仿射项结构模型的GMM估计

，d，i6=j，（14）和∑=diag（∑，∑，∑d），使得∑i=[∑]ii>0。等式（14）是（3）的特例。d的元素-维度向量裸Bi。Bxis ad×d矩阵，其中d×1向量bxi是该矩阵的第i列；i、 例如，Bx=（Bx，…，Bxd）与bxi=（Bx1i，…，Bxdi）\'，i=1，d、 由于∑和S（X（t））是对角矩阵，我们得到了a（X（t））=∑S（X（t））=∑对角矩阵B+（Bx）′X（t）. d×d对角矩阵a的对角元素由aii=σiBi，i=1，d和d×d对角矩阵的对角元素αi，i=1，d、 是∑Bxi1，∑Bxi2，∑dBxid。对于βQ和BxDai和Singleton（2000），需要βQ=βQIIm×nβQJI≥ 0βQJJ和Bx=ImBxIJ≥ 0n×mn×n, （15） 例如，方程式（18）中的A（3）模型有19个p参数。Dai和Singleton（2000）表明，可以通过不同的参数获得相同的项结构。也就是说，模型未被识别。考虑到Dai和Singleton（2000）的识别条件，仅允许14个参数为自由参数。关于对角扩散矩阵，Cheridito等人（2008）[定理2.1]提供了一个条件，即存在一个从一般a函数模型（1）到一个带有对角a（x）的a函数模型的转换。对于d≤ 3.情况总是这样。其中m+n=d。矩阵βQIIis的维数为m×m，βqji的维数为n×m，βQJJis的维数为n×n，BxIJis的维数为m×n。当我们使用Dai和S ingleton（2000）的结果时，我们需要将我们的符号与Dai和Singleton（2000）的符号联系起来，其中过程的漂移项（X（t））t≥0已在表单中考虑-βQ（θQ）- X（t））dt，因此bQ=-βQθQ.在下面，θQ=-βQ-1Bq是维度d的向量，被划分为θqindθQJ，其中第一项为维度m，第二项为维度n；i、 e.，θQI∈ Rm，θQJ∈ Rn，和d，因此θQ=θQI′,θQJ′′∈ 路。

同样的部分也适用于X（t）。这是我的雅思成绩。定义1（Dai和Singleton（2000）——Am（d）模型的规范表示）。考虑（14）与对角扩散矩阵和短期利率模型（2）。可接受性和识别性要求如下：（i）-（a）对于m>0，是（15）给出的βQof结构，其中i加上βQij≥ 0换1≤ J≤ m和i6=j。此外，θQI≥ 0，θQJ=0，βQIIθQI<0。（i） -（b）对于m=0，是βQa下（或上）三角矩阵（Dai和Singleton，2000年，第1948页）。（ii）∑=Id.（iii）对于i，γ和γ是不受限制的∈ 一、 而γxj≥ 0代表j∈ J.（iv）B=（01×m，e1×n）′，结构的Bxis由（15）提供。如果有效程序的受理条件（i）-（iv）ss（X（t））t≥如果满足，则带有对角扩散项的模型（14）将被称为Am（d）模型。定义1（i）-（a）意味着bQi=-Pmj=1βQijθQj>0，对于i=1，m、 因此，BQ的第一个m元素严格为正，最后n个元素为负。名字是BQ=bQIbQJ=-βQIIθQI>0-βQJIθQI≤ 0. （16） 这意味着βIIa的对角线元素为负值。在定义1中，我们假设∑是一个包含条目∑i>0且γx=ed的对角矩阵，从而略微偏离了标准表示。请注意，Dai和Singleton（2000）的标准表示是满足可容许性和识别条件的许多表示之一。Dai和Singleton（2000）的Ap pendix提出了一个线性变换∧AX（t）=LAX（t）+定律，模型仍然是可容许的和可识别的。由于θQJis限制为零，并非βqq和bq的所有元素都可以不受限制。在估计过程中，我们使用θQas作为参数来解释这一事实。那么bQ=-现在，我们将在Q.1节中开发的工具应用于Q.d。为了观察其工作原理，我们首先推导了Vasicek（1977）和Cox等人（1985）模型的矩阵A。

然后我们计算了任意0的anAm（d）模型的A≤ M≤ d和d≤ 3.对于d=3的矩阵A，如附录B所示，当P=4时，其尺寸变大（35×35）。让我们从Vasicek（1977）模型开始，其中e d=1，m=0，这样（X（t））遵循anOrnstein-Uhlbeck过程dX（t）=（bP+βPX（t））dt+ΔdWP（t）。对于这个模型，马尔科夫转移概率G的生成器由GF（x）给出=bP+βPxdf（x）dx+∑df（x）dx。（17） 考虑基数1，x，x，xp。用于推导矩的线性映射A≤ p（p下）由（p+1）×（p+1）矩阵给出=0 . . .血压βP0。∑2bP2βP0。03∑3bP3βP0。。。。0 . . . 0k（k）-1） ∑kbPkβP。。。。。。。。。0 . . . . . . . . . 0p（p-1） ∑pbPpβP.对于Cox等人（1985）的模型，其中d=1，m=1，（X（t））遵循平方根过程dX（t）=（bP+βPX（t））dt+∑PX（t）dWP（t）。马尔可夫转移概率G的生成元由gf（x）=（bP+βPx）df（x）dx+∑xdf（x）dx给出，这样线性映射A由（p+1）×（p+1）矩阵给出=0 . . .血压βP0。β+2bP∑。03bp+3∑3βP0。。。。0 . . . . . . 0kbp+k（k-1） ∑kβP。。。。。。0 . . . . . . . . . . . . 0 pbP+p（p-1） ∑pβp,其中1≤ K≤ p、 对于A（3）模型，其中d=3，m=1，（X（t））遵循一个包含一个平方根分量的随机过程。让我们从QdX（t）下的模型开始=bQ=-βQθQ>0bQ=-βQθQ≤ 0bQ=-βQθQ≤ 0+βQ<0βQ≥ 0βQβQβQ≥ 0βQβQX（t）dt+∑pX（t）∑p1+BxX（t）∑p1+BxX（t）dWQ（t）。（18） Dai和Singleton（2000）限制讨论了上述产量：θQ>0和βQ<0，Bx，Bx≥ 和∑，和∑，和∑>0。注意，（18）有13个参数，而在Q下我们可以识别14个参数。这些参数是（18）中的十三个参数和（2）中的γ。同样的结构假定为底部。基于Cher idito等人。

（2007）鉴于bPI=bP，风险规格的扩展有效市场价格在数学上得到了很好的定义≥ 0，bPJ=（bP，bP）\'≤ 0和八个附加参数βP≤ 0，βP≥ 0，βP≥ 0，βP，βP，βP，βP，βP，包含在βP和θP中≥ 0包含在θP中，这里θP=θP=0。然后更详细地说：βQ（7个参数），θQ（1个参数，也就是θQ）≥ 而θQ=θQ=0，因此bQ=-βQθQ=-[βQ，βQ，βQ]′θQ），∑（3个参数，只有主对角线中的元素为正，其他参数为零），Bx≥ 0和Bx≥ 0.bP=-βPθP.由于θP2:3=θQ2:3=0对于考虑ed的A（3）模型，我们为θQandθPin写θQandθPinstead如下。通过收集这些参数（不受等式限制），我们得到了模型参数θA1（3）的向量∈ R.通过（18）和风险假设的扩展有效市场价格，发电机变为comesgf（x）=Xi=1bPi+β-Pixf（x）xi+xi=1∑iBi+Bx1ixf（x）xi（19） f（X）的条件期望E（f（X（t））|X（s）=X）∈ P≤p（S）见第3.1节。特别地，当eA是维数为N×N的矩阵时，条件矩E（X（t）k | X（s）=X，t>s可以通过（13）导出。我们将考虑前四个时刻，即p=4。动量数N由多项式系数得出。关于基本元素ej，j=1，N、 对于多项式，我们选择基1 | x，x，x | x，x | x，x | x，十、. 在这个表达式中，我们用|分隔了不同权力的条款。矩阵A是通过比较系数得出的，例如Gej=PNl=1Ajlel，对于j=1，N、 其中Ajl=[A]jl。对于3维的（X（t）），我们得到k=0的一个项，k=1的三个项，k=2的六个项，k=3的十个项，k=4的五个项。

因此N=35。限制相应的模型参数为我们提供了A（3）模型的矩阵A。在本文的剩余部分，我们将坚持以下假设。假设1。背景驱动过程（X（t））是静止的。Glasserman和Kim（2010）提供了固定过程（X（t））的充分条件。对于Am（d）型号，当d≤ 3.平稳过程的有效条件也在it-Sahalia和Kimmel（2010）以及附录E中进行了报道。对于平稳过程（X（t）），我们得到E（X（t））=θP。此外，为了获得高阶矩，我们使用以下缩写：X=（1，（X）\'，（X），（xp）′，它的维数为N，而∧x2:N=（（x）′，（x）′，（xp）′是a（N）- 1)-维向量。~X（t）和~X（t）2：以相同的方式定义。自从E~X（t）= EE（X（t）|X（s））, 为了0≤ s<t，在塔的旁边，规则我们到达~X（t）=E~X（t）2:N= E[exp（（t- s） A）~X（t）= [exp（（t- s）A]E~X（t）=101×N-1[exp（（t- s） [A]2:N，1[exp（（t- s） [A]2:N，2:NE~X（t）2:N, （20） 其中N×N矩阵exp（（t- s） A）可分为四个区块：（i）西北[exp（t- s） A）]=1，（ii）东北部[exp（（t）- s） A）]1,2:N=01×N-1，（iii）西南部- s） [A]2:N、1和（iv）东南[exp（（t- s） 因此，从1阶到p阶的（无条件）动量跟在e后面~X（t）2:N=在里面-1.- [exp（（t- s） [A]2:N，2:N-1[exp（（t- s） [A]2:N，1。（21）3.3观察到的产量的时刻前面的第3.2节为我们提供了潜在过程的时刻（X（t））。通过（6）的方法，模型的产率为arey（t，τ）=-τΦ（τ，0）+ψ（τ，0）′X（t）.现在我们必须考虑一个事实，即现实世界的数据不能在连续的时间尺度上观测，而只能在离散的网格上观测, 2., . . . , T, . . . , T, 式中，T是时间序列维度，且 是台阶的宽度。我们开始 = 1并假设Xt代表X（t).

此外，可用的到期日τ由τ=（τ，…，τM）′给出，其中M是观察到的到期日数。对于无成熟度τi的模型产量∈ 在t=t时观察到的{τ，…，τM} 我们使用符号yti，i=1，因为我同意-s） A）和A的结构相同。这源于矩阵指数exp（（t）的幂级数表示- s） A）=P∞v=0v（（t- s） A）v.此外，存在在里面-1.- [exp（（t- s） [A]2:N，2:N-1根据矩阵指数的性质。无法通过d<M因子精确匹配，我们添加噪声项εtian，并在观测到的产量yti=yti+εti=-τiΦ（τi，0）+ψ（τi，0）′Xt+ εti，i=1，M、 t=1，T.对于M个到期日τ=（τ，…，τM），我们定义了Φ=-Φ(τ, 0)/τ...-Φ（τM，0）/τM∈ RM，~ψ=-Ψ(τ, 0)′/τ···-ψ（τM，0）′/τM∈ RM×dandεt=εt1。。。εtM∈ RM，这样M-产量的量纲向量yt=（yt1，…，ytM）′由yt=＠Φ+＠ψXt+εt给出∈ RM。（22）根据（22）我们观察到，Yti的时刻必须从Xt的时刻开始。对于噪声计εt，我们采用以下假设。假设2。设εti，t=1，T，i=1，M，独立于零均值，方差0<σi<+∞ E（εti）<+∞. 此外| E（εpti）|+∞ 对于i=1，M和E（ε2ι）-1ti）=0表示ι=1，p/2,哪里p/2 是小于或等于p/2的最大整数。请注意，根据假设2，所有到期日都假设在有噪声的情况下观察到。此外，对于i6=j，i，j=1，…，E（εtiεtj）=0，M和E（εti）<+∞. 通过方程（22）和假设2，我们导出了经验产率E（yktiyltj）=E（（[#Φ+#ψXt+εt]i）k（[#Φ+#ψXt+εt]j）l）的矩，其中w为0≤ k+l≤ pand[·]提取向量的第i个元素。因此，我们得出了屈服点的前四个时刻，即e（ykti），k=1，4.

此外，金融应用通常采用收益率的自协方差E（ytiyt）-1i）和平方收益率的自协方差E（ytiyt）-1i），考虑到（“波动性聚集指数g”-参见Piazzesi（2010）[p.649]中的讨论。因此，术语E（ytiyt-1i）和E伊蒂伊特-1i都是经过计算的。由于这一部分很简单，但需要繁琐的代数操作才能获得所有这些矩，我们在附录C中给出了结果。我们将获得观测到的产量矩所需的噪声参数放入参数向量θσ中。θσ的增大取决于σi如何具体化以及估算中使用的力矩。如果每个成熟度的σiisdi不同，则噪声的二阶矩有M个参数。此外，如果计算出产量的第四个矩，那么噪声的第四个矩也会进入计算，也就是说，我们得到噪声矩的另一个M参数。在这种情况下，θσ的尺寸为2m。由于模型参数θA1（3）的尺寸已经超过20，我们继续对噪声进行更简洁的描述，其中σi=σ，e（εti）=σ，对于所有i=1，M因此，如果在计算观察到的产量时需要四阶矩，则θσ的尺寸为2，否则为1。这就产生了维数p的模型参数向量θ=（θ′A1（3），θ′σ），它包含在参数空间Θ中∈ Rp，其中由于Dai和Singleton（2000）以及平稳性限制，Θ是Rp的适当子集。表1的第一列介绍了θ的组成部分。力矩的计算还需要解Riccati方程（29）。对于Vasicekand，可使用Cox-Ingersol-Ross模型闭式解，如菲利波维奇（2009）[第10.3.2章]所述。

然而，对于Am（d）模型，Φ和ψh通常必须通过数值工具来推导。本文采用Grasselli和Tebaldi（2008）提出的一种计算有效的方法，得到Φ（t，u）和ψ（t，u）的（几乎）闭式解。这种方法要求矩阵是对角的。鉴于Dai和Singleton（2000）的设置，这意味着m没有进一步的限制≤ 1，代表m的文件≥ 2βqii的反对角线部分必须设置为零。附录D显示，对于具有对角线βII的Am（D）模型，可以用数值上的近似方法导出Φ和ψ。4参数估计和有限样本性质4。1通过观察成熟度τi，i=1，…，的产量进行参数估计，M、 在t=1，T，我们得到M-变量向量t=（yt1，…，ytM）\'，t=1，T，M的观测值-变量时间序列y1:T=（y′，，y′T′，以及q-维向量＠m（t）（y1:t）=yt1，yptM，yt1yt-1,1, . . . , ytMyt-1米′和mT（y1:T）=TPTt=1yt1，TPTt=1yptM，T-1PTt=2yt1yt-1,1, . . . ,T-1PTt=2ytMyt-1米′.另见杜菲和简（1996年）；戴和独生子女（2000）；陈和若斯林（2012）。让√u（θ）=E（yt1），E（yptM），E（yt1yt）-1,1), . . . , E（ytMyt）-1米）′表示作为未知参数向量θ函数的相应矩向量∈ Θ  Rp.附录C中提供了向量u（θ）的成分（见等式（34）、（38）、（39）、（40）、（41）、（44）和（45））。q的广义矩量法≥ p待选择的时刻。通过一个q×~qselector矩阵M，其中[M]ij=1，如果使用了相应的力矩，否则为零，我们得到μ（θ）=Mμ（θ）∈ Rq，m（t）（y1:t）=mm（t）（y1:t）∈ RQ和mT（y1:T）=M~mT（y1:T）∈ Rq。下一个定义h（t）（θ；y1:t）=m（t）（y1:t）- u（θ）和hT（θ；y1:T）=mT（y1:T）- u（θ）以及GMMdistance函数qt（θ；y1:T）=hT（θ；y1:T）′CThT（θ；y1:T）。

（23）GMM估计Bθ（ofθ）最小化（23）中的QT（·），其中CTI是一个q×q对称正半有限加权矩阵（参见，例如，Ruud，2000，第21-22章）。特别是，连续更新估计器（CUE）用于获得有效的GMM估计。也就是说，我们运行一个迭代过程，迭代步骤m=1，M、 其中，我们在（i）基于给定Ct的QT（·）将参数估计值增加到θ（M）和（ii）更新给定的Ctθ（M）之间进行转换-1） 从上一个迭代步骤m- 1.应用的加权矩阵为CT=^∧T（m）-1))-1，带∧Tθ（m）-1)=T-1PTt=2h（t）（θ（m）-1); y1:T）h（T）（θ（m）-1); y1:T）′。关于GM估计的规律性条件和其他问题，参见Hansen（1982）；Altonji和Segal（1996年）；P–otscher和Prucha（1997）；Windmeijer（2005）；古根伯格和史密斯（2005）；Newey和Windmeijer（2009）。为了满足序条件，不等式“q”≥ p“必须填满。对于第3节中考虑的A（3）模型，如果使用小于四阶矩，则参数向量θ的维数为23（p=23）。包括收益率的四阶矩，结果为p=24。可获得的到期日约为10个。因此，通过使用力矩E（yti），E（yti）和E（yty-1，i）对于i=1，M，我们已经配备了3M力矩条件。因此，对于M≥ 8订单条件q≥ p我已经见过面了。通过使用前四个矩（p=4）和自协方差（M=10），矩的数量远大于参数的数量。为了获得参数估计，必须求解高维非线性极小化问题，并且必须从可用的矩集合中选择q矩条件。关于后一个问题，事实证明，如果增加高阶动量，参数估计的不稳定性会增大。

由于稳定性方面的原因，使用Wald和距离差异测试来测试冗余力矩条件（测试过度识别限制；参见Ruud，2000，第22.2章），结果非常模糊。因此，这些力矩的选择是通过模拟实验进行的。根据模拟结果，我们采用q=27的力矩条件，即E（yti），E（ytiyt-1，i），i=1，对于（i，j）=（1,1）、（2,2）、（3,2）、（5,5）、（7,7）、（9,10）和（10,10），M=10和[E（yty′t）]ij。关于GMM距离函数的最小化，我们观察到，旨在寻找局部极小值的标准最小化程序不会产生可靠的参数估计。更详细地说，为了研究我们的估算路线的性质，我们在EM=10，T=500，模拟运行次数为1000次时，用模拟产量进行了蒙特卡罗实验。用于生成产量的参数向量θ如表1第二列所示。GM估计的初始值θ（m）生成如下：[θ（m）]j=[θj+cθ[]jζj坐标j，当支架是实轴时，当[θ（m）]j=exp（log[θj+cθζj）sgn（[θj）用于居住在实轴非正或非负部分的元素j。ζjis iid标准正常和畸变参数cθ设置为0、0.1、0.25、0.5和1。然后，通过基于Nelder-Mead算法的Matlab最小化程序fminsearch获得参数估计。在这种算法中，估计Bθ由θ（M）提供，在这种情况下，M是最后一个迭代步骤。我们观察到，当cθ≤ 0.25; i、 例如，当优化开始时，充分接近真实参数θ。