基于内生抽样的综合二次协变量估计

我们有B（1）i，n≤ C（1）i，n+C（2）i，n+C（3）i，n，其中C（1）i，n=X（1）τ1Ci，nX（2）τ1C，-,+i、 n-στsi-1，nWτ1Ci，n(1)στsi-1，nWτ1C，-,+i、 n(2),C（2）i，n=Zτ1Ci，nτ1Ci-1，nζ1,2sds！-Zτ1Ci，nτ1Ci-1，nζ1,2τsi-1，nds！,C（3）i，n=2X（1）τ1Ci，nX（2）τ1C，-,+i、 nZτ1Ci，nτ1Ci-1，nζ1,2sds-στsi-1，nWτ1Ci，n(1)στsi-1，nWτ1C，-,+i、 n（2） Zτ1Ci，nτ1Ci-1，nζ1,2τsi-1，nds.让我们展示一下-2nPuα-2ni=1EhC（1）i，n{τsi-1，n<t}i→ 我们可以把它写成C（1）i，n≤ D（1）i，n+D（2）i，n，其中（1）i，n=X（1）τ1Ci，nX（2）τ1C，-,+i、 nστsi-1，nWτ1Ci，n(1)X（2）τ1C，-,+i、 n,D（2）i，n=στsi-1，nWτ1Ci，n(1)X（2）τ1C，-,+i、 n--στsi-1，nWτ1Ci，n(1)στsi-1，nWτ1C，-,+i、 n(2).我们想证明这一点-2nPuα-2ni=1EhD（1）i，n{τsi-1，n<t}i→ 0.我们定义：E（1）i，n=X（1）τ1Ci，nX（2）τ1C，-,+i、 n，E（2）i，n=στsi-1，nWτ1Ci，n(1)X（2）τ1C，-,+i、 n.利用Cauchy-Schwarz不等式，我们推导出：EhD（1）i，n{τsi-1，n<t}i=EhE（1）i，n+E（2）i，nE（1）i，n- E（2）i，n{τsi-1，n<t}i≤EE（1）i，n+E（2）i，nEE（1）i，n- E（2）i，n{τsi-1，n<t}1/2.利用Cauchy-Schwarz不等式、Burkholder-Davis-Gundy不等式和引理7，我们得到：E（1）i，n+E（2）i，n= 欧点αn.其中U代表“1中的一致”≤ 我≤ uα-2n”。

CauchySchwarz不等式的另一个应用是E（1）i，n- E（2）i，n{τsi-1，n<t}≤E“X（1）τ1Ci，n-στsi-1，nWτ1Ci，n(1){τsi-1，n<t}#E“X（2）τ1C，-,+i、 n#!1/2.再次使用Cauchy-Schwarz不等式、Burholder-Davis-Gundy不等式和引理7，我们得到：X（2）τ1C，-,+i、 n#= 欧点αn.同样，我们使用第一个不等式中的条件Burkholder-Davis-Gundy、第三个不等式中的Cauchy-Schwarz、引理5、引理6和引理7以及最后一个等式中σ（A1）的连续性进行计算。E“X（1）τ1Ci，n-στsi-1，nWτ1Ci，n(1){τsi-1，n<t}#=E{τsi-1，n<t}Eτ1Ci-1，n“X（1）τ1Ci，n-στsi-1，nWτ1Ci，n(1)##= E{τsi-1，n<t}Eτ1Ci-1，nZτ1Ci，nτ1Ci-1，nσs- στsi-1，ndWs(1)!≤ C sup1≤j、 l≤4E{τsi-1，n<t}Eτ1Ci-1，nZτ1Ci，nτ1Ci-1，nσj，ls- σj，lτsi-1，nds！= C sup1≤j、 l≤4E{τsi-1，n<t}Zτ1Ci，nτ1Ci-1，nσj，ls- σj，lτsi-1，nds！≤ C sup1≤j、 l≤4Eτ1Ci，nSσj，l，shn+ 欧点αn≤ C嗯τ1Ci，niEsup1≤j、 l≤4.sσj，l，shn1/2+oUαn= 欧点αn.通过同样的计算，我们证明了α-2nPuα-2ni=1EhD（2）i，n{τsi-1，n<t}i→ 0，我们也可以显示α-2nPuα-2ni=1EhC（2）i，n{τsi-1，n<t}i→ 0, α-2nPuα-2ni=1EhC（3）i，n{τsi-1，n<t}i→0（因此我们还有α-2nPuα-2ni=1EhB（1）i，n{τsi-1，n<t}i→ 0）和α-2nuα-2nXi=1EhB（2）i，n{τsi-1，n<t}i→ 0.第二步：使用（△τi，j，n）i，j，n近似≥0而不是（τi，n）i，n≥0.我们设置▽Ni，j，n=στhi，nWτ1Ci，j，n(1)στhi，nW|τ1C，-,+i、 j，n(2)-Z~τ1Ci，j，n~τ1Ci，j-1，nζ1,2τhi，nds。我们想证明这一点-2nXi∈你好-1，n“hnXu=2~N（i）-1） hn+u+ 2~N（i）-1） hn+uN（i）-1） hn+u+1#=α-2nXi∈你好-1，n“hnXu=2~Ni-1，联合国+ 2/Ni-1，u，n?Ni，u+1，n#+op（1）。使用与第一步相同的计算方法，结合引理11，我们得出结论。第三步：将结果表示为ψAV的函数。

利用lastequality中的引理10，我们推导出任意整数u的2≤ U≤ hnthatEτhi-1，n~Ni-1，联合国+ 2/Ni-1，u，nNi-1，u+1，n=ZRψAVστhi-1，n，αngτhi-1，n，x，vdπi，u-2，n（x，v）=αnZRψAVστhi-1，n，gτhi-1，n，α-1nx，α-2nvdπi，u-2，n（x，v）。引理14。σ ∈ M、 g∈ Gπ（σ，g）分布使得：αnXi∈安-2Xj=0ZRψAVστhi-1，n，gτhi-1，n，α-1nx，α-2nudπi-1，j，n（x，u）=αnXi∈AnhnφAVστhi-1，n，gτhi-1，n+ 作品（1）。证据我们定义了马尔可夫链的转移函数~Zi（σ，g）我≥定义（33）。对于（x，u）∈ 秘书长，B∈ B（Sg）（Sg的borelians）P（σ，g）（x，u，B）=P~Z（σ，g）∈ B~Z（σ，g）=（x，u）.第一步：我们证明这一点σ ∈ MG∈ G、 状态空间sg是ν-小的，即B（R）上存在一个非平凡测度，使得（x，u）∈ Sg，B∈ B（Sg），P（σ，g）（（x，u），B）≥ ν（B）。设B=[xa，xb]×[ua，ub]。我们选择的是ν，使得在外部，ν=0[-G-,G-] × [3, 4]. 因此，在不丧失一般性的情况下，我们得到了[xa，xb]×[ua，ub] [-G-,G-] × [3, 4]. 我们想证明这一点c>0，使得uniformlyP（σ，g）（（x，u），B）≥ c（xb）- xa）（ub- ua）。有两种有用的重写方法（~X（3），~X（4））。第一种是：~X（3）t:=σ（3）~B（3）t，（69）~X（4）t:=ρ3,4σ（4）~B（3）t+1.-ρ3,41/2σ（4）~B3，⊥t、 （70）其中B（3）和B3，⊥是独立的，ρ3,4∈ [ρ3,4-, ρ3,4+]和最大值-ρ3,4-, ρ3,4+< 1（因为σ∈ M） ，δ=1.- 最大值ρ3,4-,ρ3,4+1/2. （71）重写它的另一种方法是：~X（4）t:=σ（4）~B（4）t，（72）~X（3）t:=ρ3,4σ（3）~B（4）t+1.-ρ3,41/2σ（3）~B4，⊥t、 （73）其中B（4）和B4，⊥他们是独立的。对于（Bt）t≥0a标准布朗运动，a<x<b，我们表示布朗运动的出区时间τa，bx=inf{t>0s.t.x+Bt=a或x+Bt=b}，p（x，a，b，t）τa，bx的密度。我们还定义了p（x，a，b，s，y）以{τa，bx为条件的bs+x的分布≥ s} 。最后，设p（x，a，b，t）τa，bxc在{bτa，bx=b}上的分布。

所有公式都可以在Borodin和Salminen（2002）中找到。考虑空间C=C={（x，a，b，t）∈ 技术援助≤ 十、≤ b、 t>0}，C={（x，a，b，t，y）∈ 技术援助≤ 十、≤ b，a<y<b，t>0}。这些功能是连续的，呈阳性。因此，对于所有紧集Ki Ci，我们有INFK∈Kipi（k）>0。（74）我们可以在（σ，g）（（x，u），B）下进行约束≥ PE\\E\\E\\E\\E~Z=（x，u）,式中e=nsup0≤s≤~τ(2)~X（3）s<σ-最小（σ）-, 1)15σ+, ~τ(2)≤ Ko，E=nsup|τ（2）≤s≤K+1~X（3）s<σ-10σ+，supτ（2）≤s≤K+1■B3，⊥[■τ（2），s]<G-σ-4（σ+）o，E=nsupK+1≤s≤~τ(2)~X（3）s≤, ~τ(2)∈ [K+2，K+3]o，E=ns∈ [)τ（2），K+4])X（3）s∈ [d（K），u（K）]，~X（3）K+4∈ [u（K）- 2., u（K）- ]o\\nsup)τ（2）≤s≤K+4~X（4）[~τ（2），s]<G-o、 E=n)τ（1）∈ [ua+＠τ（2），ub+＠τ（2）]，infK+4≤s≤~τ(1)~X（3）[K+4，s]>-2.o\\nsupK+4≤s≤~τ(1)~X（4）[~τ（2），s]< G-, ~X（4）[~τ（2），~τ（1）]∈ [xa，xb]o，在哪里 =G-σ-24σ+. 利用贝叶斯公式，我们可以重写E\\E\\E\\E\\E\\{Z∈ B}~Z=（x，u）= I×II×III×IV×V，其中I=PE{Z=（x，u）}, II=PEET{Z=（x，u）}, 也就是III=PEETET{Z=（x，u）}, IV=PEETETET{Z=（x，u）}V=PEetetet{Z=（x，u）}.我们证明了I是一致有界的。利用（52），（69），（70）和（71），我们推导出E（1）TE（2） 式中e（1）=nsup0≤s≤K~B（3）s<σ-最小（σ）-, 1） 15（σ+）o，E（2）=nsup0≤s≤Kxσ（4）1.- (ρ3,4)1/2+B3，⊥s≥g+Δσ-+σ-最小（σ）-, 1） 在{Z=（x，u）}上，E（1）和E（2）是独立的。因此，我们推断≥ PE（1）{Z=（x，u）}PE（2）{Z=（x，u）}.利用布朗运动的马尔柯夫性质，我们得到了它们的右部分等于1.-ZKp0, -σ-最小（σ）-, 1)15 (σ+),σ-最小（σ）-, 1） 15（σ+），tdtZKpy（1），-y（2），y（2），t式中y（1）=xσ（4）（1）-（ρ3,4））1/2，y（2）=g+Δσ-+σ-最小（σ）-,1） 15（σ+），它（在x中，σ和g）使用（52）和（74）与0一致地有界。我们证明了II在远离0的地方是一致有界的。

有条件地，在ET{Z=（x，u）}上，Eare的两个量是独立的。因此，我们以1的速度在II（我们为I所做的相同路线）下方行进-ZK+1τ（2）p~B（3）~τ（2），-σ-10σ+σ(3),σ-10σ+σ（3），tdt！1.-ZK+1τ（2）p0, -G-σ-4σ+σ（4），g-σ-4σ+σ（4），tdt！，使用（52）和（74）使其与0一致有界。我们证明了III在远离0的地方是一致有界的。利用（52），（69），（70）和（71），我们推导出E（1）TE（2） 其中E（1）=nsupK+1≤s≤K+3~B（3）s≤5σ+o，E（2）=nsupK+1≤s≤K+2■B3，⊥[■τ（2），s]<G-2σ+，supK+2≤s≤K+3■B3，⊥[■τ（2），s]≥g+Δσ-+5σ+δo。在ETET{Z=（x，u）}上，E（1）和E（2）是独立的。因此，我们教育≥ PE（1）E\\E\\{Z=（x，u）}PE（2）E\\E\\{Z=（x，u）}.利用布朗运动的马尔可夫性质，我们得到了{B（3）K+1条件的内质的右部分，■B3，⊥[■τ（2），K+1]ETET{Z=（x，u）}}等于1.-Zp■B（3）K+1，-5σ+,5σ+，tdt1.-Zp■B3，⊥[■τ（2），K+1]，-g+2σ+，g+2σ+，tdt×Zg-2σ+-G-2σ+ZpY-g+Δσ-+5σ+δ,g+Δσ-+5σ+δ，tdtdq（y），其中q是■B3，⊥[)τ（2），K+1]+b条件为τ-G-2σ+，g-2σ+■B3，⊥[■τ（2），K+1]≥ 1..使用Etogether与（52）和（74）的定义，我们得到了III，它与0有统一的边界。我们证明了IV在远离0的地方是一致有界的。使用（72）和（73），我们得出E（1）TE（2） 式中e（1）=nsupτ（2）≤s≤K+4~B（4）[τ（2），s]<σ-5σ+σ（4）o，E（2）=ns∈ [■τ（2），K+4]■B4，⊥[■τ（2），s]∈ [y（1），y（2）]，■B4，⊥[■τ（2），K+4]∈ [y（3），y（4）]o，其中y（1）=d（K）+2/5σ(4)(1-（ρ3,4））1/2，y（2）=u（K）-2./5σ(4)(1-（ρ3,4））1/2，y（3）=u（K）-8./5σ(4)(1-（ρ3,4））1/2，以及asy（4）=u（K）-7./5σ(4)(1-(ρ3,4))1/2. 在ETETET{Z=（x，u）}上，E（1）和E（2）是独立的。

因此，我们推断≥ PE（1）E\\E\\E\\{Z=（x，u）}PE（2）E\\E\\E\\{Z=（x，u）}.利用布朗运动的马尔可夫性质，我们得到了线性的右部分是以{τ（2）为条件的ETETET{Z=（x，u）}等于1-ZK+4-■τ（2）p0, -σ-5σ+σ(4),σ-5σ+σ（4），tdt！1.-ZK+4-■τ（2）p0，y（1），y（2），tdt！×Zy（4）y（3）p0，y（1），y（2），K+4- ττ（2），ydy，它使用（52）、（71）和（74）一致地有界于0之外。我们证明了V>c（xb）- xa）（ub- ua）。利用（69）和（70），我们推导出（1）TE（2） 式中，e（1）=nτ∈ [ua+~τ（2），ub+~τ（2）]，~X（3）~τ=u（K）o，E（2）=nsupK+4≤s≤~τ■B3，⊥[K+4，s]<5g-6σ(4)1.- (ρ3,4)1/2, ■B3，⊥[L+4，τ]∈ [y（1），y（2）]o，τ=inf{t>K+4:X（3）t=u（K）或~X（3）[K+4，t]=-2.},y（1）=xa- ~X（4）[~τ（2），K+4]- ρ3,4σ(4)σ(3)-1.u（K）-~X（3）K+4σ(4)1.- (ρ3,4)1/2，y（2）=xb-~X（4）[~τ（2），K+4]-ρ3,4σ(4)(σ(3))-1.u（K）-~X（3）K+4σ(4)(1-(ρ3,4))1/2. 我们有v=P~X（3）~τ=u（K）×PE（1）\\E（2）E\\E\\E\\E\\{Z=（x，u）}{x（3）~τ=u（K）}.方程右侧的第一项一致有界，远离0（Borodin和Salminen（2002））。因为τ是X（3）和B3的函数，⊥独立于∧X（3）、τ和∧B3，⊥他们是独立的。因此，右条件上的第二项是{y（1），y（2），X（3）K+4，＠τ（2）E\\E\\E\\E\\{Z=（x，u）}}可以表示为：Zub+~τ（2）-（K+4）ua+＠τ（2）-（K+4）Zy（2）y（1）pX（3）K+4σ（3），X（3）K+4- 2.σ（3），u（K）σ（3），t！p0，-5g-y（3），5g-y（3），t，y！dtdy，其中y（3）=6σ（4）1.- (ρ3,4)1/2. 我们知道y（1）和y（2）由3G主导-4σ(4)(1-(ρ3,4))1/2. 结合（52），（71）和（74），我们推断出≥c（xb）- xa）（ub- ua）。第二步：我们证明这一点ψAV∞:= supσ∈M、 g∈G、 （x，u）∈SgψAV（σ，g，x，u）< ∞. 为了展示这一点，我们将术语绑定为asE~X（1）~τ1C~X（2）~τ1C，-,+-~ζ1,2τ1C≤ 2E~X（1）~τ1C~X（2）~τ1C，-,++~ζ1,2τ1C.不等式右侧的第二项使用（52）和引理7一致有界。

依次使用Cauchy-Schwarz和Burholder-Davis-Gundy不等式，（52）和引理7，我们也可以统一地约束第一项。（29）的另一项也可以用同样的方式限定。第三步：定义q=（σ，g，x，u）和q={（σ，g，x，u）s.t.σ∈ M、 g∈ G、 （x，u）∈ Sg}。证明Q∈ Q、 存在这样一个测度∧π（σ，g），即supq∈QN-1Xl=0ZRψAV（σ，g，y，v）dπl（σ，g，x，u）（y，v）- nZRψAV（σ，g，y，v）d∧π（σ，g）（y，v）= 没有（1）。为了证明这一点，我们将第一步与T h.16.0.2（v）（Meyn和Tweedie（2009））结合使用。我们得到存在∧π（σ，g），其中Pn（σ，g）（（x，u），）- ~π（σ，g）电视≤ 2R与r=1- ν（R）。因此，我们推断：ZRψAV（σ，g，y，v）dπl（σ，g，x，u）（y，v）-ZRψAV（σ，g，y，v）dπ（σ，g）（y，v）≤ψAV∞πl（σ，g，x，u）- ~π（σ，g）电视≤ 2.ψAV∞rl。（75）我们想证明这一点 > 0, N>0以至于N≥ N:N-1Xl=0ZRψAV（σ，g，y，v）dπl（σ，g，x，u）（y，v）- nZRψAV（σ，g，y，v）d∧π（σ，g）（y，v）< n、 （76）剩下的是一个简单的分析练习。允许 > 0N> 0这样的<. 选择N>8N-1kψAVk-1.∞, 我们首先使用三角不等式，然后将（76）的左部分之和分成两部分，一部分到N，另一部分到N。我们在第二部分使用（75）得到（76）。第四步：证明引理。让w>0。从引理9，我们只需要展示αnxwα-2nh（n）-1yXi=1嗯-2Xj=0ZRψAVστhi-1，n，gτhi-1，n，α-1ny，α-2nvdπi-1，j，n（y，v）-hnφAVστhi-1，n，gτhi-1，n概率趋于0。将第三步与常规条件分布的标准结果结合使用（例如，参见第4.3节（第77页- 80）在Breiman（1992）中，我们证明了引理。引理15。我们有αnXi∈你好-1，nσ（1）τhi-1，nσ（2）τhi-1，nhnφAVστhi-1，n，gτhi-1，nτ嗨，nEτhi-1.τ嗨，n-1.=xi∈你好-1，nφAVστhi-1，n，gτhi-1，nτ嗨，nφττhi-1，n-1.+ 作品（1）。证据

第一步：定义ui，n:=Phn-2j=0RXψτστhi-1，n，gτhi-1，n，x，udπi-1，j，n（x，u），A:=αnPi∈你好-1，nhnφAVστhi-1，n，gτhi-1，nτ嗨，nEτhi-1.τ嗨，n-1.,A:=αnPi∈你好-1，nhhnφAVστhi-1，n，gτhi-1，nτhi，n（ui，n）-1i。我们有A=A+op（1）。为了证明这一点，根据引理11，我们有Eτhi-1，nτ嗨，n- ui，n≤ h（n）Cn，其中Cntends的概率为0。由此，我们可以很容易地证明A=A+op（1）。第二步：我们有That a=Xi∈你好-1，nφAVστhi-1，n，gτhi-1，nτ嗨，nφττhi，n-1.+ 作品（1）。为了证明这一点，我们可以模拟引理14的证明，以及引理11.8.3计算hMnit，hMn，X（1）Itan和hMn，X（2）ithMnit=Xi的极限∈你好-1，nMnτhi，n+ op（1）=α-2nXi∈你好-1，n“hnXu=2N（i）-1） hn+u+ 2N（i）-1） hn+uN（i）-1） hn+u+1#+op（1）=αnXi∈安-2Xj=0ZRψAVστhi-1，n，gτhi-1，n，α-1nx，α-2nudπi-1，j，n（x，u）+op（1），其中我们在第一等式中使用了Jacod和Protter（2012）的引理2.2.11，在第二等式中使用了引理12，在第三等式中使用了引理13。我们推导出（在第一等式中使用引理14，在第三等式中使用引理15）hMnit=αnXi∈AnhnφAVτhi-1，n+op（1）=αnXi∈你好-1，nhnφAVτhi-1，nτ嗨，nEτhi-1.τ嗨，n-1.+ op（1）=Xi∈你好-1，nφAVτhi-1，nτ嗨，nφττhi，n-1.+ 作品（1）。再次使用Jacod和Protter（2012）的引理2.2.11，我们推导出Hmnit=Xi∈AnφAVτhi-1，nτ嗨，nφττhi，n-1+op（1）。使用引理5和道具。I.4.44（第51页）在Jacod和Shiryaev（2003）中，我们获得了Hmnit→ZtφAVs（φτs）-1ds。（77）使用相同的近似和计算，我们也计算hmn，X（1）it→ZtφAC1s（φτs）-1ds，（78）hMn，X（2）it→ZtφAC2s（φτs）-1ds。（79）8.4渐近偏差和方差的计算我们遵循Mykland and Zhang（2012）第155-156页中的一维思想，定义了一个辅助鞅Mnt=Mnt-Ztk（1）sdX（1）s-Ztk1，⊥sdX1，⊥s、 其中X1，⊥定义见（39）。

利用（78），我们推导出h＠Mn，X（1）it=hMn，X（1）it-Ztk（1）sdhX（1）isP→ZtφAC1s（φτs）-1ds-Ztk（1）sσ（1）sds。因此，我们选择K（1）s=σ（1）s-2φAC1s（φτs）-1.通过我们用来计算（78）的相同技术，我们得到了thathMn，Z.ρ1,2sσ（2）sdB（1）sit→Ztσ（1）s-1σ（2）sρ1,2sφAC1s（φτs）-1ds。（80）使用（79）和（80）我们计算hMn，X1，⊥它=hMn，X1，⊥信息技术-Ztk1，⊥sdhX1，⊥is=hMn，X（2）-Z.ρsσ（2）sdB（1）sit-Ztk1，⊥sdhX1，⊥is=hMn，X（2）i- hMn，Z.ρsσ（2）sdB（1）sit-Ztk1，⊥sdhX1，⊥isP→ZtφAC2s-σ（1）s-1σ（2）sρ1,2sφAC1s（φτs）-1ds-Ztk1，⊥s1.-ρ1,2sσ（2）sds。因此，我们选择K1，⊥s=1.-ρ1,2s-1.σ（2）s-2φAC2s-σ（1）sσ（2）s-1ρ1,2sφAC1s（φτs）-1.通过（A4），存在S>0，使得S布朗运动{D（1），…，D（S）}产生过滤（Ft）t≥0.为了证明h)Mn，D（s）在概率上等于0，我们将（s）=Ds，1+Ds，其中Ds，1延伸到由{X（1），X（2）}，Ds，2所跨越的空间，或与该空间正交。根据前面的内容，我们清楚地知道hMn，Ds，1的概率为0。同样，Ds，2是一个鞅，它是有条件地依赖于两个过程的观测值，独立于＠Mn。因此，我们还推导出hMn，Ds，2it在概率上收敛于0。我们现在可以计算hMnit=hMn-Z.k（1）sdX（1）s-Z.k1，⊥sdX1，⊥sit=hMnit+Ztσ（1）sk（1）sds+Ztσ（2）s1.-ρ1,2sk1，⊥sds- 2Ztk（1）sdhX（1），Mnis- 2Ztk1，⊥sdhX1，⊥, MnisP→ZtφAVs+2k（1）sσ（1）s-1σ（2）sρ1,2sφAC1s-ks+k1，⊥sφAC2s（φτs）-1+σ（1）sk（1）s+σ（2）s1.-ρ1,2sk1，⊥sds。通过出租=φAVs+2k（1）sσ（1）s-1σ（2）sρ1,2sφAC1s-k（1）s+k1，⊥sφAC2s（φτs）-1+σ（1）sk（1）s+σ（2）s1.-ρ1,2sk1，⊥s,我们使用Mykland和Zhang（2012）中的定理2.28推导出，在定律中稳定为αn→ 0,α-1n[RCVt，n]- RCVt→Ztk（1）sdX（1）s+Ztk1，⊥sdX1，⊥s+Zt（AVs）1/2dWs。我们刚刚展示了定理1。

现在，我们表示渐近偏差ABt=Rtk（1）sdX（1）s+Rtk1，⊥sdX1，⊥sdi不同的是asABt=Ztk（1）sdX（1）s+Ztk1，⊥s（1）-ρ1,2s)1/2σ（2）sdB1，⊥s=Ztk（1）sdX（1）s-Ztk1，⊥sρ1,2sσ（2）sdB（1）s+Ztk1，⊥sρ1,2sσ（2）sdB（1）s+Ztk1，⊥s1.-ρ1,2s1/2σ（2）sdW1，⊥s=Ztk（1）s- k1，⊥sρ1,2sσ（2）sσ（1）s-1.dX（1）s+Ztk1，⊥因此我们推导出AB（1）和AB（2）的表达式。推论4的证明与定理1的证明相同。我们在大小为hn的块上保持不变的渐近方差和渐近偏差。此外，我们可以看到，在常数模型下，dAB（1）i，α，dAB（2）i，α和davi，α是一致相合的估计量。8.5关于定理1证明适用于更一般模型的讨论我们将在本节讨论如何在考虑示例3到示例6时适用定理1的证明。在这种情况下，可以将每个k=1，2的HBT定义为τ0，n:=0，并递归定义为τ（k）i，n:=infnt>τ（k）i-1，n：X（t，k）[τ（k）i-1，n，t]/∈αnd（k）t，nT- τ（k）i-1，n, αnu（k）t，nT- τ（k）i-1，no（81）对于任何正整数i.在（81）中，网格g（k）t，n:=（d（k）t，n，u（k）t，n）依赖于n，因此在定理1中获得的渐近方差中的项g（k）将具有不同的解释。实际上，g（k）twill可以看作是一个（可能是多维的）连续时变参数，它生成（81）而不是标度网格函数本身。特别是，近似值不会在每个块上保持gt恒定，而是在每个块上保持gt恒定。此外，对于任何固定的t∈ [0,1]，g（k）不是R+上的函数，而是一个简单的向量。读者可以参考Potiron（2016）了解时变参数的概念。注意，假设（A3）只在引理11和引理14中使用。