选择理论中的多元化偏好

n.这一定义表明，个人希望在一系列选择中实现多样化，所有这些选择的排名都是相等的。这种多元化最常见的例子是在资产市场领域，投资者面临着在Stringsky资产中的选择。我们记得，在我们的设置中，这种多元化的概念相当于偏好的凸性。提议2。X上单调且连续的偏好关系%是凸的当且仅当它表现出对多样化的偏好。文献中还存在各种其他多元化定义。Chateauneuf and Tallon（2002）引入了更强烈的多元化概念。大致上，sure Diversification规定，如果决策者在一系列选择之间不存在差异，并且可以通过这些选择的凸组合获得确定性，那么他应该更喜欢特定的组合，而不是组合中使用的任何不确定的选择。定义3（倾向于确定多元化）。如果对任何x，…，偏好关系%表现出对确定的多样性的偏好，xn∈ X和α，αn≥ 0满足Pni=1αi=1和c，β∈ R、 “x~ · · · ~ xn∧nXi=1αixi=βδc#==> βδc%xi，i=1，n、 Chateauneuf和Lakhnati（2007）引入了多元化偏好概念的弱化，即强烈多元化偏好。强烈多样性的偏好意味着决策者希望在两个分布相同的选择之间进行多样性。定义4（偏好强烈的多元化）。一种偏好关系%参展商如果所有x、y∈ X，Fx=fy，α∈ [0,1]，αx+（1- α） y%y。偏好多元化意味着偏好确定的多元化，但反之亦然。

人们还可以证明，对强多样性的偏好等同于要求偏好尊重二阶随机优势（参见Chateauneufand Lakhnati（2007）的证据概述）。此外，Chateauneuf和Lakhnati（2007）也提供了一个反例，表明对强烈多样性的偏好并不意味着凸偏好。Chateauneuf和Tallon（2002）提出了另一个多元化的概念，即科摩诺酮多元化。两个随机变量x，y∈ 如果X的状态空间从最好到最坏的顺序相同，则X是共单调的；对于每一个ω，ω∈ S、 （x（ω）- x（ω））（y（ω）- y（ω））≥ 0.共脊椎动物多样性定义如下：定义5（共脊椎动物多样性）。如果决策者对所有的共单调x和y都表现出对共单调多样化的偏好~ y、 αx+（1）- α） 所有α的y%xF∈ (0, 1).同Schmeidler（1989）将独立性限制在共单调随机变量上一样，共单调变量的多样性本质上是偏好的凸性（Schmeidler模型的更详细讨论见第8节）。在这种限制性更强的多元化类型下，禁止任何Wakker（1990）意义上的对冲。3.3分散性和拟凸风险在数学金融中，分散性通常被理解为一种降低总体风险的技术，在这里，人们可以遵循奈特（Knight 1921）的观点，将风险通知视为可测量的不确定性。在数学金融的经典风险评估中，固定时间范围内的不确定投资组合结果表示为概率空间上的随机变量。风险度量将每个随机变量映射为一个实数，总结了投资组合中风险资产的总体状况。

马科维茨（Markowitz，1952）在他的主要论文中，尽管他提出将方差作为风险度量，但强调了风险度量对鼓励多元化的重要性。在过去二十年中，许多学术成果更正式地提出了风险度量应该满足的属性，例如F¨ollmer and Schied（2010）和F¨ollmer and Schied（2011）的工作，他们与马科维茨的观点一致，认为“良好”的风险度量需要促进多元化。关键特性再次是凸性，如果满足凸性，则不允许分散风险超过单个独立风险。因此，它反映了经济学和金融学的关键原则，以及选择理论中的关键规范性陈述，即多元化不应增加风险。我们在选择理论的风险度量背景下回顾了这种多元化范式。我们模拟了Drapeau和Kupper（2013）的正式设置，其中选择的风险感知通过二元关系^%“风险顺序”，即满足一些适当规范性属性的onX进行建模。风险顺序代表决策者的个人风险感知，其中x^%y被解释为x的风险小于y。风险度量则是拟凸单调函数，它起到了风险顺序数值表示的作用。由风险序捕获的风险的两个主要性质是凸性和单调性。凸性公理反映了两种选择之间的差异使总体风险低于更差的选择；单调性公理表明风险序与向量前序是相容的。正式定义如下。“多元化是可以观察到的，也是合理的；必须拒绝不暗示多元化优越性的行为规则。”定义6（风险顺序）。

集合X上的风险序是满足凸性和单调性公理的反射弱偏好关系。风险顺序的数值表示继承了决策者风险感知的凸性和单调性这两个关键属性，被称为风险度量。定义7（风险度量）。实值映射ρ：X→ R是一个风险度量，如果它是：（i）拟凸：对于所有x，y∈ X和λ∈ [0,1]，ρ（λx+（1- λ） y）≤ max{ρ（x），ρ（y）}（ii）单调：对于所有x，y∈ X，X≥ y==> ρ（x）≤ ρ（y）下面的定理说明了风险顺序和它们通过风险度量的表示之间的双射对应关系。定理1（Drapeau和Kupper（2013））。任何数值表示ρ^%：X→ X上风险顺序^%的R是一个风险度量。相反，任何风险度量ρ：X→ 在X×X上定义风险顺序^%ρ<==> ρ（x）≤ ρ（y）。在^%=^%ρ^%和ρ^%ρ=h的意义上，风险顺序和风险度量是双射等价的o ρ对于某些递增变换h:R→ R.注意，在选择理论的背景下，对应于agiven风险阶^%的风险度量ρ^%实际上是凸和单调总前序^%的拟凹效用表示的负。在我们的选择中∞(Ohm, F、 P），这种风险度量的一个常用示例是尾均值（Acerbian和Tasche 2002b、Acerbi和Tasche 2002a），由TMα=E[x | x>qα（x）]定义，其中α∈ （0，1）是置信水平，qα（x）=inf{x∈ R:P（x）≤ 十）≥ α} 是随机变量x的较低α分位数。根据前面的讨论，风险顺序表现出对多样性的偏好（通过等效凸性公理），当且仅当相应的风险度量表示它是拟凸的。

这削弱了定量风险度量理论中对多元化的一般理解，在考虑凸风险度量（Follmer and Schied 2010、Follmerand Schied 2011）或更强烈的次加性风险度量（Artzner、Delbaen、Eber和Heath 1999）时鼓励多元化。Drapeau和Kupper（2013）将凸性属性称为拟凸性，我们认为它在数学上更合适。然而，为了一致性，我们坚持使用更广泛使用的凸集终结论。尾均值的定义仅适用于连续分布的假设，即可积x。风险度量ρ：x→ 对于所有x，y，R是凸的∈ X和λ∈ [0,1]，ρ（λx+（1- λ） y）≤ λρ（x）+（1）-λ） ρ（y）。风险度量ρ：X→ 对于所有x，y，R是次可加的∈ X，ρ（X+y）≤ ρ（x）+ρ（y）。在数学金融中，从凸性到拟凸性的过程在概念上是困难的，但意义重大；例如，参见Cerreia Vioglio、Maccheroni、Marinacci和Montrucchio（2011a）。虽然凸性通常被视为多样性概念的数学形式化，但它实际上相当于平移不变性假设下的拟凸性概念。通过考虑拟转换风险这一较弱的概念，我们可以从无风险资产的流动性假设中分离出多元化原则——这是一种通过转换不变性原理封装的抽象简化。如上所述，风险度量的拟凸性的经济对应物效用函数的拟凸性，相当于偏好的凸性。4.风险规避的概念多元化和风险规避的概念紧密交织在一起。

非正式地说，人们可能会说，通过多元化引入多样化的目的是减少“风险”或“不确定性”，因此人们可能会认为多元化决策者反对阿里斯克。我们稍后会看到，情况通常并非如此。在公理选择理论中，风险规避大致是指对预期收益可能较低的特定结果的偏好，而不是对预期价值相等或较高的不确定结果的偏好。在经济学文献中，风险规避通常被效用函数的共度所准确捕捉，这是基于预期效用理论的潜在隐式框架。然而，在其他模型中，风险规避不再与效用函数一致，除非重新考虑风险规避的定义。在本节中，当将风险规避与偏好的多样性或凸性联系起来时，我们将关注风险规避的内在概念，而不是依赖于模型的定义。为此，我们使用了弱、强和单调风险厌恶这三个最常用的定义。在预期效用理论中，所有这些概念都是一致的，并以效用函数的凹性为特征。然而，我们强调以下定义的模型独立性。4.1弱风险规避风险规避的第一个最常见的概念是基于arandom变量与其预期值之间的比较。如果决策者总是倾向于随机变量的预期值，而不是随机变量本身，那么他就是弱风险规避者。定义8（弱风险规避）。X上的偏好关系%是弱风险规避的，每X的δe（X）%X∈ 其中e（X）表示随机变量X的期望值。

如果决策者总是确定地偏好任何随机变量而不是其期望值，那么他就是弱风险寻求者；正式的，如果所有x∈ X，X%δe（X）。决策者是一个风险度量ρ：X→ R是平移不变量（或现金加法），如果对于所有x∈ X和m∈ R、 ρ（x+m）=ρ（x）- m、 弱风险中性，如果他总是在任何随机变量和其预期值之间毫无差别；正式的，如果所有x∈ X，X~ δe（x）。根据风险溢价，可以给出弱风险规避的简单描述。事实上，决策者是弱风险厌恶的当且仅当与任何x相关的风险溢价π（x）为∈ X总是非负的。利用这一点，我们可以得到决策者之间的关系，对他们的风险厌恶程度进行排名。决策者Dis说，要比决策者Dif更厌恶风险，而且只有在每x∈ X，与X相关的风险溢价π（X）对Das来说至少与D.4.2强风险规避一样大。风险规避的第二个概念是基于Hadar和Russell（1969年）以及Rothchild和Stiglitz（1970年）（另见Landsberger和Meiligson 1993年）对风险增加的定义，他们根据平均保留价差来定义风险。定义9（平均保留扩散）。对于两个随机变量x，y∈ X，y是X的保序扩散当且仅当e（X）=e（y）且X二阶随机支配y，写为X%SSDy，即如果对于任何C∈ R、 ZC-∞外汇（c）dc≤ZC-∞Fy（c）dc。平均值保持扩展直观上是从一个概率分布到另一个概率分布的变化，后者是通过扩展前一个分布的概率密度函数或概率质量函数的一个或多个部分而形成的，同时保持预期值不变。

因此，保均值利差的概念提供了一种根据风险等级对等均值选择进行随机排序的方法。从定义中，我们可以看出，当期望值重合时，通过平均保留分布排序选择是通过二阶随机优势排序选择的特例。此外，这种排序具有以下特性。引理1。x，y上均值保持扩散诱导的随机序∈ X（i）只依赖于X和y的概率分布；和（ii）意味着非递减方差，但非递减方差并不意味着均值保持价差。强烈风险厌恶的概念可以被视为对任何风险增加的厌恶，下一步根据均值保持利差进行形式化。定义10（强烈的风险规避）。偏好关系%是强风险规避的，且仅当对任何x，y∈ 因此，y是X，X%y的平均保留扩散。如果对任何X，y∈ 使得y是X，y%X的均值保持扩散。如果对于任何X，y，偏好关系%是强风险中性的∈ 所以y是X，X的平均保持扩散~ y、 强烈规避风险（分别强烈寻求风险）的偏好也强烈规避风险（分别弱寻求风险）。这是因为对于任何x∈ X，X始终是δe（X）的平均保持扩散。

还要注意的是，强风险中性和弱风险中性是等价的，因为弱风险中性意味着任何x都与δe（x）无关，因此如果y是x的均值保持分布，它们都与δe（x）无关。4.3单调风险规避强风险规避的概念可能被一些决策者认为过于强烈。这导致奎金（1992年）（另见奎金（1991年））定义了一种新的方法来衡量风险的增加，并因此定义了一种新的风险规避较弱的概念，称为单调风险规避。单调风险厌恶的定义涉及共单调随机变量。重新计算两个随机变量x，y∈ 如果X从最好到最坏产生相同的状态空间顺序，则X是共单调的。显然，每一个常数随机变量都与其他随机变量是同单调的。然后可以定义单调随机变量风险增加的度量，如下所示。定义11（平均保持单调扩展I）。假设x和y是两个共单调随机变量。如果e（x）=e（y）和z=y，那么y是x的均值保持单调扩展- x与x和y是共单调的。这一定义确保了，由于x和z是共单调的，所以在x和z之间没有对冲，因此y可以被视为比x更具风险。它可以扩展到不一定是共单调的随机变量，如下所示。定义12（平均保持单调扩展II）。对于两个随机变量x，y∈ 如果存在随机变量θ，则X，y是X的均值保持单调扩散∈ 这样，y与X+θ具有相同的概率分布，其中e（θ）=0，且X和θ是共单调的。单调风险厌恶的概念可以被视为对单调递增风险的厌恶，它基于均值保持单调扩散的定义。

我们随后将证明，这种风险规避的概念与奎金（1982）的秩相关预期效用理论是一致的，奎金（1982）是预期效用理论最著名的推广之一，其中共单调性在公理化水平上起着基本作用。定义13（单调风险厌恶）。如果对于任何X，y，X上的偏好关系%是单调风险厌恶的∈ 其中，y是X，X%y的均值保持单调扩散。对于任何X，y，它都是单调风险寻求∈ 其中y是X，y%X的均值保持单调读入，对于任何X，y，它是单调风险中性的∈ 其中y是X，X的保均值单调扩散~ y、 最后，弱、强和单调风险厌恶这三个概念之间的以下关系成立。提案3（科恩（1995））。强烈的风险厌恶意味着单调的风险厌恶；单调风险厌恶意味着弱风险厌恶；弱风险中性、强风险中性和单调风险中性是相同的。5.模型独立的多元化偏好我们研究多元化偏好、凸偏好和风险规避之间的关系，前提是偏好不符合特定的选择理论模型。和以前一样，我们简单地假设偏好是单调和连续的。5.1弱风险规避和多元化由于传统的多元化定义太强，当我们超越预期效用理论的假设时，无法产生与弱风险规避等价的定义，因此引入了较弱的确定多元化概念。这种较弱的多元化概念实际上相当于较弱的风险规避，独立于任何模型。提案4（Chateauneuf and Lakhnati（2007））。