高频金融数据中与时间相关的标度模式

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英文标题：
《Time-dependent scaling patterns in high frequency financial data》
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作者：
Noemi Nava, Tiziana Di Matteo and Tomaso Aste
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We measure the influence of different time-scales on the dynamics of financial market data. This is obtained by decomposing financial time series into simple oscillations associated with distinct time-scales. We propose two new time-varying measures: 1) an amplitude scaling exponent and 2) an entropy-like measure. We apply these measures to intraday, 30-second sampled prices of various stock indices. Our results reveal intraday trends where different time-horizons contribute with variable relative amplitudes over the course of the trading day. Our findings indicate that the time series we analysed have a non-stationary multifractal nature with predominantly persistent behaviour at the middle of the trading session and anti-persistent behaviour at the open and close. We demonstrate that these deviations are statistically significant and robust.
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中文摘要：
我们测量了不同时间尺度对金融市场数据动态的影响。这是通过将金融时间序列分解为与不同时间尺度相关的简单振荡来实现的。我们提出了两种新的时变测度：1）振幅标度指数和2）类熵测度。我们将这些措施应用于各种股票指数的日内30秒抽样价格。我们的结果揭示了日内趋势，即在交易日的过程中，不同的时间范围有不同的相对振幅。我们的研究结果表明，我们分析的时间序列具有非平稳多重分形性质，在交易时段中间主要表现为持续性行为，在开盘和收盘时表现为反持续性行为。我们证明了这些偏差在统计学上是显著且稳健的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Time-dependent_scaling_patterns_in_high_frequency_financial_data.pdf (3.58 MB)

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关键词：金融数据 Multifractal Quantitative Econophysics Applications

高频金融数据中的时间相关标度模式Noemi Navaa，1，T.Di Matteob，Tomaso Astea，1伦敦大学学院计算机科学系，Gower Street，London，WC1E 6BT，UKbDepartment of Mathematics，King’s College London，The Strand，London，WC2R 2LS，UK AbstractWe测量不同时间标度对金融市场数据动态的影响。这是通过将金融时间序列分解为与不同时间尺度相关的简单振荡来实现的。我们提出了两种新的时变测度：1）振幅标度指数和2）类熵测度。我们将这些度量应用于各种股票指数的日内30秒采样价格。我们的结果揭示了日内趋势，即在交易日的过程中，不同时段的相对振幅不同。我们的发现表明，我们分析的时间序列具有非平稳多重分形性质，在交易时段中期主要表现为持续性行为，在开盘和收盘时表现为反持续性行为。我们证明，这些偏差在统计学上是显著且稳健的。关键词：标度指数、熵、希尔伯特-黄变换、市场效率。1.简介金融市场是一个复杂的动态系统，会产生非平稳、非线性和噪声的时间序列。这些时间序列不是由单一的驱动力组成，而是由几个叠加在一起的组成部分组成：n.莫拉莱斯。11@ucl.ac.uk（诺埃米·纳瓦），蒂齐亚纳。dimatteo@kcl.ac.uk（T.迪马特奥）。aste@ucl.ac.uk（Tomaso Aste）2015年12月16日提交给爱思唯尔的预印本arxiv:1508.07428v2[q-fin.ST]2015年12月16日，以分层形式相互印在一起。

振荡成分是由许多参与者产生的，他们有着不同的兴趣和投资范围，这些参与者相互作用，产生的影响似乎在不同的特征周期内循环重复[1]。通过查看不同时间尺度下财务数据的统计特性，可以检索和量化这些影响。金融市场建模的经典方法是有效市场假说（EMH）[2]，该假说指出，如果金融市场反映了所有可用信息，则金融市场是有效的，因此套利条件会迅速消除。根据这个理论，股票价格是不可预测的。有效市场假说的弱形式允许快速的价格调整过程[2]。然而，在实践中，价格往往不会如此迅速地适应新信息，需要一定的时间。在此期间，投资者可以采取行动，利用新信息带来的临时有利机会[3,4]。根据分形市场假说（FMH）[5]，如果有不同时间范围的投资者创造流动性，金融参与者是异质的，市场稳定存在。市场参与者的投资期限从几秒钟到几年不等（做市商、噪音交易员、对冲基金）。他们对到达的信息有不同的处理方式，并根据交易时间尺度以不同的方式影响价格动态[6]。不同投资领域的投资者的存在会导致市场稳定，当一个领域成为主导时，市场就会变得不稳定。FMH预测，关键事件与主要投资层有关，通常与自相似性、分形或多重分形有关。

Mandel brot[7,8]首先研究了金融数据中的自相似性，并发现其存在于具有复杂属性的金融市场中，这些属性与市场的经济和金融特征显著相关[9,10,11,12,13]。自相似性与相似模式在不同时间尺度上的出现有关。从这个意义上说，当在不同的时间尺度上观察过程时，自相似过程的概率特性保持不变[7,14]。随机过程X（t）在统计上是自相似的，其标度指数为0<H<1，如果对于任何reala>0，它遵循标度律：X（at）d=aHX（t）t∈ R、 （1）其中等式（d=）在概率分布[15]中。2自相似过程的一个例子是分数布朗运动（fBm），这是一个具有平稳增量的高斯过程，其特征是正标度指数0<H<1[16]。当0<H<1/2时，fBm的增量呈现负自相关。案例1/2<H<1对应于fBm，增量过程表现出长程依赖性，即增量过程的自相关性为正。当H=12时，FBM导出布朗运动（BM），这是一个具有独立增量的过程[15]。已经观察到，金融回报分布的每一时刻都随着时间范围的幂律变化，具有不同的H指数[14]。这种现象被称为多尺度现象，反映了不同时间尺度上不同动态的发生，可归因于市场参与者的异质性。在金融时间序列中也观察到了与时间相关的标度行为[17,18]，粗糙度的局部变化可以通过允许H指数随时间变化来描述[19]。熵测度也被用来衡量金融时间序列的复杂性[20,21,22]。

熵的低值表明存在更可预测的模式，因此与财务效率相关。相反，当时间序列表现出更不规则、更不可预测的模式时，不确定性水平更高，这样的周期由更大的熵值来描述。在本文中，我们基于金融时间序列的标度特性提出了两种新的时间相关度量。通过希尔伯特-黄变换（Hilbert-Huang transform）[23]获得了这些新的度量值。作为第一步，该方法通过经验模式分解（EMD）将分析的时间序列分解为若干振荡模式。其次，将希尔伯特变换应用于这些振荡，以获得时变属性。金融时间序列的时间相关标度特性与特征频率下振幅的相对权重有关。我们在本文中介绍的第一个度量是一个标度指数，它量化了成分振幅相对于其相关时间标度的相对层次变化；第二种是一种熵测量，用于量化分量振幅的色散。本文的剩余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了用于识别数据振荡分量的方法，即希尔伯特-黄变换。第3节介绍了拟采用的缩放测量方法，以及对自相似过程的一些应用。在第4节中，我们提出了一个类似熵的比较度量。在第5节中，我们将建议的措施应用于日内财务数据。最后，在第6节中，我们将给出结论和未来展望。2.Hilbert Huang变换Hilbert Huang变换（HHT）[23]是一种用于分析非线性和非平稳时间序列的技术。

它最初设计用于研究水波演变，但已被证明是其他复杂信号的有用工具，包括金融时间序列[24、25、26、27、28]。HHT由两个步骤组成：即经验模态分解（EMD）和希尔伯特变换（HT）。EMD将时间序列分解为一组窄带本征模函数（IMF），这些IMF的希尔伯特变换提供局部频率和振幅。EMD是一种完全自适应分解，与Fourierand小波变换相比，它不需要任何先验基础系统[29]。此外，它还可以用来分析非平稳时间序列，它假设任何时间序列都由超强振荡组成。该方法的目的是用数据本身的局部极大值和极小值定义的尺度识别这些振荡。因此，给定一个时间序列x（t），t=1，2。。。，T，EMD过程将其分解为有限数量的IMF，表示为ck（T），k=1。。。，n和一个留数函数r（t）。MFS的数量n大约为log2（T）[23]的数量级。IMF是在零附近振荡的元件，通过筛选过程获得，该过程利用局部极值分离从最高频率开始的振荡。在筛选过程结束时，时间序列x（t）可以表示为：x（t）=nXk=1ck（t）+r（t）。（2） 剩余函数r（t）是数据的非振荡漂移。有关此分解的更多详细信息，请参阅[23]。EMD是一种在应用希尔伯特变换之前对时间序列进行预处理的方法。

它生成时间序列的分量，希尔伯特变换可以对瞬时振幅和频率进行有物理意义的定义。每个函数ck的希尔伯特变换定义为：^ck（t）=1π∞Z-∞ck（τ）t- τdτ，（3）其中积分在τ=t处有一个奇点，并定义为高次主值。每个函数及其希尔伯特变换，^ck，产生一个复函数zk，由zk（t）=ck（t）+^ck（t）定义，其振幅峰值（t）=pck（t）2+^ck（t）2，（4）和相位θk（t）=tan-1^ck（t）ck（t）。（5） 瞬时频率定义为相位对时间ωk（t）=dθk（t）dt的导数。（6） 瞬时振幅产生了一个平滑函数，即“包络”，它呈现时间序列的整体形状，最大值和最小值从不与时间序列本身相交。该振幅函数表示该分量中所有频率的组合振荡，但删除所有频率信息。3.时间相关标度指数——建议的时间相关标度指数，表示为H*（t） 通过观察局部振幅ak（t）（方程式4）相对于局部周期τk（t）=ωk（t）的变化方式来构造-1（方程式6）对于所有k=1，2。

，n.我们首先将该方法应用于fBm，并观察到通过HHT获得的振幅函数遵循幂律行为，并观察到瞬时周期：ak（t）2∝ τk（t）2H*（t） ，（7）其中指数H*（t） 描述IMFamplitudes的局部缩放特性，在量级上与自相似指数H.5Logτk（1326）100101102103104105log ak（1326）10-210-1100101102H*（1326）=0.62646Logτk（2252）100101102104log ak（2252）10-210-1100101102H*（2252）=0.56627Logτk（3421）100101102104log ak（3421）10-1100101102H*（3421）10-1100101102H*（3421）1001011027 logτk（5405）100101104105log ak（5405）10-11001025*（5405）10-410591）图对于fBm，局部振幅ak（t）和周期τk（t）遵循方程7:ak（t）2∝ τk（t）2H*（t） 。曲线图报告了以下四个随机选择时间的瞬时振幅随时间的变化：t=1326、2252、3421、5405。模拟过程为自相似指数H=0.6、长度T=10000点的fBm。直线是最佳线性回归。在图1中，我们报告了方程7的一个具体实例，显示了四次随机选择的自相似指数H=0.6、长度t=10000的afBm的对数ak（t）和对数τk（t）之间的线性关系。H的价值*（t） 图中报告的数据是从回归线的斜率获得的。我们观察到，它们都始终接近自相似值H=0.6。对于选定的t值，我们通过估算测定系数R2[30]来计算线性系数的优度（该系数的值范围为0到1，1表示数据和线性模型之间的完美匹配）。

以下四个随机选择的时间：t=1326、2252、3421、5405的结果如下：R2（1326）=0.99、R2（2252）=0.90、R2（3421）=0.98、R2（5405）=0.99，因此，对于这些时间瞬间，数据由等式7的对数线性模型很好地表示。在所有时间段都可以得到类似的线性标度结果，但每个时间步的标度指数都不同，使得H*（t） 与时间相关的估计器。H的值*（t） 当时间t左右，长周期的振幅大于纯随机游动时，获得>0.5。这可以被解释为过程振幅的持续行为，这意味着在时间t的一个邻域内，该过程处于一个可与趋势区分的周期中。相反，H的值*（t） <0.5代表时间t前后更粗糙、更混乱的行为。这些过程由跨时间尺度的振幅比布朗运动中的振幅更相似的振荡组成，产生了复杂且不确定的行为。在这种情况下，高频成分更活跃，它们对总方差的贡献比随机游走过程中更显著。3.1. 自相似和长记忆过程的扩展模拟为了测试方程7的幂律关系，我们扩展了fBm的模拟集，并考虑了其他两种不同的自相似过程，即α-稳定的L’evy运动（SLM）[15]和积分滑动平均（ARFIMA）过程中的分数自回归[31]。对于每个随机过程，我们模拟了m=1000条路径，长度t=10000个点1。我们估计H*（t） 并计算了模拟次数的时间依赖性样本平均值，即我们计算了hH*（t） i=1mPmi=1H*i（t）。我们还估计了H的样本平均值*（t） 随着时间的推移和模拟次数的增加*ii=1TPTt=1hH*（t） 我。

h的标准差*（t） 计算公式为：stdH*=qPTt=1Pmi=1（H*i（t）- 啊*ii）2/（T·m）- 1).对于每个过程，还估计了测定系数随时间和模拟次数的平均值，并表示为AsHr2II。我们比较了估计的H*（t） 用q=1表示的广义Hurst-expo-Nt[33]表示，表示为HG。1 LFSM的长度设置为T=216- 6000，遵循[32]7t0 2000 400010000<H中提出的算法*（t） >00.20.40.60.81（a）HH*GHE（1）hhH*二、stdH*hhR2ii hHGi标准差0。1 0.07 0.08 0.20 0.15 0.010.2 0.18 0.08 0.39 0.22 0.010.3 0.28 0.08 0.59 0.31 0.010.4 0.38 0.09 0.73 0.40 0.010.5 0.50 0.09 0.81 0.50 0.010.6 0.60 0.09 0.86 0.60 0.010.7 0.70 0.10 0.10 0.89 0.70 0.010.8 0.10 0.10 0.90 0.92 0.79 0.010.9 0.90 0.11 0.93（0.87 b）图为FBA指数的标度图*（t） 平均接近自相似指数H。该图报告了H的样本平均值*（t） ，表示为Ash*（t） 在自相似指数H=0.1,0.2，0.9（从下到上），长度T=10000点。b） H的样本平均值*（t） 随着时间的推移和模拟次数的增加，表示为hhH*ii，H的标准偏差*（t） 以及测定系数的样本平均值，R2.GHE（1）的值表示q=1的广义赫斯特指数分数布朗运动。标度分量在H=0.1，0.2。。。，模拟0.9。所有的模拟都是用MatlabR完成的小波工具箱。不同H值的结果如图2（a）所示。