仿射项结构模型的GMM估计

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英文标题：
《GMM Estimation of Affine Term Structure Models》
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作者：
Jaroslava Hlouskova and Leopold S\\\"ogner
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  This article investigates parameter estimation of affine term structure models by means of the generalized method of moments. Exact moments of the affine latent process as well as of the yields are obtained by using results derived for p-polynomial processes. Then the generalized method of moments, combined with Quasi-Bayesian methods, is used to get reliable parameter estimates and to perform inference. After a simulation study, the estimation procedure is applied to empirical interest rate data.
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中文摘要：
本文利用广义矩量法研究仿射项结构模型的参数估计问题。利用p-多项式过程的结果，得到了仿射潜过程和产率的精确矩。然后将广义矩量法与准贝叶斯方法相结合，得到可靠的参数估计并进行推理。在模拟研究之后，将估计程序应用于经验利率数据。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> GMM_Estimation_of_Affine_Term_Structure_Models.pdf (584.56 KB)

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关键词：GMM估计 结构模型 GMM Econophysics Multivariate

有效期限结构模型的GMM估计*Jaroslava Hlouskova Leopold S¨ogner+2015年8月10日摘要本文利用广义矩量法研究了一个有效期限结构模型的参数估计。利用p-多项式过程。然后，将广义矩量法与准贝叶斯方法相结合，得到可靠的参数估计并进行推理。在模拟研究之后，将估算程序应用于经验利率数据。关键词：有效期限结构模型，GMM。杰尔：C01，C11，G12。*作者感谢Eberhard Mayer-ofer、Robert Kunst和Paul Schneider，以及CFE 20122013会议、GPSD 2014会议和COMPSTAT 2014会议的与会者进行了有趣的讨论和评论。感谢奥地利中央银行根据14678号周年纪念赠款提供的财政支持。+雅罗斯拉夫·赫卢斯科娃（雅罗斯拉夫）。hlouskova@ihs.ac.at)Leopold S–ogner(soegner@ihs.ac.at)，奥地利维也纳圣乌姆佩加斯高等研究所经济和金融系，邮编：1060。Leopold S¨ogner与维也纳金融研究生院（VGSF）和加拿大汤普森河大学（Thompson Rivers University）的雅罗斯拉瓦·赫卢斯科娃（Jaroslava Hluskova）有进一步的合作。1简介这篇文章关注的是有效期限结构模型中的参数估计和推断。我们使用了Cuchiero等人（2012）在第-多项式过程，以获得驱动项结构的潜在有效过程的精确条件动量。通过假设一个平稳过程，我们不仅得到了不同到期日的收益率向量的精确矩，还得到了收益率和平方y场的一阶自协方差矩阵。

然后，我们通过Hansen（1982）介绍的广义矩量法（GMM）估计模型参数，其中拟贝叶斯方法（见Chernozhu-kov和Hong，2003）用于最小化GMM距离函数。本文的另一个贡献是对定量金融文献中讨论的风险规格的市场价格测试进行了严格的研究。通过考虑Wald检验，我们观察到，从准贝叶斯方法提供的输出中获得的检验统计量在功率和大小方面明显优于通过标准程序获得的检验统计量。一项结构模型起源于Vasicek（1977）和Cox等人（1985）的单变量模型。这些模型和类似的单变量设置的性能已经在Ait-Sahalia（1996a）和Ait-Sahalia（1996b）中进行了研究。文章表明，这些单变量参数模型不足以描述利率动态。基于这一发现，Ait-Sahalia（1996a），Ait-Sahalia（1996b）以及Stanton（1997）提出了非p参数利率模型。作为替代，Dai和Singleton（2000）和Dai和Singleton（2003）倾向于多变量设置，以避免单变量模型的缺点。这个另类建模应用程序roach的优势在于，它有一个数学框架，可以直接对债券和衍生品进行定价。让我们简要地讨论一下关于不同估计方法性能的一些文献：关于参数估计，周（2001）研究了有效的矩量法（EMM）、GMM、拟最大似然估计（QMLE）和Cox等人（1985）模型的最大似然估计（MLE）。在他的研究中，作者假设可以观察到由平方根过程驱动的瞬时利率。

最有效的结果是MLE，其次是QMLE和EMM。关于GMM，如果样本量足够大，该方法表现良好。此外，Zhou（2003）通过应用Ito公式推导单变量潜在过程的矩，构造了一个GMM估计（在可以观察到瞬时利率的相同假设下）。该估计器与ML估计器进行了比较。与Zhou（2001）不同的是，在这种设置中，与最大似然估计相比，GMM估计在有限样本中表现得相当好。最近的文献提出了不同的频率和贝叶斯方法来估计多变量单期结构模型的参数。已在1996年和2009年应用了Bayes-Geostrev和Schnecert-Wig方法。关于贝叶斯估计方法，Jones（2003）指出，在随机过程的均值回归程度较低（即高持续性）的情况下，需要强先验来估计参数。Hamilton和Wu（2012）在三因素高斯模型（Dai和Singleton的终结学中的a（3）模型，2000）中进行了最大似然估计。关于有效模型参数估计的其他文章有：Diebold等人（2006年）、Duffee（2011年）、ait-Sahalia和Kimmel（2010年）、Egorov等人（2011年）和Joslin等人（2010年）。Piazzesi（2010）提供了概述。另一种方法是通过对查普曼/科尔莫戈罗夫正演方程的近似，来近似A ffine过程的过渡密度。Ait-Sahalia在一系列论文中探讨了这种方法（例如，见Ait-Sahalia，2002年；Ait-Sahalia和Kimmel，2010年）。Filipovi\'c等人（2013年）使用了c uchiero等人获得的力矩。

（2012）构造额外的可能性扩展。与文献中已经使用的许多其他方法相比，我们使用了从多元有效期结构模型中观察到的收益率的精确矩。既不需要对矩进行近似（例如通过随机微分方程的解进行近似），也不需要对似然进行近似。由于我们必须在20多个参数中最小化GMM距离函数，所以GMM估计是非常重要的。为了解决这个问题，我们使用了切尔诺朱科夫和洪（2003）提出的准贝叶斯方法。由于参数估计的标准误差是该估计程序的副产品，我们将其应用于参数测试，在参数测试中，我们观察到Andersen等人（1999）的随机波动率模型表明，EMM估计与最大似然估计具有几乎相同的效率。真实无效假设的拒绝率接近理论显著水平。相比之下，当使用标准例程估计未知参数向量的渐近协方差矩阵时，Wald检验的性能（以功率和大小衡量）非常差。本文的组织结构如下：第2节国际odu ces有效期限结构模型。第3节ap PLIES数学金融文献中获得的结果，用于计算驱动产量的潜在过程的矩，然后导出观察到的产量矩。第4节描述了GMM估计器的小样本性质，而第5节将该估计器应用于经验数据。最后，第6节给出了结论。2有效模型本节简要介绍了有效模型，主要基于Filipovi\'c（2009）。考虑状态空间S=Rm+×Rn R，m，n≥ 0，m+n=d，以及经过筛选的概率空间(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）。

带X（t）∈ 连续时间的随机过程（X（t））t≥0由以下一个有效的随机微分方程dx（t）生成=bP+βPX（t）dt+ρ（X（t））dWP（t），（1）其中bpa是d-维向量和βPandρ（x）是d×d矩阵。d×d扩散项a（x）的定义如下：a（x）=ρ（x）ρ（x）′=a+Pdi=1xiαi，其中a和αi，i=1，d、 是d×d矩阵。WP（t）是一个d-二维标准布朗运动。有关更多详细信息，请参阅附录A。在有效环境中，瞬时利率（短期利率，r（t）∈ R） 从R（t）=γ+γ′xX（t），（2）式中，γ是标量，γxis a d-维向量。我们考虑一个无套利市场，其中P是经验测度，Q是等价鞅测度。我们假设过程（X（t））t≥0也是度量Q中的一个函数，比如dx（t）=bQ+βQX（t）dt+ρ（X（t））dWQ（t），（3），其中WQ（t）是d-Q测度下的二维标准布朗运动。通过方程（1）和（3），随机过程（X（t））t≥0在这两个度量中都是有效的。虽然在这两种度量下，扩散参数（a，αi，i=1，…，d）保持不变，但我们必须在两种度量P和Q中考虑参数bP，βP，bq和βQ。这种规格，即方程式（1）和（3），被称为风险规格的扩展有效市场价格，其数学定义见Cheridito等人（2007）。这些作者还利用Girsanov定理证明了wq（t）=WP（t）+Rtφ（X（s））ds。对于有效类φ（X（t））=（ρ（X（t）））-1.英国石油公司- bQ+βP- βQX（t）, （4） 式中φ（X（t））∈ 随机过程（φ（X（t））t≥0，称为风险过程的市场价格。备注1。观察市场价格的风险过程（φ（X（t）））t≥0与风险管理有关，Cochrane（2005）[p。

339]pr提供了过程（φ（X（t））与t之间的形式关系≥0和（瞬时）夏普节奏。我们还假设过程（X（t））满足可采性条件（在这两种措施下），从而确保过程（X（t））不会离开状态空间S（见Filipovi\'c，2009，定理10.2和附录E）。接下来，我们定义了指数集I={1，…，m}和J={m+1，…，n}，其中m+n=d。设bI=（b，…，bm）′和βII=β1:m，1:m。这种表示法，容许性限制（见附录E），短期利率模型（2）和条件E经验(-R′τR（z）dz）< +∞, 对于某些¨τ∈ R+，意味着在本文中，我们应用以下符号：对于向量和矩阵，我们使用黑体。如果未另行说明，则考虑的向量为列向量。给定一个rM×cMmatrix M，术语Mra:rb，ca:cbs代表“从行到行rb，从列到列cato列cbof矩阵M”。缩写Mra:rb，：代表“从行到行rbof矩阵M”，而“，：”代表所有列，即第1列到第cM列。此外，Mra:rb，Ca提取柱状体的元素。此外，βij代表[β]ij；0a×带ea×b，用于a×b矩阵的0和1；0a和ea用于缩写a×1和ea×1；Ia是a×a单位矩阵，而I（·）代表指示函数。给定一个向量x∈ Rn，diag（x）将x变换为n×n对角矩阵。2 E-3代表2·10-3= 0.002.存在唯一解（Φ（t，u），ψ（t，u）′）∈ Riccati微分方程系统的C×CdtΦ（t，u）=（ψJ（t，u））′aJJψJ（t，u）+bQ′ψ（t，u）- γ; Φ（0，u）=0，tψi（t，u）=（ψ（t，u））′αiψ（t，u）+β气′ψ（t，u）- γxi；因为我∈ 我tψJ（t，u）=βQJJ′ψJ（t，u）- γxJ；ψ（0，u）=u，（5）式中t∈ [0，\'τ]，u∈ iRdandβ=（β，…，βd），其中βi为a d-维向量，i=1。

，d（见菲利波维奇，2009，定理10.4）。这个普通微分方程组用于计算零息债券的时间t价格π（t，τ），以及到期时间τ。套利fr ee zero Coupon模型价格π（t，τ）和模型收益率y（t，τ）源自Filipovi\'c（2009）[推论10.2]。也就是π（t，τ）=expΦ（τ，0）+ψ（τ，0）′X（t）andy（t，τ）=-τlogπ（t，τ）= -τΦ（τ，0）+ψ（τ，0）′X（t）. （6） 成熟时间τ和u=0是（5）中描述的函数Φ（t，u）和ψ（t，u）的参数。Q下的参数必须用于推导Φ（τ，0）和ψ（τ，0）。3矩和多项式过程。本文的目标是通过GMM估计模型参数，我们必须获得产量的矩。第3.1节使用多项式过程的最新理论来获得潜在过程（X（t））t的矩的封闭形式表达式≥0.在第3.2节中，我们推导了具有对角扩散项的有效期结构模型的模型收益率的精确矩。最后，第3.3节讨论了经验数据的情况，即观察到的收益率数量大于（X（t））t的维数≥因此，观测到的产量无法与（6）中的模型产量精确匹配。Duffee和Kan（1996）以及Duffee等人（2000）已经研究了类似于（5）h的普通微分方程。3.1多项式过程基于Cuchiero等人（2012）在p-多项式马尔可夫过程，这一小节导出了潜在p过程（X（t））t的条件矩≥让我们考虑一个时间齐次马氏过程（X（t））t≥0，从X（0）开始=X∈ 其中状态空间S是Rd.Thesemigroup（Pt）t的闭子集≥由ptf（x）=E（f（x（t））|x（0）=x）=ZSf（ζ）νt（x，dζ）（7）在所有可积函数f:S上定义→ 关于马尔可夫核的Rνt（x，·）。

对于有效期限结构模型，我们需要在X（s）=X时“开始”的过程的（X（t））矩；t>s.给定过滤（Ft）t≥假设（X（t））是齐次马尔可夫过程，当过程从X（s）=X开始时，f（X（t））的条件期望由E（f（X（t））|X（s）=X）=Pt给出-sf（x）（例如，见Klenke，2008，定理17.9）。接下来，让P≤p（S）是S上多项式的有限维向量空间，直到p阶≥ 0，即≤p（S）=（pXk=0κ′kxk|x∈ S，κk∈ Rdk）式中xk=πdj=1xl（k）1jj，∏dj=1xl（k）2jj，πdj=1xl（k）dkjj！\'∈ RDK和dk=k+d- 1k. （8） 对于i=1，dk和j=1，d xk的表达式中的指数l（k）ij满足l（k）ij∈ Nas油井asPdj=1l（k）ij=k。在有效期限结构中，P≤p（S）由（1，x′，（x′，）给出，（xp）′，因此它的尺寸是N=Ppk=0dk。此外，马尔可夫过程（X（t））t≥开关X（s）=X∈ Sis称为p-多项式如果对所有f（x）∈ P≤p（S）和t≥ sPt-sf（x）=E（f（x（t））|x（s）=x）∈ P≤p（S）。（9） 例如，对于d=3和k=2，我们有以下公式：=x、 xx，xx，x，xx，x′, 因此（i）l（2）=2，l（2）=0，l（2）=0，（ii）l（2）=1，l（2）=1，l（2）=0，（iii）l（2）=1，l（2）=0，l（2）=1，（iv）l（2）=0，l（2）=2，l（2）=0，（v）l（2）=0，l（2）=1，l（2）=1，（vi）l（2）=0，l（2）=2）=2。也就是说，如果f（x）是多项式，那么E（f（x（t））|x（s）=x）也是多项式。Cuchiero等人（2012）[定理2.7]已经证明了时间齐次马尔可夫过程（X（t））是p-多项式i仅当P上存在线性映射a时≤p（S）使Pt-限制在P≤PCT可以写成asPt-标准普尔≤p=exp（（t- s） A）。配备了这个数学工具，并通过（7）的方法，对t>s和f（X）进行条件检验E（f（X（t））|X（s）=X）∈ P≤p（S）可以通过e（f（X（t））|X（S）=X）=exp（t）来推导- s） A）f（x）。

（10） 给定X（s）=X，f（X（t））的条件期望值可以通过从生成器获得N×N矩阵来推导，其中N=Ppk=1dk，f（参见Cuchiero等人，2012，定理2.9）Gf（X）=dXi=1bPi+β-Px我f（x）xi+dXi，j=1[a（x）]ijf（x）xixj=dXi=1bPi+βPi，1:dxf（x）xi+dXi，j=1[a（x）]ijf（x）xixj。（11） 为了得到（X（t））的矩，我们设置f（X（t））=X（t）k如果k=1，p和i=1，dk。如前所述，如果X（t）的尺寸大于1，那么X（t）k=πdj=1X（t）l（k）1jj，··，πdj=1Xl（k）dkjj，其中l（k）ij∈ N、 Pdj=1l（k）ij=k≤ p、 i=1，dk和j=1，d、 更详细地说，我们考虑了基（e，…，eN）=（1，x′，（x′，），（xp）\'）。通过将扩展生成元G应用于基元ei，我们可以通过ei=NXj=1Aijej得到N×N矩阵A的第i行。（12） 通过将（11）应用于相应的基本元素，计算了左侧。那么请注意这一点-标准普尔≤p=exp（（t-s） A）还解决了科尔莫戈罗夫向后方程u（t）-s、 十）t=Gu（t- s、 x），其中G是Cuchiero等人（2012）[定义2.3]中所述的扩展发电机。这源于Cuchiero等人（2012）的p屋顶[定理2.7]。从（12）简单地通过比较系数得出。最终结果是inE（X（t）k | X（s）=X）=dk×Pk-1j=0dj，Idk，0dk×N-Pkj=0djexp（（t- s） （A）1，x′，，x′，（xp）\'′,（13） 如果Idkis是dk×dk单位矩阵，t>s.3.2 Dai和Singleton（2000）——潜在过程的模型和时刻，我们使用一个有效的模型，其中扩散项可以对角化。对于这一子类，Dai和Singleton（2000）提供了充分的识别条件。在这种情况下，有效过程（X（t））t≥0遵循随机微分方程dx（t）=（bQ+βQX（t））dt+∑pS（X（t））dWQ（t），其中sii（X（t））=Bi+（Bxi）′X（t），Sij（X（t））=0，对于i，j=1。