关于鲁棒Dynkin对策

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英文标题：
《On the Robust Dynkin Game》
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作者：
Erhan Bayraktar and Song Yao
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We study a robust Dynkin game over a set of mutually singular probabilities. We first prove that for the conservative player of the game, her lower and upper value processes coincide (i.e. She has a value process $V $ in the game). Such a result helps people connect the robust Dynkin game with second-order doubly reflected backward stochastic differential equations. Also, we show that the value process $V$ is a submartingale under an appropriately defined nonlinear expectations up to the first time $\\tau_*$ when $V$ meets the lower payoff process $L$. If the probability set is weakly compact, one can even find an optimal triplet. The mutual singularity of probabilities in causes major technical difficulties. To deal with them, we use some new methods including two approximations with respect to the set of stopping times. The mutual singularity of probabilities causes major technical difficulties. To deal with them, we use some new methods including two approximations with respect to the set of stopping times
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中文摘要：
我们研究了一组相互奇异概率上的鲁棒Dynkin对策。我们首先证明，对于游戏中的保守玩家，她的上下价值过程是一致的（即她在游戏中有一个价值过程$V$）。这样的结果有助于人们将鲁棒Dynkin对策与二阶双反射倒向随机微分方程联系起来。此外，我们还证明了价值过程$V$在适当定义的非线性期望下是一个子鞅，直到$V$满足较低的支付过程$L$时第一次$\\tau_*$。如果概率集是弱紧的，我们甚至可以找到一个最优的三元组。概率的相互奇异性造成了重大的技术困难。为了解决这些问题，我们使用了一些新的方法，包括关于停止时间集的两种近似。概率的相互奇异性造成了重大的技术困难。为了解决这些问题，我们使用了一些新的方法，包括关于停止时间集的两种近似
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：Dynkin Differential Mathematical Difficulties Optimization

关于鲁棒Dynkin对策*Erhan Bayraktar+，Song Yao§*摘要我们分析了一组相互奇异概率下Dynkin博弈的稳健版本。我们首先证明了保守派玩家的上下限值是一致的（让我们用V来表示这个值）。这样的结果将鲁棒Dynkin对策与二阶双反射倒向随机微分方程联系起来。此外，我们还证明了在适当定义的非线性期望Eup到第一时间τ下，值过程V是一个子鞅*当V满足较低的支付过程L时，如果概率集P是弱comp-act，则e甚至可以找到一个最优三元组（P*, τ*, γ*) 对于V值，P中概率的相互奇点会导致重大的技术困难。为了解决这些问题，我们采用了一些新的方法，包括关于停止时间集的两种近似。关键词：鲁棒Dynkin对策、非线性期望、动态规划原理、弱公式中的控制、粘贴下的弱稳定性、鞅方法、带控制的路径相关随机微分方程、最优三元组、随机成熟度的最优停止。1导言我们分析了连续时间鲁棒Dynkin对策关于ca非正则空间上相互奇异概率的非支配集POhm 连续的路径。

在本游戏中，消极/保守地认为性质也对她不利的玩家1，如果两个玩家选择τ，将从玩家2处获得以下付款∈ T和γ∈ T分别退出游戏：R（τ，γ）：=Zτ∧γgsds+1{τ≤γ} Lτ+1{γ<τ}Uγ。这里T表示与标准过程B的自然过滤F和运行支付F，即终端支付F有关的所有停止时间的集合≤ 你是F-适应过程在（1.6）意义上均匀连续。由于P中的概率是相互独立的，因此无法确定非线性预测的条件经验∈PEP[·]，因此玩家1的下限值过程V和上限值过程V，在本质极端意义上。相反，我们使用移位过程和正则条件概率分布（详见第1.1节）来定义（ω）：=supτ∈Ttinfγ∈ TtinfP∈P（t，ω）EPRt，ω（τ，γ）,Vt（ω）：=infP∈P（t，ω）infγ∈ Ttsupτ∈TtEPRt，ω（τ，γ）, （t，ω）∈ [0，T]×Ohm.这里，Tt表示所有停止时间的集合，特别是移位正则过程在移位正则空间上的自然过滤FtOhmt、 P（t，ω）是一个与路径相关的概率集，它包括由P（参见（P2））和Rt，ω（τ，γ）：=Rτ产生的所有正则条件概率分布∧γtgt，ωsds+1{τ≤γ} Lt，ωτ+1{γ<τ}Ut，ωγ。*我们感谢张剑锋的深刻评论。+密歇根大学数学系，密歇根州安阿伯或48109；电子邮件：erhan@umich.edu.E.Bayraktar i的部分资助来自DMS-1613170下的国家科学基金会，以及苏珊·M·史密斯教授职位。本材料中表达的任何观点、发现、结论或建议均为作者的观点、发现、结论或建议，不一定反映国家科学基金会的观点。§宾夕法尼亚州匹兹堡匹兹堡大学数学系15260；电子邮件：songyao@pitt.edu.美国。

姚得到了国家科学基金会DMS-1613208鲁棒Dynkin对策2的部分支持。在定理4.1中，我们证明了玩家1的上下限值过程重合，因此她有一个有效过程Vt（ω）=Vt（ω）=Vt（ω），（t，ω）∈[0，T]×Ohm 在健壮的Dynkin游戏中。我们还可以在定理4.1中看到第一次τ*当V与L相遇时，是玩家1的最佳停车时间，即V=infγ∈ TinfP∈打气R（τ）*, γ), （1.1）处理Vt+Rtgsds，t∈ [0，T]是路径定义的非线性期望集[ξ]（ω）：=infP下的子鞅∈P（t，ω）EP[ξt，ω]，（t，ω）∈[0，T]×Ohm 最新τ*.由于Dynkin对策实际上是两个最优停止问题的耦合，Snell[55]引入的解决最优停止问题的鞅方法后来被扩展到Dynkin对策，参见[48,11,1,43,46]。在本文中，我们将采用广义鞅方法，对非线性期望se={Et}t进行响应∈[0，T]。P中概率的相互奇异性带来了一些主要的技术障碍：首先，P中的非支配概率意味着我们对非线性期望E没有支配收敛定理。因此，我们不能遵循Dynkin对策的经典方法来获得E-V·+R·gsds的鞅性质。第二，我们没有一个可测量的停止策略选择定理，这使动态规划原理的证明变得复杂。我们的鞅方法从processV的动态规划原理（DPP）开始。DPP（P位置3.1）的“s ubs解”部分依赖于概率类{P（t，ω）}（t，ω）上的“粘贴下的弱稳定性”假设（P3）∈[0，T]×Ohm, 这使得我们可以通过计算局部ε来构造近似测量-最优概率模型。

我们在第5节中表明，（P3）以及我们对概率类的其他假设，在一些具有控制的路径依赖SDE的情况下是令人满意的，这代表了一大类关于同时漂移和波动不确定性的模型。我们证明了DPP（命题3.2）的“上解”部分通过使用TTP的可数稠密子集Γ来构造合适的近似。这个动态程序结果暗示了过程V（命题3.4）的连续性，它在证明定理4.1的近似方案（将在下一段中描述）中起着关键作用。定理4.1的关键是E-过程的次鞅性Vt+RtgsdsT∈[0，T]到τ*. 受Nutz和Zhang[50]的想法启发，我们使用具有无穷多个值的叠加时间进行近似，定义了一个值过程的近似序列Vn的toV byVnt（ω）：=infP∈P（t，ω）infγ∈ Ttsupτ∈Tt（n）EPRt，ω（τ，γ）≤Vt（ω），（t，ω）∈[0，T]×Ohm,其中Tt（n）收集所有Tt-停止时间取值T∨（i2）-（新界）ni=0。根据（P3），命题3.1仍然适用于Vn，这导致了任何δ>0和k≥n、 过程Vnt+RtgsdsT∈[0，T]是一个E-网格{i2上的子鞅-kT}ki=0，直到Vn满足L+δ时的第一次νn，δ（见（A.14））。让k→∞, N→∞ 然后ε→0，我们可以从limn推断→∞↑ Vn=V（命题3.3）和V的连续性Vt+RtgsdsT∈[0，T]是一个E-直到τ的子鞅*. 定理4.1很容易遵循。值得指出的是，我们的论点并不要求支付过程是有界的。以一些附加条件为代价，例如P的弱紧性和[56]的强粘贴条件（所有这些条件都满足弱公式的控制，见例6.1），我们可以应用[7]的主要结果在定理6.1中找到一对（P*, γ*)∈P×T使得v=EP*R（τ）*, γ*). （1.2）相关文献。

自[18]引入Dynkin对策以来，几十年来，Dynkin对策一直在离散和连续时间模型中进行分析。Bensoussan和Frie dman[24,8,9]首先通过变分不等式和自由边界问题分析了马尔科夫扩散过程中的博弈。[4]中的Bayrakta r和S^irbu使用随机Perron方法（一种没有平滑性的验证方法）研究了这个问题。对于一类更广泛的奖励过程，鞅方法是在Mokobodzki的条件（见[48,10,11,1]）和关于支付过程的某些正则性假设（见[43,41]）下发展起来的。Cvitani\'c和Kar atzas[16]将Dynkin对策与反向随机微分方程（BSDE）联系起来，其中有两个反射bar Rier L和U。随着BSDEs理论的发展，Dynkin博弈吸引了很多人。1注记法和初步准备3注意概率框架中的布朗过滤，参见例[31,30,27,26,6 1,29,33,13,23,6]。在这些作品中，[27,29,33,13,23,6]只要求“L<U”，而不是通过惩罚方法要求Mokobodski的条件。在数学金融学中，Dynkin博弈理论可以应用于定价和对冲博弈期权（或Israe li期权）及其衍生产品，参见[39、44、35、26、22、17]和调查文件[40]中的参考文献。此外，[22,2]还分析了Dynkin博弈价值对基础资产波动性变化的敏感性。

在许多其他领域，对Dynkin对策也有大量研究：例如，[31,30,26,29,33]在Dynkin对策中加入随机控制，以研究控制和停止的混合零和随机微分对策；[59,37,25,12]和[57,15]分别通过相关的奇异控制问题和脉冲控制问题研究了一些Dynkin对策；[62,54,60,42]考虑了Dynkin游戏，其中玩家可以选择随机停止时间；[9,51,47,14,34,28,32]分析了非零和Dynkin博弈。然而，关于模型不确定性下的Dynkin对策的研究很少：Hamadene和Hdhiri[29]以及Yin[63]研究了一组等价概率下的Dynkin对策，这些概率代表漂移不确定性（Orknight不确定性）。当概率集包含相互奇异的概率（或等效地，基础的漂移和波动性都可以针对参与者1进行“操纵”），多林斯基[17]推导了离散时间内博弈期权的超复制价格的对偶表达式，马图西等人[45]对Dynkin gamesunder G-对二阶双反射BSDE的期望（由Peng[52]介绍）。在本文中，我们充分受益于[38,3]（分析了P为支配时的问题）、[19]（P为非支配但性质与阻止者合作）和[50,5]（其中P为非支配且性质与阻止者为对手）为鲁棒最优停止问题开发的鞅技术尤其是[7]的结果对于确定鞍点至关重要。

（后一个结果最近也被证明有助于定义[21]中完全非线性退化路径相关偏微分方程的粘性解。）。本文的其余部分组织如下：在1.1节中，我们将介绍一些符号和初步结果，例如正则条件概率分布。在第二节中，我们通过引入一些关于奖励过程和相互奇异概率的假设，为我们的主要结果奠定了基础。然后，第三节推导了玩家1的上价值过程和近似值过程的性质，如路径规则和动态规划原理。它们在推导第4节所述的健壮Dynkingames的主要结果时起着至关重要的作用。在第5节中，我们给出了一个路径相关SDE的例子，其控制满足我们的所有假设。在第6节中，我们讨论了在附加条件下，玩家1的值的最佳三元组。第7节包含我们研究结果的证明，而这些报告中带有星号标签（对应方程式编号）的一些辅助陈述的演示则推迟到附录中。在附录中，我们还包括了定理4.1.1.1符号和初步证明所需的技术引理∈N.对于所有Rd×d，让S>0dstand-有值有限矩阵，用b（S>0d）表示Borelσ-在相对欧几里德地形y下S>0的区域。我们还确定了时间范围T∈(0, ∞) 让t∈[0，T]。我们开始Ohmt:=ω ∈C[t，t]；研发部: ω（t）=0作为周期[t，t]上的正则空间，并用t表示其零路径：={ω（s）=0，s∈[t，t]}。对于任何人来说∈[t，t]，kωkt，s:=supr∈[t，s]|ω（r）|，ω ∈Ohmtde定义了一个关于Ohmt、 特别是，k·kt是Ohmt、 Btof的规范过程Ohm这是一个d-维纳测度Ptof下的二维标准布朗运动Ohmt、 FtT.

设Ft={Fts}s∈[t，t]，含Fts:=σBtr；R∈ [t，s], 是BTP的自然过滤，并表示itsPt-增强型byFt=Ftss∈[t，t]，式中：=σFts∪新界andNt：=N Ohmt:N A一些A∈FtTwith Pt（A）=0. 对未来的期待Ohmt、 FtT，Pt将简单地用Et表示。同样，我们让PTT成为盗窃-逐步可测西格玛-[t，t]×的领域Ohm让我来响应。Tt收集所有信息响应。英尺-停车时间。考虑到∈ [t，t]，我们设置Tts:={τ∈ Tt：τ（ω）≥ sω ∈ Ohmt} ，Tts:={τ∈ Tt：τ（ω）≥ sω ∈ Ohmt} 并定义运行映射∏tsfromOhmttoOhm斯比πts（ω）（r） ：=ω（r）-ω（s），（r，ω）∈[s，T]×Ohmt、 根据[5]中的引理A.1，τ（πts）∈Tts，τ ∈Ts.（1.3）任何δ>0和ω的鲁棒Dynkin对策4∈Ohmt、 Osδ（ω）：=ω′∈ Ohmt:kω′- ωkt，s<δ这是Fts-可测开集Ohmt、 （1.4）andOsδ（ω）：=ω′∈Ohmt:kω′-ωkt，s≤δ这是Fts-可测闭集OhmT参见[5]中的例（2.1）. 特别地，我们将分别用Oδ（ω）和Oδ（ω）简单地表示OTδ（ω）和OTδ（ω）。对任何人来说∈N和s∈[t，t]，让Tt（n）表示所有Ft-停止时间取{tni}ni=0且tni:=t中的值∨（i2）-nT），i=0，·，2n，（1.5）并设置Tts（n）：={τ∈Tt（n）：τ（ω）≥sω ∈Ohmt} 。特别是，我们确实设置了Tt(∞):=Ttand Tts(∞):=Tts。让我们收集所有的可能性Ohmt、 FtT. 任何P∈Pt，我们考虑关于P的以下空间：1）对于FtT的任何子西格玛场G，让L（G，P）是所有实值的空间，G-可测随机变量sξ与kξkL（G，P）：=EP|ξ|< ∞.2） 设S（Ft，P）为所有实空间-英国《金融时报》-适应过程{Xs}s∈[t，t]具有所有连续路径且满足EP[X]*]<∞, X在哪里*:=kXkt，T=sups∈[t，t]| Xs |。如果上标t为0，我们将从上述注释中删除它。比如(Ohm, F）=(Ohm, F） 。如果| Xt（ω）|，我们说一个过程X的界是some C>0≤ C表示任意（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.

此外，re al valuedprocess X在[0，T]×上是一致连续的Ohm 关于连续函数的某些模ρif | Xt（ω）-Xt（ω）|≤ρD∞（t，ω），（t，ω）, （t，ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, （1.6）其中d∞（t，ω），（t，ω）:= |T-t |+kω(·∧（t）-ω(·∧t） k0，t.对于任何t∈[0，T]，T king T=T=T in（1.6）s howthXt（ω）-Xt（ω）≤ρkω-ωk0，t, ω, ω∈Ohm, 这意味着英国《金融时报》-Xt的可测性。SoX确实是一个F-适应所有连续路径的过程。此外，设M表示c连续函数ρ的所有模，对于某些c>0和0<p≤p、 ρ（x）≤C（xp∨xp），十、∈[0, ∞). （1.7）在本文中，我们将使用公约inf := ∞.1.2移位过程和正则条件概率分布在本小节中，我们≤T≤s≤T级联ωω的seω∈Ohmtand和eω∈Ohm周六时间：ω seω（r） ：=ω（r）1{r∈[t，s）]+ω（s）+eω（r）{r∈[s，T]}，R∈ [t，t]定义了另一条道路Ohmt、 集合ωs= ω海：=ωseω：eω∈eA对于任何非空的茶Ohms、 引理1.1。如果∈ Fts，然后ωsOhms A表示任何ω∈ A.对于任何Fts-可测随机变量η，自{ω′起∈Ohmt：η（ω′）=η（ω）}∈引理1.1意味着ωsOhms {ω′∈Ohmt：η（ω′）=η（ω）}即η（ω）seω）=η（ω），eω∈Ohms、 （1.8）也就是说，η（ω）值仅取决于ω|[t，s]。让ω∈Ohmt、 对于任何一个Ohmtwe集为，ω：={eω∈Ohms:ωseω∈A} 作为一个Ohm沙龙ω。特别地，s、 ω=. 给定一个随机变量ξOhmt、 通过ξs，ω（eω）：=ξ（ω），确定ξ沿ω|[t，s]的位移ξs，ωseω）， eω∈Ohms、 相应地，对于进程X={Xr}r∈[t，t]打开Ohmt、 它的移位过程Xs，ωisXs，ω（r，eω）：=（Xr）s，ω（eω）=Xr（ω）seω），（r，eω）∈ [s，T]×Ohms、 移位随机变量和移位过程“继承”了原始变量的可测性：2。粘贴5位置1.1下的弱稳定性。