仿射项结构模型的GMM估计

然而，cθ=0.5或cθ=1的参数估计成为一个困难的问题。为了解决这个问题，我们将多部分随机搜索方法与准贝叶斯方法相结合（例如，见T¨orn和Zilinskas，1989；Chernozhukov和Hong，2003）。对于每一次蒙特卡洛跑步l,哪里l = 1.L=200，我们进行如下操作：首先，参数估计从随机数θ（n）开始，其中n=1，N=2000。样本θ（n）的生成方式与eSee http://www.mathworks中的θ（m）相同。de/de/help/matlab/ref/fminsearch。HTMLB通过将多段随机搜索方法（例如，见T¨orn和Zilinskas，1989）与Nelder-Mead算法相结合，我们观察到参数估计得到了改善。然而，执行推理仍然是一个棘手的问题。有关更多详细信息，请参见上文附录F，其中畸变参数cθ=1。然后，使用具有最小GMM距离函数的θ（n）作为准贝叶斯采样器的起始值。附录F描述了如何从遍历马尔可夫链中获得绘图θ（m）。最后，参数估计bθl以及方差^VBM的估计hbθl我ιι, ι = 1, . . . , p、 从这些图中得出，后者是通过应用批量平均估计值获得的（具体见Flegal和Jones，2010，方程式（6））。表1和表2给出了我们的蒙特卡罗实验结果。在这两个表中，真实参数向量θ在第二列中提供。在表1中，数据的生成使得θP=1.5 6=10=θQ，而在表2中θP=θQ=1.5。在所有的蒙特卡罗实验中，估计了一个无约束模型。也就是说，我们分别得到了θ和θQ的独立估计。我们强制我们的多段随机搜索程序生成样本，以便θP（n）=θQ（n） 以及θP（n） 六,=θQ（n） （表1和表2中分别列出了这两个实验）。

此外，贝叶斯采样器中还包含了一个基于格林（1995）和理查森与格林（1997）的可逆跳跃动作。在θP=θQ的情况下，可逆跳变是有用的（更多细节见附录F）。来自estimatesbθl, l = 1.L=200，我们得到样本平均值、中值、最小值（min）、最大值（max）、标准差（std）、偏度（skew）和峰度（kurt）。这些描述性统计数据在表1和表2的第三列至第九列中报告。最后一列显示了估计的样本平均值与真实参数值之间的绝对差异。比较基于准贝叶斯方法（见表1）的结果，对于基于标准最小化程序（见补充材料F中的表5）的θP6=θQto结果的情况，我们发现准贝叶斯方法得出了大多数参数点估计的标准偏差。例如，θQis的点估计的标准偏差从6.05（见表5）减少到大约3.05（见表1）。对于驱动力项的估计，也观察到了类似的影响，即难以估计的∑、∑、∑和∑ε。通过考虑最小和最大的点估计（对应表格中的最小和最大），我们观察到准贝叶斯方法的点估计中的θ的差异非常小。注意，θPis的估计值是对过程（X（t））t的第一部分的预期值的估计≥0.由于（Xt）t的序列相关性∈Nis相当高，我们现在可以通过自回归过程的估计方法，我们分析中的标准m=1，2，M=20000。平均值的估计误差变大（例如，当计算AR（1）过程的Fisher信息矩阵时）。

对于θP=θQcase，表2中给出了类似的结果。θ平均最小最大标准偏差kur t|-bθbθθQ10 8.8660 8.5486 0.1534 19.2247 3.5008 0.6071 4.2157 1.1340θP1。51.6610 1.4883 0.0042 2.5920 1.0643 0.4911-0.3916 0.1610βQ-1-1.6418-1.2797-9.2212-0.4173 1.5798-3.2923 11.8217 0.6418βQ0。20.1817 0.1524 0.0025 0.3591 0.1299 1.8759 6.5029 0.0183βQ0。020.0350 0.0214 1.86E-5 0.3473 0.0457 3.1329 14.2229 0.0150βQ-1-1.4731-1.0671-8.1154-0.4823 1.1478-2.7690 10.1519 0.4731βQ0。040.0373 0.0219-0.0662 0.2711 0.0606 2.3781 10.2813 0.0027βQ0。0006-0.0003-0.0840 0.0266 0.0176 1.5436 16.5725 0.0006βQ-0.8-1.5327-1.2070-7.8466-0.63081.2389-2.5704 8.1375 0.7327βP-1-1.5069-0.9650-7.0168-0.16701.4929-1.5812 1.8702 0.5069βP0。020.0288 0.0037 3.67E-6 0.0170 0.0778 5.4759 35.4115 0.0088βP0。010.0099 0.0032 4.44E-7 0.0006 0.0206 5.0431 32.4652 0.0001βP-0.7-1.1194-0.6085-7.5792-0.1400 1.2938-2.2389 6.0933 0.4194βP0。01-1.1194-0.6085-7.5792-0.1400 1.2938-2.2389 6.0933 1.1294βP-0.0015 0.0000-0.0551 0.0017 0.0104-1.1382 8.4369 0.0015βP-0.7-0.9059-0.4692-6.5051-0.1844 1.1881-2.7918 7.8669 0.2059Bx0。10.0623 0.0123 2.43E-6 0.0493 0.1652 5.6178 35.3695 0.0377Bx0。10.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.3.9 9.9 0 0 0.0 0 0 0.7855 1.8939-0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0053 0.0176 0.0047 0.7672-0.5302 0.0046表1:A（3）基于准贝叶斯方法。用M=10、T=500和θQ6=θP.cθ=1模拟的数据控制优化程序起始值生成过程中的噪声。统计数据来自L=200次模拟运行。

均值、中值、最小值、最大值、标准差、偏斜和库尔特代表点估计的样本均值、中值、最小值、最大值、标准差、偏斜和峰度bθl, l = 1.L.|θ-bθ|代表与真实参数的平均偏差的绝对值。真实参数值θ在第二列中报告。4.2推论√Tbθ- θ是平均向量为0且协方差矩阵为V的正态分布（有关更多详细信息和正则性条件，请参见Hansen，1982；P¨otscher and Pr ucha，1997；Newey and McFadden，1994；R uud，2000）。由于我们的测试统计依赖于症状结果，我们必须调查测试的有限样本属性。由于考虑了很多参数，并且可以构造各种限制，我们现在将重点放在限制θP=θQ上，这在金融文献中经常被讨论。为了检验参数限制，我们假设零假设由R限制组成。假设这些限制由两次连续微分函数r（θ）：Rp描述→ Rrpand偏导数的rp×p矩阵esr=Dθr（bθ）=r（bθ）θ···r（bθ）θp······rrp（bθ）θ···rrp（bθ）θp, （24）的秩为rp。在零假设下，我们有r（θ）=0Rp，因此Wald统计量变为sw=tr（bθ）′R^VTR′-1r（bθ），（25），其中^vt是√T（bθ- θ). 在零假设下，Wald统计量W遵循自由度的χ分布。如果W>χrp，1，则无效假设被拒绝-αS，其中α是显著水平，χrp，1-α是1-自由度χ-分布的α超素。特别是，如果目标是测试无效假设θP=θQagainst the alternativeθP6=θQ，那么rp=1，r（θ）=（1，-1, 0, . . . , 0）θ=θQ- θPand R=（1，-1, 0, . . .

, 0).附录F表明，以标准方式实施的Wald测试（以及距离差异测试）的性能较差。特别是在cθ=1的情况下，在功率非常低的情况下，瓦尔德试验需要大量的尺寸过小。通过距离差异测试，我们观察到最小或过大，即使它的能力已经优于Wald测试，它仍然很低（在5%显著水平上约55%的拒绝率）。要实施“标准”沃尔多距离差异测试，p×p协方差矩阵V是通过“标准GMM”来估计的。参数向量θ的分量在表1的第一列中给出。我们在这里使用了与表1和表2中相同的模拟设计。协方差矩阵估计（参见Ruud，2000，第21和22章，f或Wald和距离差异测试的“标准”实现）。也就是说，当应用以下估计时^VT=^H′T^∧-1T^HT-1，式中^HT=T- 1TXt=2Dθh（t）bθ；y1:T∈ Rq×pand^∧T=T- 1text=2h（t）bθ；y1:Th（t）bθ；y1:T′∈ Rq×q.（26）注意，在（26）维数为p×p的矩阵中≥ 23）必须在矩阵Dθh（t）中求逆和偏导数bθ；y1:T必须用数字推导。因此，用（26）的平均值来估计协方差矩阵Vb在g中是非常必要的。此外，^hto和∧Talso依赖于y1:T，因此受有限样本的变化影响。为了解决这个问题，我们使用贝叶斯采样器的输出进行推理。基于Chernozhukov和Hong（2003），渐近正态性s till保持不变，并且从遍历马尔科夫链θ（m）中抽取，可以用来估计协方差矩阵V。特别是，估计^θP的渐近方差-^θQ=（1，-1, 0, . . . , 0）bθ，我们使用马尔可夫链蒙特卡罗输出和批均值估计（见Flegal and Jones，2010，等式（6））。

对于沃尔德检验，真假设和假假设的拒绝率见表3。我们观察到，在真实零假设θQ=θPare的r射血率下，其与经验数据中的理论值αS.5参数估计非常接近。本节将前几节中开发的估计器应用于经验数据。我们从美联储下载了H-15利率数据。特别是，我们使用了“国债恒定成熟度”收益率的每周数据（每周五测量一次）。考虑的时间段为2001年8月3日至2013年8月30日。在这些期限内，几乎所有的到期日从一个月到三十年不等。由于30年到期时间序列显示出许多缺失值，因此该到期日已被排除在外。因此http://federalreserve.gov/releases/h15/data.htmweM=10个到期日，使得τ={1/12,1/4,1/2,1,2,3,5,7,10,20}和T=631个观测单位收益率。尽管H-15数据集只能被视为无风险期限结构的代表，但我们遵循相关文献（例如，参见Chib和Ergashev，2009）并使用该数据集。与第4节的分析不同，第4节考虑了从数据生成过程中提取的数据，本节调查了一组利率数据。运行GMM估算程序的目的是-使用相同数据的时间，是为了检查我们的估计例程在经验数据中的稳定性。通过这样做，我们观察到在所有模拟运行中，l = 1.L=5，区间bθliι^VBMhbθl我ιι0.5, ι = 1, . . . , p、 超过一圈。如果没有准贝叶斯算法，就无法得到这种稳定性结果。此外，在所有模拟运行中，测试θQ=θpag的p值均小于0.05。

因此，我们拒绝了无效假设θQ=θp显著水平αS=0.05。为了获得参数估计，绘制贝叶斯采样器θ（m），m=5001，使用20000，我们从中获得s样本均值和样本标准偏差向量h^VBMbθi0。5.h^VBMbθi0。5便士′, 其中再次应用了批量平均估值器Flegal和Jones（2010）[等式6]。与表1和表2不同，表1和表2中的描述性统计基于不同的点估计bθl现在，我们获得了\\中值θ、样本最小值、dminθ、样本最大值、dmaxθ、样本标准偏差、cstdθ、样本偏度、，[skewθand sample kurtosis，dkur tθ取自一条特定链θ（m），m=5001，…，20000。这些描述性统计数据如表4所示。以下是数学金融文献（见Cheridito et al.，2007；Cochrane，2005），这通常是一种调查市场对WP（t）产生的风险的补偿（风险溢价）需求的方法，即考虑风险过程的市场价格（φ（X（t））t≥0如（4）所述。这一过程取决于模型参数θ。如果bP=bq，βP=βQ，那么φ（X（t））=0d。就本文中使用的参数化而言，φ（X（t））=0difθP=θQandβP=βQ，而如果θP6=θQorβP6=βQ，则φ（X（t））6=0d（几乎可以肯定）。在下面我们将测试这种情况。通过考虑多起点随机搜索的估计值^θQ=12.0667和^θP=0.0682及其估计标准偏差，使用表1第二行中给出的参数向量。^VBM^θQ0.5=2.0573和^VBM^θP分别为0.5=0.0728，我们观察到，与eir估计的标准偏差相比，参数估计的差异相对较大。我们得到了瓦尔德统计量W=4.32546，p值为0.03056。

基于此，对于该经验数据集，无效假设θQ=θPis在显著水平αS=0.05时被拒绝。接下来，我们针对备选方案βP6=βQ执行测试βP=βqa，其中β包含七个参数。在更多细节中，我们检验了无效假设βQ，βQ，βQ，βQ，βQ，βQ，βQ，βQ=βP，βP，βP，βP，βP，βP，βP，βP反对双方的选择βQ，βQ，βQ，βQ，βQ，βQ，βQ，βQ6=βP，βP，βP，βP，βP，βP，βP，βP. 通过估算βQ，βQ，βQ，βQ，βQ，βQ，βQ，βQ′-βP，βP，βP，βP，βP，βP，βP，βP′根据蒙特卡罗输出的协方差矩阵，我们得到Wald统计量W=38.7047，对应的p值为2.223 E-6。也就是零假设βQ，βQ，βQ，βQ，βQ，βQ，βQ，βQ=βP，βP，βP，βP，βP，βP，βP，βP在重要级别被拒绝≥ 0.01. 综上所述，由于无效假设θP=θqa和βP=βqa被拒绝，风险过程的市场价格明显不同于零。6结论在这篇文章中，我们开发了一种新的方法，允许基于有效期结构模型的精确收益矩进行参数估计。通过应用Cuchiero等人（2012）在p-多项式过程导出了条件矩。通过假设一个平稳过程，我们得到了收益率的精确矩，以及y场和平方收益率的一阶自协方差。利用这些矩，可以用广义矩法估计模型参数。由于模型参数中的参数数量相对较大，且矩是非线性的，因此广义矩法的实现成为一个非常重要的问题。我们观察到标准的最小化程序表现不佳。为了解决这个问题，我们使用随机搜索方法与准贝叶斯方法相结合来最小化Chern ozhukov和Hong（2003）提出的GMM距离函数。

通过这些技术，参数估计变得更加稳定。与基于GMM距离函数标准最小化的参数估计b相比，大多数参数的标准偏差以及点估计的离散度都有所降低。对于某些参数来说，这种下降是巨大的。本文的另一个主要贡献是对测试问题进行了严格的调查，无论是在经验测量中还是在等效可比测量中，控制潜在过程平均值的参数是否不同。在基于未知参数协方差矩阵的标准估计实现Wald测试时，我们发现尺寸过小。通过应用Chernozhukov和Hong（2003）开发的方法，可以从贝叶斯采样器提供的绘图中获得参数向量相应分量的标准误差。我们观察到，在这种情况下，真零假设的拒绝率接近理论上正确的水平。在最后一步中，我们的估算方法将应用于实证期限结构数据。通过应用本文开发的检验程序，提出了在经验和等价鞅测度中控制潜在过程均值的等参数零假设。

我们的估计支持一个显著的市场风险价格。θ平均最小最大标准偏差库尔特|-bθbθθQ1。5 1.7127 1.2500 0.0148 5.4034 1.5225 2.4322 6.6231 0.2127θP1。51.4298 1.4745 0.0218 2.1810 0.5370-0.27530.6087 0.0702βQ-1-0.9482-0.7216-9.3936-0.26571.1017-5.9892 42.4434 0.0518βQ0。20.2760 0.17450.00820.5801 0.3184 2.7465 8.6887 0.0760βQ0。020.0365 0.0188 0.0001 0.0271 0.0501 3.5544 16.0667 0.0165βQ-1-1.4434-1.1180-8.5167-0.6810 1.1585-2.6154 10.2604 0.4434βQ0。040.0391 0.0280-0.0514 0.0828 0.0483 1.8007 6.8699 0.0009βQ-0.0013-0.0001-0.0562 0.0295 0.0108-0.9656 8.6647 0.0013βQ-0.8-1.3134-1.0069-6.6218-0.5230 1.0095-2.1866 6 6 6.7837 0.5134βP-1.8616-1.4688-6.8225-0.7239βQ-1.830.8616。020.2610.12330.0017 0.8445 0.4000 4.3370 26.3265 0.2410βP0。010.0314 0.0127 0.0001 0.0602 0.0489 3.4009 15.1149 0.0214βP-0.7-1.1592-0.8226-6.6295-0.1769 1.0613-1.5312 4.0173 0.4592βP0。010.0383 0.0207-0.1791 0.0872 0.0606 1.8303 6.8339 0.0283βP-0.0010 0.0002-0.2496 0.0425 0.0231-4.7594 70.9923 0.0010βP-0.7-1.3493-1.0871-6.3858-0.1818 1.2570-1.5028 3.0873 0.6493Bx0。10.0769 0.0326 0.0007 0.0456 0.1328 3.8884 18.7903 0.0231Bx0。0.9321 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 9 9 9 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 25 25 25 25 25 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0009 0.0215 0.0049 0.6131-0.2135 0.0039表2:A（3）基于准贝叶斯方法。用M=10、T=500和θQ=θP.cθ=1模拟的数据在生成优化例程的起始值时控制噪声。统计数据来自L=200次模拟运行。