基于多维筛选的保险模型识别

案例1中的其余论点适用于以下命题。命题2：假设为每个被保险人提供一系列最佳保险范围，并且当且仅当损失高于免赔额时，才观察到事故。根据A3，结构[F（·，·），H（·）]被识别。4与有限数量的合同的识别我们现在处理模型的识别，当只有（比如）两个合同有效时，X。识别参数不能再依赖于确定性等价性的识别，因为我们不能利用被保险人确定性等价性之间的一对一映射以及他的免赔额选择。这是一个连续统一体∈ [s，s]值，但只有有限数量的免赔额。因此，表征（t，dd，t，dd）的FOCs（14）-（18）将不允许我们识别F（θ，a）。除了观察到的索赔数量所起的关键作用外，我们还利用不确定性变量的有效变化来实现识别。第4节的一个显著特点是，我们不要求观测覆盖率（t、dd、t、dd）是最佳的。因此，本节的结果不仅适用于垄断情况，还适用于保险公司之间其他形式竞争的数据。如前所述，我们区分是否观察到完整的损伤分布。关于可观察到的情况，对于每个被保险人，我们需要一对有效的保险范围（t、dd、t、dd）、他对保险范围的选择、事故的数量、他们相应的损害和特征X.4.1案例3：完全损害分布该案例最接近Cohen和Einav（2007），他们在参数假设下确定了风险和风险规避的联合分布。

在这一节中，我们展示了被保险人在完全支持假设下的最优覆盖选择，以及在一些外生特征中的有效变量如何识别非参数f（θ，a）。鉴于Cohen和Einav（2007）的经验发现，我们的识别结果对几个原因都很重要。首先，风险和风险规避联合分布的非参数识别对风险和风险规避之间的依赖性有更大的灵活性。他们的研究结果显示，两者之间存在着反直觉的正相关关系。其次，他们的稳健性分析表明，所提供的合同与其估计的正相关性不太理想，也就是说，保险公司可以通过向更符合负相关性的当前低免赔额调整来增加其利润。我们的识别结果依赖于索赔数量的泊松分布的非参数混合。具体而言，特征x上观察到的索赔条件J的概率由pr[J=J | x]=Zθ（x）θ（x）e给出-θjj！dFθ| X（θ| X），其中混合分布Fθ| X（·| X）未指定。鉴于观察到所有事故和损坏，确定了损坏分布H（·| X）。为了确定F（θ，a | X），我们进行如下操作。我们首先展示了θ| X（·|·）的识别，其参数与案例1类似。在第二步中，我们根据被保险人对特征X的保险范围选择，在划分Θ（X）×a（X）的两个集合S（X）和S（X）之间的边界a（θ，X）处确定条件分布Fa |θ，X（···，·），我们对X中包含的一些特征Z进行排除限制和完全支持假设，以识别其支持上的分布Fa |θ，X（·|·，·）。第一步，我们再次利用观察到的事故数量。

对于特征为sx的被保险人子群体，使用类似于（19）的论点，矩母函数MJ | X（·X）是j | X（t | X）=E[eJt | X=X]=EE[eJt |θ，X]| X=X，= EE[eJt |θ]|X=X= Eneθ（et）-1） |X=xo=Mθ|X（et- 1 | x），其中第三和第四个等式从A3-（iii）开始。因此，fθX（···）由其矩母函数mθX（u | X）=MJ | X（log（1+u）| X）来确定∈ (-1, +∞).在第二步中，我们考虑具有风险θ和特征X的被保险人选择保险范围（t（X），dd（X））的概率，因为这直观地提供了有关被保险人风险规避a的信息。为此，我们定义了一个离散变量χ，其取值1和2取决于被保险人选择保险范围（t（X），dd（X））还是（t（X），dd（X）），即。，被保险人的类型（θ，a）分别属于s（X）还是s（X）。因此，χ=1也相当于a≤ a（θ，X），其中后者是前沿（13）的倒数，其中（t，dd，t，dd）和H（·）现在依赖于X。也就是说，a（θ，X）是θ（a，X）=t（X）的倒数- t（X）Rdd（X）dd（X）eaD（1）- H（D | X）dD.我们下面的识别策略利用了X中这一前沿的变化。特别是，即使免赔额不随X而变化，就像我们的数据一样，保费和可能的损害分布确实取决于X。然后，利息概率可以写成Pr[χ=1 |θ，X=X]，这是fa |θ，X[a（θ，X）|θ，X]=fθ|χ，X（θ| 1，X）ν（X）f | X（θ），根据贝叶斯规则，式中，ν（x）是具有特征x的被保险人选择覆盖率（t（x），dd（x））的比例。后者由数据确定。由于fθX（····）是从第一步开始识别的，因此仍然需要识别fθχ，X（···1，X）。

在第1步中应用相同的参数，但条件是χ=1，我们得到了mj |χ，X[t | 1，X]=E[eJt |χ=1，X=X]=E{E[eJt |θ，a，X]|χ=1，X=X}=Mθχχ，X[et- 1 | 1，x]，其中第二个等式来自于条件作用于（θ，a，χ）和条件作用于（θ，a）之间的等价性，而第三个等式，如前所述，来自于A3-（iii）。因此，fθ|χ，X（·| 1，·）由其矩母函数mθ|χ，X（u | 1，X）=MJ |χ，X（log（1+u）| 1，X）来识别所有u∈ (-1, +∞). 因此，Fa |θ，X[a（θ，X）|θ，X]对于每个θ都是相同的∈ [θ（x），θ（x）]和x∈ SX。为了进行政策反事实分析，分析员可能需要在整体上确定F（·，······）x×A（x）。这就是第三步的目的。为此，我们将向量X分成（W，Z）。设SW表示W的支持度，SW | w2denote表示某个变量Wgiven某个变量W=W的支持度⊥ Z（θ，W）（ii）（θ，a，w）∈ SθaW，存在z∈ SZ |θw假设a（θ，w，z）=a。假设A4-（i）是一个排除限制，即z不影响风险规避和其他特征w。变量Z需要是连续的，可以是CAR值、报告的年里程数、驾驶员的经验等。这就给出了a |θ，W，Z（a（θ，W，Z）|θ，W，Z）=Fa |θ，W（a（θ，W，Z）|θ，W），（θ，w，z）。由于左手侧是从第二步识别出来的，因此由z引起的有效变化ina（θ，w，z）可以识别Fa |θ，w（·|θ，w）。这就是A4-（ii）的目的，这是一个完全支持的假设。类似的假设（有时称为大支持假设）也在不同的背景下做出。参见Matzkin（1992、1993）、Lewbel（2000）、Carneiro、Hansen和Heckman（2003）、Imbens和Newey（2009）以及Berry和Haile（2014）等。

在我们的背景下，这一假设可以解释为：对于每个具有特征（θ、a、W）的个体，存在一些特征Z，例如汽车价值或里程，被保险人在这两个平均值之间是不同的。完全支持假设足以保证识别，因为a |θ，W（a |θ，W）=Fa |θ，W[a（θ，W，z）|θ，W]=Fa |θ，W，z[a（θ，W，z）|θ，W，z]，其中第一个等式使用完全支持假设，第二个等式使用排除限制。请注意，（·，·，·）是根据（13）确定的。全支撑假设保证，对于其支撑上的每个a，都存在一个已知值z，例如a=a（θ，w，z）。使用第一步识别F（θ，a | w，z）。这一结果在下一个命题中正式陈述。命题3：假设每个被保险人有两个保险范围，每个被保险人都有所有意外事件。在A3和A4中，结构[F（·，··| X），H（·| X）]是确定的。尽管由于多维筛选和有限的覆盖范围，存在合并，命题3显示，模型原语是通过明智地利用事故数量和某些外生变量的变化来确定的。特别是，Ouridentification论点不要求有效覆盖的最佳性。这是在不完全信息下对模型的识别。4.2案例4：被截断的损失分布案例4中分析的数据场景对应于典型的保险数据，即，只有当损失高于免赔额时，才提供索赔的合同的详细信息。案例3表明，观察有限数量的合同并不能阻止风险和风险规避联合分布的非参数识别，前提是所有意外信息可用，并且某些排除的外部变量存在足够的变化。

相比之下，情况4中损伤分布的截断限制了识别范围。然而，我们表明，F（·，·| X）是在知道损害的概率低于最低免赔额，即H（dd（X）| X）的情况下确定的。为了简化符号，我们让Hc（X）≡ H（ddc（X）|X）以下。我们注意到1- H（X）和1- H（X），它允许我们只关注1的识别- H（X）。因为只有当索赔涉及的损害高于免赔额时，才会提出索赔，所以我们确定了截断的损害分布*c（·X）≡H（·X）- Hc（X）1- Hc（X）），在[ddc（X），d（X）]上，从购买c=1,2的保险（tc（X），ddc（X））的被保险人子群体中。对上述方程进行微分并取它们的比值，结果表明λ（X）≡H*（D|X）h*（D | X）=1- H（X）1- H（X），（21）表示所有D≥ dd（X），其中0<λ（X）<1。特别是，函数λ（·）是截短损伤密度的比率，可以从数据中识别出来，而H（·| X）是在[dd（X），d（X）]上识别的，直到H（X）的知识。我们遵循类似的步骤，如案例3中的∧θ≡ (1-H（X））θ替换θ，同时将参数修改为J是不可观测的。为了确定给定X的∧θ的边缘密度f | X（·|·），我们利用观察到的报告事故数J*c、 使用（20）中类似的参数，J的矩母函数*给定（χ，X），其中χ∈ {1，2}表示当两份合同生效时，保险人提供全额保险的情况永远不是最优的，即dd（X）=0。

因此，我们不能使用案例2的参数来识别H（·X），从而识别H（dd（X）|X）。被保险人的合同选择，isMJ*|χ、 X（t | c，X）=E[eJ*t|χ=c，X=X]=E{E[eJ*t | J，χ，X]|χ=c，X=X}=E[Hχ（X）+（1- Hχ（X）et]J|χ=c，X=X= EnE[eJ log[Hχ（X）+（1）-Hχ（X））et]|θ，χ，X]|χ=c，X=xo=Eheθ[Hχ（X）+（1-Hχ（X））et-1] |χ=c，X=xi=Mθ|χ，X[（1- Hχ（X））（et- 1） |c，x]，（22），其中第三等式使用J的矩母函数*给定（J，χ，X），其分布为二项B（J，1- Hχ（X））使用A3-（ii），第五个等式遵循A3-（iii）和泊松分布的矩母函数。因此，Mθ|χ，X[u | c，X]=MJ*|χ、 X日志1+u1- Hχ（X）c、 x,为了你∈ (-1+Hχ（X）+∞). 特别是，给出的风险θ（χ，X）的分布取决于Hχ（X）的知识。因为∧θ=（1- H（X））θ，其矩母函数给定（χ，X）isM |θ|χ，X（u | c，X）=Mθ|χ，X（u（1- H（x）| c，x）=乔丹*|χ、 Xhlog1+uλ（x）|1，xi如果c=1，MJ*|χ、 X[log（1+u）| 2，X]如果c=2，（23）对于所有u∈ (-λ（x）+∞) 你呢∈ (-1, +∞), 分别地因此，给定X isM |θX（u | X）=E{E[eu |θ|χ，X]|X=X}=MJ的|θ的矩生成函数*|χ、 X日志1+uλ（x）|1，xν（x）+MJ*|χ、 X[log（1+u）|2，X]ν（X），（24）表示u∈ (-λ（x）+∞), 表明f ~nθ| X（·|·）被识别为λ（X），从数据中可以知道ν（X）和ν（X）。因为fθX（θX）=（1- H（x））f∧θ| x（（1）- H（x））θ| x），前一种密度被确定为高达H（x）。在第二步中，与案例3一样，我们考虑具有风险θ和特征X的被保险人选择保险范围（t（X），dd（X））的概率。使用（13）和1-H（D | X）=（1）- H（X））（1- H*（D | X）），我们注意到购买空间中的两个覆盖之间的最佳边界（△θ，a）由△θ（a，X）=t（X）给出- t（X）Rdd（X）dd（X）eaD[1- H*（D | X）]dD，（25）导致逆a（∧θ，X），其被识别。

以前，我们从Bayes的规则中得到了以前，从Bayes的规则中我们有了以前，我们从Bayes的规则中我们从以前的Bayes的规则中我们有了f 124124124;θ，X，我们从我们之前的Bayes的规则中我们有了f 124124|θ，X，X，X（a（a，X，X），X）X（a（a，X）X）和X，X，X，X，X，X，X，X=X，X，X，X，X=f，f，f，f，f，f，f，f，f，X，f，f，f，θ，X，X，X，X，X，f，X，X，X，X，X，X，f，X，X，X，X，X，X，X，f，X，X，X，f，X，X，X，f，X，X，X，X，X，X，X，1，X）在(-λ（x，）+∞) 如上所示。在第三步中，我们注意到Fa |θ，X（a（|θ，X）|θ，X）=Fa |θ，X（a（θ，X）|θ，X），从而确定后者直到H（X），因为|θ=（1）- H（x））θ。在A4中，其余的论证与案例3相似，导致识别Fa |θ，W（·|·，·），然后识别F（θ，a | W，Z），直到知道H（X）。然后我们证明了以下结果。命题4：假设每个被保险人都有两个保险范围，并且只有当损失超过免赔额时，才观察意外事故。在A3和A4中，结构[F（·，··| X），H（·| X）]被识别为H（X）。到目前为止，我们还没有使用有效覆盖的最佳性。具体而言，我们没有使用FOC（14）-（18）确定最佳保险范围（t（X）、dd（X）、t（X）、dd（X））。有人可能会问，使用这些FOC是否有助于识别结构的某些特征，甚至整个结构本身。例如，我们注意到（18）识别a（X），因为后者解决了识别方程t（X）=θ（X）a（X）Zd（X）dd（X）ea（X）D- ea（X）dd（X）H*（D | X）dD，使用h（D | X）=[1- H（X）]H*（D | X）和∧θ（X）=θ（X）[1- H（X）]。建议4的一个结果是，当且仅当H（X）被识别时，结构[F（·，····X），H（·····X）]才被识别。下一个引理表明，即使通过FOC（14）-（18）考虑覆盖最优性，H（X）也没有被识别。引理5：假设每个被保险人都有两个保险范围，只有当损失超过免赔额时，才能观察到意外事故。在A3和A4中，H（X）未被识别。附录中给出了证明。它依赖于展示一种观测上等价的结构。

这种不确定可能令人惊讶，但可以解释如下。它产生于事故数量的增加（减少）和损失概率的适当减少（增加）之间的赔偿，而损失概率大于可减少的。从被保险人的角度来看，这种赔偿维持了两份合同之间的相对性。因此，如果a（θ，a）-被保险人购买（t（X），dd（X）），那么- H（X））θ，a）-如果损失概率适当增加，且大于dd（X），则被保险人也购买相同的保险。从保险人的角度来看，平均事故数量的减少通过适当增加损害高于免赔额的概率来补偿。因此，在这两种保险范围内，对被保险人的预期付款保持不变。5讨论和模型限制本节讨论了概率H（X）的识别策略，并描述了与案例4.5.1 H（X）识别策略模型相关的所有模型限制。根据第4.2节，假设识别H（X）识别结构[F（·，·X），H（·X）]。我们讨论了H（X）的一些识别假设/条件及其部分识别。识别H（X）的第一个策略是将[0，d（X）]上的损伤分布H（·X）参数化为H（·X；β），并带有β∈ B IRq。对报告损失的观察*在[0，d（X）]上识别β和H（·X）。因此H（X）≡H（dd（X）|X；β） 特别是，我们可以选择一个参数化来拟合估计的截断损伤分布H*（·| X）。第二种策略是根据事故数量或损失的平均值考虑额外的数据源。例如，假设每x∈ SX，我们知道平均事故次数u（x）≡ E[J|X=X]=E{E[J|θ，X=X]|X}=E[θ| X=X]乘以A3-（iii）。

关于报告的事故平均数量，我们有：*c（x）≡ E[J*|χ=c，X=X]=E{E[J*|J、 χ=c，X=X]|χ=c，X=X}=E[J（1-Hc（X））|χ=c，X=X]=[1- Hc（x）]E[θ|χ=c，x=x]表示c=1，2，因为J*给定的（J，χ，X）作为参数（J，1）的二项式分布- Hχ（X））。因此，u（x）=ν（x）E[θ|χ=1，x=x]+ν（x）E[θ|χ=2，x=x]=1- H（x）ν（x）u*（x） λ（x）+ν（x）u*（十）.考虑到νc（x），u*c（x）、c=1、2和λ（x）由第4.2节所示的数据确定。或者，假设我们只知道某些X的E[J | X=X]。使用相同的参数确定h（X）的标识。这与支持性假设相结合，比如每x个标识（x）的θ（x）=θ。具体地说，请注意，我们有∧θ（x）=（1）- H（x））θ（x），其中)θ（x）是f)θ| x（·| x=x）支撑的上边界，如第4.2节所示。在xidentiesθ乘以θ（x）/（1）时应用该方程- H（x））。在不同的值x下再次应用该方程，确定H（x）。类似的论点适用于下界θ（x）=θ。关于损害赔偿，我们注意到E（D | X=X）=H（X）E[D | D≤ dd（x），x=x]+（1）- H（x））E[D | D≥ dd（x），x=x]，其中E[D | D≥ dd（x），x=x]由数据确定。因此，对于每一个x，很容易看出H（x）的识别需要同时知道E[D | D≤ dd（x），x=x]和E（D | x=x）。特别是，对后者的了解并不充分，这与前一种情况形成了对比，在前一种情况下，事故的平均数量足以进行识别。如上所述，如果你知道E[D | D≤ dd（x）、x=x]和E（D | x=x）对于某些x，如果θ（x）或θ（x）与x无关，则每x识别H（x）。第三种策略是推导概率H（x）的一些界。这种方法也被称为部分识别，由Manski和Tamer（2002）以及Chernozhukov，Hong和Tamer（2007）推广。