基于内生抽样的综合二次协变量估计

如果我们让X（α）t为X的值，四舍五入到α的最近倍数，则采样时间递归定义为τ：=0，对于任何正整数i，采样时间定义为τi:=infnt>τi-1:Xt=X（α）τi-1.- α锂-1.-+ η或Xt=X（α）τi-1+ α锂-1.-+ η其他观察到的价格等于四舍五入的有效价格Zτi:=X（α）τi。在这个模型中，时间过程X（t）再次等于价格过程xT本身。上升和下降过程在t中是分段常数，在s中是常数，定义为任何s≥ 0 asdt（s）=-锂-1α1{Xτi-1<Xτi-2}- （2η+Li）-1.- 1） α1{Xτi-1> Xτi-2} 对于t∈ （τi）-1，τi]ut（s）=Li-1α1{Xτi-1> Xτi-2} +（2η+Li）-1.- 1） α1{Xτi-1<Xτi-2} 对于t∈ （τi）-1，τi]其中1a是A的指示函数。注意，在η=的情况下，我们回到例3。例5。（撞击不规则网格模型生成的时间）我们正在研究的第四个模型称为撞击不规则网格模型生成的时间。我们遵循Fukasawa和Rosenbaum（2012）的符号，考虑不规则网格={pk}k∈Z、 pk<pk+1。我们设置τ=0，对于i≥ 1τi=影响>τi-1:Xt∈ G- {Xτi-1} o，G在哪里- {Xτi-1} 是通过移除{Xτi-1} 从G.我们可以把它改写为HBT模型的一个元素，其中时间过程等于价格过程，对于所有的s≥ 0上升和下降过程定义为DT（s）=pk-1.- PKT∈ （τi）-1，τi]ut（s）=pk+1- PKT∈ （τi）-1，τi]，其中k是（随机）指数，使得pk=Xτi-1.例6。（结构自回归条件持续时间模型）该模型已有多个草案。我们在这里遵循以前的版本（雷诺等（2009）），因为我们可以直接将其表示为HBT模型的一个元素。在结构自回归条件持续时间模型中，下一事件发生时的时间τi由τ=0给出，对于i>0，τi=infnt>τi-1：在- Aτi-1=~dτi-1或至少- Aτi-1=~cτi-1o（6）其中Atis是标准布朗运动（不一定独立于Xt）。

作为HBT模型的一个元素，我们得到时间过程X（t）等于布朗运动，对于所有的s≥ 0dt（s）=dτi-1对于t∈ （τi）-1，τi]ut（s）=cτi-1对于t∈ （τi）-1，τi]。生成HBT模型的采样时间（5）作为唯一障碍物的首次击中时间，而不是雷诺等人（2014）的后一版本中两个障碍物中的一个的首次击中时间，不会改变本文的证明，但我们选择了两个边界设置，因为如果需要解释时间过程、上升过程和下降过程，它看起来更自然。3.2具有不确定性区域的模型的可能扩展Robert和Rosenbaum（2011）在样本4中引入的具有不确定性区域的模型是半参数的，它假设观察到的价格是四舍五入到最接近的刻度值Zτi=X（α）τi的效率价格，因此噪声等于i:=α(-η） 如果最后一笔交易提高了价格i:=-α(-η） 如果最后一笔交易降低了价格。特别是，噪声是自相关的，并且与效率相关。由于这种特殊的噪声分布，不需要任何数据预处理，如预平均，就可以直接估计基本摩擦参数η（见Robert和Rosenbaum（2012））。我们认为，具有不确定性分区的模型是一个非常有趣的起点，因为模型的所有内生结构和噪声结构都被简化为一维摩擦参数η的估计。尽管如此，由于这种半参数模型想要成为最简单的模型，它有几个问题。下面我们将对其中两个进行调查。首先，该模型不允许买卖双方之间存在信息不对称。定义η+和η-, 分别是对正价格变化和负价格变化的厌恶。

正价格变化意味着买方决定以最好的要价下订单，而负价格变化对应于卖方以最好的出价下订单（如果我们假设取消和重新存储不是价格变化的原因），差异η+- η-可以看作是信息不对称的一种度量。我们定义τ：=0，并递归地定义任意正整数τi:=infnt>τi-1:Xt=X（α）τi-1.- α锂-+ η-或Xt=X（α）τi-1+ α锂-+ η+o、 请注意，HBT类包含该模型，如果我们稍微修改Robert和Rosenbaum（2012）中的^η，以估算η+和η，则可以直接对其进行拟合-. 一个可能的应用是建立一个不对称信息η+：=η的测试-. 这超出了本文的范围。另一个问题是，作者在他们的工作中没有做任何模型检查。根据他们的经验工作（见Robert and Rosenbaum（2011）第359-361页），η的估计值在测试的十项法国资产中是稳定的。η的稳定性有利于他们的模型，但这样一来，除了采样时间的完全内生性，模型不允许任何其他结构。即使采样时间的真实结构（大部分）与资产价格无关，我们仍然会估计一个η，该η将在几天内保持稳定。如果我们允许时间过程不同于价格过程本身，我们可以估计它们之间的相关性ρ1,3，并查看采样时间的内生性（越大）ρ1,3是的，采样时间越长）。我们需要在模型中添加更一般的微观结构噪声，因此这有待于进一步的工作。4主要结果4。1假设和理论在不丧失普遍性的情况下，我们假设地平线时间T:=1，我们考虑[0,1]来表示经济事件的过程，例如交易日。

我们首先介绍了稳定收敛的定义，它比通常的分布收敛性强一点，用于统计推断，如高频协方差的预测值和给定置信水平下置信区间的构造。定义1。我们假设随机过程Yt、u和σ皮重适用于过滤（Ft）。设zn为F-可测随机变量序列。我们说zn在分布上稳定地收敛到Z作为n→ ∞ 如果Z是可测量的，关于Fso的延拓，对于所有A∈ 所有有界连续函数f，E[1Af（Zn）]→ E[1Af（Z）]作为n→ ∞.在第2节的设置中，推理的目标，即综合协变量，可以为所有t∈ [0,1]ashX（1），X（2）it:=Ztσ（1）sσ（2）sρ1,2sds。注意，f的连续性指的是关于D[0，1]的Skorokhod拓扑的连续性。然而，我们也可以使用sup范数给出的连续性，因为我们所有的极限都在C[0，1]中。可以参考Jacod和Shiryaev（2003）的第五章一。关于稳定收敛的进一步定义，可以参考雷尼（1963年）、奥尔德斯和伊格尔森（1978年）、霍尔和海德（1980年）的第3章（第56页）、罗茨恩（1980年）以及雅科德和普罗特（1998年）的第2节（第169-170页）。我们现在提供渐近解。我们想让观测的数量逐渐趋于一致。这样做的目的是扩大规模，从而保持驱动下一次返回和下一次观测时间的结构，同时使刻度大小消失（因此观测的数量在[0,1]上爆炸）。

形式上，我们让蜱虫大小α>0，并定义观察时间Tα：=τ（k）i，αk=1,2i≥对于k=1，我们有τ（k）0，α：=0，对于i，任何正整数τ（k）i，α：=infnt>τ（k）i-1,α: X（t，k）t/∈αd（k）t（t- τ（k）i-1，α），αu（k）t（t- τ（k）i-1,α)o、 当蜱虫大小等于αash\\X（1），X（2）iHYt，α：=X0<τ（1）i，α，τ（2）j，α<t时，我们定义了HY估计量X（1）τ（1）i，αX（2）τ（2）j，α[τ（1）i]-1，α，τ（1）i，α）∩[τ（2）j]-1，α，τ（2）j，α）6=. （7） 我们现在给出证明（7）的中心极限定理所需的假设。为此，我们需要引入一些定义。鉴于第3节中介绍的不同模型，关于时间过程X（t）和价格过程Xt之间的相关性，有三种不同的可能假设。第一种可能性是，对于所有0≤ T≤ T在这种情况下，我们将λmint定义为（σ（i，j）t）j=1,2i=1,2的最小特征值。第二种情况是，对于一个k∈ 1，2我们有X（k）t:=X（t，k）t，但另一个时间过程不同于其相关的价格过程。在这种情况下，我们确定λmint为（σ（i，j）t）j的最小本征值∈{1,2,3,4}-{k+2}i∈{1,2,3,4}-{k+2}。第三种可能的设置是，时间过程不同于两种资产的相关资产价格，在这种情况下，weletλmint是σ的最小特征值。假设（A1）提供了价格过程X（1）和X（2）t、时间过程X（t，1）和X（t，2）t以及它们的方差矩阵σt的条件。（A1）中有两种类型的假设。首先，我们希望消除证明中的偏差，这将通过使用条件（A1）以及Girsanov定理和局部参数来实现（参见Mykland and Zhang（2012）中的第158-161页）。这是金融计量经济学文献中非常标准的假设。此外，我们假设协方差矩阵σ是连续的。假设（A1）。

漂移ut、波动矩阵σ和（四维）布朗运动WT适用于过滤（Ft）。此外，它是可积的且局部有界的。此外，σ是连续的。最后，我们假设inft∈（0,1]λmint>0 a.s.备注1.（对波动性跳跃的鲁棒性）证明技术在小区块上保持波动性恒定，要求“波动性的连续性”。这与Mykland和Zhang（2009）以及Mykland（2012）中的相同策略，其中波动过程遵循一个连续的It过程。尽管如此，按照同样的理由作为备注6的证明，我们可以在挥发性矩阵中添加一定数量的跳跃。定理1的证明将在σt跳数有限的情况下失效。以下条件大致假定两个时间过程不能彼此相等，即使在很小的时间间隔内。具体地说，我们将假设存在一个严格小于1的常数，使得瞬时高频相关系数ρ3,4的模不能大于该常数。实际上，假设（A2）是无害的。假设（A2）。尽管如此，t∈ [0,1]我们有ρ3,4t∈ [ρ3,4-, ρ3,4+]，（8）其中最大值（|ρ3,4-|, | ρ3,4+|) < 1.下一个假设涉及向下过程DTUT和向上过程ut。很明显，dt和uth必须在时间t已知，这就是为什么我们认为它们适合（Ft）。假设（A3）的其余部分是非常技术性的，我们只会在我们将使用的证明技术方面尽可能地笼统。读者应将假设（A3）理解为“假设两次返回之间可能存在的最差依赖结构”Xτi和时间增量τi，知道他们遵循HBT模型”。

我们再次坚持这样一个事实：我们只会在我们的模型中尽可能地使依赖结构变得糟糕，这样我们就可以研究HY估计在实践中可能有多大的偏差，以及在没有内生性的情况下，对方差的估计有多大的错误。假设（A3）。对于这两种资产k=1，2，定义下行过程和上行过程g（k）t的耦合：=（d（k）t，u（k）t），并让gt:=（g（1）t，g（2）t）。我们假设g（k）：R+→ （R）+→ R-×R+t7→ g（k）与（Ft）相适应。此外，还存在两个非随机常数0<g-< g+a.s.对于任何t∈ [0,1]对于任何≥ 0g-≤ 闵(-d（k）t（s），u（k）t（s））≤ 麦克斯(-d（k）t（s），u（k）t（s））≤ g+（9）此外，存在非随机常数K>0和d>1/2，使得a.s。s≥ K，gt（s）=gt（K），（10）T≥ 0，GTI可区分且s≥ 0，麦克斯|（d（k）t（s）|，|（u（k）t）（s）|≤ K、 （11） （u，v）∈ [0,1]s.t.0<u<v，kgv- 古克∞≤ K | v- u | d，（12）式中k（f，f）k∞= 苏普≥0max（|f（w）|，|f（w）|）。备注2。考虑假设（A3）中定义的常数空间C：=n（g-, g+，K，d）s.t.0<g-< 对于任何c，g+，K>0，d>o∈ C、 我们将G（C）定义为R的函数子空间+→ （R）+→ R-×R+）这样G∈ G、 G满意度（9）、（10）、（11）和（12）。当没有混淆的余地时，我们使用G。假设（A3）相当于C∈ C.s.t。T∈ [0,1]，gt∈ G（c）。备注3。建议读者注意到，示例3、示例4、示例5和示例6，其中时间过程是分段常数，可能取决于n，不遵循假设（A3）。附录8.5讨论了这些例子中定理1证明的适应性。我们选择不陈述更一般的条件，以保持假设（A3）的可操作性。最后一个假设只是技术性的，也出现在文献中（Myklandand Zhang（2012），Li等人（2014））。假设（A4）。

过滤（Ft）由无数布朗运动产生。我们现在可以陈述主要定理。定理1。假设（A1）- （A4）。然后，存在过程ABT和AVtadaptedto（Ft），使得在规律上稳定，如刻度大小α→ 0,α-1.h\\X（1），X（2）iHYt，α- hX（1），X（2）it→ ABt+Zt（AVs）1/2dZs，（13），其中Zt是独立于下伏σ场的布朗运动。第4.3节和第5节定义了渐近偏差和渐近方差。备注4。（路径偏差）注意，（13）右侧的渐近偏差项并不意味着Hayashi Yoshida估计量有偏差，而是有路径偏差。后者是一个较弱的陈述，这意味着一旦我们看到了一条路径，HY估值器在这条特定的价值ABt路径上就存在偏差。在实践中，我们只能看到一条路径，因此偏差和路径偏差很容易混淆。在进行模拟时，我们可以观察到许多路径，读者应该记住，每条路径的路径偏差是不同的。此外，请注意，如果我们假设σ在[0，T]上有界且远离0有界，则定理1中没有偏差，因为ee[ABt]=0。备注5。（收敛速度）乍一看，收敛速度α-与我们在无内生性情况下获得的最佳收敛速度不同。这仅仅是一个视角的改变，因为我们是从虱子大小的角度来看的。实际上，如果k=1，2，我们定义N（k）t，α为第k个资产t之前的观测数，以及两个过程N（S）t的观测值之和，α：=N（1）t，α+N（2）t，α，我们得到N（S）t，α的阶数为Op（α）-2). 因此，如果我们确定预期观察次数n:=EN（S）t，α, 我们得到了nin（13）的最优收敛速度。备注6。

（对价格过程中跳跃的稳健性）我们假设我们在价格过程中添加一个跳跃组件dx（k）t=u（k）tdt+σ（k）tdB（k）t+dJ（k）t（14），对于k=1，2，其中jt表示二维有限活动跳跃过程，dJ（k）为零（无跳跃）或表示时间t跳跃大小的实数。我们完全遵循Andersen等人（2012）中p.2的设置。我们假设jt是一个与其他量无关的一般泊松过程。在相同的假设下，定理1的结论仍然有效。证据见附录8.6。实际上，多跳的情况很复杂，超出了本文的范围。在一维情况下，情况已经如此（见ofLi等人（2014年）第586页的备注4）。备注7。（原始非对数标度上的网格）定理1涵盖了当原始标度上的价格触及边界时，XT对应于对数价格和观测值的特殊情况。这可以通过重新参数化g（k）tby~g（k）t（s）：=(-经验(-d（k）t），exp（u（k）t）。备注8。（任意数量的资产）为了简单起见，作者选择只使用两种资产，但他们推测，对于任意数量的资产，这个结果将保持真实，我们的证明将适应于显示它，代价是更多涉及的符号和定义。4.2偏差修正HY估计器的定义假设我们有一个一致的估计器dabt，偏差的αABt，α：=αABt。第5节将提供此类估计器。我们将高频协方差的新估计器h\\X（1），X（2）iBCt，α定义为从Hayashi Yoshida估计器h\\X（1），X（2）iBCt，α中去除偏差估计值α时获得的估计值，α：=h\\X（1），X（2）iHYt，α-轻点，α。（15） 通过偏差修正估计量h\\X（1），X（2）iBCt，α，我们消除了渐近偏差，并保持了与我们在下面的推论中看到的相同的渐近方差。推论2。

假设（A1）- （A4）。然后，在法律上稳定为α→ 0,α-1.h\\X（1），X（2）iBCt，α- hX（1），X（2）it→Zt（AVs）1/2dZs。（16） dABt，α一致意味着α-1dABt，α=α-1ABt，α+op（1）4.3理论渐近偏差和渐近方差的计算我们警告有兴趣实施偏差修正估计器的读者，本节是高度技术性的，我们建议她直接进入第5节，仅参考本节的定义。相反，如果读者想理解校样的主要思想，她应该把这一部分作为参考。我们还想强调一个事实，即本节末尾发现的渐近偏差和渐近方差的理论值相当抽象，不容易阐明模型中参数σ和GT的变化将如何影响渐近偏差和渐近方差。本文的主要目的是，在计算第5节中的估计量时，我们不需要知道理论值。为了计算理论渐近偏差Ab和渐近方差项AVt，我们需要引入一些定义。我们首先需要以不同的方式重写HYestimator（7）。对于任何正整数i，考虑第一个资产τ（1）i的第i个采样时间-1,α. 我们定义了两个随机时间τ-我-1，α和τ+i-1，α，这是τ（1）i的函数-1，α和第二资产{τ（2）j，α}j的所有观测时间≥0和分别对应于第二个资产的最近采样时间，该时间比τ（1）i小得多-1，α，以及（不一定严格地）大于τ（1）i的第二个资产的最近采样时间-1，α为τ-0,α= 0, (17)τ-我-1，α=max{τ（2）j，α：τ（2）j，α<τ（1）i-1，α}≥ 2，（18）τ+i-1，α=min{τ（2）j，α：τ（2）j，α≥ τ（1）i-1，α}≥ 1.（19）我们考虑X（2）τ-,+i、 ατ之间第二个资产的增量-我-1，α和τ+i，αX（2）τ-,+i、 α：=X（2）[τ-我-1，α，τ+i，α]。