Rt，ωτ、 γ′jbX-Ξj我≤λXj=1EtbX-1（A）∩（Aj）ξmbX+a+supr∈[νj，（νj+a）∧[T]bXr-bXνj=λXj=1EthbX-1（A）∩（Aj）ξmbX+a+η我≤EthξmbX+a+η我≤ Ebp[ξm]+Et{η≤a}（a+a）+κ1{η>a}1+（a+η）≤EbP[ξm]+（a+a）+κa-1/4Eth（1+2-1a)η+2-1η+1i≤δ/2+（a+a）+κ（1+2）-1a)ν（kωk0，t）a+κ2-1φ+1（kωk0，t）a/2+1/4=δ/2+Φkωk0，t，2-M≤δ.

（7.55）然后我们从m（7.52）中看到λXj=1EbPA.∩AjRt，ωτ、 γj=λXj=1EthbX-1（A）∩Aj）Rt，ωτ、 γ′jbX我≤λXj=1EtbX-1（A）∩Aj）Ξj+δ、 证明（7.51）。2d）我们已经准备好使用（2.1）和估计（5.2）来验证（2.8）BP。再次设j=1，··，λ。AsbP∈bPtby（7.43），（7.54），（2.5）和（2.6）暗示了这一点|Ξj|≤ EtZTtgt，ωrbXdr+ψt，ω*bX= EbpZTtgt，ωrdr+ψt，ω*= EbPZTtgt，ωrdr+ψt，ω*< ∞.7.4命题5.1 23的证明-1（A）∩ （Aj）∈ Fts，应用[5]的引理A.2（1）和（P，X，ξ）=Pt，Bt，Ξj, 将（u4）与A=A一起使用∩ 在[5]的ArXiv版本中应用命题2.3，使用（P，ξ）=Pt，Ξj, 我们可以从命题1.2（1）和（u1）推导出bX-1（A）∩Aj）Ξj= EthbX-1（A）∩Aj）EtΞjFtsi=EthbX-1（A）∩Aj）EtΞjFtsi=EthX-1（A）∩Aj）EtΞjFtsi=Eth{eω∈十、-1（A）∩AXj}EsΞs，eωji=Eth{eω∈十、-1（A）∩AXj∩eAj}EsΞs，eωji、 （7.56）设eω∈AXj∩eAj∩eNcj∩eNcR∩Ncτ。作为bτs，eω∈类似于bγj=νj（cW），ζeω：=bτs，eω（Wj）是Fj-停车时间。

设bω∈Ohm假设bω不在Ps中-空集NR∪bNs、 eω∪NXj∪Neω和定义Xjeω（bω）：=Xs，ωtX（eω），uj（bω）-Xj（bω）s、 T.取eω′=eωsbω∈NR∪bNcin（7.54），我们从（2.3），（7.44），（u3），（2.1）以及（7.4）的第二等式的类比中看到，Ξs，eωj（bω）=Rt，ωτ、 bγjbX（eω）sbω）= Rt、 τbX（eω）sbω）, bγjbX（eω）sbω）, ω TbX（eω）sbω）= Rt、 bτ（eω）sbω），νj（eω）sbω），ωTbX（eω）sbω）= Rt、 bτs，eω（bω），j（bω），ωTbX（eω）sbω）= Rt、 ζeωXj（bω）, Xj（bω）, ω TX（eω）sXs，ωtX（eω），uj（bω）≤Rt、 ζeωXj（bω）, Xj（bω）,ω tX（eω）s（Xj（bω）+（1+T）Xjeω（bω）= Rs、 ζeωXj（bω）, Xj（bω）,ωtX（eω）s（Xj（bω）+Zstgr(ωtX（eω）s（Xj（bω））dr+（1+T）Xjeω（bω）=Rs，ωtX（eω）（ζeω，)Xj（bω）+Zstgrω tX（eω）dr+（1+T）Xjeω（bω）.自从Xjeω（bω）≤ 1.Xjeω（bω）≤δ1/2δ1/2+1.Xjeω（bω）>δ1/2κδ-1/2Xjeω（bω）+Xjeω（bω）+1., （5.2）表明Ξs，eωj≤ 埃什Rs，ωtX（eω）（ζeω，)（Xj）i+Zstgt，ωrX（eω）dr+（1+T）δ1/2+（1+T）κδ-1/2CT kωtX（eω）-ωteωjk0，s+C+1T+1kΩtX（eω）-ωteωjk+10，s. （7.57）b组（δ） ：=δ+（1+T）δ1/2+（1+T）κCTδ1/2+C+1T+1δ+1/2. 作为eω∈AXj=X-1（Aj），即X（eω）∈AjOsδj（eωj），一个有kωtX（eω）-ωteωjk0，s=kX（eω）-eωjkt，s<δj≤δ. 它允许从m（7.57）开始Ξs，eωj≤ EpjhRs，ωtX（eω）（ζeω，)i+Zstgt，ωrX（eω）dr+b(δ) - δ≤ sup∈Ts（n）EPjhRs，ωtX（eω）（），)i+Zstgt，ωrX（eω）dr+b(δ) - δ. （7.58*）将其插入（7.56），我们看到fr om（7.51）和（u1）λXj=1EbPA.∩AjRt，ωτ、 γj≤λXj=1Eth{eω∈十、-1（A）∩十、-1（Aj）}sup∈Ts（n）EPjhRs，ωtX（eω）（），)i+Zstgt，ωrX（eω）dr+b(δ)-δi+δ=λXj=1Eph{eω∈A.∩Aj}sup∈Ts（n）EPjhRs，ωteω（），)i+Zstgt，ωr（eω）dr+b(δ)-δi+δ=λXj=1EPh{eω∈A.∩Aj}sup∈Ts（n）EPjhRs，ωteω（），)i+Zstgt，ωr（eω）dri+P（A）∩Ac）（b）(δ)-δ)+δ.在上一个等式中，我们使用了映射eω→ sup∈Ts（n）EPjhRs，ωteω（），)iis在无rmk kt和FtT的情况下连续运行-可通过备注2.2（2）进行测量。