仿射项结构模型的GMM估计

（43）那么对于t>s，我们得到（ytiysi）=EΦi+ψ′iXt+εtiΦi+ψ′iXs+εsi= Φi+2Φiψ′iE（Xt）+ψ′iE（XtX′s）ψi=Φi+2Φiψ′iE（Xt）+ψ′iexp（（t-（s） · A） 2:1+d，1E（X′t）ψi+ψ′iexp（（t- （s） · A） 2:1+d，2:1+dE（XtX′t）ψi=Φi+2Φiψ′iE（~Xt，1:d）+ψ′iexp（（t- （s） · A） 2:1+d，1E（~X′t，1:d）ψi+ψ′iexp（（t）-（s） · A） 2:1+d，2:1+d（向量）-1（~Xt，1+d:d+d））ψi和（44）E（ytiysi）=EΦi+ψ′iXt+εtiΦi+ψ′iXs+εsi= EΦi+（ψ′iXt）+εti+2Φiψ′iXt+2Φiεti+2ψ′iXtεtiΦi+（ψ′iXs）+εsi+2Φiψ′iXs+2Φiεsi+2ψ′iXsεsi= Φi+2ΦiE（（ψ′iXs））+2Φiσi+4Φiψ′iE（Xt）+E（（ψ′iXs）（ψ′iXs））+2σiE（（ψ′iXs））+2ΦiE（ψ′iXt）ψ′iXs+ψ′iXt（ψ′iXs）+ 4Φiσiψ′iE（Xt）+4ΦiE（ψ′iXt）（ψ′iXs）= Φi+2（Φi+σi）E（ψ′iXt）+ 2Φiσi+E（ψ′iXt）（ψ′iXs）+2（ψ′iXt）ψ′iXs+ψ′iXt（ψ′iXs）+ 4（Φi+σi）Φiψ′iE（Xt）+4ΦiE（ψ′iXt）（ψ′iXs）. （45）为了完成这些力矩的计算，量e（ψ′Xt）, E（（ψ′Xt）（ψ′Xs）），E（ψ′Xt）ψ′Xs, Eψ′Xt（ψ′Xs）还有E（ψ′Xt）（ψ′Xs）必须导出。为了简化符号，我们在下面的表达式中省略了ψii中的索引i；ψl∈ R是ψ的元素l∈ Rd（台阶宽度时） = 1已在正文中假定。如有必要，以不同的步长推导以下力矩， 将包含在以下表达式中。指数i仍然包括在内，这将是ψil）。请注意（ψ′Xt）= ψ′E（XtX′t）ψ=ψ′E（vech）-1（Xt））ψandE（ψ′Xt）（ψ′Xs）= ψ′E（XtX′s）ψ=ψ′EE（Xt | Xs）X′sΨ (46)= Ψ′exp（（t- （s）A） 2:1+d，1E（X′t）+exp（t- （s）A） 2:1+d，2:1+dE（XtX′t）Ψ= Ψ′exp（（t- （s）A） 2:1+d，1E（X′t）+exp（t- （s）A） 2:1+d，2:1+d（向量）-1（Xt））Ψ.此外，我们（ψ′Xt）ψ′Xs= ψ′E（Xtψ′XtX′s）ψ=ψ′E（XtX′s）（ψ′Xt）ψ，（47）对于t>s。这里我们观察到以下等式：（XtX′s）（ψ′Xt）=Xt1Xs1Xt1Xs2··Xt1XsdXt2Xs1Xt2Xs2··Xt2Xsd··XtdXs1XtdXs2··XtdXsddXl=1ψlXtl。（48）等式（47）需要E（XtiXsjXtl）的导数，其中i，j，l∈ {1，…，d}。

为了简化符号，引入了以下g函数gi（·），i=2、3、4，以便于跟踪动量向量的特定元素。我们得到（i，j）=（i- 1)D-我+ j，（49）代表i，j∈ N和我≤ J≤ d、 此外，我们导出（i，j，m）=i-1Xk=1dd-k+j- i（2d）- 我- j+3）+m- j+1（50）g（i，j，m，n）=i-1Xk=1dd-k+j-iXk=1d（d-i+1-k、 d-1)+d+1-m+j- 1.（m）- j） +n- m+1，（51）表示i，j，m∈ N和我≤ J≤ M≤ d和i，j，m∈ N和我≤ J≤ M≤ N≤ d、 分别。while d是过程的维度（X（t）），d（.）功能是否已在（33）中定义。对于d=3，该产量sg（i，j）=1，如果i=1，j=12，如果i=1，j=23，如果i=1，j=34，如果i=2，j=25，如果i=2，j=36，如果i=3，j=3，（52）g（i，j，m）=1，如果i=1，j=1，m=12，如果i=1，j=1，m=23，如果i=1，j=1，m=34，如果i=1，j=2，m=25，如果i=1，j=2，m=36，如果i=1，j=3，m=37，如果i=2，j=2，m=39，如果i=2，j=3，m=310，如果i=3，j=3，m=3，（53）和g（i，j，m=3，m=3，m=3，m=3，m=3，m=3，m=3，n=如果i=1，j=1，m=1，m=1，m=1，n=1，n=23，如果i=1，j=1，m=1，m=1，n=1，n=34，如果i=1，j=1，j=1，m=1，m=1，m=1，j=1，j=1，j=1，m=1，m=1，n=1，n=1，m=1，m=1，n=1，n=1，n=1，n=1，n=1，n=1，n=1，n=1，n=1，n=34，n=34，如果i=1，如果i=1，j=1，j=1，j=1，j=1，m=1，m=1，m=1，m=1，m=1，m=1，m=1，m=1，m=1，m=1，m=1，m=1，m=1，m=1，如果i=2，j=2，m=2，n=313，如果i=2，j=2，m=3，n=314，如果i=2，j=3，m=3，n=315，如果i=3，j=3，m=3，n=3。（54）设e为一的向量，e=（1，…，1）′，和e=（1，2，…，d）′。

然后M，Mj和Mj，分别是以下的d×2，d×3和d×4矩阵：=ee2ee2:d·············, 对于d=3，它是M=1 11 21 32 22 33 3, （55）它的尺寸不是故意规定的，因为它会有所不同，并且会从上下文中清晰可见。Mj=（M，je）和dmj，l=（Mj，le）=（M，je，le），（56）其中e是维数为d×1的向量。因此，对于t>sE（XtiXsjXtl）=E（E（XtiXtl | Xs）Xsj）=exp（t- （s）A） k，1E（Xsj）+exp（t- （s）A） k，2:1+dE（xsj）+exp（t- （s）A） k，2+d:2+d+dE（xsj）=exp（t- （s）A） k，1E（Xtj）+exp（t- （s）A） k，2:1+dEXg（[~e，je]），t+ exp（（t- （s）A） k，2+d:2+d+dEXg（Mj），t, （57）式中k=1+d+g（i，l）。因此，（i，j）元素i，j=1，d、 （47）中的矩阵是E（XtX′s）ψ′Xtij=dXl=1ψlE（XtiXsjXtl），其中E（XtiXsjXtl）由（57）给出。那就让我们来吧ψ′Xt（ψ′Xs）= ψ′E（Xtψ′XsX′s）ψ=ψ′E（XtX′s）（ψ′Xs）ψ，（58）式中（XtX′s）（ψ′Xs）=Xt1Xs1Xt1Xs2··Xt1XsdXt2Xs1Xt2Xs2··Xt2Xsd··XtdXs1XtdXs2··XtdXsddXi=lψlXsl=dXi=lψlXT1XS1XSLXT1XS2XSSL···XT1XSDXSLXT2XSS1XSLXT2XS2XS2XSL···XT2XSSDXSL··XtdXs1XslXtdXs2Xsl··XtdXsdXsl··XtdXsdXsl. （59）对于表达式（59），需要知道E（XtiXsjXsl），其中i，j，l∈ {1，…，d}。因此，对于t>sE（XtiXsjXsl）=E（E（Xti | Xs）XsjXsl）（60）=exp（t- （s）A） i+1,1E（XsjXsl）+exp（t- （s）A） i+1,2:1+dE（xsjxsl）=exp（t- （s）A） i+1,1EXg（j，l），t+ exp（（t- （s）A） i+1,2:1+dEXg（[e，je，le]），t.（i，j）元素i，j=1，d、 （59）中矩阵的E（XtX′s）ψ′Xsij=dXl=1ψlE（XtiXsjXsl），其中E（XtiXsjXsl）由（61）给出。

最后（ψ′Xt）（ψ′Xs）= ψ′EXt（ψ′Xt）（ψ′Xs）X′sψ=ψ′E（XtX′s）（ψ′Xt）（ψ′Xs）ψ（61）和（XtX′s）（ψ′Xt）（ψ′Xs）=Xt1Xs1Xt1Xs2··Xt1XsdXt2Xs1Xt2Xs2··Xt2Xsd··XtdXs1XtdXs2··XtdXsddXi=1dXj=1ψiψjXtiXsj（62）=dXi=1dXj=1ψiψjXt1Xs1XtiXsjXt1Xs2XtiXsj··Xt1XsdXtiXsjXt2Xs1XtiXsjXt2Xs2XtiXsj··XT2XSSDXTIXSJ···XtdXs1XtiXsjXtdXs2XtiXsj··XtdXsdXtiXsj.对于t>s，我们有E（XtiXsjXtmXsn）=E（E（XtiXtm | Xs）XsjXsn）=exp（t- （s） · A） k，1E（XsjXsn）+exp（t- （s） · A） k，2:1+dE（xsjxsn）+exp（t- （s） · A） k，2+d:1+d+dEXSJXSN= exp（（t- （s） · A） k，1EXg（j，n），t+ exp（（t- （s） · A） k，2:1+dEXg（~e，je，ne），t+ exp（（t- （s） · A） k，2+d:1+d+dEXg（Mj，n），t, （63）式中k=1+d+g（i，m）。（i，j）元素i，j=1，d、 （61）中m矩阵的E（XtX′s）（ψ′Xt）（ψ′Xs）ij=dXk=1dXl=1ψkψlE（XtiXsjXtkXsl），期望值由（63）给出。DΦ（t，u）和ψ（t，u）的求解本节推导了（29）中描述的具有对角βII的Am（D）模型的Riccati微分方程的函数Φ（t，u）和ψ（t，u）。根据方程式（6），其基于菲利波维奇（2009）[定理10.4和推论10.2]，在t=τi，i=1时计算的ψ（t，u）和Φ（t，u，计算零息票价格π（t，τi）和相应的模型收益率所需的M和u=0。对于Vasicek（1977）和th eCox等人（1985）的模型，如Filipovi\'c（2009）[p.162-163]中给出了解决方案。现在，我们将Grasselli和Tebaldi（2008）[第3.4.1节]中获得的结果应用于具有对角m×m矩阵βII的Am（d）模型。在第一步中，我们必须求解J分量的线性常微分方程。即我们考虑tψJ（t，u）=βQJJ′ψJ（t，u）- γxJ；ψJ（0，u）=uJ，γxJ=en×1。（64）注意ψJis n的维数。（64）的一个特殊解是结构ψJ（t，u）=expTβQJJ′c+c，（65）与ψJ（0，u）=c+c=uJ。

（66）那么（65）意味着tψJ（t，u）=βQJJ′经验TβQJJ′c、 （67）堵塞（65）和（67）到（64）产量中βQJJ′经验TβQJJ′c=βQJJ′经验TβQJJ′c+c- γxJ，它给出了γxJ=βQJJ′c=βQJJ′-1γxJ。这和（66）意味着c=uJ-βQJJ′-1γxJ。插入最后一个表达式和cinto（65）得到ψJ（t，u）=expTβQJJ′uJ-经验TβQJJ′- 在里面βQJJ′-1γxJ=expTβQJJ′uJ-βQJJ′-1.经验TβQJJ′- 在里面γxJ。（68）在第二步中，将子系统ψJ（t，u）的解插入常微分方程，因为平方根方程（68）也遵循Perko（1991）[定理1，第60页]。（68）最后一个表达式中的矩阵积可以用矩阵指数的性质来交换。即（βQ′JJ）-1exp（tβQ′JJ）=exp（tβQ′JJ）（βQ′JJ）-1来自EXP（YXY）的以下内容-1） =Y exp（X）Y-1.项ψI。因此，I分量的Riccati方程为tψi（t，u）=∑iψi（t，u）+βQiiψi（t，u）- ~γxi ~γxi（t，u）=γxi-nXj=1βQm+j，i（ψj（t，u））j-nXj=1∑m+jBxi，m+j[ψj（t，u））]j，ψi（0，u）=ui，γxi=1，i=1，m、 （69）由于（69）是一个时间非齐次Riccati方程，它可以用以下方法求解：兴趣常微分方程tψi=∑iψi+βQiiψi-对于i=1，…，γxi，m、 代换后的νi=∑iψi，i=1，m、 wegettνi=νi+βQiiνi-∑iγxi。格拉塞利（Grasselli）和特巴尔迪（Tebaldi）（2008）[第3.4.1节]提供了这种结构的非均匀Riccati ODE的解决方案。νiisνi（t，u）=M（i）（t，u）ui+M（i）（t，u）M（i）（t，u）ui+M（i）（t，u）的解，其中M（i）（t，u）=M（i）（t，u）M（i）（t，u）M（i）（t，u）M（i）（t，u）= 经验tβQii-∑iRtγxi（s，u）ds-t/20. （70）在ψi=νi∑ifor i=1，m、 当u=0d×1时，我们得到ψi（t，0）=∑iM（i）（t，0）m（i）（t，0），对于i=1，m、 （71）为了推导m（i）（t，u），必须求解积分rt＠γxi（s，u）ds，其中zt＠γxi（s，u）ds=γxit-nXj=1βQm+j，iZt[ψj（s，u）]jds-nXj=1∑m+jBxi，m+jZtψJ（t，u）jds。

（72）可以通过ztψJ（s，0）ds=-Zt“βQJJ′-1.经验sβQJJ′-在里面γxJ#ds=-βQJJ′-1\"βQJJ′-1.经验TβQJJ′- 在里面-tIn#γxJ（73）使用（68）。第三项（72）和第三项（72）都可以从数值上导出。Itremains计算Φ（t，0），式中为（29）tΦ（t，u）=ψ（t，u）′aψ（t，u）+bQ′ψ（t，u），Φ（0，u）=0，=diag（σJ）ψJ（t，u）+bQ′ψ（t，u）。我们可以用Φ（t，0）=ΦI（t，0）+ΦJ（t，0）来表示Φ（t，0）。d×d矩阵的J分量等于具有∑m+1，∑dalong主对角线使得ΦJ（t，0）=ZtψJ（s，0）′∑m+10 0。。。0∑dψJ（s，0）ds+Zt（bQm+1，…，青岛银行）ψJ（s，0）ds。对于ΦI（t，0），我们得到ΦI（t，0）=bQI′ZtψI（s，0）ds。（74）ΦI（t，0）、ΦJ（t，0）和ψ（t，0）可以通过数值积分很容易地得到。为此，我们用G+1网格点生成一个网格Γ={t，t，…，tG}。我们设置t=0和tG=max（τl）=τM，包括到期日τl，l=1，M，在Γ中，我们知道对于每个到期日，对于某些kl，我们有tkl=τlf∈ {1，…，G+1}。台阶宽度由以下公式给出：k=tk- tk-1，k=1，G+1（如果Γ的某些元素与τ重合，则不会导致任何问题，因为k=0这一点的实现如下：（i）生成等距网格，（ii）包括M个到期日，（iii）按升序排序所有这些点。这样的网格点）。然后我们计算每个t=tk，k=1，G+1。通过计算SUMPKL-1k=1ψJ（tk，0）\'∑m+10∑dψJ（tk，0）k+Pkl-1k=1（bQm+1，…，青岛银行）ψJ（tk，0）k（左黎曼和），Pklk=2ψJ（tk，0）\'∑m+10∑dψJ（tk，0）k+Pklk=2（bQm+1，…，青岛银行）ψJ（tk，0）k（右黎曼和），orpklklk=2ψJ（tk-1,0′+ψJ（tk，0′）∑m+10∑dψJ（tk）-1,0′+ψJ（tk，0′）k+Pklk=2（bQm+1，…，青岛银行）ψJ（tk-1,0′+ψJ（tk，0′）k（梯形法则）我们得到了ΦJ（τl，0）的数值近似值，对于τl=τM，kl=G（+1）。

在我们的代码中实现了右和。由于ψJandψjar的积分是获得τl~γxi（t，0）dt所必需的，因此我们也使用数值积分来获得τl~γxi（t，0）dt。然后在（71）中使用这些代理来计算ψi（τl，0），i=1，m、 配备ψI（tk，0），k=1，G+1我们还可以得到ΦI（τl，0）的数值近似值。参数的限制首先，我们给出了允许的条件，这些条件保证（X（t））在状态空间S中保持不变。所有这些限制分别适用于P和Q这两个度量。容许性条件（见Filipovi\'c，2009，定理10.2）：a，α是对称的半正定的。aII=0m×m，aIJ=a′JI=0m×n，αj=0n×对于所有j=m+1，m+n.αi，kl=αi，lk=0∈ I\\{I}代表所有人1≤ i、 l≤ d、 b·∈ S，β·IJ=0m×nandβ·ii具有非负对角元素。在具有对角微分矩阵的模型中，如果满足定义1中提出的Dai和Singleton（2000）条件，则满足容许限制。为了使过程（X（t））保持状态空间S的边界，我们可以施加边界条件/Feller条件（见Ait-Sahalia和Kimmel，2010，等式15-17）：b·i≥∑如果i=1，m、 （具有非负对角元素的条件β·IJ=0m×和β·ii已包含在可接受条件中。）最后但并非最不重要的是，我们对平稳性有一些进一步的限制：平稳性条件（见Ait-Sahalia和Kimmel，2010年，表1）：β特征值的实部小于零。Glasserman和Kim（2010）中提供了一种更一般的关于性行为的处理方法。F GMM估计对于我们的模型来说，最小化GM M距离函数（23）是非常重要的。

通过使用标准极小化路线，作为基于NelderMead算法的MATLAB极小化研究，我们观察到估计过程执行得很差。因此，正如下面第1步所述，我们在最小化过程中包括了多段随机搜索方法（例如，见T¨orn和Zilinskas，1989）。与仅使用上述最小化程序相比，该程序改进了参数估计，尤其是在查看平均值和与平均值的绝对偏差百分比时。表5给出了一些结果。此外，我们还采用了经典测试，如瓦尔德测试和距离差异测试（见Ruud，2000；Newey和McFadden，1994）。我们观察到，这些测试表现不佳。关于无效假设θP=θqa与替代θP6=θqa的一些测试结果，见表6，其中可以看出，这些测试的能力和规模并不符合“通常的质量标准”。我们通过使用瓦尔德检验估计一个相对较大的（23×23）协方差矩阵和一个梯度矩阵来解释这种行为（另见等式（26））。关于距离差异测试，我们观察到g矩阵中的（q×q）权重CT=^∧-1对测试结果有很大影响，如果∧估计不够准确，可能会导致潜在的不准确。为了进一步改进估计程序的性能，我们将多段随机搜索方法与准贝叶斯方法相结合（见Chernozhukov和Hong，2003）。为了应用贝叶斯工具，必须指定apriorπ（θ）。参数空间Θ是Rp的一个子集。它是一个适当的su bset，因为根据模型假设，某些参数严格为正、非负等。此外，容许性和平稳性进一步限制了参数空间。因此，对于所有θ6，先验θπ（θ）=0∈ Θ.

此外，为了在计算机上实现随机搜索方法，并添加“先验信息”，我们将Θ限制为Θ Θ，其中对于Θ中不包含的所有θ，π（θ）=0。见http://www.mathworks。de/de/help/matlab/ref/fminsearch。这些模拟实验的详细结果可根据要求从作者处获得。子集Θ的构造如下：∑的下界设为0.1，上界设为2。上界来自观察到的产量方差，下界来自假设每个成分的方差不太小。对于不受限制的Bxij，我们假设Bxij∈ [0,2]，其中Bxij≥ 0遵循mo-dels假设，而Bxij≤ 2用于限制平方根项对其他波动率的影响。此外，σε∈ [0.005, 0.025]. 这是由观测误差与产量方差相比很小的论点所证明的。观测误差可能是由市场微观结构噪声引起的（例如，见Campbell等人，1997年；Chen等人，2007年）。下限是基于至少10个基点可以被分配到Noise的假设。为了确保矩阵βq和β与奇异矩阵的距离足够远，我们称之为eβii≤ -0.1. 为了应对产量的高度序列相关性，我们需要βii≥ -50.对于βij，i6=j，我们采用了-10和10的上限。当使用这些区间之外的值时，β的矩阵指数差异变小。由于θ和γ确定了由稳态（X（t））（见等式（2））定义的惯性惯性矩即期汇率E（rt）=γ+θPde的平均值，我们假设c[~mT（y1:t）]≤ γ+θP≤ c[~mT（y1:T）]，其中c=1.45适用于贝叶斯采样器。

由于无法观察到瞬时短期利率的样本平均值，因此我们使用最短到期日的样本平均值，根据我们的符号，它是[~mT（y1:T）]。此外，还必须满足关于平稳性、识别性和可接受性的条件。考虑到这些限制和Θ分量的统一先验，先验θπ（θ）与I（平稳性、识别性、可容许性）I（c[~mT（y1:T）]≤γ+θP≤c[~mT（y1:T）]），其中I（·）表示指示函数。综上所述，上述所有限制导致了集合Θ。对于包含的所有元素，我们使用统一的优先级，对于所有元素∈ Θ我们设置∧π（θ）=0。在指定先验值后，参数估计如下所示。第一步：运行多段随机搜索方法，生成θ（n），其中n=1，N=2000。步骤2：为每个MCMC步骤m运行MCMC:m=1，M=20000，通过Metropolis-Hastings算法按块更新θ（M）：MCMC子步骤1：更新块J。。。MCMC子步骤K：更新块JKCMC子步骤：可逆跳转步骤（概率为90%）。从图θ（m）中获得估计值bθ，其中m=Mb+1，M=20000。Ad步骤1：给定集合Θ，我们随机生成初始点θ（n），n=1，N=2000，我用[θ（N）]j=[θj+cθ[|θ|]jεj为元素j，j独立绘制∈ {1，…，p}，当支撑体是实轴时，log[|θ（n）|]j=log[]j+cθεjsuch[θ（n）]j=exp（log（[j）+cθεj）sgn（[θj）表示实轴非正或非负部分的元素j。r和dom变量εjare iidstandard normal和仅θ（n）与θπθ（n）> 使用0。此外，如第4节所述，我们的随机搜索程序也会生成样本，其中θP（n）=θQ（n） 。这是通过设置θP（n） 等于抽样的θQ（n） 概率为80%。