基于内生抽样的综合二次协变量估计

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英文标题：
《Estimation of integrated quadratic covariation with endogenous sampling
  times》
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作者：
Yoann Potiron, Per Mykland
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  When estimating high-frequency covariance (quadratic covariation) of two arbitrary assets observed asynchronously, simple assumptions, such as independence, are usually imposed on the relationship between the prices process and the observation times. In this paper, we introduce a general endogenous two-dimensional nonparametric model. Because an observation is generated whenever an auxiliary process called observation time process hits one of the two boundary processes, it is called the hitting boundary process with time process (HBT) model. We establish a central limit theorem for the Hayashi-Yoshida (HY) estimator under HBT in the case where the price process and the observation price process follow a continuous Ito process. We obtain an asymptotic bias. We provide an estimator of the latter as well as a bias-corrected HY estimator of the high-frequency covariance. In addition, we give a consistent estimator of the associated standard error.
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中文摘要：
在估计异步观测的两个任意资产的高频协方差（二次协变量）时，通常会对价格过程和观测时间之间的关系施加简单的假设，例如独立性。本文介绍了一种广义内生二维非参数模型。因为每当一个称为观测时间过程的辅助过程击中两个边界过程中的一个时，就会产生一个观测值，所以它被称为带时间过程的击中边界过程（HBT）模型。在价格过程和观测价格过程服从连续Ito过程的情况下，建立了HBT下Hayashi-Yoshida（HY）估计的中心极限定理。我们得到了一个渐近偏差。我们提供了后者的估计量以及高频协方差的偏差修正HY估计量。此外，我们给出了相关标准误差的一致估计。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Estimation_of_integrated_quadratic_covariation_with_endogenous_sampling_times.pdf (864.03 KB)

2022-5-8 11:55:07 上传

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关键词：协变量 independence Quantitative relationship Applications

具有内生采样时间的积分二次协变量估计*Yoann Potiron+和Per A.Mykland即将发表在《计量经济学杂志》摘要当估计异步观测的两个任意资产的高频协方差（二次协变量）时，通常会对价格过程和观测时间之间的关系施加简单的假设，例如独立性。本文介绍了一种广义内生二维非参数模型。由于当一个称为观测时间过程的辅助过程击中两个边界过程中的一个时，就会产生一个观测值，因此它被称为带有时间过程（HBT）模型的击中边界过程。在价格过程和观测价格过程服从连续It过程的情况下，我们建立了HBT下Hayashi-Yoshida（HY）估计的中心极限定理。我们得到了一个渐近偏差。我们提供了后者的估计量，以及高频协方差的偏差修正HY估计量。此外，我们给出了相关标准误差的一致估计。*我们要感谢西蒙·克林特、马蒂厄·罗森鲍姆、史蒂文·莱利、范建清（编者）、匿名副主编和一位匿名推荐人提供的有益讨论和建议。非常感谢国家科学基金会在DMS 14-07812资助下提供的资金支持。+庆应大学工商学院。2-15-45日本东京弥敦谷三田，108-8345。电话：+81-3-5418-6571。电子邮件：potiron@fbc.keio.ac.jp——芝加哥大学统计系。伊利诺伊州芝加哥南大学大道5734号，邮编60637。电话：+1（773）7028044/8333。传真：+1（773）7029810。

电子邮件：mykland@pascal.uchicago.eduKeywords：渐近偏差；异步时间；内生模型；林吉田估计器；高频数据；二次协变量；时间内生性JEL编码：C01；二氧化碳；C13；C14；C22；C32；C581简介两项资产之间的协变量是融资中的一个关键数量。基本示例包括优化资产配置和风险管理。在过去的几年里，利用不断增加的高频数据，发表了许多关于估计这种协方差的论文。假设两个任意资产的潜在对数价格Xt=（X（1）t，X（2）t）遵循一个连续的It^o过程dX（1）t:=u（1）tdt+σ（1）tdW（1）t，（1）dX（2）t:=u（2）tdt+σ（2）tdW（2）t，（2）其中u（1）t，u（2）t，σ（1）t，σ（2）tare随机过程，W（1）tand W（2）tare标准布朗运动，具有（随机）高频相关dhW（1），ρtdt）。计量经济学通常试图推断综合协变量hx（1），X（2）it=Ztρuσ（1）uσ（2）udu。早期的结果侧重于从概率角度估计单一资产的综合方差（Genon Catalot和Jacod（1993年），Jacod（1994年））。巴恩多夫-尼尔森和谢泼德（2001年、2002年）提出了计量经济学中的问题。适用于二维，如果在τ0，n:=0，τ1，n，τNn，n实现的协变量X（1），X（2）定义为交叉日志返回的总和X（1），X（2）t=Xτi，n≤TX（1）τi，nX（2）τi，n，（3）其中对于任何正整数i，X（k）τi，n=X（k）τi，n- X（k）τi-1，n与最后两次采样之间第k个过程的增量相关。随着观察时间的推移τi，nget更接近（观察到的数量趋于一致），X（1），X（2）总磷→hX（1），X（2）it（参见Jacod和Shiryaev（2003）中的定理I.4.47）。

此外，当观测时间τi，nare独立于价格过程Xt时，其估计者遵循混合正态分布（Jacod和Protter（1998）、Zhang（2001）、Mykland和Zhang（2006））。这让我们了解了如何估计积分协变量。然而，在实践中，这两种假设通常并不满足。两种资产的观测时间很少是同步的，而且价格采样时间具有内生性。第一个问题已经研究了很长时间。缺乏同步性往往会在推理中产生不良影响。如果我们以非常高的频率采样，我们会观察到Epps效应（Epps（1979）），即，与稀疏观测的估计相比，相关性估计会显著降低。Hayashi and Yoshida（2005）引入了所谓的Hayashi-Yoshida估计量（HY）h\\X（1），X（2）iHYt=Xτ（1）i，n，τ（2）j，n<tX（1）τ（1）i，nX（2）τ（2）j，n[τ（1）i]-1，n，τ（1）i，n）∩[τ（2）j]-1，n，τ（2）j，n）6=, （4） 式中，τ（k）i是第k个资产的观测时间。注意，如果两个过程的观测同时发生，（3）和（4）是相等的。该估计值的一致性在Hayashi和Yoshida（2005）以及Hayashi和Kusuoka（2008）中实现。Hayashi和Yoshida（2008，2011）在观测时间的强可预测性下研究了相应的中心极限定理，这是一个比仅假设它们是停止时间更严格的假设，但仍然允许价格和观测时间之间存在一定的依赖性。最近，Koike（2014年、2015年）首先在观测时间的可预测性下，然后在更一般的内生停止时间设置下，扩展了前平均Hayashi-Yoshida估计量。其他高频协方差估计器的例子可以在Zhang（2011）、Barndorff-Nielsnet等人（2011）、A"it-Sahalia等人（2010）、Christensen等人中找到。

(2010, 2013).在一般的一维内生模型中，在网格上的点击次数（Fukasawa（2010a）、Robert and Rosenbaum（20112012）、Fukasawa andRosenbaum（2012））给出采样次数的情况下，研究了化波动率（3）的渐近行为。由于这三个模型的规律性（见后一篇文章中的讨论），它们在归一化误差的极限分布中没有获得任何偏差。此外，Hayashi等人（2011年）也讨论了停车时间可预测性强的情况。最后，两个一般结果（Fukasawa（2010b），Li和al（2014））表明，我们可以识别和估计渐近偏差。本文的主要目标是对HY进行偏差校正。请注意，由于观测是异步的，因此估计偏差比波动率情况下更具挑战性。特别是，估计量将涉及一个可被视为李等人（2014）的三次性的量，但由于采样时间的同步性，其定义更为复杂。这一新定义可被视为与HY估计器（4）对RV估计器（3）的推广类似。另一个非常重要的问题是渐近标准差的估计。首先，由于该模型比无内生性工作中的模型更一般，因此理论上的渐近方差将有所不同。因此，我们将给出一个新的方差估计，它适当地考虑了内生性。作者不想对对数回归和对应于资产价格变化的下一个观察时间的联合分布采取立场，因为他们知道，当我们（错误地）假设价格过程和观察时间完全独立时，他们的未知关系最有可能导致高频协方差估计的偏差和方差。

为此，他们引入了带有时间过程（HBT）模型的撞击边界过程。最后，证明中开发的技术是创新的，因为它们将Hayashi Yoshida估计的归一化误差减少到一个离散过程，这是一个局部一致遍历齐次马尔可夫链。因此，这个问题可以局部解决，因为我们假设资产的波动是连续的，所以局部马尔可夫结构和归一化误差的真实结构之间的近似误差渐近消失。这项技术并不是专门针对问题的，它非常适用于处理时态数据的其他估计器。论文的结构如下。我们将在第2节介绍HBT模型。第3节给出了该模型涵盖的示例。第4节给出了这项工作的主要定理，即归一化误差的极限分布。第5节提供了渐近偏差和方差的估计。我们在第6节中进行了数值模拟，以证实该理论。证据见附录。2 HBT模型的定义我们首先介绍一维模型。我们假设，对于任何正整数，τi+1是对应于实际价格变化的下一个到达时间（在τi之后）。特别是，在τi和τi+1之间，可以以相同的价格Zτi进行多笔交易，但在τi+1之前，价格不同于Zτi的交易不可能发生。我们还假设Xt是权益证券的有效（对数）价格。此外，我们假设观测是有噪声的，并且我们观测Zτi:=Xτi+τi显微结构在哪里τ可以表示为观测价格Z，…，的已知函数，Zτi.作为一个例子，Robert和Rosenbaum（2012）在p。

5.如果我们假设已知摩擦参数η，则具有不确定区的模型可以用该噪声结构编写。最后，我们将α>0定义为刻度大小，并假设观察到的价格Zτi在刻度网格上，即存在正整数，Zτi:=miα。从经验上看，没有基于股票市场上代理人理性行为的经济模型能够揭示有效回报之间的关系下一次价格变动前的Xτ和时间τi=τi- τi-1.赢得了一致支持。当竞争时间与资产价格无关时，它直接来自于持续的it假设，即依赖结构的回报率Xτiis a函数τi.我们等待的时间越长，预期收益的方差越大。在这篇论文中，我们通过构建一个模型，将τ定义为有效价格路径的函数，从而得出相反的观点。为此，我们定义了影响观测时间的观测时间过程X（t）。我们还定义了向下过程DT和向上过程ut。注意，对于任何t≥ 0，我们假设R+上的dt和utaRefunnction。我们还假设下行过程只取负值，上行过程只取正值。每当这两个过程中的一个被观测时间过程的增量击中时，就会生成一个新的观测时间。然后，观察时间过程的增量将再次从0开始，下一个观察时间将在其到达上升或下降过程时生成。图1显示了HBT模型。形式上，我们定义τ：=0，对于任何正整数i，定义为τi:=inft>τi-1: X（t）[τi-1，t]/∈dt（t）- τi-1） ，ut（t- τi-1)o、 （5）在哪里Y[a，b]：=Yb- 对。

请注意，如果观察时间过程X（t）等于价格过程X本身，那么无论何时，价格都会上升（分别下降）。还要注意，如果时间过程、上升过程和下降过程与有效价格过程无关，那么到达时间与有效价格过程无关。我们假设二维过程（Xt，X（t）t）是一个It过程。第3.1节提供了识别观察时间过程、下降过程和上升过程的文献示例。将其推广到二维是很简单的。我们将k=1，2的X（t，k）t定义为与第k个价格过程、u（k）t上升过程、d（k）t下降过程相关的观察时间过程，以及由（5）生成的到达时间τ（k）。我们还定义了四维过程Yt:=（X（1）t，X（2）t，X（t，1）t，X（t，2）t），并假设Yt^o过程具有波动性σt：=σ1,1tσ1,2tσ1,3tσ1,4tσ2,1tσ2,2tσ2,3tσ2,4tσ3,1tσ3,2tσ3,3tσ3,4tσ4,1tσ4,2tσ4,3tσ4,4t.特别是，我们有dYt=utdt+σtdWt，其中wt是一个四维标准布朗运动（对于i=1，…，4和j=1，…，4，使得i6=j，W（i）独立于W（j）t）。如果我们设置ζt=σtσTt，那么积分协方差（或二次协变）过程由hY，Y it=Rtζsds给出。设ρt为y的相关关联过程，即对于i=1，4和j=1，4我们设置ρi，jt=ζi，jt（ζi，it）-1.最后，有时将Yt视为方程（1）和（2）中表示的四维向量是有用的。对于k=1，4我们将第k个过程的波动性定义为σ（k）t:=（ζk，kt），我们的眼角表示Y（k）tasdY（k）t=u（k）tdt+σ（k）tdB（k）tw，其中B（k）是标准布朗运动，通常取决于B（l）tf或l=1。

我们坚持本文给出的协方差和相关渐近方差的估计量不需要了解观测时间过程、上升过程和下降过程的结构。尽管如此，出于财务和经济解释的目的，读者可能有兴趣了解这些过程在实践中的表现。在本节中，我们提供了文献中的几个例子，以及Robertand Rosenbaum（2011）的不确定性区域模型的可能扩展，这些不确定性区域可以表示为HBT模型。3.1 HBT类别示例1中包含的内源性模型。我们能想到的最简单的内生半参数模型是一个模型，其中时间过程X（t）等于价格过程Xt，时间是通过击中一个恒定的障碍而产生的。形式上，这意味着存在一个二维参数（θu，θd），这样上过程等于θu，下过程等于θd。我们在该模型中不假设噪声。例2。（触及刻度大小的恒定边界）示例1的一个问题是，如果θuan和θ不敢乘以α，则有效价格Xτi不一定是刻度大小α的模，因为模型中不存在微观结构噪声。为了使示例3.1在实践中可行，我们在这里假设常数势垒θua和θdare分别等于刻度大小α及其相加反比-α. 我们还假设Zτi:=Xτi。（达到跳跃大小的恒定边界）例2的问题是观察到的价格Zτiisα的绝对跳跃大小。相反，在实践中，绝对跳跃大小实际上可以大于蜱虫大小α。

在Robert和Rosenbaum（2011）的注释中，对于任何正整数i，我们引入了离散变量Li，它对应于观测到的价格跳跃在τi和τi+1之间的滴答数，其中Li≥ 1.我们假设Li是有界的。到达时间递归定义为τ：=0，对于任何正整数i，则定义为τi:=infnt>τi-1:Xt=Xτi-1.- 锂-1α或Xt=Xτi-1+Li-1αo.我们假设Liare IID与其他量无关。我们最终假设Zτi:=Xτi。在t和constantin s中，上下过程是分段常数，定义为任何s≥ 0 asdt（s）=-锂-t为1α∈ （τi）-1，τi]ut（s）=Li-t为1α∈ （τi）-1，τi]例4。（带不确定性区域的模型）我们比例3更进一步，现在介绍Robert和Rosenbaum（2011）的带不确定性区域的模型。在一个无摩擦的市场中，我们可以假设，只要有效的价格过程穿过中间价格Zτi之一，就会发生价格变化Zτi的交易-1+αorZτi-1.-α. 在这种情况下，如果有效价格过程达到前一个值，我们将观察到观察到的价格Zτi=Zτi的增量-1+α，如果它达到前面的值，我们将观察到一个减量Zτi=Zτi-1.- α. 有两个原因可以解释为什么在实践中这种无摩擦模型过于简单。第一个原因是观察到的价格增量（或减量）的绝对值可能大于厚度α，这一点已在示例3中指出。因此，在本例中，我们将保留符号LI。第二个原因是，摩擦导致当有效过程等于中间刻度值时，交易不会完全发生。为此，在Robert和Rosenbaum（2012）的注释中，让0<η<1作为量化市场参与者对价格变化厌恶程度的参数。