关于鲁棒Dynkin对策

此外，从Bur-kholder-Davis-Gundy不等式可以得出{Plt} t∈[0，T]满意度（H2），详见[7，例3.3]的证明。注2.2（3）和对注3.1证明的重新审视表明，路径无关概率类{Pt}t∈[0，T]满意度（P1）-（P3）和假设3.1，其中ρ=ρ，而假设3.2通常由（H2）和ρα表示≡ρ,α > 0. 所以定理4.1仍然适用于{Pt}t上的鲁棒Dynkin对策∈[0，T]。此外，（H1）使我们能够应用[7]的结果来解（1.2）。定理6.1。在假设（A′）和（H1）下-（H4），存在一对（P*, γ*) ∈ P×T使得V=EP*R（τ）*, γ*).备注6.1。定理4.1（1）和定理6.1暗示V=EP*R（τ）*, γ*)≥ infP∈打气R（τ）*, γ*)≥ γ干扰素∈ TinfP∈打气R（τ）*, γ)=五、 这表明V=infP∈打气R（τ）*, γ*)=ER（τ）*, γ*). 因此，我们看到这对（τ*, γ*) 在尊重上是健壮的∈P、 或（τ）*, γ*) 是Dynkin对策在非线性期望E.7证明下的鞍点。1.命题1.1（2）第1.1、2和3节中技术结果的证明：让n∈N和τ∈Tt（n）。假设τ（ω）sOhm（s）[r，T]对于一些r∈[s，T]。对于任何i=0，··，2n，使得tni=t∨（i2）-（新界）≥r、 自从r≥s≥t、 一个有er:=t∨（i2）-（新界）=T∨（i2）-（新界）∨s=s∨（i2）-nT）。7.1第1.1、2和3节中技术结果的证明11设置A:={ω′∈Ohmt：τ（ω′）≤呃}∈之后，我们可以从[5]的引理2.2推导出{eω∈ Ohms：τs，ω（eω）≤ er}={eω∈ Ohms：τ（ω）seω）≤ er}={eω∈ Ohms:ωseω∈ A} =As，ω∈ 弗瑟。所以τs，ω是Fs-停止时间的取值{t∨（i2）-（新界）∈[r，T]：i=0，·2n}{s∨（i2）-（新界）∈[r，T]：i=0，··，2n}，即τs，ω∈Tsr（n）。对于n=∞, 参见[5]中的推论2.1。证明（2.4）：L et t∈ [0，T]和ω，ω∈ Ohm. 我们从（1.6）中看到-Lt（ω）≤ -Lt（ω）+Lt（ω）-Lt（ω）|≤ ψt（ω）+ρkω-ωk0，t,和Ut（ω）≤ Ut（ω）+Ut（ω）- Ut（ω）|≤ ψt（ω）+ρkω-ωk0，t.因此，ψt（ω）=-Lt（ω）∨Ut（ω）∨ 0≤ψt（ω）+ρkω-ωk0，t.

然后交换ω和ω的角色证明（2.4）。引理2.1的证明：Le t t t∈ [0，T]和P∈ Pt。假设ψt，ω∈ S（Ft，P）和EPRTt|gt，ωS|ds<∞ 对于某些ω∈Ohm. 让ω′∈ Ohm. 对于任意（s，eω）∈[t，t]×Ohmt、 （1.6）意味着gt，ω′s（eω）-gt，ωs（eω）=gs（ω′）teω）-gs（ω）teω）≤ρkω′teω-ωteωk0，s=ρkω′-ωk0，t, （7.1）so EPRTt|gt，ω′s|ds≤EPRTt | gt，ωs | ds+（T-t） ρkω′-ωk0，t<∞.命题1.1（4）表明Lt，ω′和Ut，ω′都是Ft-适应了所有连续路径的过程，过程ψt，ω′s也是如此=-Lt，ω′s∨ Ut，ω′s∨ 0，s∈ [t，t]。与（7.1）相似，我们从（2.4）中看到ψt，ω′s（eω）-ψt，ωs（eω）≤ρkω′-ωk0，t, （s，eω）∈[t，t]×Ohmt、 因此，EPhψt，ω′*i=EP小吃∈[t，t]ψt，ω′s≤ EP小吃∈[t，t]|ψt，ωs|+ρkω′-ωk0，t= EPψt，ω*+ρkω′-ωk0，t< ∞.因此，ψt，ω′∈s英国时报. 备注2.1（1）的证明：让t∈[0，T]。命题1.2意味着P-a、 sω∈ Ohm, ψt，ω∈ sFt，（P）t，ω=s英国时报andEPtZTt | gt，ωs | ds=E（P）t，ω“ZTt | gs | dst、 ω#≤E（P）t，ω“ZT | gs | dst、 ω#=EP“ZT | gs | dsFt#（ω）<∞.然后从引理2.1得出，ψt，0∈s英国时报和EPtRTt | gt，0s | ds<∞. 因此，Pt∈bPt。备注证明2.2:2）修正t∈[0，T]让ω，ω∈Ohm, τ, γ ∈Tt。通过（2.3）和（2.1），Rt，ω（τ，γ）（eω）-Rt，ω（τ，γ）（eω）=Rt、 τ（eω），γ（eω），ωteω- Rt、 τ（eω），γ（eω），ωteω≤（1+T）ρkωteω-ωteωk0，T=（1+T）ρkω-ωk0，t,  eω∈ Ohmt、 （7.2）现在，让ω∈Ohm, s∈[t，t]，n∈ N∪ {∞},eP∈bPsand ∈t.给定eω，eω∈Ohm坦德∈Ts（n），类似于（7.2），Rs，ωteω（），)-Rs，ωteω（），)≤ （1+T）ρkωteω-ω teωk0，s= （1+T）ρkeω-eωkt，s. （7.3）遵循EePRs，ωteω（），)≤EePRs，ωteω（），)+（1+T）ρkeω-eωkt，s. 把上母带过∈Ts（n）yieldsthat sup∈Ts（n）EePRs，ωteω（），)≤ sup∈Ts（n）EePRs，ωteω（），)+（1+T）ρkeω- eωkt，T.

交换eω和eω的角色表明映射eω→ sup∈Ts（n）EePRs，ωteω（），)在标准kkT下是连续的，因此为FtT-可测量的接下来，让我们证明（2.8）的两个边都是有限的：让A∈Fts，τ∈Tts（n）和j=1，··，λ。通过（2.5）和（2.6），EbPA.∩AjRt，ωτ, 新泽西州≤EbPhRt，ωτ, 新泽西州我≤ EbPZτ∧njt | gt，ωs | ds+ψt，ωτ∧新泽西州≤EbPZTt | gt，ωs | ds+ψt，ω*< ∞.另一方面，在给定eω的情况下，鲁棒Dynkin对策12∈A.∩ Ajand∈Ts（n），在（7.3）中取（eω，eω）=（eω，eωj），我们可以从（2.5）和（2.6）再次推断：EPjRs，ωteω（），)≤EPjhRs，ωteωj（，)i+（1+T）ρkeω-eωjkt，s≤EPj中兴通讯gs，ωteωjrdr+ψs，ωteωj*+（1+T）ρ（δ）：=αj<∞.接下来就是这一步{eω∈A.∩Aj}sup∈Ts（n）EPjRs，ωteω（），)+Zstgt，ωr（eω）dr≤EPA.∩AjZTtgt，ωr博士+αjP（A）∩（Aj）<∞,除此之外{eω∈A.∩Aj}sup∈Ts（n）EPjRs，ωteω（），)+Zstgt，ωr（eω）dr≥-EPA.∩AjZTtgt，ωr博士-αjP（A）∩Aj）>-∞.在j上总结两者∈{1，··，λ}表明（2.8）的右侧是有限的。3） [5]中备注3.3（2）的证据表明，（2.9）满足（P3）（i）和（ii）：bP（A∩A） =P（A）∩ A） ,，A.∈FtT和BP（A∩Aj）=P（A）∩ Aj），j=1，··，λ，A.∈Fts。为了让BP满意（2.8），让我们∈ N∪ {∞} 和 ∈ 我们出发了nj:=（ts），j=1，··，λ，属于Ttsby（1.3）。让我们∈Ftsandτ∈Tts（n）。给定eω∈ Ohmt、 位置1.1（2）表明τs，eω∈ Ts（n）。自从F-g和（1.8）的适应性意味着thatgr（ωTOhmt） =gr（ω），R∈ [0，t]和gr(ω teω）sOhms= gr（ω）teω），R∈ [0，s]，（7.4）我们从（2.3）中看到，对于任何bω∈ OhmsRt，ω（τ），（新泽西州）s、 eω（bω）=Rt，ωτ, 新泽西州（eω）sbω）=Rt、 τ（eω）sbω），πts（eω）sbω）, ω t（eω）sbω）=Rs、 τs，eω（bω），（bω），（ω）teω）sbω+Zstgr(ω teω）sbω博士=Rs，ωteω（τs，eω，)（bω）+Zstgr（ω）teω）dr.（7.5）作者L emma 1.1，（A∩ Aj）s，eω=Ohms（分别=) 如果eω∈ A.∩Aj（分别为/∈ A.∩ Aj）。

然后（7.5）导致EBPA.∩AjRt，ω（τ），（新泽西州）=λXj′=1EP{eω∈Aj′}EPj′hA.∩AjRt，ω（τ），（新泽西州）s、 eωi=λXj′=1EP{eω∈A.∩Aj}{eω∈Aj′}EPj′hRt，ω（τ），（新泽西州）s、 eωi=EP{eω∈A.∩Aj}EPjRs，ωteωτs，eω，+Zstgt，ωr（eω）dr#≤ EP{eω∈A.∩Aj}sup∈Ts（n）EPjRs，ωteω（），)+Zstgt，ωr（eω）dr.对j求和∈{1，··，λ}产生（2.8）。（3.3）的证明：L et（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. 自英国《金融时报》以来-Lt，Utand（1.8）的可测性表明Lt，ωt（eω）=Lt（ωteω）=Lt（ω）和Ut，ωt（eω）=Ut（ωteω）=Ut（ω）， eω∈ Ohmt、 （7.6）它适用于任何τ∈Tt（n）Rt，ω（τ，t）=1{τ=t}Lt，ωτ+1{t<τ}Ut，ωt=1{τ=t}Lt，ωt+1{t<τ}Ut，ωt≤Ut，ωt=Ut（ω）。SoVnt（ω）≤ infP∈P（t，ω）supτ∈Tt（n）EPRt，ω（τ，t）≤ infP∈P（t，ω）EPUt（ω）= Ut（ω）≤ ψt（ω）。另一方面，自从t∈ Tt（n）和因为Rt，ω（t，γ）=1{t≤γ} 对于任何γ，ωt+1{γ<t}Ut，ωγ=Lt，ωt=Lt（ω）∈Tt，Vnt（ω）≥ infP∈P（t，ω）infγ∈ TtEPRt，ω（t，γ）= infP∈P（t，ω）EPLt（ω）= Lt（ω）≥ -ψt（ω）。备注3.1的证明：修正n∈N∪ {∞}. 让我们∈[0，T]，ω，ω∈Ohm, P∈Ptandτ，γ∈Tt。通过（7.2），EPRt，ω（τ，γ）≤EPRt，ω（τ，γ）+（1+T）ρkω-ωk0，t. 取τ的上确界∈ Tt（n），取γ的最小值∈ t然后对P进行计算∈ptvnt（ω）≤Vnt（ω）+（1+T）ρkω-ωk0，t. 交换ω和ω的r轴，我们得到了每n的ρ=（1+T）ρ的（3.4）∈ N∪ {∞}. 7.2动态规划原理的证明137.2动态规划原理的证明命题3.1的证明：Fix n∈ N∪{∞}, 0≤T≤s≤T和ω∈Ohm.1） 当t=s时，因为vn是F-根据备注3.2改编，与（7.6）的类比表明：越南t、 ωt（eω）=Vn（t，ω）teω）=Vnt（ω），eω∈Ohmt、 然后呢∈P（t，ω）infγ∈ Ttsupτ∈Tt（n）EPh{τ∧γ<t}Rt，ω（τ，γ）+1{τ∧γ≥t}Vntt、 ωi=infP∈P（t，ω）EPVnt（ω）= Vnt（ω）。2）为了证明（3.5）对于t<s的情况，我们将粘贴局部近似值P-根据（P3）求（Vns）t，ω的极小值，然后进行一些估计。2a）根据标准k·kt，T，自Ohm在可分完备度量空间中，存在一个可数稠密子集bωtjJ∈诺夫OhmT

固定ε>0和le tδ∈Q+满足ρ（δ）∨bρ（δ）∨（1+T）ρ（δ）<ε/5. 让j∈N.By（1.4），Aj:=Osδ（bωtj）∪j′<jOsδ（bωtj′）∈Fts。我们可以找到一件睡衣∈P（s，ω）tbωtj）和aγj∈tsvns（ω）tbωtj）≥ γ干扰素∈ Tssupτ∈Ts（n）EPjRs，ωtbωtj（τ，γ）-ε ≥ supτ∈Ts（n）EPjRs，ωtbωtj（τ，γj）-ε. （7.7）给定eω∈ Osδ（bωtj），模拟y到（7.3）表明，对于任何τ∈ Ts（n）Rs，ωteω（τ，γj）-Rs，ωtbωtj（τ，γj）≤（1+T）ρkeω-bωtjkt，s≤（1+T）ρ（δ）≤ε、 所以EPjRs，ωteω（τ，γj）≤EPjRs，ωtbωtj（τ，γj）+ε/5. τ上的taking上确界∈Ts（n），我们从（7.7）和（3.4）中得出∈Ts（n）EPjRs，ωteω（τ，γj）≤ supτ∈Ts（n）EPjRs，ωtbωtj（τ，γj）+ε≤Vnsωtbωtj+ε≤Vns（ω）teω）+ρkωteω-ωtbωtjk0，s+ε=（Vns）t，ω（eω）+ρkeω-bωtjkt，s+ε≤（Vns）t，ω（eω）+ρ（δ）+ε≤（Vns）t，ω（eω）+ε。（7.8）接下来，Fix P∈ P（t，ω），λ∈ N和letbPλ是P（t，ω）在（P3）中的概率（Aj，δj，eωj，Pj）λj=1=（Aj，δ，bωtj，Pj）λj=1和A：=λ∪j=1AjC∈Fts。那么我们有ebpλ[ξ]=EP[ξ]，ξ ∈LFts，bPλ∩LFts，PEbPλ[1Aξ]=EP[1Aξ]，ξ ∈LFtT，bPλ∩LFtT，P. （7.9）此外，根据（2.8）和（7.8），存在新泽西州∈Tts，j=1，··，λ，对于任何∈Ftsandτ∈Tts（n）λXj=1EbPλA.∩AjRt，ω（τ），（新泽西州）≤λXj=1EP{eω∈A.∩Aj}sup∈Ts（n）EPjRs，ωteω（，γj）+Zstgt，ωr（eω）dr+ bρ（δ）≤ EPA.∩交流电（Vns）t，ω+Zstgt，ωrdr+ ε. （7.10）2b）现在，让我们∈t和τ∈Tt（n）。用A={τ应用（7.10）∧γ ≥s}∈Fts，可以证明λXj=1EbPλ{τ ∧γ≥s}∩AjRt，ω（τ），（新泽西州）≤ EP{τ ∧γ≥s}∩交流电（Vns）t，ω+Zstgt，ωrdr+ ε. （7.11*）我们用{nj}λj=1形成新的Ft-停止时间bγλ：=1{γ<s}γ+1{γ≥s}Aγ+λXj=1Aj新泽西州.

（7.12*）自bγλ起≥s> {γ上的τ≥s}∩{τ<s}，（2.2）表明{τ∧γ<s}Rt，ω（τ，bγλ）=1{γ<s}Rt，ω（τ，γ）+1{γ≥s}∩{τ<s}Zτtgt，ωsds+Lt，ωτ=1{τ ∧γ<s}Rt，ω（τ，γ）∈Fts。鲁棒Dynkin对策14那么我们可以从m（7.9），（7.11），（2.5）和（3.3）中推导出ebpλRt，ω（τ，bγλ）=EbPλ(1{τ ∧γ<s}+1{τ∧γ≥s}∩A） Rt，ω（τ，γ）+λXj=1EbPλ{τ ∧γ≥s}∩AjRt，ω（τ），（新泽西州）≤ EP{τ ∧γ<s}Rt，ω（τ，γ）+1{τ∧γ≥s}（Vns）t，ω+Zstgt，ωrdr+1{τ ∧γ≥s}∩A.Rt，ω（τ，γ）-（Vns）t，ω-Zstgt，ωrdr+ε≤ EP{τ ∧γ<s}Rt，ω（τ，γ）+1{τ∧γ≥s}（Vns）t，ω+Zstgt，ωrdr+1AZTtgt，ωrdr+2ψt，ω*+ε.取τ的上确界∈Tt（n）产生vnt（ω）≤ supτ∈Tt（n）EP{τ ∧γ<s}Rt，ω（τ，γ）+1{τ∧γ≥s}（Vns）t，ω+Zstgt，ωrdr+2EPA.ZTtgt，ωrdr+ψt，ω*+ε.然后对γ进行估算∈t在右边，我们得到vnt（ω）≤ γ干扰素∈ Ttsupτ∈Tt（n）EP{τ ∧γ<s}Rt，ω（τ，γ）+1{τ∧γ≥s}（Vns）t，ω+Zstgt，ωrdr+2EPλ∪j=1AjCZTtgt，ωrdr+ψt，ω*+ε.自从∪J∈NAj=∪J∈NOsδ（bωtj） ∪J∈非δ（bωtj）=Ohm坦辛塞普ZTtgt，ωrdr+ψt，ω*<∞ （7.13）乘以（2.6），λ→ ∞, 从支配收敛定理可以推导出vnt（ω）≤ γ干扰素∈ Ttsupτ∈Tt（n）EP{τ ∧γ<s}Rt，ω（τ，γ）+1{τ∧γ≥s}（Vns）t，ω+Zstgt，ωrdr+ ε.最终，对P∈ P（t，ω）在右边，然后让ε→ 0收益率（3.5）。命题3.2的证明：设0≤T≤s≤T和ω∈Ohm. 对于给定的P，必须显示∈P（t，ω）γ∈ Ttsupτ∈TtEPRt，ω（τ，γ）≥ γ干扰素∈ Ttsupτ∈TtEP{τ ∧γ<s}Rt，ω（τ，γ）+1{τ∧γ≥s}Vt，ωs+Zstgt，ωrdr. （7.14）固定ε>0。存在一个bγ=bγ（ε）∈ttsupτ∈TtEPRt，ω（τ，bγ）≤ γ干扰素∈ Ttsupτ∈TtEPRt，ω（τ，γ）+ ε/5. （7.15）1）集bγ′：=bγ∨s∈Tts。在第一步中，我们使用TSA和命题1.2的“稠密”可数子集来表示vt，ωs+Zstgt，ωrdr≤ esssupτ∈TtsEPRt，ω（τ，bγ′）Fts+ε、 P-a、 美国。

（7.16）与[5，命题4.1]的证明一样见其中第（2A）和（2c）部分, 对于任意δ>0，ζ，我们可以构造一个稠密的可数子集Γ∈ 赞德普∈ 附言{n}n∈NΓ以至于limn→∞↓ n（bω）=ζ（bω）， bω∈Ohm沙{n6=ζn}<δ，N∈N、 （7.17）式中ζN:=P2nT我=2ns{i2-N≤ζ<（i+1）2-n}i+1n∧T∈Ts.自ζ（πTs）∈tts对于任何ζ∈Tsby（1.3），除P外，它保持不变-空集Rt，ωζ（πts），bγ′Fts≤esssupτ∈TtsEPRt，ω（τ，bγ′）Fts, ζ ∈ Γ . （7.18）7.2命题1.1（2）对动态规划原理的证明，γeω：=（bγ′）s，eω∈根据（1.9），存在一个P-对于任何eω∈欧洲议会Rt，ωζ（πts），bγ′Fts（eω）=EPs，eωhRt，ω（ζ（πts），bγ′）s、 eωi=EPs，eωRs，ωteω（ζ，γeω）+Zstgt，ωr（eω）dr，ζ ∈ Γ. （7.19）这里我们用n来比喻（7.5）Rt，ω（ζ（πts），bγ′）s、 eω=Rs，ωteωζ、 γeω+Rstgt，ωr（eω）dr.By（P2），存在一个扩展(Ohmt、 F′，P′）的(Ohmt、 FtT，P）和Ohm′∈ F′与P′的结合(Ohm′) = 1使得对于任何eω∈ Ohm′,Ps，eω∈ P（s，ω）teω）。让我们成为FtT吧-含N的可测集∪eN和P（N）=0。现在，fix eω∈ Ohm′∩北卡罗来纳州∈ F′。存在ζeω∈ tspζ∈TsEPs，eωRs，ωteω（ζ，γeω）≤EPs，eωRs，ωteωζeω，γeω+ε/5 . （7.20）作为Ps，eω∈P（s，ω）teω，（2.6）表示eps，eω中兴通讯gs，ωteωrdr+ψs，ωteω*<∞. （7.21）对于某些δeω>0，EPs，eωA.中兴通讯gs，ωteωrdr+ψs，ωteω*< ε/5适用于任何A∈ FsTwith Ps，eω（A）<δeω。

（7.22）使用（δ，ζ，eP）涂抹（7.17）=δeω，ζeω，Ps，eω, 存在keωK∈NΓ这样limk→∞↓ keω（bω）=ζeω（bω），bω∈Ohm以及Ps，eω{keω6=ζkeω}<δeω，K∈N、 式中ζkeω：=P2kT我=2ks{i2-K≤ζeω<（i+1）2-k}i+1k∧T∈T.给定k∈N、 （7.22）和（2.5）表示eps，eωhRs，ωteωζkeω，γeω-Rs，ωteωkeω，γeωi=EPs，eωh{ζkeω6=keω}Rs，ωteωζkeω，γeω-Rs，ωteωkeω，γeω我≤ 2EPs，eω{ζkeω6=keω}中兴通讯gs，ωteωrdr+ψs，ωteω*<ε、 再加上（7.18）和（7.19）表明eps，eωRs，ωteωζkeω，γeω<EPs，eωRs，ωteωkeω，γeω+ε≤esssupτ∈TtsEPRt，ω（τ，bγ′）Fts（eω）-Zstgt，ωr（eω）dr+ε。我们可以从mζeω=limk→∞↓ ζkeω与L thats的连续性ωteω（ζeω，γeω）≤ 林克→∞Rs，ωteω（ζkeω，γeω），（7.23*）（2.5），（7.21），支配收敛定理和（7.20）暗示vt，ωs（eω）=Vs（ωteω）≤ supζ∈TsEPs，eωRs，ωteω（ζ，γeω）≤EPs，eωRs，ωteωζeω，γeω+ε/5=limk→∞EPs，eωRs，ωteωζkeω，γeω+ε/5 ≤esss upτ∈TtsEPRt，ω（τ，bγ′）Fts（eω）-Zstgt，ωr（eω）dr+ε， eω∈Ohm′∩Nc，这显示Ohm′∩北卡罗来纳州A:=nVt，ωs+Rstgt，ωrdr≤ es-ssupτ∈TtsEPRt，ω（τ，bγ′）Fts+εo.如注释3.2和命题1.1（1）所示，意味着vt，ωs+Rstgt，ωrdr=Vs+Rstgrdrt、 ω∈Fts，我们看到∈因此P（A）=P′（A）≥P′Ohm′∩ 北卡罗来纳州= 1.因此，（7.16）成立。此外，我们可以找到一个序列e{τn}n∈Nin Ttssuch thatsupτ∈TtsEPRt，ω（τ，bγ′）Fts= 画→∞↑ EPRt，ω（τn，bγ′）Fts, P-a、 下一步，让τ∈T和n∈N

因为τn:=1{τ∧bγ<s}τ+1{τ∧bγ≥s} τn（7.25*）定义了一英尺-停车时间，（7.16）和（3.3）表明{τ ∧bγ<s}Rt，ω（τ，bγ）+1{τ∧bγ≥s}Vt，ωs+Zstgt，ωrdr≤ EPh{τ∧bγ<s}Rt，ω（τn，bγ）+1An∩{τ ∧bγ≥s}EPRt，ω（τn，bγ′）Fts+εi+αn，（7.26），其中An:=nesssupτ∈TtsEPRt，ω（τ，bγ′）Fts<EPRt，ω（τn，bγ′）Fts+ε/5o∈Ftsandαn:=EPhAcnRTt | gt，ωr | dr+ψt，ω*i、 此外，我们可以从（2.5）thatEPhAn∩{τ ∧bγ≥s} EPRt，ω（τn，bγ′）Ftsi=以弗所一∩{τ ∧bγ≥s} Rt，ω（τn，bγ′）Ftsi=EP一∩{τ ∧bγ≥s} Rt，ω（τn，bγ）=EP{τ ∧bγ≥s} Rt，ω（τn，bγ）-1Acn∩{τ ∧bγ≥s} Rt，ω（τn，bγ）≤EP{τ ∧bγ≥s} Rt，ω（τn，bγ）+αn，它与（7.26）和（7.15）一起导致{τ ∧bγ<s}Rt，ω（τ，bγ）+1{τ∧bγ≥s}Vt，ωs+Zstgt，ωrdr≤ EPRt，ω（τn，bγ）+2αn+ε≤ supτ∈TtEPRt，ω（τ，bγ）+2αn+ε≤ γ干扰素∈ Ttsupτ∈TtEPRt，ω（τ，γ）+ 2αn+ε。自从limn→∞↑ P（An）=1乘以（7.24），我们从（7.13）和limn的支配收敛定理中可以看出→∞↓ αn=0和thusEP{τ ∧bγ<s}Rt，ω（τ，bγ）+1{τ∧bγ≥s}Vt，ωs+Zstgt，ωrdr≤ γ干扰素∈ Ttsupτ∈TtEPRt，ω（τ，γ）+ ε, τ ∈Tt。（7.27）取τ的上确界∈t在左手边，然后让ε→0导致（7.14）。命题3.3的证明：让n∈ N、 t∈ [0，T]，α>0和ω∈ Otα（0）。我们∈P（t，ω）和γ，τ∈Tt。在（1.5）中设置{tni}ni=0as，并定义τn:=1{τ=t}t+nXi=1{tni-1<τ ≤tni}tni∈Tt（n）。我们可以推导出Rt，ω（τ，γ）-Rt，ω（τn，γ）=-Zτn∧γτ ∧γgt，ωrdr+1{τ≤γ}Lt，ωτ-1{τn≤γ} Lt，ωτn-1{γ<τn}Ut，ωγ+1{γ<τ}（Ut，ωγ-Ut，ωγ=-Zτn∧γτ ∧γgt，ωrdr+nXi=1{tni-1<τ ≤tni≤γ}Lt，ωτ-Lt，ωtni+1{tni-1<τ ≤γ<tni}Lt，ωτ-Ut，ωγ）. （7.28）给定i=1，··，2n，（1.6）表明对于任何eω∈ {tni-1< τ ≤ tni≤ γ}Lt，ωτ（eω）-Lt，ωtni（eω）=Lτ（eω），ωteω-Ltni，ωteω≤ρtni-τ（eω）+ 苏普∈[0，T](ωteω）R∧τ（eω）-(ωteω）（r）∧（tni）≤ρ-n+supr∈[τ（eω），tni]eω（r）-eω（τ（eω））≤ρ-n+supτ（eω）≤R≤（τ（eω）+2-n）∧TBtr（eω）-Btτ（eω）.

（7.29）同样，它适用于任何eω∈ {tni-1< τ ≤ γ<tni}Ut，ωτ-Ut，ωγ（eω）≤ργ（eω）-τ（eω）+ 苏普∈[τ（eω），γ（eω）]eω（r）-eω（τ（eω））≤ρ-n+supτ（eω）≤R≤（τ（eω）+2-n）∧TBtr（eω）-Btτ（eω）. （7.30）此外，与（7.29）的另一个类比表明，对于任何（s，eω）∈ [t，t]×OhmTgt，ωs（eω）-gt（ω）≤Gs、 ωteω-g（t，ω）≤ρs-t+supr∈[t，s]eω（r）≤ρT-t+supr∈[t，t]Btr（eω）-Btt（eω）, （7.31）7.2动态规划原理17的证明，其中我们在上一个不等式中使用了Btt=0的事实。堵塞（7.29）-（7.31）回到（7.28）le ads to thart，ω（τ，γ）-Rt，ω（τn，γ）≤2.-N|gt（ω）|+ρT-t+supr∈[t，t]Btr（eω）-Btt（eω）+ρ-n+supr∈[τ,(τ +2-n）∧T]| Btr-Btτ|.以期望值EP[]为例，我们从（3.6）中看到Rt，ω（τ，γ）≤EPRt，ω（τn，γ）+在α中≤ supτ′∈Tt（n）EPRt，ω（τ′，γ）+式中α：=ρα（2）-n） +2-N|gt（ω）|+ρα（T）-（t）. 取τ的上确界∈ t在左手边产生tsupτ∈TtEPRt，ω（τ，γ）≤ supτ∈Tt（n）EPRt，ω（τ，γ）+在α。最终，接受了γ的妈妈∈t和P∈ P（t，ω）导致（3.7）。命题3.4的证明：修正n∈ N∪ {∞}, ω ∈ Ohm 设置α：=1+kωk0，T。设0≤ t<s≤ 使得δT，s:=（s-（t）∨ 监督≤r<r′≤sω（r′）-ω（r）≤T.1a）我们首先利用命题3.1和（3.6）来证明vnt（ω）-Vns（ω）≤（s）-t） 苏普∈[0，T]| gr（ω）|+（2+s）-t） ρα（δt，s）。（7.32）让P∈P（t，ω）。应用（3.5）并取γ=s表明vnt（ω）- Vns（ω）≤ supτ∈Tt（n）EP{τ<s}Rt，ω（τ，s）+1{τ≥s}（Vns）t，ω+Zstgt，ωrdr- Vns（ω）=supτ∈Tt（n）EP{τ<s}Lt，ωτ+1{τ≥s} （Vns）t，ω- Vns（ω）+Zτ∧stgt，ωrdr. （7.33）那么，让τ∈ Tt（n）。对于任意的eω∈ {τ<s}，（1.6）意味着Lt，ωτ（eω）-Lt，ωs（eω）=Lτ（eω），ωteω- Ls、 ωteω≤ρ（s）-t） +supr∈[t，t]eωR∧τ（eω）-eω（r）∧（s）≤ρ（s）-t） +supr∈[τ（eω），s]eω（r）-eω（τ（eω））≤ρ（s）-t） +supr∈[τ（eω），（τ（eω）+s-（t）∧[T]Btr（eω）-Btτ（eω）.