仿射项结构模型的GMM估计

根据QT（n）对gθ（n）进行排序；y1:T）按照升序，我们配备了排序的绘图θ[j]和距离QTθ[j]；y1:T, 在哪里θ[1]; y1:T≤ QTθ[2]; y1:T≤ ··· ≤ QTθ[N]；y1:T. GMM距离函数QT（θ；y1:T）定义在（23）中，其中，对于所有n=1，…，CT=IQ，N.广告步骤2：根据Chernozhukov和Hong（2003）的结果，可以使用Metropolis Hastings算法（例如，见Robert和Casella，2004）来最小化提示-GMM准则函数QT（·）。为了做到这一点，我们如下进行：假设θ（m）-1） 是可用的，其中m表示MCMC步骤的索引。对于m=1，我们从θ[1]开始贝叶斯采样器，即θ（0）=θ[1]。待更新的参数向量，θ（m-1） ，是维数p，其中索引集{1，…，p}被块Jk覆盖 {1，…，p}，k=1，K=5。第一个区块J包含前两个参数和第19个参数，即γ，J={3，…，9}，第三个区块J={10，…，15}，而J={16，17，18}。最后，第五个区块J包含波动性参数。有关参数排序，请参见表1的第一列。在更新步骤m中，我们考虑子步骤k=1，K、 式中，θ（m，K）代表子步骤K中MCMC步骤m中的参数向量。设θold=θ（m）-1） =θ（m）-1，K）表示K=1和θold=θ（m，K）-1） 对于k=2，K.当考虑区块时，θoldi、 我∈ Jk，更新了。更新θ（m，k）-1)i、 我∈ Jk，一个随机游走的命题，密度为q[θnew]我|θold我= 使用fN（[θold]i，σRW i）（[θnew]i），其中fN（·s）代表正常密度。在随机游走方案中，我们使用相对噪声的小标准差。特别是，σRW i=0.01[|θold |]i，概率为90%，对于剩余的10%，我们将该噪声项的标准偏差设置为σRW i=0.005[| old |]i。

通过将这些建议应用于所有元素∈ Jk，我们得到了参数向量[θnew]和建议密度qθ新|旧=气∈Jkq[θnew]我|θold我. 对于其余组件[θ新]l=θoldl, 哪里l 不包含在Jk块中。配备了QT（θnew；y1:T）和QT（θold；y1:T）、先验∧π（·）和建议密度q（·），可以使用Metropolis-Hastings算法。设L（θ）=exp-T QT（θ；y1:T）.GMM距离函数QT（y1:T）在（23）中定义，其中CT=^∧T（m）-1))-1带∧Tθ（m）-1)=T-1PTt=2h（t）（θ（m）-1); y1:T）h（T）（θ（m）-1); y1:T）′。然后，从旧到新的转变被概率接受θ旧，θ新= min（1，L（θnew）L（θold）~π（θnew）~π（θold）qθ旧|新q（新的|旧的）。（75）为了实现Metropolis-Hastings步骤，我们绘制一个[0，1]均匀随机变量，并接受θnew，即θ（m，k）=θnew，如果该均匀随机变量小于或等于θ旧，θ新, 否则θ（m，k）=θold。根据我们对先验知识的假设，可以得出π（θnew）=π（θold）与θnew一样长∈ Θ. 只要是新的/∈ 那么概率呢 等于零。由于上述随机游走特性，我们观察到θ旧|新= Qθ新|旧. 然后更新下一个块，使θold变为相等，当子步骤k不是必需的时，不应用子步骤k的in dex。到现在的θ（m，k）。对所有块执行这些更新步骤后，k=1，K、 我们得到θ（m）=θ（m，K）。为了提高贝叶斯采样器在θQ=θPor和θQ6=θP的情况下的性能，基于Green（1995）和Richardson and Green（1997）实现了一个可逆跳跃移动。假设已通过上述步骤获得θ（m）。让θold=θ（m）。在概率为90%的情况下，我们将以下g步添加到采样步骤m中：考虑状态s，其中θQ=θ，状态s，其中θQ6=θp。状态s是先验概率p（s=s）=ps=0.90的伯努利分布随机变量。

通过应用Green（1995），可以通过Metropolis-Hastings算法实现从{S=S}到{S=S}的转换，反之亦然。特别地，考虑均匀分布的随机变量η，以及正态iid随机变量u和uγ。本征密度为fN（0，σu）（u）和fN（0，σuγ）（uγ）。设{S=S}，其中θold=θQ=θP。从{S=S}到{S=S}的可能分裂转换如下θP，new=θold- 2ηu，θQ，new=θold+2（1- η） u，γ新=γ旧- 2ηu+uγ。（76）通过用θP，new，θQ，new和γnew替换θold中的相应元素，我们得到了新的参数向量θnew。设χold=（s；θold，γold）和χnew=（s；θP，new，θQ，newγnew）。通过对（76）中的项进行偏导，我们得到了雅可比矩阵。注意，θold包含旧参数，其中θP=θQ。在格林表示法（1995）中，状态为n=2的相关参数的维数（由θold和γold组成），噪声分量的维数为m=3（由于η、u和uγ）。swe得到n=3（由θP，new，θQ，new和γnew组成）和m=2（由于η和duγ）。这就产生了，n+m=n+m.J=（θP，θQ，η，γ，uγ）\'（θ，η，γ，u，uγ）\'=1.-2u0-2η 01 -2u 0 2（1）- η) 00 1 0 0 00 -2u 1-2η 10 0 0 0 1. （77）矩阵J的行列式等于2。考虑到u和uγ的建议密度q（u）=fN（0，σu）（u）和q（uγ）=fN（0，σuγ）（uγ），从χold到χnew的转换是可以接受的（见格林，1995，方程（7））旧的，新的= min1，L（θnew）L（θold）~π（θnew）~π（θold）1- pspsfN（0，σuγ）uoldγfN（0，σuγ）新γfN（0，σu）（u）|J |！=min1，L（θnew）L（θold）~π（θnew）~π（θold）1- pspsfN（0，σu）（u）！。（78）自uoldγ=γnew-γold+2ηu，密度fN（0，σγ）抵消了（78）。可以在不更新γ的情况下执行等效的Metropolis Hastingsmove。

从{S=S}到{S=S}的可能合并转换如下：θnew=θQ，new=θP，new=（1- η） θQ，新+ηθQ，旧γ新=γ旧- 2ηu+uγ，例如th atu=θP- θ新-2η=θQ+θnew2（1- η). （79）通过（79）我们得到θnew和γnew。然后，从χold过渡=sθP，old，θQ，old，γold新的=sθP，new=θQ，new=θnew，γnew被概率所接受（格林，1995，等式（7））：旧的，新的= 闵1，L（新）L（旧）ps1- psfN（0，σu）（u）. （80）如果接受拆分或合并转换，我们将θ（m）=θnew。在合并移动θP=θ后，更新子步骤k=1，直到发生拆分移动。参数估计：为了获得参数估计值bθ，我们考虑图θ（m），其中m=Mb+1，马尔可夫链收敛部分的M。我们使用Mb=5000和M=20000。然后bθ由样本均值提供。表1和表2显示了使用上述贝叶斯算法获得的参数估计。此外，如Chernozhukov和Hong（2003）所示，磨合阶段后的绘制也可用于估计参数的渐近方差。为此，我们可以简单地计算bθ（m）的样本方差，其中m=Mb+1，M.为了解释马尔科夫链观察到的序列相关性，我们遵循贝叶斯文献，通过Flegal和Jones（2010）中描述的批量平均法估计Bθ组分的方差[特别是使用等式（6）]。蒙特卡罗研究：在第4节所述的模拟研究中，对每个蒙特卡罗复制（l=1，…，l=200）执行步骤1和2。备注2。基于Cher nozhukov和Hong（2003）的准贝叶斯采样器的实现并非“免费”。

运行多部分随机搜索方法和标准最小化程序，然后根据（26）执行Wald测试大约需要20分钟，而基于运行随机搜索，然后从马尔可夫链中获得20000个dr aws的完整估计步骤大约在同一标准PC上持续24小时-bθbθθQ10 10.3593 8.9022 1.0527 69.9629 6.0544 3.4352 23.6299 0.3593θP1。51.5046 1.2986 0.0676 6.4437 1.0296 1.3471 5.1909 0.0046βQ-1-1.2823-1.0328-7.6430-0.1108 0.9617-2.0173 9.4853 0.2823βQ0。2 0.2523 0.1729 0.0099 2.8282 0.2549 3.2707 22.3280 0.0523βQ0。020.0326 0.0204 0.0009 0.5962 0.0416 5.2132 49.7281 0.0126βQ-1-1.5493-1.4686-4.2679-0.1046 0.7283-0.5842 3.2132 0.5493βQ0。040.0375 0.0354-0.0734 0.1586 0.0404 0.1497 2.8928 0.0025βQ-0.0005-0.0002-0.0343 0.0303 0.0097 0.0013 3.1280 0.0005βQ-1-1.5042-4.7165-0.0664 0.7906-0.5289 3.0549 0.5042βP-0.8-1.6204-0.8868-43.8618-0.0503-2.938-0.8239βP-0.8234。020.0330 0.0210 0.0013 0.3927 0.0378 3.0352 17.4456 0.0130βP0。010.0168 0.0102 0.0004 0.2022 0.0212 4.1593 27.5666 0.0068βP-0.7-0.9193-0.8646-3.1251 0.2598 0.5646-0.5446 2.8395 0.2193βP0。010.0094 0.0094-0.0182 0.0433 0.0099-0.5446 2.8395 0.0006βP0。0000-0.0003-0.0316 0.0305 0.0099 0.0824 2.8274 0.0000βP-0.7-0.9199-0.8383-3.0770 0.2518 0.5418-0.5914 3.0650 0.2199Bx0。050.0791 0.0496 0.0029 1.2802 0.0964 4.3127 35.8452 0.0291Bx0。10.1590 0.1590 0.0 0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0.0.0.0.0.0.0.1483-4.3.3.3.7 7.7 7.7.3.3.3.0.0.0.0.0.0.0.0.0.0 0.0.0 0.0 0.0 0 0.0.0.0.0.0.0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2908 0.0180 7.8621 102.5576 0.0051表5：A(3). 用M=10和T=500模拟数据。

基于FMInsearch的估算。cθ=1控制优化程序起始值生成过程中的噪声。统计数据来自1000次模拟运行。均值、中值、最小值、最大值、标准差、偏斜和库尔特代表点估计的样本均值、中值、最小值、最大值、标准差、偏斜和峰度bθl, l = 1.1, 000. |θ -bθ代表与真实参数的平均偏差的绝对值。真实的p参数值θ在第二列中报告。θQ=106=1.5=θPθQ=θP=1.5αSWald DD Wald DD0。01 0.018 0.545 0.015 0.0570.050.028 0.583 0.021 0.0620.100.043 0.623 0.025 0.065表6：参数测试：用M=10、T=500和cθ=1模拟数据。[θ]=θQand[θ]=θ，且θ的其余元素等于表5第二列的元素。对于α水平。cθ控制优化程序起始值生成过程中的噪声。零假设为θQ=θpagainst双边备选方案θQ6=θP。参数θ通过结合多段随机搜索方法和标准极小化程序进行估计。瓦尔德测试和距离差异测试（DD）如鲁德（2000）第22章所述实施。方程（26）用于估计√Tbθ- θ对于Wald检验，而∧T，如（26）所示，用于距离差异检验。表中的数字是使用瓦尔德检验和距离差异检验时，给出显著水平αS的完整假设的拒绝率。统计数据来自1000次模拟运行。参考文献Ait-Sahalia，Y.（1996a）。利率衍生证券的非参数定价。《计量经济学》，64:527-560。Ait-Sahalia，Y.（1996年b）。检验即期利率的连续时间模型。《金融研究回顾》，9（2）：385-426。Ait-Sahalia，Y。

(2002). 离散采样差异的最大似然估计：一种封闭形式近似方法。计量经济学，70:223–262。Ait-Sahalia，Y.and Kimmel，R.L.（2010）。使用封闭形式的Likelihoo d展开估计一个有效的多因素期限结构模型。《金融经济杂志》，98:113-144。阿尔顿吉，J.G.和塞加尔，L.M.（1996）。协方差结构GMM估计中的小样本偏差。商业与经济统计杂志，14（3）：353-66。Andersen，T.G.，Chu ng，H.-J.，和Sorensen，B.E.（1999）。波动率模型的有效矩估计方法：蒙特卡罗研究。《计量经济学期刊》，91（1）：61-87。坎贝尔，J.Y.，罗，A.W.，和麦金莱，A.C.（1997）。金融市场的计量经济学。普林斯顿大学，普林斯顿。Chen，H.和Joslin，S.（2012）。金融过程和应用的广义变换分析。《金融研究回顾》，25（7）：2225-2256。陈，L.，莱斯蒙德，D.A.，和魏，J.（2007）。公司收益率利差和债券流动性。《金融杂志》，62（1）：119-149。Cheridito，P.，Filipovi\'c，D.，and Kimmel，R.L.（2007）。有效模型风险规格的市场价格：理论和证据。《金融经济学杂志》，83（1）：123-170。Cheridito，P.，Filipovic，D.，和Kimmel，R.L.（2008）。关于单项结构模型的Dai单态正则表示的注记。SSRN eLibrary。Chernozhukov，V.和Hong，H.（2003年）。经典估计的mcmc方法。《计量经济学杂志》，115:293–346。Chib，S.和Ergashev，B.（2009年）。多因素有效产量曲线模型分析。美国统计协会杂志，104（488）：1324-1337。科克伦，J.（2005）。资产定价。普林塞顿大学出版社，修订版。Cox，J.C.，Ingersoll，J.E.，和Ross，S.A.（1985）。

利率期限结构理论。《计量经济学》，53（2）：385-407。库奇罗，C.，泰奇曼，J.，和凯勒·雷塞尔，M.（2012）。多项式过程及其在数学金融中的应用。《金融与随机》，16（4）：711-740。戴，Q。还有辛格尔顿，K。J.（2000年）。短期结构模型的规格分析。《金融杂志》，55（5）：1943-1978年。戴，Q.和辛格尔顿，K.J.（2003）。理论和现实中的术语结构动力学。《金融研究回顾》，16（3）：631–678。Diebold，F.X.，Rudebusch，G.D.，和Arouba，S.B.（2006）。宏观经济和收益率曲线：动态潜在因素法。《计量经济学杂志》，131:309–338。杜夫，G.R.（2011）。术语结构中（而非结构中）的信息。《金融研究评论》，24（9）：2895–2934。D.杜菲菲、D.菲利波维奇和W.沙切迈耶（2003年）。财务方面的有效流程和应用。《应用概率年鉴》，13:984-1053。杜菲，D.和坎，R.（1996年）。利率的收益率模型。数学金融，6（4）：379-406。杜菲，D.，潘，J.和辛格尔顿，K.J.（2000年）。转换分析和资产定价，以获得更高的收益。《计量经济学》，68（6）：1343-1376。埃戈罗夫，A.V.，李，H.，和吴，D.（2011）。两条收益率曲线的故事：模拟美元和欧元利率的联合期限结构。计量经济学杂志，162（1）：55-70。菲利波维奇，D.（2009）。学期结构模型：研究生课程。斯普林格，柏林。菲利波维奇，D.，梅尔霍夫，E.，和施耐德，P.（2013）。多变量跳跃扩散过程的转移密度近似。计量经济学杂志。来吧。Flegal，J.M.和Jones，G.L.（2010）。马尔可夫链蒙特卡罗中的批均值和谱方差估计。《统计年鉴》，38（2）：1034-1070。Fr–uhwirth Schnatter，S.和Geyer，A.（1996年）。

基于MCMC方法的经济计量多因素coxingersoll-ross利率期限结构模型的贝叶斯估计。工作文件，维也纳经济和商业大学。格拉斯曼，P.和基姆，K-K.（2010）。扩散模型中的力矩爆炸和静止分布。数学金融，20（1）：1-33。Grasselli，M.和Tebaldi，C.（2008）。可解的一个有效期限结构模型。数学金融，18（1）：135-153。格林，P.（1995）。R可逆跳马尔可夫链蒙特卡罗计算和贝叶斯模型确定。Biometrika，82（4）：711-732。古根伯格，P.和史密斯，R.J.（2005）。广义经验似然估计和检验部分、弱和强识别。计量经济学理论，空：667-709。汉密尔顿，J.D.和吴，J.C.（2012）。高斯一项结构模型的识别和估计。计量经济学杂志，168（2）：315-331。汉森，L.P.（1982）。广义矩估计方法的大样本性质。《计量经济学》，50（4）：1029-1054。琼斯，C。S.（2003年）。短期利率的非线性均值回归。《金融研究回顾》，16（3）：793-843。乔斯林，S.，辛格尔顿，K.J.，和朱，H.（2010）。高斯动态项结构模型的新视角。《金融研究评论》，24:926-970。Keller Ressel，M.和Mayerhofer，E.（2012）。函数过程的指数矩。技术报告，德意志联邦银行，法兰克福。Klenke，A.（2008）。概率论——一门综合课程。斯普林格。梅尔霍夫，E.，普法·弗埃尔，O.，和斯特尔泽，R.（2010）。关于矩阵值j ump微分的强解。预印本。Newey，W.K.和McFadden，D.（1994年）。大样本估计和假设检验。在《计量经济学手册》第四卷第二卷《经济学手册》中。，第2111-2245页。北荷兰，阿姆斯特丹。纽伊，W.K.和温德梅杰，F.（2009）。

具有许多弱动量条件的广义矩量法。《计量经济学》，77（3）：687-719。珀科，L.（1991）。微分方程和动力系统。应用数学教材，第7期。斯普林格。皮亚泽西，M.（2010）。一个有效期限结构模型。在Y.Ait-Sahalia和L.Hansen（编辑）的《金融计量经济学手册》，阿姆斯特丹北荷兰。Poirier，D.J.（1995年）。中级统计学和计量经济学：比较方法。麻省理工学院出版社，马萨诸塞州剑桥。P–otscher，B.M.和Prucha，I.R.（1997）。动态非线性经济计量模型，渐近理论。斯普林格，纽约。Richardson，S.和Green，P.J.（1997）。含未知组分数混合物的b-ayesian分析（附讨论）。英国皇家统计学会期刊：B辑（统计方法），59（4）：731-792。罗伯特·C.和卡塞拉·G.（2004）。蒙特卡罗统计方法。斯普林格，纽约，第二版。吕德，P.A.（2000年）。经典计量经济学理论导论。奥克斯福特大学出版社，纽约。R.斯坦顿（1997）。期限结构动态和利率风险市场价格的非参数模型。《金融杂志》，52（5）：1973-2002年。T–orn，A.和Z ilinskas，A.（1989年）。全局优化。计算机科学课堂讲稿350。斯普林格。瓦西塞克，O.（1977）。术语结构的平衡表征。《金融经济学杂志》，5:177-188。温德梅杰，F.（2005年）。线性有效两步GMM估计方差的有限样本校正。计量经济学杂志，126（1）：25-51。周浩（2001）。平方根利率扩散模型的EMM、GMM、QMLE和MLE的有限样本性质。计算金融杂志，5:89-122。周浩（2003）。它是一个条件矩发生器和短速率过程的估计。金融计量经济学杂志，1（2）：250-271。