基于多维筛选的保险模型识别

事实上，在保单有效期内，可能会发生不止一次事故，每一次事故都会造成随机损失。此外，正如shownby Finkelstein和McGarry（2006年）以及Cohen和Einav（2007年）所说，风险规避的可变性可能比被保险人的风险可变性更重要。考虑到被保险人的风险规避与他发生事故的可能性一样私密性也是理所当然的。因此，不对称信息成为二维的。忽视风险规避的异质性可能会对保单设计产生严重后果。例如，低事故概率和高风险规避的保险人可能会购买高保险水平（或低免赔额）的合同，反之亦然。这在保险文献中也被称为有利选择。相比之下，当上述模型忽略风险规避的异质性时，被保险人应购买低水平的保险。此外，相对于保险人提供的保险费，损失的分布以及预期事故数量对免赔额的选择有重要影响。鉴于这一讨论，我们的模型包括多起事故，这些事故具有随机损害，并且在私下已知的风险规避中具有异质性。鉴于数据可用性，我们的模型还考虑了有限数量的有效合同/保险范围。模型假设我们做出以下假设。在我们的模型中，θ是被保险人的风险，衡量为保险期内的预期事故数量。假设A1：（i）被保险人的效用函数表现出恒定的绝对风险规避（CARA），即U（x；a）=- 经验(-ax），a>0，（ii）对（θ，a）是i.i.d.作为F（·，·），它在其支持度上是两次连续可微的Θ×a=【θ，θ】×【a，a】 IR++×IR++，（iii）每个被保险人可能涉及J起事故，以θ为条件，服从泊松分布，即：。

pj（θ）=Pr[J=J |θ]=e-θj/j！，（iv）J在被保险人中是独立的，每次事故都涉及一个损害Dj，J=1，J.支架[0，d]上的损伤为H（·）的i.i.d IR+，（v）Dj，j=1，J独立于（θ，a）。通过A1-（i），效用函数是严格递增和凹的。CARA规范有两个主要优点：（i）它导致了确定等价性的易于处理的表达；（ii）对财富变化风险的态度独立于初始财富。这些性质使得卡拉效用在理论和实证文献中成为一种流行的选择。根据A1-（ii），每个被保险人的特征是一对（θ，a）是私有信息。假设A1-（iii）规定事故分布为泊松分布，平均θ。这种分布在精算学中被广泛用于模拟事故的数量。CARA效用和泊松分布的结合特别方便，因为它导致了后面定义的确定性等价的显式表达式。由于θ是A1-（ii）的随机分布，其边缘分布没有具体说明，因此总体事故数量的分布是泊松分布的非参数混合，从而增加了灵活性。放松CARA和/或Poisson规范是可能的，代价是获得确定性等价的隐式表达式。如果事故数量的分布属于非参数混合分布的类别，则第3节和第4节的识别结果仍然有效。参见Rao（1992）。根据A1-（iv，v），损伤是随机的、相互独立的和独立的类型（θ，a）。我们认为损害是由外部因素造成的，如运气、天气或路况。

它与（θ，a）的独立性排除了道德风险，因为（比如）规避风险的代理人的行为可能会减少每次事故的损失。这个问题留待将来研究。第5.2节讨论了A1-（iv，v）如何根据其对可观察物的限制进行测试。最后，根据Stiglitz（1977）和Cohen和Einav（2007）等实证论文，我们假设保险公司是一个垄断者。浓度比andCohen和Einav（2007）考虑了泊松分布的对数正态混合。保险业的业绩表明，它不是一个竞争激烈的市场。汽车保险参见Chiappori、Julien、Salanie和Salanie（2006年），健康保险参见Dafny（2010年）和Starc（2014年）。例如，汽车和家庭保险的转换成本和/或健康保险中雇主提供的保险数量有限可能会阻止被保险人从竞争中受益。参见以色列（2005a，b）和Honka（2014），了解汽车行业的证据。考虑寡头垄断会增加模型的复杂性，因为产品差异导致逆向选择的规模越来越大。有鉴于此，我们认为垄断是一种合理的贸易效应。模型原语[F（·，·），H（·）]是公共知识。具体时间安排如下。每个被保险人从F（·，·）中独立抽取一对类型（θ，a）。保险公司提出了一份格式为[t，dd]的保险合同清单，其中dd是每次事故的免赔额。被保险人选择效用最大化的合同，并支付相应的保险费。如果发生损害低于免赔额的事故，被保险人将承担赔偿责任。否则，保险人支付高于免赔额的损失，被保险人支付免赔额。保险公司的优化问题保险公司为（θ，a）提供连续的合同[t（θ，a），dd（θ，a）]∈ Θ×A。

积分（θ，a）后，保险人的预期收益由[π（θ，a）]=ZΘ×a“t（θ，a）给出- θZdmax{0，D- dd（θ，a）}dH（D）#dF（θ，a）=ZΘ×a“t（θ，a）- θZddd（θ，a）（1）- H（D）dD#dF（θ，a），（1）其中max{0，D- dd（θ，a）}反映出保险人只承保可扣除金额以上的损失。第一个等式使用的是i.i.d以（θ，a）乘以A1（iv，v）为条件的损害，而第二个等式则是以部分积分为条件的。内部积分是每次事故的预期付款，θ是预期事故数。对于一个拥有财富w的（θ，a）-个体，他在没有保险的情况下的预期效用为v（0，0；θ，a）=p（θ）U（w；a）+p（θ）E[U（w）- Da） ]+p（θ）E[U（w）- D- Da） ]+…=-p（θ）e-哦- p（θ）e-敬畏- p（θ）e-敬畏[eaD]E[eaD]- . . .= -E-哦p（θ）+p（θ）φa+p（θ）φa+。= -E-敬畏-θ1+θφa1+θφa2！+。= -E-aw+θ（φa）-1） ，（2）式中φa=E[eaD]>1，期望值与D有关。第一个等式考虑了所有可能发生的事故数量及其对没有保险的个人的成本。第二个等式使用了CARA效用函数和A1-（i，iv，v）的事故损害独立性。第三个等式使用A1-（iv）相同分布的图像。最后，第四个等式依赖于事故的泊松分布A1-（iii）。使用相同的推导，其中wand DJ替换为w- 分别为t和min{dd，Dj}，a（θ，a）-个人购买保险（t，dd）的预期效用为（t，dd；θ，a）=-E-a（w）-t） +θ（φ）*A.-1） ，（3）其中φ*a=E[ea min{dd，D}]=Rea min{dd，D}dH（D）=RddeaDdH（D）+eadd（1）- H（dd））>1。我们注意到*a<φaas min{dd，D}≤ D.给定一系列合同，（θ，a）-个人选择使上述预期效用最大化的合同。遵循揭示原则，我们可以关注一种将类型映射到合同条款的直接机制，即[t（θ，a），dd（θ，a）]。

然而，保险人应选择满足被保险人的优化（IC）约束以及被保险人的参与（IR）约束的可执行合同。这给出了以下优化问题maxt（·，·），dd（·，·）E[π（θ，a）]（4）s.t.V[t（θ，a），dd（θ，a）；θ，a]≥ V[t（~θ，~a），dd（~θ，~a）；θ，a]（§θ，§a）∈ Θ×A（IC）V[t（θ，A），dd（θ，A）；θ，A]≥ V（0，0；θ，a）（θ，a）∈ Θ×A（IR），其中预期利润在（1）中给出。（IC）约束确保（θ，a）个体选择契约（t（θ，a），dd（θ，a））。（IR）约束保证购买此合同比没有保险对此人更有利。众所周知，多维类型导致了一个复杂的筛选问题。SeeRochet and Sleet（2003）。如前所述，具有高风险但低风险规避的被保险人可能与具有低风险但高风险规避的被保险人具有相同的支付意愿。风险和风险规避之间的这种可替代性意味着一种分离的均衡是不可行的，即每个个体（θ，a）都有一个唯一的覆盖范围。因此，被保险人之间会发生资金共享。直观地说，被保险人有两个私人信息来源，而保险人实际上只有一个工具，即免赔额来筛选被保险人。事实上，保险费和免赔额是负相关的，因为合同（t，dd）总是优先于dd>dd的任何其他合同（t，dd）。

因此，保险人的目标是找到将被保险人集中在一起的最佳方式，以确保提供的保险是可行的，即满足（IC）和（IR）约束，同时最大限度地提高其预期收益。确定性等价性根据Landsberger和Meiligson（1999），我们使用无保险的确定性等价性作为两个私人信息维度的一维聚合。La Affont、Maskin和Rochet（1987）提出了类似的聚合方法。基于确定性等价的筛选有两个主要优点。首先，它不太依赖于模型原语的参数规格。第二，确定的同等性有一个自然的经济解释。另见阿姆斯特朗（1996），他使用多产品公司的生产成本来筛选具有多维度类型的消费者。我们做出以下假设。一个简单的论点表明，对保险公司而言，仅对风险或风险规避进行筛查并非最佳选择。考虑三个人（θ，a），（θ，a）和（θ，a），θ<θ和a<a，然后（比如）第一次和第二次购买相同的保险对保险公司的利益来说不是最佳的。关于竞争性非线性定价的应用，也见Ivaldi和Martimort（1994）。关于替代方法，参见（比如）威尔逊（1993年），他采用了将类型集划分为一维子集的方法，罗切特和乔恩（1998年）提出了当类型数量等于仪器数量时进行多维筛选的一般方法，巴索夫（2001年）提出了一般情况。假设A2：对于任何给定的覆盖率（t，dd），差异V（t，dd；θ，a）-V（0，0；θ，a）在a中增加。我们注意到上述差异在θ中自动增加。因此，高风险或风险厌恶的个体比低风险或风险厌恶的个体更重视保险。

假设A2确保不会有反补贴激励，因为（4）中的（IR）约束，即V（t，dd；θ，a）- V（0，0；θ，a）≥ 0的LHS在两个方向（θ，a）都增加。我们注意到A2限制了a（θ，a）-个体相对于损伤分布的覆盖范围（t，dd）。该假设可在识别模型原语后进行事后验证。无保险范围的确定性等价性CE（0，0；θ，a）由被保险人的特定财富量定义，该财富量将在被保险人无保险范围时为其提供相同水平的效用，即。，- 经验(-aCE（0，0；θ，a））=V（0，0；θ，a）。因此，由（2）CE（0，0；θ，a）=w-θ（φa）- 1） a.（5）投保（t，dd；θ，a）的确定性等价性CE（t，dd）的定义类似于被保险人在购买保险时获得同等效用的特定财富金额，即：。- 经验(-aCE（t，dd；θ，a））=V（t，dd；θ，a）。因此，由（3）CE（t，dd；θ，a）=w- T-θ(φ*A.- 1） a.（6）下一个引理建立了（θ，a）中这些确定性等价的单调性。所有证据都在附录中。引理1：确定性等价（5）和（6）在风险和风险规避方面都在下降。（5）中无保险的确定性等价定义了对的轨迹（θ，a）为任何给定确定性等价值s的向下倾斜曲线θ（a）。因为≡ CE（0，0；θ，a）是（θ，a）的函数，即s（θ，a），它是随机分布的asK（·），在[s，s]上有一些密度k（·），其中s=s（θ，a）和s=s（θ，a）。图1显示了一些s等曲线。解决多维筛选问题AAθSSS图1：确定性等价已知优化问题（4）很难解决，因为多维私有信息和单交叉属性的损失。关于多维筛选的文献表明，在均衡状态下的汇集是无法避免的。

为了与关注非线性定价的多维筛选文献进行对比，我们指出，保费t起着支付和定价的作用-dd起着如（3）和（6）所示的数量的作用。因此，dd是二维类型的唯一工具。没有保险的确定性等价将这两个维度聚合为一个维度。然后我们用Termsofs重写优化问题（4）≡ CE（0，0；θ，a）和（IC）和（IR）约束，使用确定性等价性（t，dd；θ，a）和CE（0，0；θ，a）。Cohen和Einav（2007）也使用确定性等价性来解释被保险人对保险范围的选择。这里，我们考虑s的连续合同[t（s），dd（s）]∈ [s，s]。因此，所有具有相同确定性等价物价值的保险都被汇集在一起。直觉上，在Stiglitz（1977）中，具有最高外部选择权或最高确定性等价物的被保险人将被视为具有最低支付意愿的个人或风险最低的个人。保险人需要提出一个有吸引力的高免赔额的保险范围，以吸引人们讲真话和参与，因为他最不重视保险。另一方面，具有最低外部选项或最低确定性等价物的个人将被完全覆盖或dd=0，如下文所示。Landsberger和Meilijson（1999）表明，最优保险合同保持确定性等价的顺序，即对于任何一对类型（θ，a）和（θ，a），使得s（θ，a）<s（θ，a）或s<s，最优合同[t（s），dd（s）]满足s（θ，a）≤ 行政长官(t),行政长官(s);；θ、 a）<s（θ，a）≤ 行政长官(t),行政长官(s);；θ、 a）。第一个和第三个不平等来自（IR）约束，即如果个人效用大于不购买保险，那么他将购买保险。此属性确保可以在sis上执行筛选。我们根据s重写了预期利润（1）。

注意t（θ，a）=t（s）和dd（θ，a）=dd（s），并在（1）中将变量（θ，a）更改为（θ，s），给出[π]=Zss“t（s）- E（θ| s）Zddd（s）（1）- H（D）dD#k（s）ds，（7）其中k（·）是确定性等价物s的密度。（4）become（t（s），dD（s）中的（IC）和（IR）约束；θ、 （a）≥ CE（t（~s），dd（~s）；θ、 （a）~s∈ [s，s]（IC）CE（t（s），dd（s）；θ、 （a）≥ s、 （IR）对于满足CE（0，0；θ，a）=s和所有s的所有（θ，a）∈ [s，s]。计划[t（s），dd（s）]可转换为非线性保费t+（dd）≡ t[s]-其中增加的可扣除金额（即增加的可扣除金额）是凸的，即增加的可扣除金额（即增加的可扣除金额）是凸的。这与非线性定价模型中塔里夫的凹度相似。参见（比如）蒂罗尔（1988）。我们注意到，对于每个s，必须至少存在一个（θ，a）-个体或等效的（θ（s），a（s）-个体，其（IC）约束对其绑定。因此，对于这个个体，（IC）约束可以写为maxs∈[s，s]CE（t（~s），dd（~s）；θ（s），a（s））=maxs∈[s，s]w-t（~s）-θ（s）hRdd（~s）ea（s）DdH（D）+ea（s）dd（~s）[1-H（dd（~s））]-1ia（s），导致一阶条件给出的局部（IC）约束，条件为s=st（s）=-θ（s）ea（s）dd（s）[1- H（dd（s））]dd（s），其中θ（s）=a（s）（w- s） /[φa- 1] 素数表示一个导数。这意味着-η（s，a（s），dd（s））t（s），（8）∈ φs，其中- 1a（s）（w）- s） ea（s）dd（s）[1- H（dd（s））]>0。（9） 等式（8）是保险公司优化问题的局部激励相容约束。关于个人理性约束，鉴于前面的讨论，s-个人拥有最大的无保险外部选择权。因此，保险人应为该个人约束（IR），并使其在购买保险与否之间有所区别。这就给出了约束条件t（s），dd（s）；θ、 a）=s。

（10） 我们现在可以解决保险人的问题，即根据（8）和（10）最大化其预期收益（7）。应用庞特里亚金原理（见附录），最佳覆盖率（t（s），dd（s））是η（s，a（s），dd（s））E（θ| s）的解[1]- H（dd（s））]+K（s）K（s）η（s，a（s），dd（s））-η（s，a（s），dd（s））dddd（s）+η（s，a（s），dd（s））=1、（11）dd=-η（s，a（s），dd（s））t（s），（12），其中η（s，a（s），dd（s））表示η（s，a（s），dd（s））相对于s的总导数，边界条件为CE（t（dd（s）），dd（s）；θ、 a）=s。在s处评估（11），即针对（θ，a）个人，显示dd（s）=0，即最高风险/风险规避个人，如Stiglitz（1977）的基准模型所示，提供了全面覆盖。下一个引理表明，平衡时的免赔额在s中增加。引理2：当且仅当ifdd在s中增加时，保险合同[t（s），dd（s）]满足（IC）约束。因为K（s）=0，（11）和（9）给出[φa]- 1] E（θ| s）/[a（w）- s） eadd（s）]=1。使用（5）和E（θ| s）=θ给出eadd（s）=1。由于均衡合约满足（IC）约束，其免赔额正在增加。换言之，风险和/或风险厌恶程度较低的个人拥有较低的保险范围和较大的免赔额。有限数量的合同委托人可以提供有限数量的合同，代理人可以从中选择。为了简化表示，我们考虑C=2，其中C是外生的。设（t，dd）和（t，dd）与t<tand dd>dd为这两个合同。我们展示了保险公司如何以最佳方式确定这两个合同。除了产生相同确定性等价物s的风险集合（θ，a）外，还有具有不同s值的代理人聚集。保险人选择（t，dd，t，dd）以最大化其预期收益。让SCE成为选择合同（tc，ddc）的代理人集合，c=1，2。