基于内生抽样的综合二次协变量估计

（20） 重新排列（7）中的项（除了边缘的几个项）得到h\\X（1），X（2）it，α=Xτ+i，α<tX（1）τ（1）i，αX（2）τ-,+i、 α。（21）鉴赏家会注意到τ-我-1，α不是Ft停止时间，这在证明中不会成为问题（21）中的表示非常有用，因为它给出了求和项之间的自然顺序。然而，这个总和的任何一项都是与其他项先验相关的。我们将再次重新排列（21）中的项，使每个项仅与总和的上一项和下一项相关。在这种情况下，我们认为它们是1-相关的。为此，我们需要引入一些符号。我们提醒读者，Tα是采样时间的二维向量，其中对于每个k=1，2，第k分量T（k）α等于与第k资产相关的采样时间序列。我们将构造T（1）α的子序列T1Cα，它也依赖于第二个资产T（2）α的观测时间，并且我们可以将Hayashi-Yoshida估值器写成类似于（21）的1-相关和，除了新的采样时间τ1Ci，α将替换原始观测时间τ（1）i，α。新采样时间τ1Ci，α使用以下算法获得。我们定义τ1C0，α：=τ（1）0，α，并递归地为i定义任何非负整数τ1Ci+1，α：=minτ（1）u，α：存在j∈ N使得τ1Ci，α≤ τ（2）j，α<τ（1）u，α. （22）换句话说，如果我们坐在第一个资产的观测时间τ1Ci，α，我们首先等待第二个资产的观测时间，然后选择第一个资产下一个严格较大的观测时间。与（17）、（18）、（19）和（20）类似，我们定义了以下时间τ1C，-0，α：=0，（23）τ1C，-我-1，α：=max{τ（2）j，α：τ（2）j，α<τ1Ci-1，α}≥ 2（24）τ1C，+i-1，α：=min{τ（2）j，α：τ（2）j，α≥ τ1Ci-1，α}≥ 1, (25)X（2）τ1C，-,+i、 α：=X（2）[τ1C，-我-1，α，τ1C，+i，α]对于i≥ 1.

（26）首先，观察到，除了边缘的一些术语外，我们可以将（21）重写为\\hX（1），X（2）it，α=Xτ1C，+i，α<tX（1）τ1Ci，αX（2）τ1C，-,+i、 α。（27）此外，我们定义了HY估计值的以下补偿增量ni，α=X（1）τ1Ci，αX（2）τ1C，-,+i、 α-Zτ1Ci，ατ1Ci-1，αζ1,2sds。（28）请注意，它们是以它们为中心（如果我们分解）来补偿的X（2）τ1C，-,+i、 α变成左(-), 一个中央和一个右（+）部分和条件（期望值，这很容易显示）。类似地，我们可以证明它们是1-相关的。证明的想法如下。如果我们考虑波动矩阵σ和网格函数GT随时间变化为常数，我们可以将HY的标准化误差的条件回报表示为齐次马尔可夫链（1阶），表明马尔可夫链是一致遍历的，因此使用马尔可夫链极限理论中的结果（例如，参见Meyn和Tweedie（2009））证明其具有平稳分布。然后，我们证明了当波动率矩阵和网格函数不是常数时，我们可以通过将它们保持在一个小的块上的收益率来局部地近似归一化误差的收益率。最后，利用Mykland和Zhang（2012）提出的极限理论技术，以及条件分布的标准概率结果（见Breiman（1992））我们可以在保持波动率矩阵和网格函数不变的情况下，在时间上统一限制收益误差。根据附录8.1中介绍的定义，我们可以确定标准化HY估计误差的瞬时方差（29），这取决于波动性矩阵σ和网格g。同样，我们还可以确定标准化HY误差和第一资产价格之间的瞬时协方差（30），以及误差和第二资产价格之间的瞬时协方差（31）。

最后，我们定义了内生1相关时间，即Eτ1Ci，n的近似值τ1Ci+2, 其中，如果τ是（Ft）-停止时间，则Eτ[Y]定义为给定Fτ的Y的条件分布。ψAV（σ，g，x，u）：=E~N+2~N~N, （29）ψAC1（|σ，|g，x，u）：=E~N~X（1）~τ1C, （30）ψAC2（∑，g，x，u）：=E~N~X（2）~τ1C，-,+, （31）ψτ（∑，g，x，u）：=Eτ1C. （32）备注9。读者可能会期望Nin代替Nin（29）、（30）、（31）和（32）。实际上，我们不能直接从定义上使用，因为相应的时间τ1C，-= 0.我们需要将其设置为-u更改（29）、（30）、（31）和（32）的定义，为了清晰起见，我们选择不这样做。设置Z:=（x，u），对于任何正整数iZi：=~X（4）[~τ1C，-i、 §τ1Ci]，§τ1Ci- τ1C，-我. （33）对于任何非负整数i，我们考虑!。我们还介绍了符号∏（σ，g，x，u）：={πi（σ，g，x，u）}i≥0.利用布朗运动的强马尔科夫性质，我们可以证明在状态空间Sg上zi是一个齐次马尔可夫链（阶数为1）。在下面的引理中，我们证明了πi（~σ，~g，x，u）存在一个稳态分布。引理3。设c:=（g）-, g+，K，d）是一个四维向量∈ C并考虑∧σ是一个常数波动矩阵，使得∧min>0和∧g∈ G（c）一个常数网格。然后，存在一个平稳分布∧π（∑，g）。引理3的证明见附录（引理14的证明）。下一个定义是瞬时方差、协方差和1相关时间的平均值（关于平稳分布）。

对于任何θ∈ {AV，AC1，AC2，τ}，φθ（＠σ，＠g）：=ZRψθ（＠σ，＠g，y，v）d＠π（＠σ，＠g）（y，v）。我们引入符号φθs:=φθ（σs，gs），并考虑计算渐近偏差和方差所需的下列量。k（1）s：=σ（1）s-2φAC1sφτs-1，（34）k1，⊥s:=1.- （ρ1,2s）-1.（σ（2）s）-2φAC2s- （σ（1）sσ（2）s）-1ρ1,2sφAC1sφτs-1.（35）我们现在表示积分的数量，以获得渐近方差。AVs：=φAVs+2k（1）s（σ（1）s）-1σ（2）sρ1,2sφAC1s- （k（1）s+k1，⊥s） φAC2sφτs-1(36)+σ（1）sk（1）s+σ（2）s1.- （ρ1,2s）k1，⊥s.渐近偏差定义为ABt:=RtAB（1）sdX（1）s+RtAB（2）sdX（2）s，其中ab（1）s:=k（1）s- k1，⊥sρ1,2sσ（2）sσ（1）s-1，（37）AB（2）s:=k1，⊥s、 （38）备注10。（渐近偏差）看看AB（1）和AB（2）s的表达式，人们可能会觉得1.-（ρ1,2s）-1术语在k1中，⊥s、 当两种资产高度相关时，偏差将急剧增加。在这种情况下，读者应该记住，当AB（1）s与X（1）s积分时，AB（2）s与X（2）s积分时，AB（1）s的第二项大小大致相同，符号相反，因此不会出现渐近偏差爆炸。我们选择了上述渐近偏差表示法，因为用它来建立估值器很简单。我们也可以用不同的方式表示渐近偏差。为此，我们可以将原木价格过程改写为dX（1）t=σ（1）tdB（1）t，dX（2）t=ρ1,2tσ（2）tdB（1）t+1.- （ρ1,2t）1/2σ（2）tdB1，⊥t、 其中B（1）和B1，⊥皮重无关的布朗运动。LetdX1，⊥t=1.- （ρ1,2t）1/2σ（2）tdB1，⊥t（39）是与X（1）t不相关的X（2）t的一部分。我们可以将渐近偏差表示为ABt=RtAB（1）sdX（1）s+RtAB（2）sdB1，⊥s、 在这种情况下，~AB（1）s=k（1）砂~AB（2）s=limn→∞嗯，B1，⊥这是在证据中定义的。

我们可以证明这个极限是存在的，当两种资产高度相关时，这个极限就不存在了。5偏差和方差的估计我们需要引入一些新的符号。我们还记得，N（1）1，α是与1之前的第一项资产相对应的观察数，我们还定义了N1C1，α是1之前的1项相关观察数，即N1C1，α：=max{i∈ N.s.t.τ1Ci，α<1}。在实践中，第一步是转换第一项资产的回报(X（1）τ（1）i，α，τ（1）i，α）N（1）1，αi=1到1-相关收益(X1Cτ1Ci，α，τ1Ci，α）N1C1，αi=1使用算法（22）。然后，对于每个资产，我们将数据分割成bn块，在每个块上i=1，我们将估计davi，α，dAB（1）i，α和dAB（2）i，α，假设波动矩阵σ和网格GT是块常数。因为观测时间是异步的，所以每个组件的块并不完全相等。设为块大小。对于第一个资产，我们考虑区块（1）：=[0，τ1Chn，α]，区块2（1）：=[τ1Chn，α，τ1C2hn，α]，等等。对于第二个资产，我们让区块1（2）：=[τ1C，+0，α，τ1C，+hn，α]，区块2（2）：=[τ1C，+hn，α，τ1C，+2hn，α]，等等。在下面，我们将说j∈ 当τ（1）j，α∈ 第一座（1）。类似地，我们说j∈ 当τ（2）j，n∈ 第一座（2）。最后，我们定义了j∈ i区如果j区∈ {（i）- 1） hn+1，ihn}。首先，我们使用Li等人（2014）中的修正估值器估计了这两种资产的波动性。

要做到这一点，我们需要通过∑（k）i，α确定每个资产k=1,2的每个区块的现货波动率估计值：=Xj∈第一座（k）(X（k）τ（k）j，α）1/2.然后，我们通过[ABσ（k）i，α=3（～σ（k）i，α）Xj）估计波动率的渐近偏差∈第一座（1）(X（k）τ（k）j，α）。我们得到了每个区块上波动率的偏差修正估计量：^σ（k）i，α=~σ（k）i，α-[ABσ（k）i，α。然后，我们使用朴素HY估计量^ρ1,2i，α=^σ（1）i，α^σ（2）i，αXj来估计两种资产之间的相关性∈第一区X（1）τ1Cj，αX（2）τ1C，-,+j、 α。然后，我们根据（28）中的定义，bNi，α=X（1）τ1Ci，αX（2）τ1C，-,+i、 α- τ1Ci，α^σ（1）i，α^σ（2）i，α^ρ1,2i，α。下一步是估计每个块上的瞬时方差（29）、瞬时协方差（30）和（31）以及瞬时1相关时间（32）。这是通过取相应估计量的样本平均值来实现的。注意，我们不直接估计ψAV、ψAC1、ψac2和ψτ，而是它们的标度形式，即αnψAV、αnψAC1、αnψac2和αnψτ。在实践中，我们总是可以通过按刻度大小缩放GT来假设αn:=1，因此我们将以下估计值的定义与（29）-（32）匹配。为了简单起见，我们假设最后一个块bn的1个相关观测数也是hn。在实践中，这与hn极为不同，因此（40）-（43）的分母必须改变，以使其等于最后一个区块中的1相关观测数。估计值由^φAVi给出，α：=h-1nXj∈i^Nj区块，α+2^Nj，α^Nj+1，α，（40）^φAC1i，α：=h-1nXj∈i^Nj区，αX（1）τ1Cj，α，（41）^φAC2i，α：=h-1nXj∈i^Nj区，αX（2）τ1C，-,+j、 α，（42）^φτi，α：=h-1nXj∈第一区τ1Cj，α。

（43）我们现在估计数量（34）和（35）为^k（1）i，α：=σ（1）i，α-2^φAC1i，α^φτi，α-1，（44）^k1，⊥i、 α：=1.- （ρ1,2i，α）-1.（σ（2）i，α）-2^φAC2i，α- （σ（1）i，ασ（2）i，α）-1^ρ1,2i，α^φAC1i，α^φτi，α-1.（45）我们遵循（37）和（38）来估计偏差积分项AB（1）和AB（2）son eachblockdAB（1）i，α：=^k（1）i，α-^k1，⊥i、 αρ1,2i，ασ（2）i，ασ（1）i，α-1，dAB（2）i，α：=^k1，⊥i、 α。对于方差项AVs，我们决定不使用（36）中的直接定义，因为它可以提供负估计。相反，我们将使用以下估计器Davi，α：=Xj∈ibNj区，α-^k（1）i，α（X（1）τ1Cihn，α- X（1）τ1C（i）-1） hn，α）-^k⊥i、 α（X（2）τ1C，+ihn，α- X（2）τ1C，+（i）-1） hn，α）- ρ1,2i，ασ（2）i，α（σ（1）i，α）-1（X（1）τ1Cihn，α- X（1）τ1C（i）-1） hn，α）.我们将渐近偏差和渐近方差的最终估计量定义为dabα：=BnXi=1dAB（1）i，αX（1）τ1Cihn，α- X（1）τ1C（i）-1） hn，α+dAB（2）i，αX（2）τ1C，+ihn，α- X（2）τ1C，+（i）-1） hn，α, （46）dAVα：=BnXi=1dAVi，ατ1Cihn，α- τ1C（i）-1） hn，α. （47）作为定理1的推论，我们得到以下结果，说明（46）和（47）的一致性。推论4。存在块大小的选择，因此当α→ 0，我们有α-1dABαP→ AB，（48）α-2dAVαP→ZAVsds。（49）特别地，考虑到推论2，偏差修正估计量h\\X（1），X（2）iBC1，α：=h\\X（1），X（2）iHY1，α-dABα是这样的：h\\X（1），X（2）iBC1，α- hX（1），X（2）idAV1/2α→ N（0，1）。（50）备注11。（交换X（1）和X（2）t）在估计渐近偏差和共感方差时，我们认为一种特定资产为X（1），另一种资产为X（2）t。我们可以交换X（1）和X（2）t，并根据之前的定义，找到新的估计量ABα和AVα。然后可以将ABα+~ABt，α（分别为AVα+~AVt，α）作为渐近偏差（渐近方差）的最终估计量。备注12。（最佳块大小）在实践中，最佳块大小的选择并不简单。

一方面，HN应尽可能小，以便波动性矩阵σ和网格GT在每个区块上几乎恒定，因此（40）（43）的偏差较小。另一方面，我们需要尽可能多的观测数据，这样近似值（40）-（43）的方差就不会太大。我们在这里面临的是通常的偏差-方差交易。关于HN的精确假设可以在定理16的证明中找到。数值模拟我们在这一部分考虑了四种不同的设置。我们在这里描述第一个。我们在两个维度中使用与示例1中描述的玩具模型相同的设置。因此，存在一个四维参数θ：=（θ（1）u，θ（1）d，θ（2）u，θ（2）d），因此对于任何≥ 0和任何s≥ 我们假设二维价格过程（X（1）t，X（2）t有零漂移。此外，我们假设第一个过程的波动率为σ（1）t:=戡σ（1），其中戡σ（1）：=0.016，第二个过程的波动率为σ（2）t:=戡σ（2），其中戡σ（2）：=0.02，两种资产之间的相关性为ρ1,2t:=0.2。我们设置θ：=0.0007, 0.0001, 0.0006, 0.0001. 根据该规则，当第一（分别为第二）资产的价格上涨0.07%（0.06%）或下跌0.01%（0.01%）时，价格就会发生变化。最后，我们假设价格过程（X（1）t，X（2）t）和时间过程（X（t，1）t，X（t，2）t）相等。第二种情况与第一种情况类似，只是我们假设现在的波动率为惊人的赫斯顿模型。具体来说，我们假设dx（k）t:=u（k）dt+σ（k）tdB（k）t，d（σ（k）t）：=κ（k）（√σ（k））- （σ（k）t）dt+δ（k）σ（k）tdB（k）t，其中B（k）和B（k）之间的恒定高频协方差固定为ρ（k），并且（B（1）t，B（2）t）彼此不相关。

我们选择使用漂移（u（1），u（2））：=（0.03，0.02），并添加杠杆效应（挈ρ（1），挈ρ（2））(-0.8, -0.7). 最后，（κ（1），κ（2））：=（4.5，5.5），波动率（δ（1），δ（2））：=（0.4，0.5），以及波动率起始值（σ（1），σ（2））：=（挈挈σ（1），挈挈σ（2））。我们现在考虑第三种设置，它比前一种设置更进一步。我们假设价格和波动率都是跳差模型。形式上，我们假设dx（k）t:=u（k）dt+σ（k）tdB（k）t+dJ（k）t，d（σ（k）t）：=κ（k）（√σ（k））- （σ（k）t）dt+δ（k）σ（k）td＠B（k）t+d＠J（k）t，其中跳跃（J（1）t，J（2）t，＠J（1）t，＠J（2）t，＠J（2）t）遵循一个四维泊松过程，强度（λ（1），λ（2），＠λ（2））：=（12,11,10,9）。跳转大小取1或2-1具有价格过程的概率，0.0001或-0.0001，具有波动过程的半概率。在第四种情况下，我们考虑另一种到达时间模型，即示例4。我们将刻度大小α设置为0.0001，摩擦参数η设置为0.15。假设价格和波动过程遵循与第二种情况相同的模型。我们模拟了10年252个工作日的价格过程和观察时间。我们选择hn=N设置2到4。我们在表1中总结了HY和偏差修正HY之间的比较结果。正如理论所预期的，当使用示例1中的偏差修正估计器时，RMSE得到了改进。在例4中，经过偏差校正的HY似乎没有比HY更好的表现。我们推测例4中没有渐近偏差，这就是为什么我们在该简单模型中没有观察到两个估计量之间的任何差异的原因。此外，在四种不同设置下使用HY和BiasDirected估计器时，样本偏差几乎相同，这也是Remark4的预期结果。

此外，这个样本偏差趋于0，这是因为两个指标是一致的。最后，表2中报告了首次试验中的标准化可行统计数据（50），并绘制在图2.7中。结论我们在本文中介绍了HBT模型，并且我们已经表明，它比文献中的一些内生模型更具普遍性。该模型可以扩展到一个包含观测中更一般的噪声结构，以及采样时间中均匀噪声的模型。Potiron（2016）对此进行了调查。在这个模型下，我们证明了Hayashi-Yoshidasestimator的中心极限定理。我们的主要定理表明存在渐近偏差。因此，我们构建了一个偏差修正的HY估计器。我们还计算了理论标准偏差，并提供了一致的估计。数值模拟证实了这一理论。用于证明主要定理的技术可应用于更一般的模型和其他问题，如噪声的综合方差估计、综合Beta等。特别是，模型中不需要有效价格过程和噪声之间的独立性。只要我们能用马尔可夫链来近似噪声和收益的联合分布，就可以使用我们的证明思想。8附录8。1一些近似量的定义我们在本节中定义了一些假设波动率矩阵σ和网格函数为常数的量。