基于多维筛选的保险模型识别

参见Haile and Tamer（2003）和Kovchegovand Yildiz（2009）的非参数界。我们的边界符合拉特拉的精神，它们是非参数的。让[F（·，·| X），H（·| X）]为真实结构。给定任意值x，命题4意味着有能力确定H（x）的识别集，即观测上等同于H（x）的值集H（x）。引理5的证明表明，任何值H（x）=1- (1/κ)[1 - H（x）]表示κ>supx[1- H（~x）]在观测上等同于H（x）。因此，H（x）的识别集包含时间间隔1.-1.- H（x）supx[1- H（~x）]，1.对于值x，其中1- H（x）接近上确界，即左边界接近于上确界。因此，识别集接近（0，1），这不是信息。为了收紧这些界限，我们可以依赖Cohen和Einav（2007）中的一些经验证据。特别是，当损害从上面接近免赔额时，它们的估计损害密度降低，这表明免赔额以下的密度不大于其在免赔额处的值。因此，我们可以假设损伤密度满足h（D | x）≤ 每D的h[dd（x）|x]≤ dd（x）和x∈ SX。从0到dd（x）的积分得到0≤ H（x）≤ dd（x）h（dd（x）|x）。两边都除以1- H（x），并使用截断密度H的定义*（·| x），我们得到≤H（x）1- H（x）≤ dd（x）h*（dd（x）|x）。解H（x）给出了边界0≤ H（x）≤dd（x）h*（dd（x）|x）1+dd（x）h*（dd（x）|x）≡ B（x）。特别是，H（x）的上界严格小于1。

此外，一个有用的特征精确地说，这是一组与结构[F（·，··| x），H（·| x）]相对应的值，这些结构在观测上等同于[F（·，··| x），H（·| x）]。这个上限的一个特点是它可以被估计，因为它依赖于可观测的数据。5.2模型限制本节推导了案例4数据场景下模型对可观察物施加的限制，即有限数量的合同和截断的损害分布。我们可以使用这些限制来测试模型及其假设。对于每个被保险人，我们都遵守[J]*, D*, . . . , D*J*, χ、 T，DD，X]，其中D*jdenotes第j次报告事故的损失和（T，DD）是被保险人选择的保险费和免赔额。根据模型，T和DD由T=Tχ（X）和DD=DDχ（X）给出，其中Tχ（X）和DDχ（X）对于χ=1，2是满足一阶条件（14）-（18）的X的函数。因此，可观测向量具有联合分布ψ（·，…，·）和密度ψ（·，…，·）=ψD*,...,D*J*|J*,χ、 X（·，·，·|·，·，·）×ψJ*|χ、 X（·|·，·）×ψχX（·|·）×ψX（·）。下一个引理为联合分布ψ（·，…，·）提供了必要且充分的条件，以便通过一个结构[F（·，·，···），H（···）]∈ FX×HX。勒思*Cx定义为设定HXin定义2，不同之处在于，对于c=1,2，支持度为[ddc（X），d（X）]。我们引入剩余的符号来书写完全支持假设和一阶条件（14）-（18）所隐含的模型限制。考虑到承保范围c和特征x，保险人对每起事故的预期付款表示为E[P | c，x]=Rd（x）ddc（x）（1）- ψD*|χ、 对于c=1,2，X（D | c，X））dD。设θ（a）≡θ（a，x）和a（θ）≡~θ-1（θ，x）如（25）中的H*（D | X）=ψD*|χ、 X（D | 2，X）。特别地，从ψ（·，…，·）中可以知道θ（·）和a（·）。

设f|θ|χ，X（·|·，·）和f|θ| X（·|·）是矩母函数（23）和（24）给出的密度，对于c=1、2和λ（X）=ψc（X）=ψD*|χ、 X（·| 2，X）/ψD*|χ、 X（·| 1，X）。这些密度也可从ψ（·，…，·）得知。我们用θ表示≡ηθ（x）f |θ| x（·|·）的支撑的下界。Letf |θ，a | X（·，···））=fa |θ，X（··，·）f |θX（···），其中fa |θ，X（··，·）通过A4从（26）中获得。同样，利用关系1- H（x）=[1- H（x）]/λ（x）我们得到1- λ（x）≤ H（x）≤ 1.-λ（x）1+dd（x）h*（dd（x）|x）。H（x）的下界和上界分别严格大于零和小于一。[a，a]≡ [a（x），a（x）]是fa |x（·x）的支持，而a*≡ A.*（x） =min{a，a（∧θ，x）}。最后，我们定义ρ（x）=ψχ，x（1，x）+Za*aht（x）-θ（a）E[P | 1，x]如果∧θ，a | x（∧θ（a），a | x）θ（a）tda-扎阿*ht（x）-θ（a）E[P | 2，x]如果∧θ，a | x（∧θ（a），a | x）θ（a）tda，用（14）表示观测值的拉格朗日乘数。引理6（合理化引理）：设ψ（·，…，·）为（J）的分布*, D*, . . . ,D*J*, χ、 X）。在A3和A4下，[F（·，···），H（··）]∈ FX×hx使ψ（·，…，·）合理化，当且仅当后者满足以下条件：（i）ψD*,...,D*J*|J*,χ、 X（·，·，·|·，·，·）=QJ*j=1ψD*j |χ，X（·|·，·），其中ψD*j |χ，X（·|·，·）=ψD*|χ、 X（·|·，·）∈ H*χX，（ii）对于所有X∈ SX，ψD*|χ、 X（·| 2，X）和ψD*|χ、 X（·| 1，X）分别对[dd（X），d（X）]和[dd（X），d（X）]严格正。

此外，它们的比值λ（x）与d无关∈ [dd（x），d（x）]，其中0<λ（x）<1，（iii）对于每个（)θ，x）∈ SθX（f|θ|χ，W，Z[|θ| 1，W，Z]ψχW，Z（1 | W，Z）fθ| W，Z（|θ| W，Z）；Z∈ SZ |θw）=[0,1]，（iv）覆盖项t（·）、t（·）、dd（·）、dd（·）满足0<t（·）<t（·）、d（·）>dd（·）>0和za*aht（x）-θ（a）E[P | 1，x]如果∧θ，a | x（∧θ（a），a | x）θ（a）ddda+E[J]*|1，x]ψχ，x，Z（1，x）-扎阿*ht（x）-θ（a）E[P | 2，x]如果∧θ，a | x（∧θ（a），a | x）θ（a）ddda-ρ（x）~θeadd（x）=0（27）Za*aht（x）-θ（a）E[P | 1，x]如果∧θ，a | x（∧θ（a），a | x）θ（a）tda+ψχ| X（2 | X）-扎阿*ht（x）-θ（a）E[P | 2，x]如果∧θ，a | x（∧θ（a），a | x）θ（a）tda=0（28）Za*aht（x）-θ（a）E[P | 1，x]如果∧θ，a | x（∧θ（a），a | x）θ（a）ddda+E（J）*|χ=2，x）ψχ，x（2 | x）-扎阿*ht（x）-θ（a）E[P | 2，x]如果∧θ，a | x（∧θ（a），a | x）θ（a）ddda=0（29）t（x）=θa“Zd（x）dd（x）放电涂覆处理- eadd（x）ψD*|χ、 X（D | 1，X）dD#。（30）条件（i）规定，报告的损失是独立的，并且根据保险范围的选择和个人特征进行相同的分配。此外，考虑到这些变量，报告的损伤与报告的事故数量无关。这是一个关于损害和事故数量的A3-（i，ii）序列。条件（ii）要求，考虑到保险范围的选择和个人特征，报告的损失密度对他们的支持度是严格正的。更重要的是，这些密度的比率必须独立于（21）之后报告的损伤水平。该属性也是A3-（i，ii）的一个序列，即损害是i.i.d，独立于覆盖范围选择，因此来自（θ，a）。条件（iii）表示，当特征Z变化时，被保险人选择保险范围1的概率a（θ，a）-取[0，1]中的所有值。这取决于（26）和A4-（ii）中的完全支撑条件。条件（iv）将可观测数据的分布与保险条款相关联。

特别是，它要求两种保险的最佳保费免赔额必须满足FOC（14）-（18）。风险和风险规避的联合分布及其在定义1中的非消失密度的紧密支持也产生了一个条件。本技术条件见附录。合理化引理之所以重要，有几个原因。首先，具有多维私有信息的保险模型确实对可观察对象施加了一些限制。鉴于多维筛查导致的聚集，以及有限的覆盖范围，人们本可以预料到其他情况。例如，在拍卖模型中，均衡竞价策略的单调性产生了一个限制，由于合同数量有限，这里不存在均衡竞价策略。第二，引理6描述了观测值分布的所有限制，我们可以使用这些限制来测试模型及其假设的有效性。数据违反单个限制将拒绝该模型。然后我们可以针对每种情况制定一些测试程序。例如，我们可以使用条件独立性测试来测试（i）。参见苏和怀特（2008）。我们可以通过注意密度比等于ψD来测试λ（x）与损伤的独立性*|χ、 X（dd（X）|2，X）/ψD*|χ、 X（dd（X）| 1，X）。然后，我们可以根据Brown和Wegkamp（2002）之后密度的非参数估计，推导出Cram’er von Mises类型测试。条件（iii）意味着A4中的完全支持假设也是可测试的。第三，（iv）对覆盖条款进行了限制，表明我们可以测试它们的最佳性。这与之前的结构性文献形成了对比，在这些文献中，人们假设观察结果是某种平衡的结果。例如，引言、识别依赖于观察到的出价的最佳性。

这代表了一个强有力的假设，从经验的角度来看，这个假设可能是有问题的。当合同数量确定时，我们不使用保险条款的最优性来确定模型结构。因此，我们可以使用（27）-（30）来测试垄断情况下观测覆盖率（T，DD，T，DD）的最优性。从经验的角度来看，系统（27）-（30）给出了观测值的最佳覆盖率。因此，它允许我们使用实际保险范围来评估保险人的财产损失。第四，由于限制（i）-（iii）并不要求保险公司是垄断企业，因此它们也可以在保险业的其他竞争形式下测试假设a3和A4。6结论我们的论文通过多维筛选解决了保险模型的识别问题，在多维筛选中，被保险人拥有关于其风险和风险规避的私人信息。我们的模型还包括随机损坏和多起事故的可能性。被保险人的筛选依赖于他们的确定性。具体而言，我们通过几个数据场景研究了有效覆盖范围和报告事故数量的数据可用性如何影响模型原语的识别。总的来说，意外事故的数量起着至关重要的作用，尽管由于多维筛选和/或有限的覆盖范围，我们确定了模型结构。特别是，在一定范围内的认证结果适用于任何形式的竞争。具体而言，它们确定了行业中每一家企业的风险分布和风险规避。此外，我们还提供了模型对可观测对象施加的所有限制。

一个有趣的特点是，由于模型的识别不依赖于此特性，因此可以单独测试有效覆盖率的最佳性。就未来的研究领域而言，首先，我们的研究结果扩展到了广泛的保险数据，例如，如果分析师观察到重复的结果，例如被保险人的索赔。特别是，当损害不再相互独立且与被保险人的私人信息相关时，我们可能希望扩大我们的识别结果，以允许道德风险。第二，在汽车保险的情况下，考虑到被保险人的风险和风险厌恶，我们可以内生化汽车选择。这将产生一个模型，解释汽车的选择、保险范围的选择、事故的数量和损失。第三，我们的识别结果是建设性的，因此为开发非参数估计程序提供了明确的方程。我们的模型限制可以用来测试模型的有效性和覆盖率的最优性。这些限制也是在多维私有信息环境下测试保险逆向选择的基础。根据我们的结果，可以重新分析以色列（2005a，b）、科恩和埃纳夫（2007）、悉尼（2010）和巴尔塞吉安、莫利纳里、奥多诺霍和泰特尔鲍姆（2013）使用的汽车和/或家庭保险的一些现有数据集。附录引理1的证明：确定性等价（5）和（6）关于θ的导数给出-（φa）- 1） /a和-(φ*A.- 1） 分别为/a。因为φa>1和φ*a> 1.我们得到了期望的结果。关于（5）对a的导数，我们得到CE（0，0；θ，a）a=-θaE[D exp（aD）]- E[exp（aD）]+1a.必须证明括号中的分子是正的。它等于E[aD exp（aD）-经验（广告）+1]。设X=aD，很容易证明X exp（~X）- exp（X）+1是一个递增函数，在X=0时等于0。

自公元≥ 分子为正，因此导数为负。类似的论证也适用于CE（t，dd；θ，A），方法是X=A min（dd，D）。一阶条件（11）和（12）的推导：哈密顿量isH（t（s），dd（s））=“t（s）- E（θ| s）Zddd（s）（1）- H（D）dD#k（s）+v（s）t（s）+y（s）dD（s）+r（s）dd（s）+η（s，a（s），dd（s））t（s）,其中t（s）和dd（s）是状态变量，t（s）和dd（s）是控制变量，v（s）、y（s）和r（s）是共同状态变量。一阶条件如下：Ht（s）=v（s）+r（s）η（s，a（s），dd（s））=0Hdd（s）=y（s）+r（s）=0-Ht=-k（s）=v（s）-Hdd=-E[θ| s]（1）- H（dd））k（s）+r（s）η（s，a（s），dd（s））滴滴涕（s）= 横截性条件为y（s）=0和v（s）=0的y（s）。第三个积分条件是0和v=横截性-K（s）=v（s）。前两个方程式给出- y（s）η[s，a（s），dd（s）]=0。使用r（s）=-y（s）和（8）在重写最后一个等式时给出了期望的结果。引理2的证明：设s>s和θ是固定的和任意的。在（6）之后，购买保险时的确定性等价性可以写为asCE（t（s），dd（s）；θ、 a）=w- t（s）- 其中m（dd（s），s）=（θ/a）[Rdd（s）eaDdH（D）+eadd（s）（1- H（dd（s）））- 1] （θ，a）是这样的，即s（θ，a）=s。s和sgivew的（IC）约束- t（s）- m（dd（s），s）≥ W- t（s）- m（dd（s），s）w- t（s）- m（dd（s），s）≥ W- t（s）- m（dd（s），s）。将这两个不等式相加，得出简化的结果（dd（s），s）- m（dd（s），s）≥ m（dd（s），s）- m（dd（s），s）。因为m（·，·）在两个参数中都是不同的，所以我们得到了ZDD（s）dd（s）m（ξ，s）ξdξ≥Zdd（s）dd（s）m（ξ，s）ξdξZdd（s）dd（s）m（ξ，s）ξ-m（ξ，s）ξdξ≥ 0Zdd（s）dd（s）Zssm（ξ，y）ξydydξ≥ 0

（A.1）关于ξ的微分m（ξ，y）给出m（ξ，y）ξ=θeaξ（1）- H（ξ））。因为θ是固定的，s（θ，a）=y，那么使用a（y）对y进行微分m（ξ，y）ξy=θa（y）ξea（y）ξ（1）- H（ξ））≤ 0，因为a（·）在s中减少引理1。因此，（A.1）中的内部整合是积极的。因此（A.1）成立的当且仅当dd（s）≥ dd（s）。引理5的证明：根据命题4，H（X）被识别当且仅当结构[F（·，··| X），H（·| X）]为。因此，必须证明后者未被识别。设[F（·，··| X），H（·| X）]为满足定义1和2以及A3和A4的结构。我们构造第二个结构[F（·，·| X），~H（·| X）]，如下所示。设∧θ=κθ，其中κ>supx∈SX[1-H（x）]≥ 0，而a=a，所以f（·，·| X）=（1/κ）f（·/κ，·| X）。设h（·| X）是其支撑[0，d（X）]上的严格正的条件密度，对于d，h（d | X）=（1/κ）h（d | X）≥ dd（X）。因为0<Rd（x）dd（x）~h（D|x）dd<1，所以κ>1- H（x）表示所有x∈ 如上文所述。第二种结构[F（·，·| X），H（·| X）]满足定义1和2，以及A3和A4作为θ（a，X）=κθ（a，X）。我们现在证明了这两种结构在观测上是等价的，也就是说，它们导致了观测值（J）的相同分布*, D*, . . . , D*J*, χ、 t，dd，t，dd）给定X，其中J*安德*分别指报告的事故数量及其相应的损失，而χ表示被保险人选择的保险范围。首先，我们注意到覆盖项是X解FOC（14）-（18）的确定函数。因此，从（25）开始，第二个结构的最佳边界必须是)θ（a，X）=t（X）- t（X）Rdd（X）dd（X）eaD（1）-~H（D | X））dD=t（X）- t（X）Rdd（X）dd（X）eaDκ（1）- H（D | X））dD=κθ（a，X），从而表明Aisa中最高的风险规避*（十） =a*（十） 。关于给定X的分布，我们注意到▽χ=χ。

后一种是从√χ=1if开始的，且仅当（√θ，a）∈~A（X），即∧θ≤θ（a，X）和a（X）≤ A.≤ ~a*（十） 。因为∧θ=κθ，∧θ（a，X）=κθ（a，X）和∧*（十） =a*（十） 当且仅当χ=1时，我们就有了χ=1。因此，给定X的|χ和ξ的分布是相同的，即c=1，2时|νc（X）=νc（X）。关于J的分布*给定（△χ，X）=（χ，X），从（22）其矩母函数isM△θχ，X[（1-~Hχ（X））（et- 1） |c，x]=Mθ|χ，x[（1）- Hχ（X））（et- 1） |c，x]=MJ*|χ、 X[t | c，X]使用1-~Hc（X）=（1-Hc（X））/κ，和M|θ|χ，X（u | c，X）=Mθ|χ，X（κu | c，X）。因此，J的分布*给定的（χ，X）与J的相同*给定（χ，X）。关于报告的损害的分布*给定（~J）*, χ、 X）是H*χ（·X）=H（·X）-~Hχ（X）1-~Hχ（X）=H（·| X）- Hχ（X）1- Hχ（X）=H*χ（·| X）使用1-~Hχ（·| X）=（1）- Hχ（·| X））/κ。最后，还需证明（t（X）、dd（X）、t（X）、dd（X））满足与第二结构相关的FOC（14）-（18）。使用∧θ（a，X）=κθ（a，X），f（∧θ（a，X），a | X）=f（∧θ（a，X）/κ，a | X）/κ=f（θ（a，X），a | X）/κ，1-~H（D | X）=（1）- H（D | X））/κ，~νc=νcand E[~θ| Ac]=κE[θ| Ac]，可以很容易地验证（t（X）、dd（X）、t（X）、dd（X）、dd（X））满足（14）–（18）的要求，其中△ρ=ρ假设为（14）–（18）的原始结构。因此，这两种结构导致了所需的可观察物的相同分布。引理6中的附加条件：（v）对于c=1，2和所有x∈ SX，ψJ*|χ、 X（·| c，X）>0，在IR上定义了一个矩母函数，（23）的右边是绝对连续分布的矩母函数，其密度在其支撑点上远离零[茶θ（1，X），茶θ（1，X）]和[茶θ（2，X），茶θ（2，X）]，其并集等于IR++中的[茶θ（1，X），茶θ（2，X）]。