基于内生抽样的综合二次协变量估计

为此目的，设∧wt为四维维纳过程，c:=（g-, g+，K，d）一个四维向量∈ C和σ是一个恒定的挥发性矩阵，因此当我们用σ替换σtby时，与第4.1节中定义的λmint类似的λmin严格大于0和g∈ G（c）一个常数网格函数。与网格函数gtin（A3）的定义类似，我们假设可以用两种资产的上下函数来表示，即g:=（~g（1），~g（2）），其中每个k=1，2我们有~g（k）：=（~d（k），~u（k））。此外，我们还引入了SGT定义的asSg的子空间：={（y，v）∈ R×R+s.t.~d（2）（v）≤ Y≤ ~u（2）（v）}。如果我们设置X=σW和两个资产的相应采样时间T:=（T（1），T（2）），其中对于k=1，我们有T（k）：={τi}i≥0时，我们将FirstAsset的观测时间定义为τ（1）：=0，并递归地定义为i任何正整数τ（1）i:=inft>τ（1）i-1: ~X（3）t/∈ [d（1）（t）- ■τ（1）i-1） ，u（1）（t）- ■τ（1）i-1)].当我们保持波动率矩阵σ和网格常数时，这些停止时间将被视为Firstaset观察时间的近似值。我们将始终从1相关观测时间τ1Ci，n开始近似，该时间对应于第一个资产的观测时间。由于第二个资产的采样时间与第一个资产的采样时间不同步，我们还需要两个数量（x，u）∈ Sgto近似第二个资产的观察时间。它们分别对应于第二个资产的最后一次观测发生后第二个资产的时间过程X（t，2）的增量，以及自第二个资产的最后一次观测时间以来经过的时间。

我们定义了△τ（2）：=0，△τ（2）：=inft>0:x+~X（4）t/∈ [d（t+u），~u（t+u）],对于任何整数，我≥ 2τ（2）i:=inft>τ（2）i-1: ~X（4）t/∈ [~d（t）- ■τ（2）i-1） ，u（t）- ■τ（2）i-1)].类似地，我们将（17）-（18）、（19）、（20）、（22）、（23）-（24）、（25）、（26）和（28）的类似物分别定义为△τ-我-1，ττ+i-1.~X（2）~τ-,+i、 τ1C，-我-1，△τ1C，+i-1.~X（2）~τ1C，-,+我可以在定义中的数量上铺上瓷砖。8.2初步引理在不丧失一般性的情况下，我们选择在第2节定义的第三种情况下工作。4，即资产价格与两种资产的时间过程不同。因为weshall证明了稳定收敛，并且由于σ的局部有界性（因为by（A1）σ是连续的），这影响了∈（0,1]λmint>0我们可以在不损失一般性的情况下，对所有t∈ [0,1]存在一些非随机常数σ-σ+对于任何本征值λtofσtwe，都有0<σ-< λt<σ+，（51），通过使用标准本地化参数，例如在Mykland and Zhang（2012）第2.4.5节中使用的参数。我们可以像Mykland and Zhang（2009）的第2.2节（第1407-1409页）那样进一步对u求幂，并将X当作鞅。我们定义了维数为4×4的矩阵的子空间M，从而M∈ M、 对于任何本征值λMof M，我们有σ-< λM<σ+（52）和（MMT）3,4（MMT）4,4∈ [ρ3,4-, ρ3,4+]. 根据（A2）和（51）中的（8），我们将在下面假设：T∈ [0,1]，σt∈ M.我们在R+上定义σp过程（尺寸为4×4），使得（σp=σt）T∈ [0,1]，σpt=σT∈ [1, ∞).现在确定流程，以便≥ 0（dXpt=σptdWt，Xp=X。因为Xp和X具有相同的初始值，并且遵循[0，1]上相同的随机微分方程，所以它们对于所有t都是相等的∈ [0, 1]. 为了简单起见，我们从现在开始保留Xp的符号X。在下文中，C将定义一个常数，该常数不依赖于i或n，但可以随线变化。

此外，我们将使用符号τθi，τθi的nasa替代物，αn，其中θ可以取各种名称，例如（1）、（2）等等。Leth:N→ N（不严格）增加非随机序列→ +∞, （53）hnαn→ 0.（54）为了使符号尽可能简单，我们定义τhi，n:=τ1Cihn，n，τh，-i、 n:=τ1C，-ihn，n，τh，+i，n:=τ1C，+ihn，n。我们还让An:={i≥ 1 s.t.τhi-1，n≤ t} ，t在哪里∈ [0, 1]. 此外，我们还重新定义了θ的符号（X（3）t，X（4）t）：=（X（t，1）t，X（t，2）t）∈ {（1），（2），1C，h}，我们定义了θn=supτθi，n<Tτθi，n。我们证明，在下面的引理中，这些量几乎肯定趋于0。引理5。我们有sθna。s→ 0.证明。我们可以遵循Robert and Rosenbaum（2012）中引理4.5的证明来证明k∈ {1,2}，s（k）na。s→ 0.然后，我们可以注意到a.s.s1Cn<s（1）n+s（2）n推导出s1Cn。s→ 0.为了证明shn→ 0，定义过程Z，使Z=0，并且我们有=X（2）[τ1Ci-1，n，t]+Zτ1Ci-1，nT∈ [τ1Ci-1，n，τ1C，+i-1，n]，X（1）[τ1C，+i-1，n，t]+Zτ1C，+i-1，nT∈ [τ1C，+i-1，n，τ1Ci，n]。用Z代替罗伯特和罗森鲍姆证明中引理4.5中的X，我们可以遵循同样的推理。唯一的主要变化是它们的符号Mn≤ Chnαn，但这趋于0乘以（54）。假设f是一个随机过程，s是一个随机数，我们定义（f，s）：=sup0≤u、 五≤1 | u-五|≤s傅- fv.引理6。设f为有界随机过程，使得对于所有非随机序列（qn）n≥0，如果qn→ 0，那么S（f，qn）P→ 0.还设一个随机序列（sn）n≥0这样的SNP→ 0.那么我们有L≥ 1那是（f，sn）Ll→ 0.证明。由于f是有界的，P中的收敛意味着l中的收敛≥ 1.因此，有必要证明S（f，sn）P→ 0.让η>0，然后 > 0，我们想展示这一点N>0以至于N≥ N，我们有p（S（f，sn）>η<. 非随机χ>0，使得P（S（f，χ）>η）<. 而且N>0以至于N≥ N、 P（sn）≥ χ) <.

ThusP（S（f，sn）>η）=P（S（f，sn）>η，sn>χ）+P（S（f，sn）>η，sn≤ χ)≤ P（sn>χ）+P（S（f，χ）>η）<.我们的目标是确定区块上观测时间的近似值Ki，n:=[τhi，n，τhi+1，n]我≥0.我们首先需要一些定义。让（C（i）t）i≥一系列独立的四维布朗运动（即，对于每个i，C（i）都是四维布朗运动），与我们迄今为止定义的一切无关。我们定义i、 n≥ 0，Si，nt:=(W[τhi，n，τhi，n+。]T∈ [0, τhi+1，n]，W[τhi，n，τhi+1，n]+C（i）t-τhi+1，nT≥ τhi+1，n和τki，j，nJ≥0;k=1,2=~TSi，n，στhi，n，αngτhi，n，X（4）[τh，-i、 n，τhi，n]，τhi，n- τh，-i、 n.为了保持符号的对称性，我们定义了所有整数i和n个正整数，τ（1）i，j，nJ≥0在τhi，n之后，减去τhi，n的值，即τ（1）i，j，n=τ（1）i后，计算过程1的观察时间*+j、 n- τ（1）i*,我在这里*是过程1原始网格上对应于τhi，n（τ（1）i）的（随机）指数*,n=τhi，n）。对于过程2，我们定义了τ（2）i，0，n=0和整数j≥ 1，τ（2）i，j，n=τ（2）j*+J-1，n- τ（1）i*,n、 j在哪里*过程2原始网格上对应于过程2最小观测时间的指数是否大于τhi，n（不一定严格）。我们还定义了τ-i、 j，n，τ+i，j，n，τ1Ci，j，n，τ1C，-i、 j，n，τ1C，+i，j，n，~τ-i、 j，n，τ+i，j，n，τ1Ci，j，n，τ1C，-i、 j，n，△τ1C，+i，j，n按照我们用来定义（17）、（18）、（19）、（22）、（23）、（24）和（25）的结构。我们还设置了（∧πi，j，n）j≥0= ΠSi，n，στhi，n，αngτhi，n，X（4）[τh，-i、 n，τhi，n]，τhi，n- τh，-i、 n.引理7。对于θ∈ {（1），（2），1C}，任何实l>0，任何正整数i和n，任何非负整数j，我们有0<C-l<C+l如此-lα2ln<Eh■τθi，j，n锂≤ C+lα2ln，（55）式中ττθi，j，n:=ττθi，j，n- ■τθi，j-1、nandC-lα2ln<Eτ（k）i，nL≤ C+lα2ln。（56）证据。

对于θ∈ {（1），（2）}，由于（7）和（51），我们可以使用布朗运动出口区的众所周知的结果来推断（55）（参见Borodin和Salminen（2002））。（56）可以使用连续局部鞅的Dubins-Schwarz定理推导（参见Revuz和Yor（1999）中的Th.V.1.6）。如果θ=1C写入■τθi，j，n=§τθ，+i，j-1，n- ■τθi，j-1，n+§τθ，+i，j，n- §τθ，+i，j-1，n通过这两个术语，我们可以得到（55）和（56）。现在，我们定义θ∈ {（1），（2），1C，h}t asNθt之前的观察次数，n=sup{i:τθi，n<t}。我们有下面的lemmaLemma 8。对于θ∈ {（1），（2），1C}，我们有序列αnNθt，nN≥太紧了。证据这里是θ∈ {（1）、（2）}我们可以遵循Robert andRosenbaum（2012）中引理4.6和引理5的证明。此外，根据定义，我们有N1Ct，n≤ N（1）t，nsowe还可以推断αnN1Ct，nN≥1.引理9。让（Ui，n）i，n≥1正随机变量数组和θ∈ {（1），（2），1C}。如果u>0，Pxuα-2nyi=1Ui，nP→ 0（57）n n nθt，ni=1Ui，nP→ 0.如果u>0，Pxuα-2nh（n）-1yi=1Ui，nP→ 0，然后是PNHT，ni=1Ui，nP→ 0.证明。允许 > 0和u>0。PNθt，nXi=1Ui，N>= Pxuα-2nyXi=1Ui，n+nθt，nXi=xuα-2ny+1Ui，n{xuα-2ny<Nθt，N}-许α-2nyXi=Nθt，N+1Ui，N{xuα-2ny>Nθt，N}>!≤ P许α-2nyXi=1Ui，n+nθt，nXi=xuα-2ny+1Ui，n{xuα-2ny<Nθt，N}>≤ P许α-2nyXi=1Ui，n>+ PNθt，nXi=xuα-2ny+1Ui，n{xuα-2ny<Nθt，N}>≤ P许α-2nyXi=1Ui，n>+ P许α-2ny<Nθt，N.我们坐火车→∞并使用（57）。我们得到了支持→∞PNθt，nXi=1Ui，N>≤ 林尚→∞P许α-2ny<Nθt，N.我们现在照顾你→ ∞ 用引理8总结。第二种说法也是这样证明的。引理10。对于任何大于0的α，σ∈ M、 g∈ G、 （x，u）∈ 我们有ψAV（σ，g，x，u）=α-4ψAVσ、 αg，αx，αu,ψAC1（σ，g，x，u）=α-3ψAC1σ、 αg，αx，αu,ψAC2（σ，g，x，u）=α-3ψAC2σ、 αg，αx，αu,ψτ（σ，g，x，u）=α-2ψτσ、 αg，αx，αu.证据

对于任意布朗运动（Wt）t≥0，根据比例特性，我们得到（Wt）t≥0L=（α）-1Wαt）t≥因此，如果我们定义τ=inf{t>0 s.t.Wt/∈ [d（t），u（t）]}和τα=inf{t>0 s.t.Wt/∈ 【αd（t），αu（t）】，我们有τL=inf{t>0s.t.Wαt/∈ [αd（t），αu（t）]L=α-2τα.我们推导出（τ，Wτ）L=α-2τα，Wα-2ταL=α-2τα，αWτα. （58）我们可以根据我们证明（58）的方式证明引理，代价是二维定义，这将更加复杂，更直接地应用布朗运动的强马尔可夫性质，我们不会写，这样我们就不会迷失在这个证明的技术性中。我们在第k个过程中引入第i个块中的点数，如下n（k）i，n=max{j≥ 0 s.t.τhi，n+τ（k）i，j，n≤ τhi+1，n}。我们还介绍了第i块Ni中的总点数，n=n（1）i，n+n（2）i，n。我们现在表明，我们可以统一控制观测时间近似值的误差。引理11。让我≥ 1.我们有苏比≥0, 2≤J≤赫内τ1Ci，j，n- ττ1Ci，j，nL= opα2ln（59）和苏比≥0, 2≤J≤赫内τ1C，-,+i、 j，n- τ1C，-,+i、 j，nL= opα2ln. （60）证据。我们引入符号OUP，其中U代表“在i中一致”≥ 0”，这意味着剩余部分的sup是给定顺序的第一步：我们定义shn=supi∈An)τ1Ci，hn，n.我们在这一步中表明)shnP→ 0.（61）我们使用引理7和引理8定义了近似持续时间的累积时间，即τhi，n=l=iXl=0τ1Cl，hn，n，M>0这样的~τhNhn，n≤ M→ 1.我们确定Zn=0，并且T∈ [~τhi-1，n，﹪τhi，n]，Znt=Zn﹪τhi-1，n+Si-1，新界-~τhi-1，n.对引理5的证明稍加修改即可得出结论。第二步：我们证明我们可以对第i个区块的观测数量进行定位，即。

存在一个非随机的MNP最大值N（1）i，N，N（2）i，N> 锰（62）一致地（在i中）向0收敛，Mn最多与hn线性增加，即我们有Mn≤ βHn，其中β>0。为了证明（62），我们需要一些定义。为我定义≥ 0观察次数Oi，k，和近似观察次数Oi，k，n的顺序如下。让TOi，n：=τOi，j，nJ≥0所有观测时间（对应于过程1和2）的排序集严格大于τhi，n。然后是j≥ 1.如果第j个观察时间（单位：TOi，n）与第一个过程的观察结果相对应，我们将设置Oi，j，n=1，如果它与第二个过程的观察结果相对应，我们将设置Oi，j，n=2。类似地，我们设置了TOi，即所有近似时间的排序集ττ（k）i，j，nJ≥0，k=1,2。~Oi，j，nar的定义与此相同。存在一个p>0，对于所有整数i，j，n:pOi，j+1，n=1Oi，j，n=2≥ p和pOi，j+1，n=2Oi，j，n=1≥ p、 （63）事实上，让l表示（随机）指数，使得τ（1）i，l，n=τOi，j，n。条件为noi，j，n=1o，我们知道如果X（4）[τhi，n+τli，j，n.]交叉g+或-g+之前X（3）[τhi，n+τOi，j，n.]十字架g-或-G-. 利用（A2）和（51）中的（8），我们可以很容易地从0这个概率中分离出来，因此我们推断出（63）。现在，利用（22）和（63）以及布朗运动的强马尔科夫性质，我们推导出（62）。第三步：让g=（d，u）使得（g，g）∈ G、 σ∈ [σ-, σ+]和 ≤G-. 我们定义τ（g，σ，) = inf{t>0:σWt=u（t）+ 或σWt=d（t）- }, 这里是标准布朗运动。我们证明了这一点τ（g，σ，) - τ（g，σ，0）L≤ γ（l）() （64）式中γ（l）()→0→ 0.为了表示（64），让τ（g，σ，) = inf{t>0：σWt+τ（g，σ，0）=minu（τ（g，σ，0））+Kt+, g+或σWt+τ（g，σ，0）=maxd（τ（g，σ，0））- Kt- , G-}.通过（A3）的（9）和（11），我们得到了τ（g，σ，) - τ（g，σ，0）≤ τ（g，σ，).

有条件的nτ（g，σ，)o、 利用布朗运动的强马尔可夫性，我们可以证明Eτ（g，σ，)τ（g，σ，)L→0→ 0使用Potzelberger和Wang（2001）中的定理2。第四步：让k∈ {1, 2}. 我们在这里展示的是XJ≤MnEτ（k）i，j，n- ττ（k）i，j，nL= 欧α2ln. （65）这个想法是通过在j，E中的重复来证明τ（k）i，j，n- ττ（k）i，j，nL当n增长时可以任意变小。然后是一个简单的分析练习，使用本地化Unsecond步骤，并在必要时选择不同的序列h，该序列仍然是非随机递增的，并遵循（53）和（54），因此（65）中的总和也将是任意整数。让我们从j=1和k=1开始。Eτ（k）i，1，n- ττ（k）i，1，nL= Eτ（k）i，1，n- ττ（k）i，1，n雷，n+ Eτ（k）i，1，n- τ（k）i，1，n莱奇，n,式中，Ei，n=E（1）i，n∩ E（2）i，n（1）i，n=（sups）∈[τhi，n，τhi，n+τ（1）i，1，n∨ττ（1）i，1，n]X（1）[τhi，n，s]- ~X（1）[τhi，n，s]< η1，n），E（2）i，n=（sups∈[τhi，n，τhi，n+τ（1）i，1，n∨ττ（1）i，1，n]g（1）s- g（1）τhi，n∞< η1，n），η1，n=qnαn，qn=maxαd-1/2n，z1/2nzn=sup1≤u、 五≤4.嗯sσu，v，shn∨ ~shn我1/2. 通过（58）和（64），Eτ（k）i，1，n- ττ（k）i，1，n雷，n≤ Cα2lnγ（l）（2qn）+γ（l）(-2qn）.利用柯西-施瓦兹不等式和引理7，Eτ（k）i，1，n- ττ（k）i，1，n莱奇，n≤ Cα2lnPECi，n1/2≤ Cα2lnPE（1）i，nC+ PE（2）i，nC1/2.一方面，PE（1）i，nC≤ （η1，n）-1E小吃∈[τhi，n，τhi，n+τ（1）i，1，n∨ττ（1）i，1，n]X（1）[τhi，n，s]- ~X（1）[τhi，n，s]≤ C（η1，n）-1max1≤u、 五≤4EZτhi，n+τ（1）i，1，n∨ττ（1）i，1，nτhi，nσu，vs- σu，vτhi，nds！1/2≤ C（η1，n）-1max1≤u、 五≤4Eτ（1）i，1，n∨ ττ（1）i，1，nsσu，v，shn∨ ~shn1/2≤ C（η1，n）-1.Ehτ（1）i，1，n∨ ττ（1）i，1，ni1/2zn≤ Cz1/2n。我们在第一个不等式中使用马尔可夫不等式，在第二个不等式中使用条件Burkholder-Davidsgundy不等式，在第四个不等式中使用Cauchy-Schwarz不等式，在最后一个不等式中使用引理7。

另一方面，PE（2）i，nC≤ （η1，n）-1E小吃∈[τhi，n，τhi，n+τ（1）i，1，n∨ττ（1）i，1，n]g（1）s- g（1）τhi，n∞≤ C（η1，n）-1Eτ（1）i，1，n∨ ττ（1）i，1，nD≤ Cαd-1/2n。我们在第一个不等式中使用了马尔可夫不等式，在第二个不等式中使用了（A3）中的（12），在最后一个不等式中使用了引理7。总之，我们有τ（k）i，j，n- ττ（k）i，j，nL≤ Cα2lnγ（l）（2qn）+γ（l）(-2qn）+z1/2n+αd-1/2.我们可以任意缩小，因为→ 0与引理6以及σ（A1）的连续性一起。k=2的情况非常相似。最后，对于j>1，同样的计算技术，使用（A3）的加法（11）也可以。第五步：证明一致（在i）PJ≤ Mn，Oi，j，n=~Oi，j，n→ 为了表示，让j≤ 明尼苏达州。我们定义（随机）指数v，使得τOi，v，n=τ（k）i，j，n。如果需要适当修改h，则存在（使用第四步）序列(n） 如此τ（k）i，j，n- ττ（k）i，j，n≤ αnN→ 1，（67）PτOi，v+1，n- τOi，v，n≤ αnN→ 使用（67）和（68），我们可以通过重复验证（66）。第六步：我们在这里证明（59）和（60）。利用引理7和（66）我们得到τ1Ci，j，n- ττ1Ci，j，nL= Eτ1Ci，j，n- ττ1Ci，j，nl{J≤Mn，Oi，j，n=~Oi，j，n}+ 欧α2ln.不等式右边的第一项可以用ce来限定τ1Ci，j，n- ττ1Ci，j，nl{J≤Mn，Oi，j，n=~Oi，j，n}+Eτ1Ci，j-1，n- ■τ1Ci，j-1，nl{J≤Mn，Oi，j，n=~Oi，j，n}!.这两个术语可以用相同的技巧处理。使用第二步和引理7，第一项等于toXv≤MnEτ1Ci，j，n- ττ1Ci，j，nl{J≤Mn，Oi，j，n=~Oi，j，n}{τ1Ci，j，n=τ（1）i，v，n}+ 欧α2ln.这个总和显然是以xv为界的≤MnEτ1Ci，j，n- ττ1Ci，j，nL.利用（65），我们证明（59）。

我们可以用同样的计算来推断（60）。设Mnt为插值归一化误差，即Mnt=α-1nXi≥1.X（1）[τ1Ci-1，n∧t、 τ1Ci，n∧[t]X（2）[τ1C，-我-1，n∧t、 τ1C，+i，n∧[t]-Ztσ（1）sσ（2）sρ1,2sds！。如果我们观察t时两种资产的价格，则MNT与Hayashi Yoshida估值器的标准化误差完全相关。我们回忆起NI的定义，n=X（1）τ1Ci，nX（2）τ1C，-,+i、 n-Zτ1Ci，nτ1Ci-1，nσ（1）sσ（2）sρ1,2sds。引理12。我们有XI∈你好-1，nMnτhi，n= α-2nXi∈你好-1，n“hnXu=2N（i）-1） hn+u+ 2N（i）-1） hn+uN（i）-1） hn+u+1#+op（1）。证据我们得到这个等式，注意（Ni，n）n≥0居中且1相关，左项概率收敛为0。我们在块体开始时引入观测时间，其中“s”代表“开始”τsi，n=sup{τhj，ns.t.τhj，n<τ1Ci，n}。引理13。我们有α-2nXi∈你好-1，n“hnXu=2N（i）-1） hn+u+ 2N（i）-1） hn+uN（i）-1） hn+u+1#=αnXi∈安-2Xj=0ZRψAVστhi-1，n，gτhi-1，n，α-1nx，α-2nvdπi-1，j，n（x，v）+op（1）。证据第一步：保持波动率不变。设置Ni，n=στsi-1，nWτ1Ci，n(1)στsi-1，nWτ1C，-,+i、 n(2)-Zτ1Ci，nτ1Ci-1，nζ1,2τsi-这里A（i）是向量A的第i个分量。我们想证明：α-2nXi∈你好-1，n“hnXu=2N（i）-1） hn+u+ 2N（i）-1） hn+uN（i）-1） hn+u+1#=α-2nXi∈你好-1，n“hnXu=2~N（i）-1） hn+u+ 2~N（i）-1） hn+uN（i）-1） hn+u+1#+op（1）。注意Fi，n=（Ni，n）+2Ni，nNi+1，nandFi，n=~Ni，n+ 2~Ni，n~Ni+1，n，α-2nXi≥1Eτsi-1，n菲，n-~Fi，n{τsi-1，n<t}P→ 0，我们可以重写为α-2nPN（1）t，ni≥1Eτsi-1，新罕布什尔州菲，n-~Fi，n{τsi-1，n<t}iP→ 0.使用引理9，可以很好地证明u>0:a-2nuα-2nXi=1Eτsi-1，新罕布什尔州菲，n-~Fi，n{τsi-1，n<t}iP→ 因此，有必要证明这个量的收敛性，即α-2nuα-2nXi=1Eh菲，n-~Fi，n{τsi-1，n<t}i→ 0.我们有菲，n-~Fi，n≤ B（1）i，n+2B（2）i，n，其中B（1）i，n=倪，n-~Ni，nB（2）i，n=镍-1.nNi，n-~Ni-1，nNi，n.