基于多维筛选的保险模型识别

与（7）类似，我们有e[π]=Xc=1ZSc“tc- θzddc（1）-H（D）dD#dF（θ，a）=Xc=1νc“tc- E[θ| Sc]zddc（1）-H（D）dD#，其中第二个等式来自rscθdF（θ，a）=νcE[θ| Sc]，其中νc=RScdF（θ，a）是被保险人选择合同c的比例。最优合同还需要满足激励相容性和参与约束：cE（tc，ddc；θ，a）≥ CE（tc，ddc，θ，a），c6=c，（θ，a）∈ Sc，c=1，2，CE（tc，ddc；θ，a）≥ CE（0，0；θ，a），（θ，a）∈ Sc，c=1，2。（IC）约束简化为两个子集Sand sts，其划分Θ×A使得Sand中的个体分别选择（t，dd）和（t，dd）。与Sis之间的边界由（θ，a）的轨迹决定——被保险人在两份合同之间是不同的，即CE（t，dd；θ，a）=CE（t，dd；θ，a）。使用（6），前沿是由θ（A）=A（t）定义的严格递减曲线- t） HRDDEADD（D）+eadd（1）- H（dd））-RDDH（D）- eadd（1）- H（dd））i=t- tRddddeaD（1- H（D）dD，（13），其中第二等式使用部分积分。关于（IR）约束，唯一有约束力的是（θ，a）-被保险人，即。

CE（t，dd；θ，a）=s。在（IC）和（IR）约束下，关于（t，dd，t，dd）最大化E[π]给出了一阶条件ν+Za*a“t”-θ（a）（zdd（1）-H（D）dD）#f（θ（a），a）θ（a）tda-扎阿*“t-θ（a）（zdd（1）-H（D）dD）#f（θ（a），a）θ（a）tda=ρ（14）Za*a“t”-θ（a）（zdd（1）-H（D）dD）#f（θ（a），a）θ（a）ddda+E[θ| S]ν（1）-H（dd））-扎阿*“t-θ（a）（zdd（1）-H（D）dD）#f（θ（a），a）θ（a）ddda-ρθeadd（1）-H（dd））=0（15）Za*a“t”-θ（a）（zdd（1）-H（D）dD）#f（θ（a），a）θ（a）tda+ν-扎阿*“t-θ（a）（zdd（1）- H（D）dD）#f（θ（a），a）θ（a）tda=0（16）Za*a“t”-θ（a）（zdd（1）-H（D）dD）#f（θ（a），a）θ（a）ddda+E（θ| S）ν（1）-H（dd））-扎阿*“t-θ（a）（zdd（1）-H（D）dD）#f（θ（a），a）θ（a）ddda=0，（17）t=θa“Zddd放电涂覆处理- eadddH（D）#（18），其中ρ是与（IR）约束和a相关的拉格朗日乘子*是a的最小值，以及在θ处求出的解（13）的值。扩展我们的模型扩展到其他保险合同，如健康保险。在某些情况下，健康保险包括保费t以及每次医疗程序/就诊的可扣除dd和共同支付γ。特别是，与汽车保险不同的是，免赔额不是每次就诊的免赔额，而共同付款是在满足免赔额后的第一次程序/就诊中产生的。在这种情况下，对于合同[t（θ，a），dd（θ，a），γ（θ，a）]，保险人的预期收益（1）为[π（θ，a）]=ZΘ×a{t（θ，a）- E[1I（D+…+DJ>dd（θ，a））（D+…+DJ-dd（θ，a）- γ（θ，a）（J）- J+）dF（θ，a），其中积分中的期望值是关于总费用D++DJ，就诊次数J和满足免赔额的最小就诊次数J，即J+=argminj=1，。。。，JD+…+Dj>dd.每次就诊费用Dj，j=1，杰米可能不再独立了。事实上，患有某种疾病的患者在治疗期间将承担相关的医疗费用。

同样，每次就诊的费用可能与预期的医疗程序/就诊次数θ相关。关于患者，他在没有医疗保险的情况下的预期效用（2）为sv（0,0,0；θ，a）=E[U（w）- D- . . . - 流行音乐播音员a） ]=-E-敬畏-a（D+…+DJ）]，在CARA效用函数下由A1-（i）表示，其中期望值与总费用D++dj和访问次数J取决于θ。a（θ，a）-患者购买保险（t，dd，γ）的预期效用（3）变为v（t，dd，γ；θ，a）=-E-敬畏-aX]，其中X是自付费用X=（D+…+DJ）1I（D+…+DJ）≤ dd）+（dd+（J- J+γ）1I（D+…+DJ>dd）。当有固定数量的承保范围时，保险人使用患者的确定性等价物对Θ×a类型进行划分，以最大化其与合同条款（tc、ddc、γC）、C=1、，C.3合同连续性的识别在本节中，我们考虑向每个被保险人提供连续性保险的情况。特别是，我们的身份识别分析显示了事故数量所起的关键作用。模型结构由风险和风险规避的联合分布F（·，·）和损伤分布H（·）给出。除了事故数量的Cara效用函数和泊松分布的规定外，识别问题是非参数的。识别的问题是从可见光中唯一地恢复结构[F（·，·），H（·）]。在连续合同的情况下，我们遵守每个被保险人购买的合同（t，dd）和每个被保险人提出的J索赔，以及相应的损害赔偿金额（D，…，DJ）。在第3.2节中，我们观察J*索赔及其相应的损害赔偿（D。

流行音乐播音员*) 因为免赔额处的费用。我们介绍了一些观察变量X，这些变量X代表被保险人和他/她的车，保险人使用这些变量来区分被保险人。与被保险人相关的变量可能包括年龄、性别、教育程度、婚姻状况、地点和驾驶经验。与被保险人汽车相关的变量可能包括汽车里程、商业用途、汽车价值、动力、型号和品牌。随着X的引入，支持SX中的值 IRdim X，模型结构变成[F（θ，a | X），H（D | X）]，因为我们预计这些变量会影响被保险人的风险和风险规避以及损害。例如，昂贵汽车的损坏可能比便宜汽车的损坏更大。LetG（·| X）表示观察到的以X为条件的免赔额分布。保险人用于区分被保险人的所有变量都包含在X中至关重要。在结构模型的识别研究中，重要的是确定与理论模型假设一致的可容许结构集。我们将这些假设形式化为结构和（θ，a，J，D，X）。具体而言，结构[F（·，·| X），H（·| X）]属于下文定义的FX×HXA。非参数识别agent效用函数的问题相当复杂。在拍卖的上下文中，通常不确定投标人的效用函数。非参数识别是通过使用Guerre、Perrigne和Vuong（2009）中投标者数量的外生变化，或借助Lu和Perrigne（2008）中升序拍卖的额外数据，通过排除限制实现的。

当投标人的效用函数被参数化为CARA或CRRA时，参见Campo、Guerre、Perrigne和Vuong（2009）的半参数识别。不用于区分被保险人的变量可以通过（θ，a）进入模型，然后可以将其视为观察到的和未观察到的异质性的集合。我们可以使用car值作为财富w的代理，因此w是X定义1中的一个变量：设FX为满足（i）每个X的条件分布F（·，·| X）的集合∈ SX，F（·，··| x）是一种c.d.F.具有紧凑支撑Θ（x）×a（x）=[θ（x），θ（x）]×a（x）] IR++×IR++，（ii）条件密度f（·，···）>0。定义2：让HXbe为每X满足（i）的分布集H（·| X）∈ SX，H（·| x）是一种具有紧凑支架[0，d（x）] IR+USUPX∈SXd（x）<+∞,（ii）支撑物上的条件密度h（·|·）>0。假设A3：我们有（i）（D，…，DJ）⊥ （θ，a）（J，X）。（ii）（D，…，DJ）（J，X）i.i.d.是H（·X），（iii）J⊥ （X，a）θ与J |θ~ P（θ），即Pr[J=J]=e-θjj！，（iv）（θ，a，J，X）是带（θ，a）|X的i.i.d~ F（·，·| X）假设A3与A1和X平行。假设A3-（i）意味着在X的条件下，损害的金额不会提供任何有关其风险和风险规避的信息。例如，以X为条件，损害取决于独立于（θ，a）的外部因素。本着同样的精神，假设A3-（ii）说损害赔偿是以X为条件的相互独立的。关于假设A3-（iii），事故数量J仅取决于被保险人的风险θ，而泊松分布遵循第2节的理论模型，其中被保险人的风险θ是预期的事故数量。假设A3-（iv），（θ，a，J，X）是被保险人的i.i.d。我们在整篇论文中坚持假设A3。

最后，本节假设观察到的（t，dd）对应于最佳保险计划，以便（11）和（12）得到满足。3.1情况1：完全损失分布情况1考虑每个被保险人的保险范围的连续性，以及每个事故的损失观察，无论其低于或高于免赔额。因此，H（·| X）在[0，d（X）]上被识别。F（·，·| X）的识别仍有待研究。在第3节的其余部分，为了简化符号，我们抑制了条件onX。我们首先研究了确定等效性（5）分布K（·）在无覆盖范围内的识别。最优契约的特征是（11）和（12）。等式（11）定义了确定性等价物s和可扣除dd之间的一对一映射，而（12）定义了dd和t之间的一对一映射。关键思想是利用前一映射，从观察到的免赔额分布G（·）中识别确定性等价物的分布。这一结果符合关于拍卖和合同的非参数化文献的精神。我们有G（dd）=Pr（fdd≤ dd）=Pr（s（~dd）≤ s（dd））=Pr（~s≤ s（dd））=K（s）意味着g（dd）=K（s）s（dd），s（·）是dd（·）的倒数，由后者的单调性决定。因此，G（dd）G（dd）=K（s）K（s）s（dd）=K（s）K（s）dd（s）。将上述表达式代入（11），我们得到η（s，a（s），dd（s））E[θ| s]（1）-H（dd））+G（dd）G（dd）(-η（s，a（s），dd（s））ddη（s，a（s），dd（s））+η（s，a（s），dd（s））η（s，a（s），dd（s））s（dd））=1。从（12）开始，我们有t+（dd）=-1/η（s，a（s），dd（s）），其中t+（dd）≡ t[s]-1（dd）]是与免赔额和保费相关的函数。我们还有dt+（dd（s））/ds=-d[η（s，a（s），dd（s））]-1/ds，即t+（dd）×dd（s）=η（s，a（s），dd（s））/[η（s，a（s），dd（s））]或等效地t+（dd）=[η（s，a（s），dd（s））/[η（s，a（s），dd（s））]-1（dd）。

利用这个结果，我们可以重写前面的方程asE[θ| s]（1）- H（dd））+G（dd）G（dd）(-η（s，a（s），dd（s））ddη（s，a（s），dd（s））+t+（dd））=-t+（dd）。根据η（·，·，·，·）的定义（9），其对dd的偏导数为η（s，a（s），dd（s））dd=-η（s，a（s），dd（s））甲(s)-h（dd）1- H（dd）.关于拍卖，请参见Guerre、Perrigne和Vuong（2000）以及Athey和Haile（2007），其中观察到的出价和未观察到的私人价值之间的映射确定了私人价值分布。关于合同，请参见Luo、Perrigne和Vuong（2015）在非线性定价的背景下，以及Perrigne和Vuong（2011）在具有逆向选择和道德风险的采购模型的背景下。将观察到的数量/价格与未观察到的消费者类型/企业效率之间的映射分别用于恢复其潜在分布。因此，定义最佳免赔额的一阶条件可以重写为asE[θ| dd]（1）- H（dd））+G（dd）G（dd）-t+（dd）甲(s)-h（dd）1- H（dd）+ t+（dd）= -t+（dd），其中E[θ| s]=E[θ| dd]因为dd和s之间的一对一映射。在初等代数之后，我们得到a（s）=t+（dd）g（dd）g（dd）t+（dd）+E[θ| dd]（1）- H（dd））+ t+（dd）+h（dd）1- H（dd），表明a（s）被识别为观察到的右侧或从观察到的右侧识别。特别是，E[θ| dd]由被保险人在所有索赔都得到遵守的情况下选择免赔额dd的预期索赔数量确定，即E[θ| dd]=E[J | dd]。然后，使用（8）和（9）我们得到s=w+t+（dd）（φa）- 1） 出口（出口）dd（1）- H（dd）），表明被保险人的确定性等价物s可以通过其可推断dd的选择和对H（·）、G（·）、t+（·）和E[J | dd]的了解来识别。因此，我们得到以下结果。引理3：假设每个保险人都有一系列最佳保险范围，并且所有事故都被观察到。

在A3中，对[K（·），H（·）]被识别。我们是否能识别F（·，·）还有待研究。下面是论点的概要。从事故数J的矩母函数出发，我们确定了给定s在零邻域内的矩母函数θ。θ| i |和θ| i |是众所周知的。一旦我们确定Fθ| S（·|·），我们就用K（·）来推导（θ，S）的联合分布。根据（5）给出的（θ，s）和（θ，a）之间的已知一对一映射，确定（θ，a）的节理密度。需要注意的是，观察到的权利要求数量J在识别Fθ| S（·|·）方面起着关键作用。这是可能的，因为泊松分布属于非参数混合被识别的分布类别。参见Rao（1992）。相反，如果我们只有E[J|dd]=E[J|s]=E{E[J|θ，s]|s}=E{E[J|θ，a]|s}=E{E[J|θ]|s}=E[θs]，我们使用了A3-（iii）和（θ，a）和（θ，s）之间的一对一映射。观察是否存在通过这种接触的概率测量的风险为|θ=1的事故-E-θ、 由于二项分布的非参数混合不属于上述类别，因此未识别FθS（···）。参见Aryal、Perrigne和Vuong（2009）。形式上，对于给定的确定性等价s，覆盖范围（t（s），dd（s））的被保险人子群体及其相应的索赔给出了矩生成函数MJ | s（·s）asMJ | s（t | s）=E[eJt | s=s]=EE[eJt |θ，S]| S=S= EE[eJt |θ，a]| S=S= EE[eJt |θ]|S=S= Eneθ（et）-1） |S=so=Mθ|S（et- 1 | s），（19），其中第三个等式来自（θ，s）和（θ，a）之间的一对一映射，第四个等式和第五个等式来自A3-（iii），使用参数θ的泊松分布的矩母函数。

特别是，（19）表明，对于每一个t，动量生成函数MJ | S（·| S）都存在∈ IR，因为θ在给定S=S的情况下有一个紧支集- 1表示mθ| S（u | S）=MJ | S（log（1+u）| S）对于所有u∈ (-1, +∞). 因此，在0的邻域上识别MθS（·S），从而识别FθS（·S）。见比林斯利（1995年，第390页）。（θ，s）的联合密度是f（θ，s）=f（θ| s）k（s），这是从已知的映射T（·，·）到一个将（θ，a）转换为（θ，s）的映射T（·，·），即T（θ，a）=[θ，w-[θ（φa）- 1） 当φa=ReaDdH（D）和H（·）已知时，我们恢复f（θ，a）asf（θ，a）=fθS（T-1（θ，a））T-1（θ，a）（θ，a）.或者，因为MθS（·S）存在于0的邻域中，那么给定S=S的θ的所有矩都由M（k）θS（0 | S）=E[θk | S=S]表示k=0，1，∞. 由于θ给定s具有紧支集，因此我们属于hausdorff矩问题类，这类问题总是确定的，即θ给定s的分布唯一地由其矩决定。这个结果在下面的命题中正式陈述。命题1：假设向每个被保险人提供一系列最佳保险范围，并且观察到所有事故。在A3中，结构[F（·，·），H（·）]是确定的。3.2情况2：截短的损害分配我们维持这样的假设，即保险人向每个被保险人提供一系列最佳合同，但我们现在认为损害分配没有得到充分遵守。将动态因素抽象化后，如果且仅当损失高于免赔额时，事故才会导致索赔。因此，我们可以确定[dd，d]上的截断损伤分布。然而，可扣除dd因被保险人而异。特别是，对于购买全额保险的被保险人，免赔额为零，从而确定其全额支持的损失分布[0，d]。

形式上，HD | dd（·| 0）=HD | S（·| S）=HD |（θ，a）（·|θ，a）=HD（·）乘以3-（i）。因此，我们有以下引理。引理4：在A3下，H（·）被识别。仍需研究F（·，·）的识别。虽然报告的事故数量*是观察到的，而不是真正的J，论点类似于案例1。如果θi·[124k]是特殊的，那么。由于只有当损害超过免赔额时才会报告事故，我们有E[θ| dd]6=E[J*|dd]，其中J*是报告的事故数量。但是J*给定的（J，dd）以参数（J，1）的二项式分布- H（dd））被A3-（i，ii）取代。因此，E[J]*|dd]=E{E[J*|J、 dd]| dd}=E[J（1）- H（dd））|dd]=（1- H（dd））E[J | dd]=（1- H（dd））E[θ| dd]，即E[θ| dd]=E[J*|dd]/（1）-H（dd））。因此，E[θ| dd]被识别，尽管截断的损伤分布导致K（·）的识别。关于F（θ，a）的识别，我们按照第3.1节进行。J的动量母函数*鉴于s isMJ*|S（t | S）=E[eJ*t | S=S]=E{E[eJ*t | J，S]|S=S}=E{E[eJ*t | J，dd]| S=S}=E[H（dd）+（1- H（dd）et]J|S=S= EneJ对数[H（dd）+（1-H（dd）et]| S=so=Mθ| Shelog[H（dd）+（1-H（dd））et]- 1 | si=Mθ|S[（1）- H（dd））（et- 1） |s]，（20），其中第四等式使用二项分布B（J，1）的矩母函数- H（dd）），第五个等式使用（19），t替换为log[H（dd）+（1）-H（dd））等。因此，我们得到mθ| S（u | S）=MJ*|s日志1+u1- H（dd）s,为了你∈ (-(1 - H（dd）+∞).