选择理论中的多元化偏好

单调且紧凑的连续偏好关系%在且仅当其风险规避较弱时，才会表现出对确定多样性的偏好。5.2强烈的风险规避和多元化在概率分布而非随机变量的空间中，Dekel（1989）表明——假设没有特定的选择模型——对多元化的偏好通常比强烈的风险规避更强烈。事实上，他表明，对多元化的偏好意味着风险厌恶，但反之则是错误的。提案5（Dekel（1989））。强烈规避风险的偏好关系不一定表现出对多元化的偏好。这意味着对多元化的偏好通常强于强烈的风险厌恶。然而，通过减弱通过强多元化概念获得的对多元化的偏好，可以实现对强风险规避的完整描述。定理2（Chateauneuf和Lakhnati（2007））。单调且紧凑的连续偏好关系%表现出对强多样性的偏好，当且仅当它尊重二阶随机优势时。这一结果的直接后果是偏好的凸性，或对多元化的等效参考，意味着强烈的风险规避。我们指出，Dekel（1989）在概率分布的框架下证明了同样的结果。推论1。偏好关系%表现出对多元化的偏好是强烈的风险厌恶。当x%y是有界序列（xn）n时，偏好关系%是紧连续的∈n每n的分布收敛到x和xn%y。

正如Chew和Mao（1995）所指出的，许多广泛使用的预期效用偏好的例子实际上是紧连续的，当相应的效用函数不连续或无界时，它们不是连续的。Dekel（1989）用于推导本节所述结果的理论体系是一个非常特殊的体系，我们鼓励读者阅读他的文章以了解细节。6.风险下的选择I：预期效用理论vonNeumann和Morgenstern（1944）发表的关于博弈和经济行为的开创性理论，预期效用理论（EUT）主导了风险下决策的分析，并被普遍认为是理性选择的规范模型。在预期性理论下，成功地对以前超出经济形式化范围的各种经济现象进行了建模。本节说明，在预期效用理论的公理体系中，（i）所有风险规避的概念都与效用的凹性一致，（ii）所有多元化的概念都一致，（iii）偏好多元化（即偏好的凸性）等同于风险规避。6.1冯·诺依曼-摩根斯坦表示EUT下X上偏好关系%的效用表示采用公式u（X）=Zu（c）dFx（c），X∈ X，c∈ R、 u:R→ R.传统上，冯·诺依曼-摩根斯坦设置中的选择对象比通过概率分布形式化的随机变量大得多。因此，代理选择集是可分离度量空间（s，B）上所有概率测度的集合M，B是Borel集合的σ域。

M上偏好关系%的效用表示u采用公式u（u）=Zu（x）u（dx），u∈ M、 美国→ R.由分布αu+（1）表示的复合彩票- α)ν ∈ M、 对于α∈ [0,1]给出概率为α的u和概率为（1）的ν- α） 因此，复合抽奖的结果x的概率由（αu+（1）给出- α） ν（x）=αu（x）+（1）- α） ν（x）。确定预期效用理论的另一个重要公理是独立公理。它也被证明是最具争议的。独立性公理表明，在比较两种复合彩票αu+（1）时- α） ξ和αν+（1）- α） ξ，决策者应关注u和ν之间的区别，并独立于α和ξ保持相同的参考。关键的想法是用ξ代替u的一部分和ν的一部分不应该改变最初的偏好排名。公理的正式陈述如下。尽管有证据支持替代性描述模型，表明人们的实际行为明显偏离了这一规范性模型。参见Stanovich（2009）和Hastie and Dawes（2009）的讨论。独立性：对所有人而言，u，ν，ξ∈ M和α∈ [0, 1], u % ν ==> αu + (1 - α)ξ %αν + (1 - α)ξ.备注1。在本文中，我们采用了数学金融中的经典设置，即随机变量空间。然而，如上所述，冯·诺依曼-摩根斯坦的设置是彩票的空间。鉴于我们对投票偏好的讨论，我们参考了Dekel（1989年，命题3），该命题指出，彩票空间上的投票偏好凸性以及风险规避意味着对随机变量空间上的投票偏好。

这阐明了偏好在彩票空间上的凸性与偏好在随机变量空间上的凸性之间的联系。6.2 EUT中的风险规避对风险规避概念的分析，以及根据随机优势对风险增加的相应解释，在很大程度上有助于EUT研究风险相关问题的成功。事实上，在EUT中，风险规避对应于效用函数的一个简单条件：在允许冯·诺依曼-摩根斯坦表示的偏好关系类别中，决策者通过其凹效用函数被刻画。提议6。假设偏好关系%满足预期效用理论，并采用冯·诺依曼-摩根斯坦效用表示u。那么：（i）%是弱风险规避的当且仅当u是凹的；（ii）%是强烈的风险规避当且仅当u是共存的。命题6和命题3的一个直接结果是，在预期效用框架下，弱、强和单调风险规避的三个概念是一致的。推论2。在预期效用理论的假设下，弱风险规避、强风险规避和单调风险规避的定义是等价的。本质上，预期效用理论对选择模式施加了限制。事实上，如果不强烈地规避风险，就不可能做到弱规避风险。因此，在EUT中，人们只说“风险规避”，而不需要具体说明具体的动机。因为它的特点是效用的凹性，人们可以通过效用函数的曲率来描述风险厌恶的程度。我们回顾了由Arrow（1965年）和Pratt（1964年）提出的最常用的风险规避措施及其在预期效用模型中的特征。定义14（风险规避的Arrow-Pratt度量）。

对于效用函数为u的预期效用理论决策者，对于任何结果c，都定义了绝对风险规避的Arrow-Pratt系数∈ R byA（c）=-u（c）u（c）。提议7。假设UAN和UAR是R上的两个严格递增和两次连续可微函数，分别代表预期效用偏好和相应的Arrow-Pratt系数A和A以及风险溢价π和π。那么下列条件是等价的：（i）A（c）≥ A（c）所有结果c∈ R（ii）u=go 对于某些严格递增凹函数g；（iii）π（x）≥ π（x）表示allx∈ 十、这本质上体现了通过ArrowPratt系数更厌恶风险的关系。6.3 EUT中的多样化偏好在预期效用理论的假设下，确定性和共单调性的两种形式都由效用指数的凹度表示，因此无法区分。此外，它们无法与多元化的传统概念区分开来，后者对应于偏好的凸性。提案8（Chateauneuf and Tallon（2002））。假设%在预期效用理论框架中是一种偏好关系，效用指数为u。那么以下陈述是等价的：（i）%显示出对多元化的偏好（ii）%显示出对确定多元化的偏好（iii）%显示出对共单体多元化的偏好（iv）u是凹的，回想一下，在预期效用框架中建立的多元化和风险规避之间的等效性在更一般的框架中并不成立。特别是，强烈分散的概念，即偏好两个相同分布资产之间的分散，被证明相当于强烈的风险规避。

在EUT的假设下，这仅仅意味着强烈的多元化与所有形式的风险规避相一致，因此与效用的凹性相一致。推论3。假设%是预期效用理论框架中的一种偏好关系，效用指数为u。那么以下陈述是等价的：（i）%表现出对强多样性的偏好（ii）%是风险规避的（iii）概括而言，u是凹的，本文介绍的所有风险厌恶（弱、强、单调）和多样化（肯定、强、共单调和凸偏好）的概念都与预期效用理论框架下的效用凹性一致。为了说明这种对应关系的具体投资组合选择含义，考虑投资一个无风险资产的问题，回报率为r，一个风险资产的回报率为随机z。在完全投资假设下，假设决策者将w投资于风险资产，剩余的1- 在安全资产中，意味着wz+的总体投资组合回报率（1- w） r.效用最大化u形式上意味着最大化wz+（1）- w） r）dF（z），其中F是风险资产的累积分布函数（cdf）。风险中性的投资者只关心预期回报，因此会将所有可用资产投入预期回报最高的资产。如果投资者是风险规避者，效用是凹的，因此最大化问题的二阶条件完全刻画了解的特征。更重要的是，这意味着，如果风险资产的后回报率高于无风险利率（即z>r），那么规避风险的投资者仍然会选择在风险资产上投资一定数额的w>0。

总之，在预期效用最大化者的差异偏好下，所有规避风险的决策者仍然希望以正回报承担一定的风险。在他所谓的局部风险中性定理中，阿罗（1965）正式推导了预期效用投资组合选择模式。事实上，必须在安全资产和风险资产之间分配高度的经济代理人，在且仅当资产的预期价值超过价格时，才会对资产进行投资。购买资产的金额取决于代理人对风险的态度。相反，如果预期价值低于资产价格，代理人将希望卖空资产。因此，投资者对某项资产的需求应该在低于某一价格时为正，高于同一价格时为负，而在该价格时为零。如果存在许多风险资产，该价格不一定是预期价值。Arrow的结果在没有交易成本的情况下成立，因为它可以购买少量资产。通过分析风险偏好的变化如何影响最优投资组合选择，可以使用Arrow（1965）和Pratt（1964）的比较风险规避度量来展示以下直观结果。如果一个效用为u的预期效用投资者比另一个效用为v的预期效用投资者更厌恶风险，那么在投资组合选择问题中，对于任何初始水平的财富，前一个投资者在风险资产上的最优投资将少于后一个投资者。然而，罗斯（1981）指出，这一结果关键取决于风险较小的资产具有一定的回报这一事实。

如果两种资产都有风险，其中一种风险比另一种低，那么就需要一个更强大的条件来保证风险厌恶程度较低的投资者在同等财富水平下，会比风险厌恶程度较高的投资者更多地投资于风险较高的资产。7.风险下的选择2：等级相关的预期效用理论银行相关的预期效用理论（RDEU）是预期效用理论的一个推广，它适应了经济主体既购买彩票（暗示风险寻求偏好）又投保损失（暗示风险厌恶）的观察。特别是，RDEU通过削弱独立公理解释了在阿拉斯悖论中观察到的行为。Quiggin（1982）首次将RDEU公理化为预期效用理论，Yaari（1987）、Segal（1989）、Allais（1987）和Wakker（1990）等人对其进行了进一步研究。在回顾了RDEU的基本原理之后，我们发现弱风险规避和强风险规避之间的等价性并没有从预期效用模型中延续下来；参见Machina（1982）和Machina（2008）。类似地，在RDEU框架中，多元化偏好和风险规避偏好的对应失败。7.1 R决策概述秩相关预期效用理论的发展是基于这样一种观点，即同样可能发生的事件不一定得到相同的决策权重。这种概率加权方案旨在结合在违反EUT模型时观察到的具有极端后果的低概率事件的明显特征。RDEU模型有一个简单的形式化，其中结果由avon Neumann-Morgenstern效用函数转换，概率由权重函数转换。效用函数与EUT中的效用函数相同，这意味着为EUT开发的标准分析工具可以应用于RDEUF框架，并进行一些修改。

概率加权方案首先对世界各国进行排列，使它们产生的结果从最坏到最好，然后根据其排名和概率为每个国家赋予权重。这些想法形式化如下。定义15（等级相关预期效用理论下的偏好）。决策者满足秩相关期望效用（RDEU）理论，当且仅当其偏好关系%可以用实值函数V表示，即对于每个x，y∈ X，X%y<==> Vf，u（x）≥ Vf，u（y），其中Vf，ui定义为每个z∈ X byVf，u（z）=z-∞（f（P[u（z）>t]）- 1） dt+Z∞f（P[u（z）>t]）dt，其中u:R→ R、 假设表示%的效用函数是连续的，严格递增的，并且在正有效变换之前是唯一的，f:[0,1]→ [0，1]是满足f（0）=0和f（1）=1的唯一、连续且严格递增的函数。当X有一定数量的结果时≤ 十、≤ · · · ≤ xn，这个表示减少到vf，u（z）=u（x）+nXi=2fnXj=ipj！（u（xi）- u（xi）-1)) .因此，RDEU下的偏好以函数u和f为特征；效用函数u被解释为确定性下的效用水平，转换函数f被解释为对概率的感知。注意，在f（p）=p的情况下∈ [0,1]，RDEU简化为预期效用理论。另一方面，考虑f（p）的情况≤ p、 这意味着决策者对概率的感知小于实际概率。对于有限X，该条件意味着至少具有效用u（X）的决策者系统性地降低了额外效用u（xi）的权重- u（xi）-1). 这样的决策者被称为（弱）悲观。定义16。

RDEU偏好关系%是弱悲观的当且仅当f（p）≤p代表所有人p∈ [0,1]，弱乐观当且仅当f（p）≥ p代表所有人p∈ [0,1].7.2 RDEURDEU模型中的风险规避提出了一种不同于EUT的风险规避方法。通过定义，RDEU理论可以被视为体现了对结果的态度和对概率的态度之间的根本区别。RDEU框架内的风险规避应包含两种不同的现象。第一个是EUT中风险厌恶的标准概念，与财富递减方面的结果偏好相关。第二个与概率偏好有关，即转换函数f。接下来，我们将回顾效用函数ua和概率权重函数f在各种风险规避概念方面的特征。我们从弱风险厌恶开始。Chateauneuf和Cohen（1994）给出了偏好是弱风险规避的必要和充分条件。我们只提到一种特殊情况，在这种情况下，他们的条件是必要的和充分的。提案9（Chateauneuf和Cohen（1994））。效用函数u凹且可微的RDEU决策者是弱风险厌恶的当且仅当他是弱风险厌恶者时。Chew、Karni和Safra（1987）在等级依赖效用理论中表现出强烈的风险厌恶，如下所示。提案10（Chew、Karni和Safra（1987））。RDEU偏好关系%是强风险规避的当且仅当其效用u是凹的且概率权重f是凸的。这是一个相当强的特征，因为在RDEU下，决策者在没有凹效用的情况下不能强烈地规避风险。