时间依赖模型

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英文标题：
《Time-dependent Heston model》
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作者：
G. S. Vasilev
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  This work presents an exact solution to the generalized Heston model, where the model parameters are assumed to have linear time dependence The solution for the model in expressed in terms of confluent hypergeometric functions.
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中文摘要：
本文给出了广义Heston模型的精确解，其中假设模型参数具有线性时间依赖性，模型的解用合流超几何函数表示。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Time-dependent_Heston_model.pdf (344.1 KB)

2022-5-5 20:12:29 上传

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关键词：时间依赖 Quantitative Applications Computation QUANTITATIV

时间依赖于模型。G.S.Vasilev1，保加利亚索菲亚大学物理系，詹姆斯·布希尔5大道，索菲亚1164号（日期：2014年2月25日）。这项工作给出了广义赫斯顿模型的精确解，其中假设模型参数具有线性时间依赖性，模型的解用对流超几何函数表示。PACS编号：I.引言本文对Heston（1993）[1]基于时间相关模型参数的随机波动率模型进行了推广。赫斯顿模型是当今应用最广泛的随机波动率（SV）模型之一。Heston模型可以被视为Black and Scholes（1973）[2]模型的随机波动性广义化，并将其作为特例。众所周知，Black-Scholes公式中使用的隐含波动率微笑往往会系统性地错误定价货币和货币期权，如果使用了货币期权中隐含的波动率。根据这种影响，各种SV期权定价模型（Hull and White（1987）[3]，Stein and Stein（1991）[4]，Heston（1993）[1]）已经被开发出来，以捕捉“微笑”效应。赫斯顿模型的普遍性和吸引力在于它的三个主要特征的结合：它不允许负波动，它允许资产回报和波动之间的相关性，它有一个封闭的定价公式。然而，要使用赫斯顿模型进行期权定价，需要知道模型的结构参数。这就引出了校准问题，在赫斯顿模型的情况下，它面临着几个困难。例如，用于模型校准的数据是在离散时间观察到的，但模型是在连续时间框架下建立的。在校准问题中，需要推广Heston模型。

一般来说，由于随机引擎的价格（在我们的例子中是赫斯顿模型）不受市场价格的支持，因此必须每天根据新的市场数据重新校准模型参数。这种校准问题的解决方案，除了耗时之外，与动力学的准确描述不一致。这是考虑具有时间相关参数的赫斯顿模型的主要动机。二、HESTON的随机波动性本节将介绍HESTON模型的概述。我们将推导定价偏微分方程（PDE），它构成下一节特征函数推导的基础。Heston模型是在[1]中首次引入的，其中我们有两个随机微分方程，一个用于标的资产价格S（t），另一个用于g（t）的方差V（t）：dS（t）S（t）=u（t）dt+pV（t）dW（1）dV（t）=κ（θ）- V（t））dt+ηpV（t）dW。这里是κ≥ 0, θ ≥ 0和η>0分别代表均值回归的速度、平均方差水平和波动率的波动率。此外，假定布朗运动与相关系数ρ相关。根据式（1）给出的赫斯顿模型定义，可以很容易地观察到，方差的SDE可以被认为是一个均值回复平方根过程——CIR过程，这是Cox、Ingersoll&Ross（1985）[5]最初提出的对即期利率建模的过程。利用伊藤引理和标准套利论点，我们得出了赫斯顿模型的加曼定价Pt+V SPS+ρηSVPsV+VηPV+SPs- rP=[κ（V- θ) - λV]P五、 （2）式中λ是波动风险的市场价格。为便于读者阅读，附录a中给出了详细推导。

我们进一步简化了EQ给出的定价PDE。(??) 通过定义远期期权价格cu（x（t），V（t），t）=er（t-t） P（S（t），V（t），t），其中x（t）=log呃(T)-t） S（t）K最后，定义τ=T- t、 然后我们得到所谓的前进方程-铜t+V铜十、-铜十、+（3） ρηV铜十、V+Vη铜V=κ（V- θ)铜VA.Heston模型的特征函数在介绍与Heston模型的特征函数相关的结果之前，我们将参考一些结果以了解有效的扩散过程。继Du ffe、Pan和Singleton（2000）[6]的工作之后，对于一个有效的微分，处理x（T）readsf（x，V，τ，ω）=exp[a（ω，τ）+B（ω，τ）V+C（ω，τ）x]（4）的特征函数，其中假设为V≡ V（t）和x≡ x（t）。此外，特征函数必须满足以下初始条件f（x，V，0，ω）=exp[iωx（T）]，这意味着a（ω，0）=0；B（ω，0）=0；C（ω，0）=iω（5）根据初始条件，代入式（4）中给出的特征函数，可以证明特征函数简化了tof（x，V，τ，ω）=exp[A（ω，τ）+B（ω，τ）V+iωx]（6）函数A（ω，τ）和B（ω，τ）满足以下常微分方程组：，A（ω，0）=0（7a）dBdτ=α- βB+γB，B（ω，0）=0，（7b）其中=κθ（8）α=-ω+iωβ = κ - ρηiωγ=η和ω∈ R.为了方便读者，在附录B中，我们将给出等式（7）中ODE的推导。三、 HESTON的随机波动性模型，具有时间相关的模型参数sincef（x，V，τ，ω）=EQheiωx（T）i，其中Q是一些风险中性度量，HESTON模型的精确解析解问题被转化为相应特征函数的问题，或更精确地解特征函数的A（ω，τ）和B（ω，τ）因子的问题。

对于具有时间相关参数的赫斯顿模型的推广，有几个方向。Mikhailov和Nogel（2003）[7]指出，θ可以从约束tobe常数中放松。从式（7a）中可以看出，参数θ可以被假定为与时间有关，并且A（ω，τ）的精确解仍然是可能的。Mikhailov和Nogel指出，时间相关参数的其他选择仍然是可能的，但ODE系统方程（7）的通解受限于方程（7b）中给出的Riccati方程。其他可能的推广与时间分辨有关——分段常数参数或辛解。我们的方法假设所有模型参数都具有线性时间依赖性。也就是说，κ、θ、η和ρ在时间上是线性的。虽然这是一种限制性的方法，但我们要注意，局部任意的时间依赖性被简化为线性。同样，这种推广也是最简单的，因为所有模型参数都与时间有关。我们应该强调，我们主要关心的是找到等式（7b）的解，因为a（ω，τ）的解只是通过与被积函数的积分给出的。B（ω，τ）的期望解乘以a.a。波动率参数的恒定波动率我们应该强调，即使在这个框架内，假设所有模型参数的线性时间依赖性，解也是复杂的。根据这个推理，我们首先考虑常数η和线性κ、θ和ρ。η=常数（9）κ=κτ+κθ=θτ+θρ=ρτ+ρ具有定义的模型参数下一步是寻找解决方案。由于对含时系数的二阶线性常微分方程的分析理论进行了充分研究，我们的第一步是将Riccati方程转换为inEq。（7b）线性二阶常微分方程。

在式（7b）中，在替代B之后=-˙DγD（10）其中˙D=dDdτ，我们根据代换式（10）和初始条件式（5）得到dDdτ+βdDdτ+αγD=0（11）。D（τ）的新初始条件为˙D（0）=0（12a）。注意，我们在求解二阶常微分方程时应该有两个初始条件，但由于素数方程是一阶的等式（7b），等式（12a）中的初始条件是有效的。用所用的符号，我们得到以下方程来解dDdτ+（gτ+g）dDdτ+αγD=0，（13），其中g=κ- iρηωg=κ- iρηω式（13）可通过代换z=-（gτ+g）2g（14）经过简单代数得到zddz+- ZdDdz-αγ2gD=0（15），如果我们将等式（15）中给出的方程与反超几何方程的标准形式进行比较，其读数为szdwdz+（b- z） dwdz- aw=0（16）我们可以立即写出所需的解。关于反超几何方程及其解的基本参考公式见附录C。公式（15）的解isD（τ）=AMαγ2g，，-（gτ+g）2g+ （17） AUαγ2g，，-（gτ+g）2g. （18） 这里是Mhαγ2g，，-（gτ+g）2ianduhαγ2g，，-（gτ+g）2是Kummer函数[9]的标准符号，表示式（16）的两个线性相关解。根据附录C，因为b=，等式（16）的第二个解U（a，b，z）由收敛级数给出，如果a和b。

完成时间依赖性斯通模型解的下一步是获得初始条件下的积分常数A和A。使用公式（36）和公式（37）形成inEq中给出的解。（17） 根据式（12a）中的初始条件，我们得到了ddτD（τ）τ=0=AαγgMαγ2g+1，，-（gτ+g）2g(-gτ-g） +A-αγ2gUαγ2g+1，，-（gτ+g）2g(-gτ- g）τ=0，根据上述等式（？？）我们得到了AA和AA=AU之间的函数关系（αγ+2g）/2g，3/2，-（g） /2gM[（αγ+2g）/2g，3/2，-（g） /2g]=AF（19）缩短我们用F表示u/M分数的符号。正如我们所提到的，由于等式（10）中给出的齐次变换，等式（19）和等式（19）之间的函数关系足以确定HestonModellb（ω，τ）=αg（gτ+g）特征函数的函数B（ω，τ）呃αγ2g+1，，-（gτ+g）2gi- F Mhαγ2g+1，，-（gτ+g）2g如果Mhαγ2g，，-（gτ+g）2gi+Uhαγ2g，，-（gτ+g）2gi（20） B.挥发性参数的线性时间挥发性让我们推导线性时间相关性的一般情况下的解决方案。模型参数有如下形式η=ητ+η（21）κ=κτ+κθ=θτ+θρ=ρτ+ρ。同样，可以应用等式给出的变换。（10） 根据等式（7b）。经过一些代数运算后，我们得到了以下等式：dDdτ+（hτ+hτ+h）dDdτ+（kτ+k）D=0，（22），其中系数h，h，h和kare给出如下公式：-iωρηh=κ- （ρη+ρη）iωh=κ- ρηiωk=η√α√k=η√α√式（22）的解可以转换为式（40）给出的treecon fluent Heun方程[10]。D（τ）=Aexp（f）HeunT（α，β，γ，z）+（23）Aexp“-τ（k）h#HeunT（α，β，γ，z）（24），其中我们使用了以下符号sf=-τh2（hτ）+3hhτ+6hh- 6（k）i6h（25）α=2/32（h）8/3h（hk）+2（kk）- 2hhkk（26）-2（k）hh+2（k）i（27）β=-h（k）h+（k）- 2hkki（h）（28）γ=1/3h4hh- （h）- 8（k）i4（h）4/3（29）为方便读者，附录D中给出了Heun方程的基本定义和公式。图。

1：资产价格受赫斯顿随机过程控制。图2：与赫斯顿随机过程相关的波动率。四、 结论Heston模型因其分析的可处理性而成为最流行的随机波动率模型之一。然而，赫斯顿模型的完整使用仍然具有挑战性，因为只有当参数为常数、分段常数或在渐近极限内时，它才有一个闭合公式。本研究的目的是填补这一理论空白，并丰富这一非常流行的模型在校准问题上的可用性。还有几个结论值得注意：与上述方法类似的方法适用于SVJ模型，更准确地说，适用于Batesmodel。这个问题将在未来的研究中得到更详细的解决。在本文中，我们假设所有模型参数都服从线性时间依赖性。这个假设是为了一致性，但更一般的假设允许θHeston参数具有任意的时间依赖性。致谢这项工作得到了QUANTNET项目——欧洲重返社会补助金（ERG）——PERG07GA-2010-268432的支持。V.附录a这篇附录总结了赫斯顿模型的关键公式及其比较。

使用函数V（s，s，t）的^o引理，它对沙s是两次可微分的，对t是一次可微分的，其中ds=a（s，s，t）dt+b（s，s，t）dWdS=a（s，s，t）dt+b（s，s，t）dw，对于V（s，s，t）的微分，我们得到了dV（s，s，t）=五、tdt+五、十二烷基硫酸钠+五、SdS+b五、Sdt++b五、Sdt+ρbb五、sSIt是使用上述等式的标准公式（？？）对于一个功能，假设一个价值为P（S，V，t）的期权组成的自融资投资组合，- 为对冲与随机波动性相关的风险，-另一个选项的单位值为P（S、V、t）。因此我们得到∏=P- s- 经过一些代数，我们得到了∏后，再次证明它是^o引理=Pt+V SPS+ρηSVPsV+VηP五、dt- Pt+V SPS+ρηSVPsV+VηP五、dt+Ps- Ps- dS+P五、- P五、如果有人认为Ps- Ps-  = 0（30a）P五、- PV=0一个人可以得到一个无风险的投资组合。标准方法要求消除套利机会，因此该无风险投资组合的回报率必须等于（确定性）无风险回报率r:d∏=Pt+V SPS+ρηSVPsV+VηP五、dt- Pt+V SPS+ρηSVPsV+VηP五、dt=r∏dt=r（P- s- P） D使用公式（30a）中的条件，将上述公式用于无风险投资组合公式（？？）成为Pt+V SPS+ρηSVPsV+VηPV+rSPs- 房车/P五=Pt+V SPS+ρηSVPsV+VηPV+rSPs- 房车/P通过得到这个方程，我们可以得出结论，左侧和右侧都应该等于某个函数g，该函数只取决于自变量S、V和t。如果我们定义函数g具有以下形式g=κ（V- θ) -λV考虑了所谓的扩散过程的特例。

对于这类过程，定价PDE是可分析的。在所考虑的情况下，赫斯顿模型的加曼定价PDE由等式（？？）给出六、 附录B本附录将总结有关Duffee、Pan和Singleton（2000）[6]工作的一些结果。对于一个有效的扩散过程，x（T）的特征函数可以写成式（6）f（x，V，τ，ω）=exp[a（ω，τ）+B（ω，τ）V+iωx]的形式。特征函数f（x，V，τ，ω）满足式（3）的正向方程。将式（6）中给出的f（x，V，τ，ω）代入式（3）得到- FA.τ+BτV+vf-ω- iω+ ρηV Bf iω+ηV Bf- κ（V）- θ） Bf=0（31），如果使用公式（8）中给出的符号，则比公式（8）中给出的符号小简单到-A.τ+aB+VBτ+ α - βB+γB= 0上述方程是V中的一阶多项式。为了使该方程成立，两个系数都必须消失，即我们得出a（ω，τ）和B（ω，τ）满足等式（7）中给出的普通微分方程组。七、附录C本附录是为方便读者而编写的，包含了反超几何函数的基本定义和公式。对流超几何方程的标准形式readszdwdz+（b- z） dwdz- aw=0（32）该方程在z=0处具有正则奇异性，在z=0处具有非正则奇异性∞. 有八种线性相关的解决方案，但标准的两种方案被称为ummer函数SM（a，b，z）=1+azb+（a）z（b）2！++（a） nzn（b）nn！+。。。