关于鲁棒Dynkin对策

因此，（2.8）对于在这部分中，我们仍然使用（2.1）和估计（5.2）来表示{P（t，ω）}（t，ω）∈[0，T]×Ohm满足假设3.1。健壮的Dynkin Games 24Fix n∈ N∪{∞}, T∈ [0，T]，ω，ω′∈ Ohm, u ∈ Utand集δ：=kω′-ωk0，t。我们仍然使用符号（7.46）和集合（P′，P′，X′，W′，F′·）：=Pt，ω′，u，Pt，ω′，u，Xt，ω′，u，fWt，ω′，u，Ft，ω′，u·.固定ε>0。我们仍然定义了（7.48）中的ξm，并且可以找到k∈N使得EP′[ξk]≤ε/2和Φkω′k0，t，2-K≤ε/2.此外，fixγ∈t和τ∈Tt（n）。类似于bτ=τbX在第2c）部分中，τ（X′）属于toTt；与bγj=νj类似cW,（7.45）表示eτ：=τX′（W）是F-停车时间。总的来说，γ（X）属于eγ：=γX（W′）定义一个F′-停车时间。设置ti:=t∨（i2）-kT），i=0，··，2k。那么eγ′k:=Pki=0{ti-1<eγ≤ti}tide定义了一个F′-停车时间，在哪里-1:=-1.通过与（7.50）类似的论点，我们可以构造一个Tt-在{ti}ki=0中取值的停止时间eγk，使得eγ′k=eγk，p′-a、 与（7.53）类似，我们可以推导出Pt-a、 s.eω∈Ohmt、 Rt，ωτ、 eγ′kX′（eω）-Rt，ωτ、 eγX′（eω）≤ξkX′（eω）+-k+η′（eω）,式中η′：=supr∈[γ（X），（γ（X）+2-（k）∧[T]X′r-X′γ（X）. 与（7.55）相似，（5.3）表示EP′Rt，ωτ、 eγk-Rt，ωτ、 eγ= Ep′Rt，ωτ、 eγ′k-Rt，ωτ、 eγ=EtRt，ωτ、 eγ′k（X′）-Rt，ωτ、 eγ（X′）≤ Etξk（X′）+-k+η′≤ EP′[ξk]+Φkω′k0，t，2-K≤ ε. （7.59）因为（7.44）表明τX′（eω）= τX′W（X（eω））= eτX（eω）eγ（X′（eω））=γ十、W′（X′（eω））= γX（eω）等待Pt-a、 s.eω∈ Ohmt、 我们从（2.3）和（2.1）中看到，对于Pt-a、 美国。

eω∈ OhmTRt，ω′（τ，eγ）X′（eω）-Rt，ω（eτ，γ）X（eω）=Rt、 τ（X′（eω）），eγ（X′（eω）），ω′tX′（eω）-Rt、 eτ（X（eω）），γ（X（eω）），ωtX（eω）=Rt、 eτ（X（eω）），γ（X（eω）），ω′tX′（eω）-Rt、 eτ（X（eω）），γ（X（eω）），ωtX（eω）≤ （1+T）kω′tX′（eω）-ωtX（eω）k0，T≤（1+T）kω′-ωk0，t+kX′（eω）-X（eω）kt，T=（1+T）δ+X（eω）≤1{X（eω）≤δ1/2}（1+T）δ+δ1/2+1{X（eω）>δ1/2}κ（1+T）δ-1/2(1+2-1δ)X（eω）+2-1(X（eω））+1.,具有X（eω）：=kX′（eω）-X（eω）kt，T。然后（7.59）和（5.2）显示出tEP′Rt，ωτ、 eγk= Ep′Rt，ωτ、 eγk≤ Ep′Rt，ω′（τ，eγ）+ε=EtRt，ω′（τ，eγ）（X′）+ε≤ EtRt，ω（eτ，γ）（十）+（δ） +ε=EpRt，ω（eτ，γ）+（δ） +ε，（7.60）式中（δ） ：=（1+T）（δ+δ1/2）+κ（1+T）(1+2-1δ)CTδ1/2+2-1C+1T+1δ+1/2≥(δ).与（7.58）相似，我们可以推断EpRt，ω（eτ，γ）≤ sup∈Tt（n）EPRt，ω（，γ）. 因此，从（7.60）可知Rt，ω′（τ，eγk）≤ sup∈Tt（n）EPRt，ω（，γ）+(δ)+ε.取τ的上确界∈ 左边的Tt（n）产生infζ∈Ttsupτ∈Tt（n）EP′Rt，ω′（τ，ζ）≤ supτ∈Tt（n）EP′Rt，ω′（τ，eγk）≤ sup∈Tt（n）EPRt，ω（，γ）+(δ)+ε.然后对γ进行估算∈ t在右边，我们得到∈Ttsupτ∈Tt（n）EPt，ω′，uRt，ω′（τ，ζ）≤ γ干扰素∈ Ttsup∈Tt（n）EPt，ω，uRt，ω（，γ）+(δ)+ε.让ε→ 0，且取整数超过u∈ U两边都会导致vnt（ω′）=infu∈Utinfζ∈Ttsupτ∈Tt（n）EPt，ω′，uRt，ω′（τ，ζ）≤ infu∈Utinfγ∈ Ttsup∈Tt（n）EPt，ω，uRt，ω（，γ）+kω′-ωk0，t=Vnt（ω）+kω′-ωk0，t.交换ω′和ω的角色表明{P（t，ω）}（t，ω）∈[0，T]×Ohm满足（3.4）。4）验证{P（t，ω）}（t，ω）的假设3.2∈[0，T]×Ohm, we fixα>0和δ∈7.5定理6.1的证明∈[0，T），ω∈Otα（0），u∈Utandζ∈Tt。我们再次使用符号（7.46）。类似于bτ=τbX在第2c部分中，eζ：=ζ（X）是aTt-停车时间。设置eη：=supr∈eζ（eζ+δ）∧TXr-Xeζ.

与（7.55）类似，我们可以从（5.3）中推断出δ+supr∈[ζ,(ζ+δ)∧[T]Btr-Btζ=Epδ+supr∈[ζ,(ζ+δ)∧[T]Btr-Btζ=Etδ+supr∈eζ（eζ+δ）∧TXr-Xeζ=Et（δ+eη）≤(δ+δ1/4)+κ(1+2-1δ)ν（kωk0，t）δ1/4+κ2-1φ+1（kωk0，t）δ/2+1/4≤ α（δ），其中α(δ) := (δ+δ1/4)+κ(1+2-1δ)φ(α)δ1/4+κ2-1φ+1(α)δ/2+1/4. 取ζ的上确界∈t然后取上确界∈Utandω∈Otα（0）产率（3.6）。7.5定理6.1的证明如果V=L，则τ*= 因此，它适用于任何（P，γ）∈ P×T表示EP[R（τ*, γ） 下一步，让我们假设V>L.定理4.1（1），命题3.4（1），（A′）和注释3.1的证明，意味着过程Xt:=Vt- 中尉，t∈ [0，T]具有所有连续路径和满足| Xt（ω）- Xt（ω′）|≤ |Vt（ω）- Vt（ω′）|+|Lt（ω）- Lt（ω′）|≤ 2ρkω- ω′k0，t, T∈ [0，T]，ω, ω′∈ Ohm.然后将[7]中的定理3.1应用于支付过程L:=-U、 U:=-L和随机成熟度τ=inf{t∈[0，T]：Xt≤0}∧T=inf{T∈[0，T]：Vt=Lt}=τ*表明（特别是，（H4）通过其中的注释3.1（3）暗示了（P4）o f[7]），对于一些（P*, γ*)∈P×T，sup（P，γ）∈P×TEP{γ<τ*}Lγ+1{τ*≤γ} Uτ*= EP*{γ*<τ*}γ*+ 1{τ*≤γ*}Uτ*. 倍增-从（4.3）中，我们可以看到，V=inf（P，γ）∈P×TEP[R（τ）*, γ） ]=EP*R（τ）*, γ*). 附录。A技术问题A.1。定义Υt:=Vt+Rtgrdr，t∈ [0，T]给定ζ∈T，它适用于任何（T，ω）∈[0，T]×Ohm 和t′∈[0，t]即Υt（ω）≤ infP∈P（t，ω）EPΥτ*（t′，ω）（πt′）∧ζ∨Tt、 ω. （A.1）Lemm A.1的证明：修正0≤ t′≤ T≤ T，ω∈ Ohm, ζ ∈T和setα：=1+kωk0，T.1）当T=T时，有infP∈P（T，ω）EPΥτ*（t′，ω）（πt′）∧ζ∨TT、 ω= infP∈P（T，ω）EPh（ΥT）T，ωi=infP∈P（T，ω）EPhΥT（ω）i=ΥT（ω）。2）接下来，假设T<T和vt（ω）=Lt（ω）。然后τ*（t′，ω）πt′（ω）=infns∈[t′，t]：Vt′，ωsπt′（ω）=Lt′，ωsπt′（ω）o=infs∈[t′，t]：Vs（ω）=Ls（ω）≤ t、 这意味着ω∈πt′-1（A′）与A′：=ω′∈Ohmt′：τ*（t′，ω）（ω′）≤T∈Ft\'t。

因为[5]中的引理A.1表明∏t′是Fr/Ft′r-可测量的映射，R∈[t′，t]，（A.2）我们看到了πt′-1（A′）∈根据引理1.1，ωTOhmTπt′-1（A′）或τ*（t′，ω）πt′（ω）teω）≤ T eω∈ Ohmt、 （A.3）备注3.2和命题3.4（1）表明Υ是F-适应所有连续路径的过程。将（1.8）应用于Υt∈F和我们ing（A.3）得出Υτ*（t′，ω）（πt′）∧ζ∨Tt、 ω（eω）=Υτ*（t′，ω）（πt′（ω）teω）∧ζ(ω teω）∨t、 ωteω=Υt（ω）teω）=Υt（ω）， eω∈Ohmt、 健壮的Dynkin对策26因此我们仍然获得（A.1）作为等式。3） 关于t<t和vt（ω）>Lt（ω）的讨论相对较长。我们把它分成几个步骤。辛塞利姆→∞↑ Vnt（ω）=Vt（ω）乘以（3.1）和命题3.3，存在一个整数N=N（t，ω）>logTT-T任何n的vnt（ω）>Lt（ω）≥N固定δ>0和k，n∈N和k≥n>n.对于任何r∈[t′，t]，作为Ar：=eω∈Ohmt′：τn，δ（t′，ω）（eω）<r∈Ft′r，（A.2）表示nω′∈Ohm: τn，δ（t′，ω）（πt′（ω′）<ro=ω′∈Ohm: πt′（ω′）∈应收账= （t′）-1（Ar）∈Fr.Soτn，δ（t′，ω）（πt′）是F-可选的时间值，单位为[t′，t]，它的结果如下：=τn，δ（t′，ω）（πt′）∧ζ∨t是F- 可选时间，以[t，t]为单位。让ik为最大整数，这样ik-kT≤t、 As k>logTT-T, 可以推断出ik<2k-1.设置tik:=tand ti:=i2-kT代表i=ik+1，··，2k。3a）在第一步中，我们从命题3.1推导出一个辅助不等式：Vnti（ω）≤ Lti（ω）∨ EtiVnti+1+Zti+1tigrdr（ω） ，i=ik，··，2k- 1.（A.4）设i=ik，··，2k-1.用（t，s）=（ti，ti+1）施加（3.5），并取γ=ti+1，得到vnti（ω）≤ infP∈P（ti，ω）supτ∈Tti（n）EP“{τ<ti+1}Rti，ω（τ，ti+1）+1{τ”≥ti+1}Vnti+1ti，ω+Zti+1tigti，ωrdr#. （A.5）对于任何τ∈Tti（n），它取{ti}中的值∪ {j2-nT}nj=j，其中jis是最小的整数，使得ti<j-新界。Asn≤k、 一个是ti+1≤J-nT，so{τ<ti+1}={τ=ti}∈Ftiti={, Ohmti}。也就是说，我们有{τ<ti+1}={τ=ti}=Ohmtior{τ≥ti+1}=Ohmti。

由于Rti，ω（ti，ti+1）=Lti，ωti=L（ti，ω）乘以（7.6），我们从（A.5）中看到vnti（ω）≤ infP∈P（ti，ω）Lti（ω）∨EPVnti+1ti，ω+Zti+1tigti，ωrdr=Lti（ω）∨ EtiVnti+1+Zti+1tigrdr（ω） 在下一步中，我们将展示随着时间的推移，网格{ti}kik-适应过程Υnt:=Vnt+Rtgrdr，t∈[0，T]伊桑·E-直到时间νn的子鞅，δk：=Pki=ik+1{ti-1.≤νn，δ<ti}ti+1{νn，δ=T}T，即Υnνn，δk∧ti（ω）≤ EtihΥnνn，δk∧ti+1i（ω），i=ik，·2k- 1.（A.6）对于任何r∈tik+1，T, 设jr为最大整数，这样tjr≤ r、 因为νn，δ是F-可选时间，我们可以推断{νn，δk≤ r} =jr∪i=ik+1{νn，δk=ti}=jr∪i=ik+1{ti-1.≤ νn，δ<ti}={νn，δ<tjr}∈ Ftjr Fr.Soνn，δkis aTt（k）-停车时间。（i） Le t i=首先。我们简单地用s来表示tik+1b，因为Vnt（ω）>Lt（ω），用i=i应用（A.4）得到Vnt（ω）≤EtVns+Zstgrdr(ω). （A.7）Asνn，δk≥tik+1=s>tik=t，（7.4）中的第一个等式表明Υnνn，δk∧st、 ω（eω）=Υnνn，δk（ω）teω）∧s、 ωteω=Υns、 ωteω=越南s、 ωteω+Zstgrωteωdr+Ztgrω博士=Vns+Zstgrdrt、 ω（eω）+Ztgrω博士eω∈Ohmt、 取期望值EP[]，然后取最大值P∈ P（t，ω），我们从（A.7）中看到∧si（ω）=EtVns+Zstgrdr（ω） +Ztgr（ω）dr≥Υnt（ω）=Υnνn，δk∧t（ω），证明i=ik的（A.6）。（ii）接下来，让i=ik+1，·2k-1.给定ω∈{νn，δk≤ti}，用（t，s，τ）应用前位置1.1（3）=0，ti，νn，δk显示νn，δkω钛Ohm钛≡νn，δk（ω）：=bt.AsΥnbt∈FbtFti，使用（1.8）和（t，s，η）=0，ti，Υnbt对于任意的eω∈ Ohm蒂娅。1技术引理27Υnνn，δk∧ti+1ti，ω（eω）=Υnνn，δk（ω）（ω）∧ti+1，ωteω=Υn英国电信∧ti+1，ω铁ω=Υnbt，ω铁ω=Υnbt，ω. 就这样Υnνn，δk∧ti+1（ω） =infP∈P（ti，ω）EPhΥnνn，δk∧ti+1ti，ωi=infP∈P（ti，ω）EPΥn（bt，ω）=Υnbt，ω=Υnνn，δk（ω）∧ti，ω. （A.8）然后我们让ω∈{νn，δk>ti}。命题1.1（3）表明ω钛Ohm钛νn，δk>ti=νn，δk≥ ti+1, （A.9）我们可以推断出νn，δ（ω）≥钛≥tik+1>tik=t。

通过定义νn，δ，我们得到了ti≤νn，δ（ω）=τn，δ（t′，ω）（Δt′（ω））∧ζ(ω)≤τn，δ（t′，ω）πt′（ω）接下来是vn（ti，ω）≥L（ti，ω）+δ。（A.10*）这与（A.4）一起表明Vnti（ω）≤Etihvanti+1+Rti+1tigrdri（ω）。在两侧加上Rtigr（ω）dr，从（A.9）thateithΥnνn，δk得出一个c∧ti+1i（ω）=EtiΥnti+1i（ω）=EtiVnti+1+Zti+1tigrdr（ω） +Ztigr（ω）dr≥ Υnti（ω）=Υnνn，δk∧ti（ω），它和（A.8）一起证明了（A.6）对于i=ik+1，··，2k- 1.3c）作为（a.6）的结果，一个有Υnνn，δk∧tii（ω）≤ EthΥnνn，δk∧ti+1i（ω），i=ik+1，·2k- 1.（A.11）设i=ik+1，·2k-1和P∈P（t，ω）。Asξi:=Υnνn，δk∧tki+1英尺-通过注释3.2可测量，命题1.1（1）表明ηi:=ξt，ωiis FtT-可测量的因为（3.3）和（7.4）中的第一个等式表明∈Ohmt |ηi（eω）|≤Ψνn，δk（ω）teω）∧tki+1，ωteω+ZTgr（ω）teω）博士≤ 苏普∈[t，t]ψr（ω）teω）+Zt | gr（ω）|dr+ZTtgt，ωr（eω）dr，（A.12）与（7.13）和（1.9）的类比意味着对于一个ll eω∈Ohmt接受P-零集Ni，EPti，eωhηti，eωii=EPηiFtti（eω）∈ R.（A.13）通过（P2），存在一个扩展Ohmt、 F′，P′关于(Ohmt、 FtT，P）和Ohm′∈F′与P′的结合Ohm′=1使得Pti，eω∈P（s，ω）对于任意的eω∈Ohm′. 给定eω∈ Ohm′∩ Nci，因为ηti，eωi（bω）=ηi（eωtibω）=ξt，ωi（eωtibω）=ξiω t（eω）tibω）= ξi(ω teω）tibω= ξti，ωteωi（bω）， bω∈ Ohms、 我们可以从（A.6）和（A.13）中推断Υnνn，δk∧钛t、 ω（eω）=Υnνn，δk∧钛(ω teω）≤ EtihΥnνn，δk∧ti+1i（ω）teω）=Eti[ξi]（ω）teω）=infeP∈P（ti，ω）teω）EePhξti，ωteωii≤ EPti，eωhξti，ωteωii=EPti，eωhηti，eωii=EPηi | Ftti（eω）=EPhξt，ωiFttii（eω），这表明Ohm′∩NciA′：=nΥnνn，δk∧钛t、 ω≤EPξt，ωiFttio∈FtT。因此P（A′）=P′（A′）≥P′Ohm′∩Nci=1.因此，Υnνn，δk∧钛t、 ω≤EPhξt，ωiFttii，P-a、 s.取期望值EP[·]得到EPh（Υnνn，δk）∧ti）t，ωi≤EPξt，ωi=伊芙Υnνn，δk∧ti+1t、 ωi。

然后对P采取行动∈ P（t，ω），我们得到（A.11）。3d）最后，我们将使用（A.11）以及过程v的连续性来达到（A.1），对于t<t且vt（ω）>Lt（ω）的情况。取i=ikin（A.6）表示Υnt（ω）=Υnνn，δk∧t（ω）≤EthΥnνn，δk∧tik+1i（ω），它与（A.11）和（3.1）一起产生Υnt（ω）≤EthΥnνn，δk∧tik+1i（ω）≤EthΥnνn，δk∧tik+2i（ω）≤···≤EthΥnνn，δk∧tki（ω）=EtΥnνn，δk(ω)≤EtΥνn，δk(ω). （A.14）健壮的Dynkin游戏→∞↓ 由命题3.4得出的V的连续性意味着limk→∞Υνn，δk=Υνn，δ。同样，一个类似于（A.12）的公式，对于任何eω∈OhmTΥνn，δkt、 ω（eω）≤ψt，ω*（eω）+Zt | gr（ω）|dr+ZTtgt，ωr（eω）dr.（A.15）那么对于任何P∈P（t，ω），优势收敛定理和（7.13）的类比意味着limk→∞伊芙Υνn，δkt、 ωi=EPhΥνn，δt、 ωi.对P取最小值∈P（t，ω）和k→ ∞ 在（A.14）中，我们得到了Υnt（ω）≤林克→∞infP∈P（t，ω）EPhΥνn，δkt、 ωi≤ infP∈P（t，ω）limk→∞伊芙Υνn，δkt、 ωi=infP∈P（t，ω）EPhΥνn，δt、 ωi.As kωk0，t≤ kωk0，T<α，我们进一步从（3.7）中看到ΥT（ω）≤Υnt（ω）+ρα（2）-n） +2-N|gt（ω）|+ρα（T）-（t）≤ infP∈P（t，ω）EPhΥνn，δt、 ωi+ρα（2）-n） +2-N|gt（ω）|+ρα（T）-（t）. （A.16）Vnin命题3.4的路径规律性意味着Limδ→0↑ 画→∞↑ τn，δ（t，ω）（eω）=τ*（t，ω）（eω）， eω∈Ohmt、 （A.17*）因此V的连续性表明limδ→0limn→∞Υνn，δ=limδ→0limn→∞Υτn，δ（t′，ω）（πt′）∧ζ∨t=Υτ*（t′，ω）（πt′）∧ζ∨t、 还有lettingk→ ∞ 在（A.15）中得出（Υνn，δ）t，ω≤ ψt，ω*+Rt | gr（ω）| dr+RTtgt，ωr然后去纽约看医生∈ P（t，ω），再次应用支配收敛定理m和（7.13）的类比，我们得到了limδ→0limn→∞伊芙Υνn，δt、 ωi=EPΥτ*（t′，ω）（πt′）∧ζ∨Tt、 ω. 最终，让n→ ∞ 和δ→ （A.16）中的0表示Υt（ω）≤ limδ→0limn→∞infP∈P（t，ω）EPhΥνn，δt、 ωi≤limδ→0infP∈P（t，ω）limn→∞伊芙Υνn，δt、 ωi≤ infP∈P（t，ω）limδ→0limn→∞伊芙Υνn，δt、 ωi=infP∈P（t，ω）EPΥτ*（t′，ω）（πt′）∧ζ∨Tt、 ω.

A.2第7节星号陈述的证明（7.11）：当n=∞, 用A={τ应用（7.10）∧γ ≥s}∈fts和τ=τ∨s∈tts表明λXj=1EbPλ{τ ∧γ≥s}∩AjRt，ω（τ），（新泽西州）=λXj=1EbPλ{τ ∧γ≥s}∩AjRt，ω（τ）∨s（新泽西州）≤EP{τ ∧γ≥s}∩交流电Vt，ωs+Zstgt，ωrdr+ε.另一方面，如果n<∞, 设is为最小的整数-新界≥ s、 早期，τ∨（是-（新界）∈Tts（n）。自{τ∧γ ≥ s} {τ ≥ s} ={τ≥ 是-nT}，应用（7.10）a={τ的增益∧γ ≥s} τ=τ∨（是-nT）得出λXj=1EbPλ{τ ∧γ≥s}∩AjRt，ω（τ），（新泽西州）=λXj=1EbPλ{τ ∧γ≥s}∩AjRt，ω（τ）∨（是-新界），（新泽西州）≤EP{τ ∧γ≥s}∩交流电（Vns）t，ω+Zstgt，ωrdr+ε.（7.12）的证明：我们设置为：={γ<s}∪{γ ≥s}∩A.∈FTS和Asj:={γ≥s}∩Aj∈Fts。给定r∈[t，t]，{bγλ≤ r}=像∩ {γ ≤ r}∪λ∪j=1Asj∩ {新泽西州≤ r}. （A.18）如果r<s，则自{γ≤r}{γ<s}并且自新泽西州∈Tts，一个有{bγλ≤r} ={γ<s}∩{γ ≤r} ={γ≤r}∈Ftr。否则，如果r≥s、 作为Asj∈Fts对于j=0，1，·，λ，（A.18）也意味着{bγλ≤r}∈Ftr。因此，bγλ∈Tt。A.2第7.29节中星号语句的证明（7.23）：因为ζeω=limk→∞↓ ζkeω，我们看到{ζeω<γeω} Aeω=∪K∈Nζkeω≤ γeω {ζeω≤ γeω}，因此{ζeω≤γeω}\\Aeω{ζeω=γeω}。那么过程的连续性s L意味着R，ωteω（ζeω，γeω）=Zζeω∧γeωsgs，ωteωrdr+1{ζeω≤γeω}Ls，ωteωζeω+1{γeω<ζeω}Us，ωteωeω=Zζeω∧γeωsgs，ωteωrdr+1AeωLs，ωteωζeω+1{ζeω≤γeω}\\AeωLs，ωteωeω+1{γeω<ζeω}Us，ωteωγeω≤Zζeω∧γeωsgs，ωteωrdr+1AeωLs，ωteωζeω+1AceωUs，ωteωeω=limk→∞Zζkeω∧γeωsgs，ωteωrdr+1{ζkeω≤γeω}Ls，ωteωζkeω+1{γeω<ζkeω}Us，ωteωγeω= 林克→∞Rs，ωteω（ζkeω，γeω）。（7.24）的证明：对于任何τ，τ∈ Tts，让A:={EPRt，ω（τ，bγ′）Fts≥ EPRt，ω（τ，bγ′）Fts} ∈ Ftsandτ：=Aτ+1Acτ∈我们可以推断Rt，ω（τ，bγ′）Fts= EPARt，ω（τ，bγ′）+1AcRt，ω（τ，bγ′）Fts= 1AEPRt，ω（τ，bγ′）Fts+ 1除此之外Rt，ω（τ，bγ′）Fts= EPRt，ω（τ，bγ′）Fts∨EPRt，ω（τ，bγ′）Fts.那么家庭内普呢Rt，ω（τ，bγ′）Ftsoτ∈方向朝上。

根据本质界的基本性质（例如[48，命题VI-1-1]），我们可以找到一个序列{τn}n∈（7.24）保持不变。证明（7.25）：对于任何∈[t，s），自τn∈ t自{τ≤ r} {τ<s} {τ ∧ bγ<s}，可以推断{τn≤r} ={τ∧ bγ<s}∩ {τ ≤r} ={τ≤r}∈Ftr。另一方面，对于任何∈[s，T]，{τn≤r}={τ ∧ bγ<s}∩ {τ ≤r}∪{τ ∧ bγ≥s}∩ {τn≤r}∈Ftr。因此，τn∈Tt。（7.49）的证明：给定r∈[s，T]作为Ar：={≤r}∈Fsr（5.4）表明{J≤ r}=bω∈ Ohms:Xj（bω）≤ R= {bω∈ Ohms： Xj（bω）∈ Ar}=（Xj）-1（Ar）∈ Fsr。（A.19）此外，在[5]的ArXiv版本中，引理A.3暗示νj≤R=eω∈ Ohmt∏ts（eω）∈{J≤r}= （πts）-1.{J≤r}∈Ftr，那么我们可以从（7.45）中推断{bγj≤r}=eω∈Ohmt:cW（eω）∈{νj≤r}=cW-1.{νj≤r}∈bFr。因此J∈Ts，νj∈而bγjis abF-以[s，T]为单位取值的停止时间。证明（7.58）：当n<∞, 由τ诱导∈Tts（n），ζeω取{tni}ni=is中的值，其中isbe是s最小的整数-新界≥s、 与（7.50）类似，存在ζ′eω∈Ts（n）使得ζ′eω=ζeω，pj-a、 所以我们有epjhr，ωtX（eω）（ζeω，)i=EpjhRs，ωtX（eω）（ζ′eω），)i=EPjhRs，ωtX（eω）（ζ′eω），)我≤ sup∈Ts（n）EPjhRs，ωtX（eω）（），)i、 假设n=∞ 现在让k∈N和set ski:=s∨（i2）-kT），i=0，··，2k。和sk-1:=-1，ζkeω：=Pki=0{ski-1<ζeω≤滑雪橇-停车时间。通过类似于（7.50）的论点，我们可以构造一个Ts-停止时间keω在{ski}ki=0中取值，使得ζkeω=keω，pj-a、 s.因为ζeω=limk→∞↓ ζkeω，与（7.23）的类比表明rs，ωtX（eω）（ζeω，)≤ 林克→∞Rs，ωtX（eω）（ζkeω，). （A.20）由（2.5）删去，Rs，ωtX（eω）（ζkeω，)≤RTsgs，ωtX（eω）rdr+ψs，ωtX（eω）*, K∈ N

自从Pj∈bPsby（7.43），（2.6）显示了EPJ中兴通讯gs，ωtX（eω）rdr+ψs，ωtX（eω）*= EPj中兴通讯gs，ωtX（eω）rdr+ψs，ωtX（eω）*< ∞.以（A.20）中的期望Epj[]为例，我们可以从支配收敛定理推导出epjhrs，ωtX（eω）（ζeω，)我≤ 林克→∞EpjhRs，ωtX（eω）（ζkeω，)i=limk→∞EpjhRs，ωtX（eω）（keω，)i=limk→∞EPjhRs，ωtX（eω）（keω，)我≤ sup∈TsEPjhRs，ωtX（eω）（），)我（A.10）的鲁棒Dynkin对策证明：如果ti<τn，δ（t′，ω）πt′（ω）, τn，δ（t′，ω）的定义表明（Vn-五十） （ti，ω）=（Vn）t′，ω-Lt′，ωti，πt′（ω）≥δ ≥另一方面，如果ti=τn，δ（t′，ω）πt′（ω）（Vn）t′，ω的左上半连续性-Lt′，ω意味着（Vn-五十） （ti，ω）=（Vn）t′，ω-Lt′，ωti，πt′（ω）≥林斯提（Vn）t′，ω-Lt′，ωs、 πt′（ω）≥δ. （A.17）的证明：固定eω∈Ohmtand集eα：=1+kωteωk0，T。我们让δ>0，n∈N并简单地表示tn，δ：=τN，δ（t，ω）（eω），t*:=τ*（t，ω）（eω）。让我们首先证明（Vn）t，ωtn，δ，eω≤ Lt，ωtn，δ，eω+ δ. （A.21）如果tn，δ=T，（3.2）表明（Vn）T，ωtn，δ，eω=（Vn）t，ω（t，eω）=Lt，ω（t，eω）=Lt，ωtn，δ，eω. （A.22）另一方面，如果tn，δ<T，则设{ti=ti（T，ω，eω，n，δ）}i∈Nbe中的一个序列tn，δ，T这样利米→∞↓ ti=tn，δ和（Vn）t，ω（ti，eω）<Lt，ω（ti，eω）+δ，我∈ N由tn的定义，δ=τN，δ（t，ω）（eω）。路径Vn·（ω）的右下半连续性命题3.4中的teω与路径L·（ω）的连续性teω）则意味着（Vn）t，ωtn，δ，eω=越南tn，δ，ωteω≤ limstn，δVn（s，ω）teω）≤ 里美→∞Vn（ti，ω）teω）≤Ltn，δ，ωteω+δ=Lt，ωtn，δ，eω+δ、 再加上（A.22）证明（A.21）。作为kωteωk0，tn，δ≤ kωteωk0，T<eα，我们从（A.21）和（3.7）中看到vt，ωtn，δ，eω-Lt，ωtn，δ，eω≤五、tn，δ，ωteω-越南tn，δ，ωteω+δ ≤ρeα（2）-n） +2-N苏普∈[0，T]| gr（ω）teω）|+ρeα（T）+δ. （A.23）对于任何∈[t，t]，自Ts（n）Ts（n+1）Ts，与（3.1）的类比表明Vns（ωteω）≤Vn+1s（ω）teω）≤Vs（ω）teω）。因此btδ：=limn→∞↑ tn，δ≤T*.