选择理论中的多元化偏好

另一方面，根据Yaari（1987）的二元论，强风险规避对应于f的凸性（见Yaari（1987））。为了更全面地回顾风险下选择理论中的风险规避概念，我们请读者阅读Cohen（1995）。最后，Quiggin（1992）描述了RDEU框架下的单调风险厌恶。提案11（奎金（1992））。（i） 单调风险规避且效用u凹的RDEU决策者是弱悲观的。（ii）弱悲观且具有凹效用的RDEU决策者u是单调风险厌恶的。此外，还得到了保均值单调扩散的一个刻画。第12号提案（奎金（1992年））。对于x，y∈ 其中，e（X）=e（y），y是X的单调分布，当且仅当对于RDEU下的偏好关系%，X%y.7.3分散偏好在RDEUI预期效用理论中，风险规避决策者总是倾向于分散投资组合而不是集中投资组合。对于在二阶随机优势意义上强烈规避风险的RDEU决策者，也有类似的结果。13号提案（奎金（1993年））。当且仅当RDEU决策者强烈规避风险时，即当且仅当效用u为凸且概率权重f为凸时，RDEU决策者表现出对多元化的偏好。如果决策者能够通过凸组合的选择（除了区分这些选择之外）获得确定性，那么他更倾向于多元化，这种确定多元化的较弱概念实际上相当于RDEU框架中的弱风险规避。提案14（Chateauneuf and Lakhnati（2007））。

当且仅当RDEU的决策者对风险的厌恶程度较弱时，他才会表现出一定的多样性。此外，假设凹性（以及效用的差异性），我们可以立即将RDEU下的确定多样性和弱悲观主义概念联系起来，如下所示。推论4。一个RDEU决策者具有可区分的凹效用，当且仅当他是弱悲观的时，他才会表现出确定的多样性。最后，考虑共单调随机变量的情况以及共单调多样性的相关概念，这从本质上限制了对共单调选择的多样性偏好。考虑到共单调随机变量，我们可以证明，一个决策制定者在这种共单调前景中的差异实际上是不同的。罗尔（1987）证明了这一点。备注2（RDEU中偏好的凸性）。Quiggin（1993）讨论了多样性作为随机变量的线性混合物与偏好的凸性和凹性概念之间的关系。回想一下，我们用多元化的传统定义来确定凸偏好。然而，在RDEU理论中，在没有凸性的情况下，对结果混合的偏好会产生差异，这种类比是误导性的，尽管强烈的风险厌恶和差异化之间的对应关系符合该模型。我们请读者参考Quiggin（1993）对这个主题的详细讨论和进一步参考。备注3（对投资组合选择的影响）。秩相关期望效用包含以下两个组成部分：凹效用函数和反向S形概率失真函数。第一部分是观察到个人不喜欢意味着保持随机结果分布的扩散。

第二个组成部分反映了尾部事件超重的趋势——这一原理可以解释为什么人们同时购买保险和彩票。事实上，Quiggin（1991）指出，如果个人的偏好由带有凹形结果效用函数和（反向）S形概率权重函数的RDEU函数描述，那么个人的行为将显示出风险厌恶，除非面临向右倾斜的概率分布。8.不确定条件下的选择风险条件下的选择模型最初制定为与预先规定的或客观的概率一起使用。他们的主要局限之一是将不确定性视为客观风险。然而，并非所有的不确定性都可以用这样一个客观的概率来描述。继凯恩斯（1921年）、奈特（1921年）和拉姆齐（1926年）的基本著作之后，我们现在对不确定性和风险进行了区分——当所讨论的赌博客观上同意了已知的赔率时，就会使用风险，而不确定性则指赔率未知的情况。多元化和不确定性规避的概念，而不是风险规避，在一个（不一定是加性的）主观概率测度下的预期效用模型中讨论，该测度寻求区分可量化风险和未知确定性。这种选择理论模型起源于萨维奇（1954）和安斯科姆（Anscombe）及奥曼（1963）的开创性著作。我们的框架将是Schmeidler（1989）开发的此类模型的公理化处理；另见Gilboa（1987年）。

这些公理化涉及使用Choquet积分来推导非加性概率的相应表示结果——因此，我们将这种不确定性模型称为Choquet期望效用（CEU）模型。8.1 Choquet期望效用理论在正式建立Schmeidler（1989）的公理框架之前，我们快速回顾了在加性和非加性概率测度下主观期望效用理论的基础。在本小节中，我们脱离了第2节的理论设置，采用了经典的决策理论设置，决策者从一系列行为中进行选择。许多论文研究了R框架中的投资组合理论、风险分担和保险契约；有关详细综述，请参见Bernard、He、Yan和Zhou（2013）。客观风险通常存在于机会游戏中，比如一系列概率客观已知的硬币游戏。在实践中，风险的概念还包括可获得可靠统计信息的情况，以及从中推断客观概率的情况。另一方面，不确定性在实践中可能会因完全无知或缺乏统计数据而产生。8.1.1主观预期效用在Savage（1954）开创的（主观）不确定性标准模型中，决策者从一系列行为中进行选择。形式模型由一组奖品或结果X=R和一个具有代数∑的状态空间S组成。动作A的集合是所有有限可测函数的集合（每个区间的倒数是∑的元素）Ohm 至（R）。在A中，偏好关系是相对于行为定义的。

主观预期效用表示为%，由状态S和自闭度函数u:X上的主观概率度量P给出→ R关于结果X满足f%g<==>ZSu（f（s））dP≥ZSu（g（s））dP。这里的期望操作是针对一个先验概率进行的，该概率是从决策者对行为的偏好中唯一导出的。Savage（1954年）、Anscombe和Aumann（1963年）都提供了偏好的公理化，导致主观预期效用最大化的标准，使这种表示成立，后者是更简单的发展，因为对序列集X施加了特殊的结构。Savage（1954）的经典发展更为一般，但更为复杂，对其进行全面的回顾超出了本文的范围。然而，我们确实提到了萨维奇的一个关键公理，即确定原则。公理1（萨维奇的确定原则）。假设f，f，g，g∈ A是四幕和T Sis状态空间的子集，使得f（s）=f（s）和g（s）=g（s）∈ T和f（s）=g（s）和f（s）=g（s）表示所有s∈ TC。那么f%g当且仅当f%g。这个公理可以用偏好是可分离的来解释——如果决策者倾向于对TC中的所有可能状态采取行动f而不是行动g（例如，知道某个事件将发生），而对T中的所有状态采取行动f仍然倾向于行动g（例如，如果某个事件没有发生），那么，决策者应该选择独立于国家之外的行动。举一个事件发生的例子，这意味着f优先于g，尽管不知道某个事件是否会发生。

这条公理本质上是说，无论选择了什么样的行动，结果都是“确定的事情”，不应该影响一个人的偏好。8.1.2 Schmeidler在非加性概率下的主观预期效用公理化Schmeidler在不确定性（无可加性）下的选择公理化将个人对不确定性的感知与结果的评估正式分开。在共单调独立的关键公理下，不确定条件下的偏好是通过一个泛函来表征的，该泛函被证明是Choquet积分。埃尔斯伯格悖论（Ellsberg 1961）是推动主观概率更一般理论发展的主要原因，在这个理论中，概率不需要是加性的。定义17（非加性概率测度）。实值集函数v∑→[0，1]在代数上，一组状态子集的∑是一个非加性概率测度，如果它满足规范化条件v() = 0和v（S）=1，以及单调条件，也就是对所有A，B∈ ∑，如果A B、 然后v（A）≤ 五（B）。我们现在正式建立了Schmeidler的CEU模型。状态空间S被赋予一个代数∑的子集Ohm. 假设结果集为正实线，即X=R+。acts集合是L个非负可测函数的集合。10%的CEU决策者对行为L和区域的偏好是单调和连续的。为了削弱独立公理，Schmeidler（1989）引入了共单调独立的概念。非常粗略地说，它要求通常的独立性公理只有在没有对冲效应（在《瓦克尔的意义》（1990））时才成立：公理2（共单调独立性）。

对于所有成对的共单调actsf，g，h∈ 全民土地∈ （0,1），f%g表示αf+（1）- α） h%αg+（1）- α） h.非加性概率测度称为容量v:∑→ [0,1]，我们始终认为存在∈ ∑使得v（A）∈ (0, 1). 电容的磁芯v由磁芯（v）={π：∑定义→ R+|A.∈ ∑，π（A）≥ v（A）；π（S）=1}。Schmeidler（1989）证明了满足共单调独立性（以及通常的单调性和连续性公理）的L上的偏好关系%是通过关于唯一容量v的Choquet积分来表示的，而不是唯一的可加性概率测度。定义18（Choquet积分）。实值函数u:L的Choquet积分（Choquet（1954））→ 关于容量v的一组状态S上的R由Zu（f（·））dv=Z定义-∞（v（u（f）≥ （t）- 1） dt+Z∞v（u（f）≥ t） dt。请注意，如果容量v实际上是一个加性概率测度p，那么Choquet积分将降低为关于p.Ellsberg（1961）提出的实验的数学期望，其中选择违反了主观预期效用的假设，更具体地说，是确定原则。其基本思想是，决策者总是会选择已知的获胜概率，而不是未知的获胜概率，即使已知概率很低，并且未知概率可能是获胜的保证。他的悖论独立于决策者的效用函数和风险规避特征，并隐含了不确定性规避的概念，即偏好已知风险而非未知风险的态度。回想一下f，g两幕∈ 如果没有s，t∈ S、 f（S）>f（t）和g（S）<g（t）。定理3（Schmeidler表示定理（Schmeidler（1989）））。

假设L上的偏好关系%满足共单调独立性、连续性和单调性公理。然后在∑上存在一个唯一的容量v，在财富函数u:R上存在一个有效的效用→ 所以对于所有的f，g∈ 五十、 f%g<==>ZSu（f（·））dv≥ZSu（g（·））dv。相反，如果存在如上所述的u和v且u为非常数，则它们在L上诱导的偏好关系%满足共单调独立性、连续性和单调性公理。最后，函数u在正线性变换下是唯一的。我们说函数V:L→ R代表所有actsf，g的偏好关系%if∈ 五十、 f%g<==> 五（f）≥ V（g），其中，在CEU的公理化下，V（f）forf∈ 五十、 由Choquet积分su（f（·））dv给出，其中u和v满足前面定理的性质。8.2不确定性下的多元化偏好在Choquet预期效用框架中，多元化偏好等同于效用指数为凹形，容量为凸形。以下理论提供了这种特征：定理4（Chateauneuf和Tallon（2002））。假设u:R+→ R是连续的，在R++上是可微分的，并且严格递增，并且让V是表示CEU模型下参考关系%的函数。那么以下陈述是等效的：（i）%表现出对多元化的偏好。（ii）V为凹面。（iii）u是凹的，v是凸的。回想一下，Chateauneuf and Tallon（2002）提出的确定多样性的较弱概念可以被解释为一个普遍的不确定性厌恶公理；如果决策者可以通过一组同样需要的随机变量的凸组合来获得确定性，那么他更喜欢确定性而不是这些随机变量中的任何一个。

当然，多元化因此体现了一种对模糊性的厌恶（在不精确概率的意义上）以及一种对风险的厌恶。在Choquet预期效用的背景下，如以下理论所述，sure Diversition在效用指数u和容量v方面没有完整的特征。定理5（Chateauneuf和Tallon（2002））。假设v是Choquet期望效用框架中的容量函数，并假设效用指数u在R++上是连续的、严格增加的和可微分的。如果偏好关系%表现出对多元化的偏好，则核心（v）6=. 另一方面，如果磁芯（v）6= u是凹的，那么%表现出一定的多样性偏好。因此，CEU下确定的多元化特征不完整——具有非凹效用指数的决策者可能是确定多元化者，也可能不是确定多元化者。特别是，Chateauneuf和Tallon（2002）给出了一个凸效用指数和一个空核心容量的例子，这不会产生对确定多样性的偏好。然而，效用指数的凹性可以被证明相当于一种不同形式的差异，即共单调多样性，这是对共单调随机变量偏好凸性的限制。事实上，在CEU框架中，效用指数的凹度完全体现了科莫诺酮的多样性：定理6（Chateauneuf和Tallon（2002））。假设v是Choquet期望效用框架中的容量函数，并且假设效用指数u是连续的，严格递增的，在R++上是可微分的。然后，当且仅当u为凹形时，偏好关系%表示对科莫酮多样性的偏好。推论5（Chateauneuf and Tallon（2002））。

假设v是Choquet期望效用框架中的容量函数，并且假设效用指数u是连续的，严格递增的，在R++上是可微分的。然后，偏好关系%exhibitspreference for comonotone and sure Diversition当且仅当u为凹形且核心（v）为非空时。8.3基于凸性的不确定性厌恶偏好Carriea Vioglio、Maccheroni、Marinacci和Montrucchio（2011b）为一类完整的、传递的、凸的和单调的偏好提供了特征，他们称之为不确定性厌恶偏好。他们在Anscombe-Aumann环境中建立了不确定性厌恶偏好的表示，这是一个普遍但丰富的结构。设F是所有不确定行为F:S的集合→ 十、 其中S是状态空间，X是凸结果空间，让 是S.Cerreira-Vioglio等人的所有概率测度集。表明偏好关系%是不确定性厌恶的（并且满足附加技术条件），当且仅当存在效用指数u:X时→ R与aquasi凸函数G:u（X）× → (-∞, ∞], 增加第一个变量，使得偏好函数Lv（f）=minp∈GZu（f）dp，p, F∈ fre表示，其中u和G本质上是唯一的。在他们的陈述中，决策者考虑了所有可能的概率p和行为f的相关预期效用u（f）dp。然后，他们总结了所有这些评估，参见Chateauneuf和Tallon（2002）中的示例1。不确定性厌恶偏好是一类普遍的偏好。通过适当指定下文定义的不确定性厌恶指数G可以获得的特殊情况包括，变化偏好和平滑模糊偏好。更多细节请参见Cerreia Vioglio、Maccheroni、Marinacci和Montrucchio（2011b）。通过取其最小值。